(共84张PPT)
第二部分
专题篇?素养提升(文理)
专题六 函数与导数
第4讲 导数的综合应用(文理)
1
解题策略
·
明方向
2
考点分类
·
析重点
3
易错清零
·
免失误
4
真题回放
·
悟高考
5
预测演练
·
巧押题
导数日益成为解决数学问题强有力的工具，利用导数研究函数的单调性与极(最)值是常见题型，而导数与函数、不等式的交汇命题，则是高考的热点和难点．在高考压轴题中，常以二次函数、指数函数、对数函数为载体考查函数的零点、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立等热点问题．
(理科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
21
利用导数研究单调性以及不等式的综合应用
12
Ⅱ卷
21
讨论函数的单调性以及不等式的证明
12
Ⅲ卷
21
导数的几何意义以及函数零点问题
12
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
20
函数的极值、问题
12
Ⅱ卷
20
函数的单调性、零点以及曲线的公切线问题
12
Ⅲ卷
20
函数的单调性、最值问题
12
2018
Ⅰ卷
21
函数的单调性、极值以及不等式的证明
12
Ⅱ卷
21
函数的单调性、不等式证明以及函数零点问题
12
Ⅲ卷
21
不等式以及极值问题的应用
12
(文科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
20
函数的单调性以及函数的零点问题
12
Ⅱ卷
21
函数单调性以及不等式恒成立问题
12
Ⅲ卷
20
函数的单调性与零点问题
12
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
20
函数的零点存在问题、不等式与参数范围
12
Ⅱ卷
21
函数极值点以及方程的根问题
12
Ⅲ卷
∥
?
?
2018
Ⅰ卷
21
函数的单调性、不等式的证明
12
Ⅱ卷
21
函数单调性、函数的零点的证明
12
Ⅲ卷
21
导数的几何意义、不等式的证明
12
02
考点分类
·
析重点
1．常见重要不等式
(1)ln
x≤x－1(x＞0)．
(2)ex≥x＋1．(当且仅当x＝0时等号成立)
考点一 利用导数研究不等式问题
2．构造辅助函数的四种方法
(1)移项法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．
(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))．
(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．
3．含有双变量的不等式问题的常见转化策略
(1)?x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)?f(x)在[a，b]上的最小值＞g(x)在[c，d]上的最大值．
(2)?x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)?f(x)在[a，b]上的最大值＞g(x)在[c，d]上的最小值．
(3)?x1∈[a，b]，?x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)?f(x)在[a，b]上的最小值＞g(x)在[c，d]上的最小值．
(4)?x1∈[a，b]，?x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)?f(x)在[a，b]上的最大值＞g(x)在[c，d]上的最大值．
考向1 利用导数证明不等式
(2020·北京房山区期末)已知函数f(x)＝(2x－1)ln
x＋x－1．
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求证：f(x)>－1．
典例1
利用导数证明不等式的两个妙招
(1)构造函数法证明不等式
①移项，使等式右边为零，左边构造为新函数．
②求导判断单调性，通常要对参数分类讨论．
③根据单调性，求出最值与“0”比较即可得证．
(2)转化函数最值法证明不等式
①条件：函数很复杂，直接求导不可行．
②拆分：把复杂函数拆分成两个易求最值函数．
③方法：分别求导，结合单调性和图象以及极值、最值，比较得出结论．
考向2 利用导数解决不等式恒(能)成立问题
(2020·肥东县模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)2－3aln
x，a∈R.
(1)当a＝1时，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程及函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意x∈[1，e]，f(x)≤4恒成立，求实数a的取值范围．
典例2
利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
(1)分离参数后转化为函数最值问题：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可．
(2)转化为含参函数的最值问题：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，伴有对参数的分类讨论，然后构建不等式求解．
方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解．
考点二 利用导数研究函数的零点问题
考向1 利用导数研究函数零点
(2020·福田区校级模拟)已知函数f(x)＝sin
x＋acos
x－xcos
x，x∈(0,2π)，a∈(0,2π)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)证明：函数f(x)在定义域上只有一个零点．
典例3
【解析】 (1)f′(x)＝cos
x－asin
x－(cos
x－xsin
x)＝(x－a)sin
x，x∈(0,2π)，
令f′(x)＝0得x＝a或x＝π，易知，当x∈(0，π)时，sin
x＞0；当x∈(π，2π)时，sin
x＜0，
①当a＝π时，f′(x)＝(x－π)sin
x≤0，故f(x)在(0,2π)单调递减；
②当a∈(0，π)时，令f′(x)＜0得0＜x＜a或π＜x＜2π，令f′(x)＞0得a＜x＜π，
故f(x)在(0，a)，(π，2π)单调递减，在(a，π)单调递增；
③当a∈(π，2π)时，令f′(x)＜0得0＜x＜π或a＜x＜2π，令f′(x)＞0得π＜x＜a，
故f(x)在(0，π)，(a,2π)单调递减，在(π，a)单调递增．
综上，当a＝π时，f(x)在(0,2π)单调递减；
当a∈(0，π)时，f(x)在(0，a)，(π，2π)单调递减，在(a，π)单调递增；
当a∈(π，2π)时，f(x)在(0，π)，(a,2π)单调递减，在(π，a)单调递增．
(2)证明：由(1)知，①当a＝π时，f(x)在(0,2π)单调递减；
且f(0)＝sin
0＋πcos
0－0cos
0＝π＞0，f(2π)＝sin
2π＋πcos
2π－2πcos
2π＝－π＜0，
即f(0)·f(2π)＜0，
故函数f(x)在(0,2π)上只有一个零点．
②当a∈(0，π)时，f(x)在(0，a)，(π，2π)单调递减，在(a，π)单调递增；
故f(x)的极小值为f(a)＝sin
a＋acos
a－acos
a＝sin
a＞0，因此f(x)在(0，a)上无零点；
f(x)的极大值为f(π)＝sin
π＋acos
π－πcos
π＝π－a＞0，
又f(2π)＝sin
2π＋acos
2π－2πcos
2π＝a－2π＜0，f(π)·f(2π)＜0，
故f(x)在(π，2π)上有一个零点，因此，函数f(x)在(0,2π)上只有一个零点．
③当a∈(π，2π)时，f(x)在(0，π)，(a,2π)单调递减，在(π，a)单调递增．
故f(x)的极小值为f(π)＝π－a＜0，又f(0)＝sin
0＋acos
0－0cos
0＝a＞0，
f(0)·f(π)＜0，
故f(x)在(0，π)上有一个零点，f(x)的极大值为f(a)＝sin
a＜0，
又f(2π)＝a－2π＜0，
故f(x)在(π，2π)上无零点，因此，函数f(x)在(0,2π)上只有一个零点．
综上，函数f(x)在(0,2π)上只有一个零点．
利用导数研究函数零点问题的思路
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解．
(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
典例4
②当a＜0时，由f′(x)＝0得x＝0，
由x≤0得f′(x)≤0，f(x)为减函数，由x＞0得f′(x)＞0，f(x)为增函数，
则f(x)极小＝f(0)＝a＜0．
又x→－∞时，f(x)＞0，x→＋∞时，f(x)＞0，
所以当a＜0时，f(x)始终有两个零点．
综上所述，a的取值范围是(－∞，0)．
根据函数零点个数确定参数取值范围的基本思路也是数形结合，即根据函数的单调性、极值、函数值的变化趋势大致得出函数y＝f(x)的图象，再根据零点个数确定函数y＝f(x)的图象交点的个数，得出参数满足的不等式，求得参数的取值范围，一个基本的技巧是把f(x)＝0化为g(x)＝h(x)，(f(x)＝g(x)－h(x))据f(x)零点个数确定函数y＝g(x)，y＝h(x)图象的交点个数，得出参数满足的不等式，求得参数的取值范围．
03
易错清零
·
免失误
典例1
1．用错恒成立的条件
已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求的取值范围．
【错解1】 ∵f(x)≥0恒成立，∴Δ＝a2－4(3－a)≤0恒成立解得的取值范围为－6≤a≤2．
典例2
【解析】 (1)对f(x)求导，得f′(x)＝2lnx＋2＋2a(x>0)．
因为函数f(x)在区间(e2，＋∞)上存在极值点，
所以存在实数m∈(e2，＋∞)，使得f′(m)＝2lnm＋2＋2a＝0，
即a＝－lnm－1<－lne2－1＝－3．
所以a的取值范围为(－∞，－3)．
【剖析】 本题是一道涉及双变量的不等式证明问题，易错点是不知道怎样构造函数．破解这类题的关键是通过换元法达到消元的目标，再构造函数，利用函数的单调性证明不等式．一般地，在双变量不等式中，两个变量的地位相同，取值独立，此类题的证明途径有：①构造函数，将问题转化为判断函数的单调性问题；②构造函数，转化为求函数的最值问题．
04
真题回放
·
悟高考
【解析】 (1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，
由于f″(x)＝ex＋2>0，故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，故：
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
1．(文)(2020·全国卷Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
【解析】 (1)当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，
令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0，
所以f(x)的减区间为(－∞，0)，增区间为(0，＋∞)；
所以当x＝1时，函数h(x)有最大值，
即h(x)max＝h(1)＝2ln
1＋1－2×1－c＝－1－c，
要想不等式(
)在(0，＋∞)上恒成立，
只需h(x)max≤0?－1－c≤0?c≥－1；
当x>a时，ln
x>ln
a，所以m′(x)<0，m(x)单调递减，因此有m(x)
g′(x)<0，所以g(x)单调递减；
当0xa，所以m′(x)>0，m(x)单调递增，因此有m(x)所以函数g(x)在区间(0，a)和(a，＋∞)上单调递减，没有递增区间．
3．(文)(2020·全国卷Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．(共67张PPT)
第二部分
专题篇?素养提升(文理)
专题六 函数与导数
第2讲 基本初等函数、函数与方程(文理)
1
解题策略
·
明方向
2
考点分类
·
析重点
3
易错清零
·
免失误
4
真题回放
·
悟高考
5
预测演练
·
巧押题
基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查，常以选择题、填空题的形式出现．有时难度较大，函数的应用问题集中体现在函数零点个数的判断，零点所在区间等方面．近几年全国卷考查较少，要引起重视．
(理科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
12
函数与方程的综合应用
5
Ⅱ卷
11
对数式的大小的判断问题
5
Ⅲ卷
4
指数与对数互化
5
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
3
比较指数幂与对数值的大小
5
Ⅱ卷
6、14
指数函数、对数函数、幂函数的性质；指数、对数的运算
10
Ⅲ卷
11
指数值与对数值的大小比较与函数性质的综合应用
5
2018
Ⅰ卷
9
分段函数的零点问题
5
Ⅱ卷
?
?
?
Ⅲ卷
12
对数式的大小比较问题
5
(文科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
8
指对式的运算的问题
5
Ⅱ卷
4、12
函数模型及其应用，对数式的大小的判断问题
10
Ⅲ卷
4
对数的运算，指数与对数的互化
5
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
3
指数式与对数式的大小比较
5
Ⅱ卷
无
?
?
Ⅲ卷
5
函数的零点与三角恒等变换
5
2018
Ⅰ卷
13
由对数值求参数
5
Ⅱ卷
无
?
?
Ⅲ卷
7
对数函数图象对称问题
5
02
考点分类
·
析重点
指数函数与对数函数的图象与性质
考点一 基本初等函数的图象与性质
?
指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)
对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)
单调
性
0＜a＜1时，在R上单调递减；a＞1时，在R上单调递增
0＜a＜1时，在(0，＋∞)上单调递减；a＞1时，在(0，＋∞)上单调递增
函数值
0＜a＜1，
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
0＜a＜1，
当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0
a＞1，
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
a＞1，
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0
典例1
A
D
基本初等函数图象与性质的应用技巧
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．
(2)研究由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数的性质，首先通过换元法转化为两个或多个基本初等函数，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．
D
2．(2020·江西省红色七校第一次联考)若a，b，c，满足2a＝3，b＝log25,3c＝2，则
( )
A．cB．bC．aD．c【解析】 因为2a＝3∈(2,22)，
所以1所以0log24＝2，所以cA
函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
考点二 函数的零点
典例2
A
C
【解析】 (1)因为f(x)＝x3－x2－4x＝x(x2－x－4)，
令g(x)＝x2－x－4，则g(－2)＝2，g(－1)＝－2，g(0)＝－4，g(1)＝－4，g(2)＝－2．
又函数g(x)的图象是一条连续不断曲线，且g(－2)·g(0)＝2×(－4)＝－8<0，
所以根据零点存在性定理可得，g(x)有一个零点在区间(－2,0)内，
又g(x)的零点也是f(x)的零点，
所以f(x)＝x3－x2－4x的一个零点所在区间为(－2,0)．故选A．
判断函数零点个数的方法
典例3
D
利用函数零点的情况求参数值(或范围)的三种方法
A
(2)(2020·绵阳二模)函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当－1≤x≤1时，f(x)＝|x|.若函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为
( )
A．(4,5)
B．(4,6)
C．{5}
D．{6}
C
由g(x)＝－f(－x)，可得g(x)和f(x)的图象关于原点对称，在同一坐标系内再作出y＝g(x)的图象，
可得y＝f(x)和y＝g(x)的图象有4个交点，
则方程f(x)＝g(x)的解的个数为4．
故选A．
(2)因为f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)的周期为2，
在x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|.
画出函数f(x)与g(x)＝logax的图象如图所示；
若函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的图象有且仅有4个交点，则函数g(x)＝logax的图象过(5,1)点，即a＝5．
考点三 函数模型的实际应用
典例4
D
(2)(2020·潍坊模拟)某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为
( )
A．上午10：00
B．中午12：00
C．下午4：00
D．下午6：00
C
解决函数实际应用题的两个关键点
(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．
(2)要合理选取参数变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解函数模型使实际问题获解．
4．(2020·怀柔区一模)某网店“五一”期间搞促销活动，规定：如果顾客选购商品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购商品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按表累计计算.
如果某人在网店所购商品获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为________元．
可以享受折扣优惠金额
折扣优惠率
不超过500元的部分
5%
超过500元的部分
10%
1
120
03
易错清零
·
免失误
典例1
1．忽视对指数函数、对数函数的底数中的参数的讨论
已知函数f(x)＝ax2－3x＋3，当x∈[1,3]时，有最小值8，求a的值．
【剖析】 错解答案是“歪打正着”，实际上错解忽视了对a的讨论，f(x)的单调性要按a>1或0典例2
【剖析】 第(1)问的解答是正确的，第(2)问将对数不等式化成分式不等式时，没有按照01分类讨论函数的单调性．
典例3
A
典例4
04
真题回放
·
悟高考
1．(2020·全国卷Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则
( )
A．ln
(y－x＋1)>0
B．ln
(y－x＋1)<0
C．ln
|x－y|>0
D．ln
|x－y|<0
A
C
B
4．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则
( )
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
【解析】 因为a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1,0＜c＝0.20.3＜1，所以b＞c＞a.故选B．
B
5．(2020·全国卷Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1
200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1
600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
( )
A．10名
B．18名
C．24名
D．32名
B (共61张PPT)
第二部分
专题篇?素养提升(文理)
专题六 函数与导数
第3讲 导数的简单应用(文科)
1
解题策略
·
明方向
2
考点分类
·
析重点
3
易错清零
·
免失误
4
真题回放
·
悟高考
5
预测演练
·
巧押题
1．高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题的第一问．
2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等偏下，有时综合在解答题中．
(文科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
15
导数的几何意义
5
Ⅱ卷
?
?
?
Ⅲ卷
15
导数的运算
5
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
13
导数的几何意义以及运算法则
5
Ⅱ卷
10
导数的几何意义以及运算法则
5
Ⅲ卷
7
导数的几何意义
5
2018
Ⅰ卷
6
导数的几何意义和函数的性质
5
Ⅱ卷
13
导数的几何意义
5
Ⅲ卷
21(1)
导数的几何意义
5
02
考点分类
·
析重点
1．导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
考点一 导数的几何意义
2．基本初等函数的导数公式
典例1
C
3x－y＋1＝0
求曲线y＝f(x)切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程．
(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
1．(1)(2020·四川省成都七中模拟)已知函数f(x)＝xln
x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为
( )
A．－2
B．2
C．－e
D．e
B
导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0．
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．
考点二 利用导数研究函数的单调性
典例2
求解或讨论函数单调性问题的解题策略
讨论函数的单调性，其实就是讨论不等式解集的情况，大多数情况下，这类问题可以归纳为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：
(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．
(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
注意 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．
考向2 利用函数的单调性求参数取值(范围)
(1)(2019·厦门模拟)若函数f(x)＝2x2－ln
x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围
是_____
(2)(2019·安庆二模)若函数f(x)＝x2－4ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为____________________.
典例3
(－∞，－2－2ln
2)
(2)因为f(x)＝x2－4ex－ax，所以f′(x)＝2x－4ex－a.由题意，f′(x)＝2x－4ex－a>0，即a<2x－4ex有解．
令g(x)＝2x－4ex，则g′(x)＝2－4ex.
令g′(x)＝0，解得x＝－ln
2．
当x∈(－∞，－ln
2)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递增；
当x∈(－ln
2，＋∞)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递减．
所以当x＝－ln
2时，g(x)＝2x－4ex取得最大值－2－2ln
2，
所以a<－2－2ln
2．
已知y＝f(x)在(a，b)上的单调性求参数范围的方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”．
(3)若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，通常转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解．
(1，＋∞)
[e－1，＋∞)
可导函数的极值与最值
(1)若在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．
(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．
考点三 利用导数研究函数的极值与最值
典例4
(1)讨论函数的极值，首先要讨论函数的单调性，一般地，若讨论函数的导数符号可以转化为二次函数符号，且该二次函数能够因式分解，则因式分解后，根据导数对应方程根的大小以及与定义域的相对位置关系分类讨论，若该二次函数不能因式分解，应先根据其对应二次方程根的存在性分类讨论，当Δ>0时，应通过求根公式求出其根．
(2)涉及含参数函数的最值时，也要通过函数的极值点与所给区间的关系分类讨论后确定最值．
3．(2019·漳州二模)已知函数f(x)＝ln
x＋ax－a2x2(a≥0)．
(1)若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
(2)若f(x)<0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．
03
易错清零
·
免失误
典例1
1．混淆“切点”致误
求过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
【错解】 因为y′＝3x2－2，所以k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1．
所以切线方程为：y＋1＝x－1即x－y－2＝0．
【剖析】 错把(1，－1)当切点．
典例2
2．极值的概念不清楚致误
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝______.
【错解】 －7或0
【剖析】 x＝1是f(x)的极值点?f′(1)＝0；忽视了“f′(1)＝0不能得到x＝1是f(x)的极值点”的情况．
－7
当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．
综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7．
典例3
3．导数与单调性关系理解不准致误
函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上的增函数，则a的取值范围为________.
04
真题回放
·
悟高考
1．(2019·全国卷Ⅱ卷)曲线y＝2sin
x＋cos
x在点(π，–1)处的切线方程为
( )
A．x－y－π－1＝0
B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0
D．x＋y－π＋1＝0
C
2．(2019·全国卷Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xln
x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则
( )
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
【解析】 ∵y′＝aex＋ln
x＋1，
∴k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2，∴a＝e－1，
将(1,1)代入y＝2x＋b，得2＋b＝1，即b＝－1．
故选D．
D
3．(2018·全国卷Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为
( )
A．y＝－2x
B．y＝－x
C．y＝2x
D．y＝x
【解析】 因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，
所以f′(0)＝1，f(0)＝0，
所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，
化简可得y＝x，故选D．
D
4．(2020·全国卷Ⅰ卷)曲线y＝ln
x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.
y＝2x
1
6．(2019·全国卷Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为___________.
【解析】 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，
所以，k＝y′|x＝0＝3
所以，曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为y＝3x，
即3x－y＝0．
3x－y＝0
7．(2018·全国卷Ⅱ卷)曲线y＝2ln
x在点(1,0)处的切线方程为___________.
y＝2x－2 (共61张PPT)
第二部分
专题篇?素养提升(文理)
专题六 函数与导数
第1讲 函数的概念、图象与性质(文理)
1
解题策略
·
明方向
2
考点分类
·
析重点
3
易错清零
·
免失误
4
真题回放
·
悟高考
5
预测演练
·
巧押题
1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度低中档．
2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．
3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度中档偏下．
(理科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
12
函数单调性的应用比较大小
5
Ⅱ卷
9
函数的奇偶性与单调性
5
Ⅲ卷
16
函数的奇偶性、对称性及最值
5
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
5
图象的识别
5
Ⅱ卷
12
函数解析式、图象与性质的综合
5
Ⅲ卷
7、11
函数图象的识别，函数奇偶性与单调性的综合
10
2018
Ⅰ卷
无
?
?
Ⅱ卷
3、11
函数图象的识别，抽象函数的奇偶性与周期性
10
Ⅲ卷
7
函数图象的识别
5
(文科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
20
涉及函数的单调性及函数的零点
12
Ⅱ卷
10
函数的奇偶性以及单调性
5
Ⅲ卷
12
函数的奇偶性、对称性及最值
5
2019
Ⅰ卷
3、5
指数幂及对数值的大小比较
10
Ⅱ卷
6
利用奇函数的性质求函数的解析式
5
Ⅲ卷
12
函数奇偶性与单调性的综合
5
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2018
Ⅰ卷
12
分段函数及函数单调性解决不等式问题
5
Ⅱ卷
3、12
函数图象的识别，抽象函数的奇偶性与周期性
10
Ⅲ卷
9、16
函数图象的识别函数奇偶性，函数的奇偶性以及对数函数的运算
10
02
考点分类
·
析重点
1．函数的三要素
定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．
2．分段函数
对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
考点一 函数及其表示
典例1
C
9
函数及其表示问题的注意点
(1)求函数的定义域时，要全面地列出不等式组，不可遗漏，并且要注意所列不等式中是否包含等号．
(2)对于分段函数解方程或不等式的问题，要注意在所应用函数解析式对应的自变量的范围这个大前提，要在这个前提条件下解决问题．
【解析】 当a≥0时，由f(a)<2，得a－1<2，∴0≤a<3；
当a<0时，由f(a)<2，得a2＋1<2，∴－1综上，不等式的解集为(－1,3)．
(－1,3)
16
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
考点二 函数的图象及其应用
典例2
B
(2)(2019·苏州调研)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为___________________.
{x|－1＜x≤1}
函数图象应用的常见题型与求解策略
(1)研究函数性质
①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点分析函数的最值、极值；
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性；
④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)(下一讲研究)．
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
B
1．函数的单调性
对于函数y＝f(x)的定义域内某一区间D上的任意x1，x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0(＜0)?y＝f(x)在区间D上是增(减)函数．
考点三 函数的性质及其应用
2．函数的奇偶性
对于定义域(关于原点对称)内的任意x，f(x)＋f(－x)＝0?y＝f(x)是奇函数；
对于定义域(关于原点对称)内的任意x，f(x)－f(－x)＝0?y＝f(x)是偶函数．
(1)(2020·吉林省重点中学联考)已知二次函数f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，若f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，且f(m)≥f(0)恒成立，则实数m的取值范围是
( )
A．(－∞，0]
B．[0,6]
C．[6，＋∞)
D．(－∞，0]∪[6，＋∞)
典例3
B
C
【解析】 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R，且a≠0)，
∵f(3＋x)＝f(3－x)，∴a(3＋x)2＋b(3＋x)＋c＝a(3－x)2＋b(3－x)＋c，∴x(6a＋b)＝0，∴6a＋b＝0，∴f(x)＝ax2－6ax＋c＝a(x－3)2－9a＋c.
又∵f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，∴a<0，
∴f(x)是以x＝3为对称轴，开口向下的二次函数，
∴由f(m)≥f(0)恒成立，得0≤m≤6，
∴实数m的取值范围[0,6]．故选B．
灵活应用函数的性质解题
(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．
(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．
(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．
(4)对称性：利用其轴对称或中心对称可将研究的问题转化到另一对称区间上研究．
4．(2020·吉林省重点高中第二次月考)已知奇函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上单调递增，若f(cos
x＋cos
2x)＋f(cos
x＋m)≥0对任意的x∈(－∞，＋∞)成立，则实数m的最小值为_____.
03
易错清零
·
免失误
典例1
典例2
【剖析】 f(x＋2)＝x＋2－5＝x－3的应用是错误的，因为x＋2≥6不一定，故解法错误．
典例3
(－∞，2)
【剖析】 忽略x2－5x＋6>0，即忽略函数f(x)的定义域导致错误．
04
真题回放
·
悟高考
D
A
D
B
C
②③ (共63张PPT)
第二部分
专题篇?素养提升(文理)
专题六 函数与导数
第3讲 导数的简单应用与定积分(理科)
1
解题策略
·
明方向
2
考点分类
·
析重点
3
易错清零
·
免失误
4
真题回放
·
悟高考
5
预测演练
·
巧押题
1．高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题的第一问．
2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等偏下，有时综合在解答题中．
(理科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
6
导数的几何意义
5
Ⅱ卷
?
?
?
Ⅲ卷
21(1)
导数的几何意义的应用
6
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
13、20
求切线方程，利用导数研究函数的单调性
17
Ⅱ卷
20
利用导数讨论函数的单调性及公切线问题
12
Ⅲ卷
6、20
导数的几何意义的应用，利用导数讨论函数的单调性及最值问题
17
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2018
Ⅰ卷
5、21(1)
导数的几何意义，讨论函数的单调性
11
Ⅱ卷
13
利用导数的几何意义求切线方程
5
Ⅲ卷
14
利用导数的几何意义求参数的值
5
02
考点分类
·
析重点
1．导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
考点一 导数的几何意义及定积分
2．基本初等函数的导数公式
典例1
C
A
3x－y＋1＝0
(3)由题意得：f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
∴f′(0)＝3，又f(0)＝1，
∴y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为：y－1＝3(x－0)，
即3x－y＋1＝0．
1．求曲线y＝f(x)切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程．
(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
2．利用定积分求平面图形的面积
正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．
B
导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0．
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．
考点二 利用导数研究函数的单调性
典例2
求解或讨论函数单调性问题的解题策略
讨论函数的单调性，其实就是讨论不等式解集的情况，大多数情况下，这类问题可以归纳为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：
(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．
(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
注意 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．
考向2 利用函数的单调性求参数取值(范围)
(1)(2020·厦门模拟)若函数f(x)＝2x2－ln
x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围
是_______
(2)(2019·安庆二模)若函数f(x)＝x2－4ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为____________________.
典例3
(－∞，－2－2ln
2)
(2)因为f(x)＝x2－4ex－ax，所以f′(x)＝2x－4ex－a.由题意，f′(x)＝2x－4ex－a>0，即a<2x－4ex有解．
令g(x)＝2x－4ex，则g′(x)＝2－4ex.
令g′(x)＝0，解得x＝－ln
2．
当x∈(－∞，－ln
2)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递增；
当x∈(－ln
2，＋∞)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递减．
所以当x＝－ln
2时，g(x)＝2x－4ex取得最大值－2－2ln
2，
所以a<－2－2ln
2．
已知y＝f(x)在(a，b)上的单调性求参数范围的方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0恒成立”．
(3)若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，通常转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解．
(1，＋∞)
[e－1，＋∞)
可导函数的极值与最值
(1)若在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．
(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．
考点三 利用导数研究函数的极值与最值
典例4
(1)讨论函数的极值，首先要讨论函数的单调性，一般地，若讨论函数的导数符号可以转化为二次函数符号，且该二次函数能够因式分解，则因式分解后，根据导数对应方程根的大小以及与定义域的相对位置关系分类讨论，若该二次函数不能因式分解，应先根据其对应二次方程根的存在性分类讨论，当Δ>0时，应通过求根公式求出其根．
(2)涉及含参数函数的最值时，也要通过函数的极值点与所给区间的关系分类讨论后确定最值．
3．(2019·漳州二模)已知函数f(x)＝ln
x＋ax－a2x2(a≥0)．
(1)若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
(2)若f(x)<0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．
03
易错清零
·
免失误
典例1
1．混淆“切点”致误
求过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
【错解】 因为y′＝3x2－2，所以k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1．
所以切线方程为：y＋1＝x－1即x－y－2＝0．
【剖析】 错把(1，－1)当切点．
典例2
2．极值的概念不清楚致误
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝______.
【错解】 －7或0
【剖析】 x＝1是f(x)的极值点?f′(1)＝0；忽视了“f′(1)＝0不能得到x＝1是f(x)的极值点”的情况．
－7
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．
综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7．
典例3
3．导数与单调性关系理解不准致误
函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上的增函数，则a的取值范围为________.
04
真题回放
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悟高考
1．(2020·全国卷Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为
( )
A．y＝－2x－1
B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3
D．y＝2x＋1
【解析】 ∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1．故选B．
B
2．(2019·全国卷Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xln
x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则
( )
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
【解析】 ∵y′＝aex＋lnx＋1，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2，∴a＝e－1，
将(1,1)代入y＝2x＋b，得2＋b＝1，即b＝－1．
故选D．
D
3．(2018·全国卷Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为
( )
A．y＝－2x
B．y＝－x
C．y＝2x
D．y＝x
【解析】 因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，
所以f′(0)＝1，f(0)＝0，
所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，
化简可得y＝x，故选D．
D
4．(2019·全国卷Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为___________.
【解析】 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，
所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，
则曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为y＝3x，
即3x－y＝0．
3x－y＝0
5．(2018·全国卷Ⅱ卷)曲线y＝2ln
(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________.
y＝2x
6．(2018·全国卷Ⅲ卷)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝______.
【解析】 y′＝aex＋(ax＋1)ex，
则f′(0)＝a＋1＝－2，
所以a＝－3．
－3 