第四篇
探究新题型，速提分必须掌握的命题新动向
题型1 “战疫”题
情境细盘点
命题大揭秘
类型
2020
1.总体目标:2020年高考数学试题落实立德树人根本任务,贯彻德智体美劳全面发展教育方针,坚持素养导向、能力为重的命题原则,体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用.2.命题载体:用数学模型揭示病毒传播规律,各地有序推进复工复产复学,志愿者参加某超市配货工作为背景设计.3.素材选取:试题重视数学本质,突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用,突出对关键能力的考查.试题展现了我国社会主义建设成就与科学防疫的成果,紧密联系社会实际,设计真实的问题情境,具有鲜明的时代特色.
卷别
题号
背景
揭示病毒传播规律,体现科学防控
Ⅲ
4
以Logistic模型为载体,以科学防控为背景
新高考Ⅰ卷
6
展现中国抗疫成果
新高考Ⅱ卷
9
以折线统计图为载体,复工复产为背景
体现志愿精神
Ⅱ
4
以概率为载体,“战疫”为背景
考向一 揭示病毒传播规律,体现科学防控
【典例1】(2020·全国Ⅲ卷)Logistic
模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t
)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t
约为(ln
19≈3)
( )
A.60
B.63
C.66
D.69
试题情境
以新冠肺炎疫情初始阶段累计确诊病例数的数学模型为背景,考查数学建模及指、对数运算.
学科应用
在揭示病毒传播规律,体现科学防控中从数学的视角发现问题,提出问题,分析问题,建立模型,计算求解,从而解决问题.
关键能力
逻辑思维能力:通过对模型的识别及数据收集、整理、分析,考查学生推理的能力.运算求解能力:通过指、对数的运算,方程的求解,考查数学运算的能力.
考向二 体现志愿精神
【典例2】(2020·全国Ⅱ卷)
在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1
200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1
600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者
( )
A.10名
B.18名
C.24名
D.32名
试题情境
以志愿者参加某超市配货工作为背景设计的数学问题,考查概率的运用.
学科应用
本题从数学角度对志愿者在超市配货工作中的问题进行解读,体现了数学在实际生活中的应用.
关键能力
逻辑思维能力:本题涉及至少需要志愿者的数量,要将订单数和志愿服务的人数联想、推理,要求学生运用所学知识解决实践中遇到的问题.数学建模能力:运用题干提供的数据建立模型进行计算求解.
1.(“战疫”与排列组合)2020年春节永生难忘,突如其来的疫情,让湖北省武汉市陷入风波巨浪的中心.一方有难、八方支援,中国人民万众一心,众志成城,一定能够打赢这场没有硝烟的保卫生命健康之战.某医疗机构医务特勤班有4名医务人员报名参加甲、乙、丙三所医院的应急应聘考试,每人限报一所医院,若这三所医院中每所医院都至少有1名医务人员报考,则这4名医务人员不同的报考方法共有
( )
A.18种
B.81种
C.36种
D.64种
2.(“战疫”与随机抽样)2020年初,我国突发新冠肺炎疫情,疫情期间中小学生“停课不停学”.已知某地区中小学生人数情况如甲图所示,各学段学生在疫情期间“家务劳动”的参与率如乙图所示.为了进一步了解该地区中小学生参与“家务劳动”的情况,现用分层抽样的方法抽取4%小学、初中、高中学段的学生进行调查,则抽取的样本容量、抽取的高中生中参与“家务劳动”的人数分别为
( )
A.2
750,200
B.2
750,110
C.1
120,110
D.1
120,200
3.(“战疫”与回归分析)2020年初,新型冠状病毒引起的肺炎疫情暴发以来,各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某地开始使用中西医结合的方法后,每周治愈的患者人数如表所示:
周数(x)
1
2
3
4
5
治愈人数(y)
2
17
36
103
142
由表格可得y关于x的回归方程为=6x2+a,则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为
( )
A.5
B.-13
C.13
D.0
4.(“战疫”与数列)有关部门往往会采用一个系数K来评估一次疫情蔓延的程度,就是指在无任何干预下,平均一个感染者每天能传播K个人,若K=3,则一个感染者传播3亿人至少需要经过(lg3≈0.477,lg2≈0.301)
( )
A.8天
B.12天
C.15天
D.18天
5.(“战疫”与解三角形)2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国,作为主要战场的武汉,仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院,再次体现了中国速度.随着疫情发展,某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院,其占地是一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400
m的等腰三角形组成的图形(如图所示),为使占地面积最大,则等腰三角形的底角为
( )
A.
B.
C.
D.
6.(“战疫”与概率)现有三张识字卡片,分别写有“抗”“疫”“情”这三个字.将这三张卡片随机排序,则能组成“抗疫情”的概率是________.?
7.(“战疫”与线性规划)2020年春节期间,因新冠肺炎疫情防控工作需要,某中学需要安排男教师x名,女教师y名做义工,x和y需满足条件则该校最多安排教师______人.?
8.(“战疫”与统计案例)疫情无情人有情,为了响应国家“不出门,不串门,不聚餐”的号召,自疫情发生以来,学生主要在家学习,此时学习积极性显得至关重要,为了了解学生的学习积极性和观看电视节目的相关性,对某班50名学生的学习积极性和观看电视节目情况进行了调查,得到的统计数据如表所示.
学习积极性高
学习积极性一般
总计
不观看电视节目
28
观看电视节目
17
总计
25
50
(1)请把表格数据补充完整,并运用独立性检验的思想方法,判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与是否观看电视节目有关系?
(2)若从不观看电视节目的28人中按照学习积极性进行分层抽样,抽取7人,再从这7人中随机选取2人作为代表发言,求恰有1人学习积极性高的概率.
第四篇 探究新题型,速提分必须掌握的命题新动向
题型1 “战疫”题
///真题再研析·提升审题力///
考向一
【典例1】C 因为I(t)=,
所以I(t
)==0.95K,
则=19,所以0.23(t
-53)=ln
19≈3,
解得t
≈+53≈66.
考向二
【典例2】B (1
600+500-1
200)÷50=18(名).
///高考演兵场·检验考试力///
1.C 据题意知,所求不同的报考方法数m==36(种).
2.C 由题意得,抽取的样本容量为(15
500+7
500+5
000)×4%=1
120,抽取的高中生中参与“家务劳动”的人数为5
000×4%×0.55=110.
3.C 设t=x2,则==11,==60,
a=60-6×11=-6,所以=6x2-6.令x=4,得e4=y4-4=103-6×42+6=13.
4.C 设第一天感染人数为a1=4,第n天感染的人数为an,
则an=an-1+an-1×3?=4(n≥2),
所以an=4×4n-1>3×108,
两边取对数得:nlg
4>lg
3+8,解得:n>14.08,
所以一个感染者传播3亿人至少需要经过15天.
5.D 设顶角为α,由三角形的面积公式可得4个等腰三角形的面积和为4××400×400sin
α,由余弦定理可得正方形边长为=400,
故正方形面积为160
000(2-2cos
α)=320
000(1-cos
α),
所以所求占地面积为320
000(1-cos
α+sin
α)=320
000,
所以当α-=,即α=时,占地面积最大,此时底角为=.
6.【解析】由题得“抗”“疫”“情”这三个字的排列有:抗疫情,抗情疫,疫抗情,疫情抗,情抗疫,情疫抗,共有6种,其中,组成“抗疫情”的只有1种.故能组成“抗疫情”的概率是P=.
答案:
7.【解析】由于x和y需满足约束条件画出可行域为:
对于需要求该校安排的教师人数最多,目标函数为z=x+y,
得y=-x+z,
则题意转化为:在可行域内任意取x,y且为整数,
使得目标函数的斜率为定值-1,截距最大时的直线为过的交点,
因为x<6,所以当直线z=x+y经过点A时,z取最大值,即zmax=5+5=10.
答案:10
8.【解析】(1)根据题意,补充列联表如下;
学习积极性高
学习积极性一般
总计
不观看电视节目
20
8
28
观看电视节目
5
17
22
总计
25
25
50
根据表中数据,计算K2的观测值k==
≈11.688>10.828,
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与是否观看电视节目有关系;
(2)由题意知抽样比例为=,
所以抽取的7人中,学习积极性高的有=5人,记为a、b、c、d、e,
学习积极性一般的有7-5=2人,记为F、G,
从这7人中随机选取2人,基本事件为:
ab、ac、ad、ae、aF、aG、bc、bd、be、bF、bG、cd、ce、cF、cG、de、dF、dG、eF、eG、FG共21种,其中恰有1人学习积极性高的基本事件为:aF、aG、bF、bG、cF、cG、dF、dG、eF、eG共10种,故所求的概率值为P=.
PAGE题型2 数学文化试题
情境细盘点
命题大揭秘
类型
2019
2020
1.总体目标:“体现数学的文化价值”是高中数学课程的十项基本理念之一,彰显数学的悠久历史、数学家们的创新精神和数学的美学价值.2.命题载体:2020年高考试题继续创新情境,以优秀传统文化的真实情境为载体,凸显综合性和应用性.3.素材选取:2020年高考数学试题在数学文化试题情境创设合理,真实;试题呈现方式和设问方式新颖,要求考生主动思考,发现新问题、找到新规律、得出新结论.
卷别
题号
背景
卷别
题号
背景
传统文化
Ⅰ
6
《周易》中的“卦”
Ⅰ
3
胡夫金字塔
Ⅱ
16
金石文化
Ⅱ
3
钢琴
Ⅲ
4
四大名著
Ⅲ
考向一 渗透中国传统文化
【典例1】(2020·全国Ⅱ卷)
北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)
( )
A.3
699块
B.3
474块
C.
3
402块
D.3
339块
试题情境
以北京天坛的圜丘坛的石板数为背景考查等差数列.
学科应用
在中国传统文化的实际情境中从数学的视角发现问题,提出问题,分析问题,建立模型,计算求解,从而解决问题.
关键能力
数学建模能力:运用提供的情境建立等差数列求和模型.逻辑思维能力:通过对北京天坛的圜丘坛的石板数的数据收集、整理、分析,考查学生推理的能力.运算求解能力:通过等差数列通项公式及前n项和的运算,考查数学运算的能力.
考向二 渗透外国文化
【典例2】(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
( )
A.
B.
C.
D.
试题情境
以埃及胡夫金字塔为背景考查正四棱锥的有关概念及计算.
学科应用
本题从数学角度对胡夫金字塔的问题进行解读.关注正四棱锥的有关概念及计算,体现了数学文化在数学中的应用.
关键能力
数学运算能力:本题求解三角形底边上的高与底面正方形的边长的比,考查学生运算的能力.数学建模能力:运用提供的情境建立正四棱锥的几何模型.
1.(数学名家)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤.只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日”.其大意为:“官府陆续派遣1
864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始,每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每天分发大米3升,共发出大米40
392升,问修筑堤坝多少天”.这个问题中,前5天应发大米
( )
A.894升
B.1
170升
C.1
275米
D.1
467米
2.(九连环)九连环是中国杰出的益智游戏.九连环由九个相互连接的环组成,这九个环套在一个中空的长形柄中,九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来,规则如下:如果要解下(或安上)第n环,则第(n-1)号环必须解下(或安上),n-1往前的都要解下(或安上)才能实现.记解下n连环所需的最少移动步数为an,已知a1=1,a2=2,an=an-1+2an-2+1(n≥3),则解六连环最少需要移动圆环步数
( )
A.42
B.85
C.256
D.341
3.(数学名著)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为
( )
A.65
B.184
C.183
D.176
4.(牟合方盖)《九章算术》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图).现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法.显然,正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球.因此,用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”,截面均为正方形,该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆.结合祖暅原理,两个同高的立方体,如在等高处的截面积相等,则体积相等;若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为
( )
A.
B.2π
C.
D.π
5.(中式园林)窗的运用是中式园林设计的重要组成部分,常常运用象征、隐喻、借景等手法,将民族文化与哲理融入其中,营造出广阔的审美意境.从窗的外形看,常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形P1P2…P8的中心,P1P8⊥x轴,现用如下方法等可能地确定点M:点M满足2++=0(其中1≤i,j≤8,且i,j∈N
,i≠j),则点M(异于点O)落在坐标轴上的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
6.(龙门石窟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,每上层的数量是下层的2倍,总共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列,则log2的值为
( )
A.8
B.10
C.12
D.16
7.(二十四节气)中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶,“二十四节气”歌是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗,2016年11月30日,“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产,也被誉为“中国的第五大发明”.某小学三年级共有学生500名,随机抽查100名学生并提问“二十四节气”歌,只能说出两句的有45人,能说出三句及其以上的有32人,据此估计该校三年级的500名学生中,对“二十四节气”歌只能说出一句或一句也说不出的大约有
( )
A.69人
B.84人
C.108人
D.115人
8.(中古玉器)玉琮是中国古代玉器中重要的礼器,神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器,1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高8.8
cm,孔径4.9
cm,外径17.6
cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图.兽面的两侧各浅浮雕鸟纹.器形呈扁矮的方柱体,内圆外方,上下端为圆面的射,中心有一上下垂直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位:cm3)( )
A.6
250
B.3
050
C.2
850
D.2
350
9.(良渚古城遗址)中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,证实了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·(N0表示碳14原有的质量),则经过5
730年后,碳14的质量变为原来的________;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至,据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5
730年之间.(参考数据:log23≈1.6,log25≈2.3)?
10.(进位制)国际数学教育大会(ICME)是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议,第十四届大会将在上海召开,其会标如图,包含着许多数学元素.主画面是非常优美的几何化的中心对称图形,由弦图、圆和螺线组成,主画面标明的ICME-14下方的“? ? ? ?”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3
744,也可以读出其二进制码11111100100,换算成十进制的数是n,则=______.?
题型2 数学文化试题
///真题再研析·提升审题力///
考向一
【典例1】C 设每一层有n环,由题可知从内到外每环的扇面形石板数之间构成等差数列,且公差d=9,首项a1=9,由等差数列的性质可知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且-=n2d,
由题意得9n2=729,
所以n=9,则三层共有扇面形石板为S3n=S27=27a1+×9=3
402(块).
考向二
【典例2】C 如图,设CD=a,PE=b,
则PO==,
由题意PO2=ab,即b2-=ab,化简得4-2·-1=0,解得=(负值舍去).
///高考演兵场·检验考试力///
1.B 因为第一天派出64人,从第二天开始,每天派出的人数比前一天多7人,所以第5天派出:64+4×7=92人,所以前5天共派出S5==390(人),所以前5天应发大米:390×3=1
170(升).
2.A 由题意可得:a3=a2+2a1+1=2+2+1=5,a4=a3+2a2+1=5+4+1=10,a5=a4+2a3+1=10+
10+1=21,a6=a5+2a4+1=21+20+1=42.
3.B 由题意可得,8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列,且前8项和为996,设首项为a1,结合等差数列前n项和公式有:S8=8a1+d=8a1+28×17=996,解得:a1=65,则a8=a1+7d=65+7×17=184.即第八个孩子分得斤数为184.
4.A 依题意,任意水平面与“牟合方盖”及其内切球相交的截面为正方形和一个正方形的内切圆,正方形和内切圆的面积比为4∶π,由祖暅原理,“牟合方盖”的体积和内切球的体积比为4∶π,又正方体的棱长为2,所以其内切球的半径为1,所以内切球体积为π,故“牟合方盖”的体积为.
5.D 因为确定一个需从8个向量(1≤i≤8)中任取两个有=28种取法,用列举法得使点M(异于点O)落在坐标轴上的取法与结合的有,两个,由于每个向量都对应两个,但重复一次,所以共有=8种,则点M落在坐标轴上的概率为=.
6.C 因为最下层的“浮雕像”的数量为a1,依题有:公比q=2,n=7,S7==
1
016,解得a1=8,则an=8×2n-1=2n+2,所以a3=25,a5=27,从而a3·a5=25×27=212,所以log2=log2=12.
7.D 由题意,100人中只能说出一句或一句也说不出的同学有100-45-32=23人,故只能说出一句或一句也说不出的学生占的比例为,故只能说出一句或一句也说不出的学生共有500×=115人.
8.D 由题可知,该神人纹玉琮王可看成是一个底面边长为17.6
cm,高为8.8
cm的正四棱柱中挖去一个底面直径为4.9
cm,高为8.8
cm的圆柱,此时求得体积记为V1,V1=×8.8-π××8.8≈2560(cm3),
记该神人纹玉琮王的实际体积为V,则Vπ××8.8-π××8.8≈1
975(cm3),故
1
975560.
9.【解析】因为文物样本中碳14的质量N与时间t之间的函数关系式为:
N=N0·;t=5
730时,N=N0·2-1=;
所以每经过5
730年衰减为原来的;
由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至,所以≤≤;
两边同时取以2为底的对数,得:-1≤-≤(log23-log25)=-0.7.
所以4
011≤t≤5
730;
故推测良渚古城存在的时期距今约在4
011年到5
730年之间.
答案: 4
011
10.【解析】由题意将八进制数3
744换算成十进制的数得:4×80+4×81+7×82+3×83=2
020,
所以====-1.
答案:-1
PAGE题型3 数学中的五育
情境细盘点
命题大揭秘
类型
2019
2020
1.总体目标:数学高考试题关注数学文化育人的价值,重视全面育人的要求,发挥数学学科高考在深化中学课程改革、全面提高教育质量上的引导作用.坚持立德树人,倡导五育并举.2.命题载体:2020年高考试题继续创新情境,试题多以图、表、文并用的方式呈现,经常与“五育”结合,与社会热点结合,与生产、生活实际结合,与科学技术结合.3.素材选取:2020年高考数学许多试题在素材选取上源于社会实际和学生的真实生活,拓展试题情境来源,创设合理、真实的问题情境;设置新颖的试题呈现方式和设问方式,要求考生主动思考,发现新问题、找到新规律、得出新结论.
卷别
题号
背景
卷别
题号
背景
五育并举
Ⅰ
4
断臂维纳斯
新高考Ⅰ卷
5
体育锻炼
Ⅰ
15
篮球比赛
Ⅰ
19
羽毛球比赛
Ⅱ
5
演讲比赛
Ⅱ
14
垃圾分类宣传
Ⅱ
18
乒乓球比赛
Ⅱ
18
生态环境改变
Ⅲ
16
劳动实践
新高考Ⅰ卷
15
劳动学习
考向一 发挥学科特点,展现德育要求
【典例1】(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有__________种.?
试题情境
以垃圾分类宣传为背景考查排列组合.
学科应用
从实际情境中用数学的视角发现问题,提出问题,分析问题,建立模型,计算求解,从而解决问题.
关键能力
逻辑思维能力:通过对宣传活动安排方法的分析,考查学生推理的能力.运算求解能力:通过计算排列、组合数问题,考查数学运算的能力.
考向二 合理创设情景,体现体育教育
【典例2】(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为,
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
试题情境
以羽毛球比赛为背景考查概率知识的运用.
学科应用
本题从以参赛人的获胜概率设问,重在考查逻辑思维能力,对事件进行分析、分解和转化的能力,以及对概率的基础知识,特别是古典概率模型、事件的关系和运算、事件独立性等内容的掌握.
关键能力
运算求解能力:本题设置的情境为比赛获胜的概率,概率公式的应用与计算,考查学生运算的能力.逻辑思维能力:学生要对获胜的情况进行分类分析,结合实际生活,解决实践中遇到的问题.
1.(体育)某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程,收集并整理了2020年1月至2020年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位:公里)的数据,绘制了下面的折线图.根据折线图,下列结论正确的是( )
A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B.月跑步平均里程逐月增加
C.月跑步平均里程高峰期大致在8,9月
D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳
2.(德育)“关注夕阳、爱老敬老”——某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x年(2013年是第一年)与捐赠的现金y(万元)的对应数据,由此表中的数据得到了y关于x的线性回归方程=mx+0.35,则预测2021年捐赠的现金大约是
( )
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
A.5万元
B.5.2万元
C.6.65万元
D.5.5万元
3.(德育)某中学拟举行“长征英雄事迹我来讲”主题活动,用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取一个容量为50的样本,已知高三年级有750名学生,高二年级有850名学生,高一年级有900名学生,则高一年级抽取的学生人数为
( )
A.15
B.17
C.18
D.21
4.(体育)珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行,珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻,气候恶劣,通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量仪器,采用了分段测量的方法,从山脚开始,直到到达山顶,再把所有的高度差累加,就会得到珠峰的高度.2020年5月,中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.在测量过程中,已知竖立在B点处的测量觇标高10米,攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°,80°,则A,B的高度差约为(参考数据:sin
70°≈0.94)
( )
A.10米
B.9.72米
C.9.40米
D.8.62米
5.(智育)新高考方案规定,普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考).其中“选择考”成绩将计入高考总成绩,即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数,由高到低进行排序,评定为A,B,C,D,E五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍,为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况,统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果,得到统计图:
针对该校“选择考”情况,2018年与2016年比较,下列说法正确的是( )
A.获得A等级的人数减少了
B.获得B等级的人数增加了1.5倍
C.获得D等级的人数减少了一半
D.获得E等级的人数相同
6.(德育)袋子中有四张卡片,分别写有“学、习、强、国”四个字,有放回地从中任取一张卡片,将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件A,用随机模拟的方法估计事件A发生的概率,利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“学、习、强、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
232
321
210
023
123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
103
233
由此可以估计事件A发生的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
7.(美育)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同,则区域不同涂色的方法种数为
( )
A.360
B.400
C.420
D.480
8.(美育)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴,一般情况下,折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为≈0.618(黄金分割比)时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的度数约为( )
A.127.50°
B.137.50°
C.147.50°
D.150.50°
9.(智育)2016年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议,正式开始实施.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,给出下列式子:①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③<;④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是
( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
10.(体育)《少年中国说》是清朝末年梁启超所作的散文,写于戊戌变法失败后的1900年,文中极力歌颂少年的朝气蓬勃,其中“少年智则国智,少年富则国富;少年强则国强,少年独立则国独立”等优秀文句激励一代又一代国人强身健体、积极竞技.2018年,甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如表:
甲
乙
丙
丁
平均环数x
8.5
8.8
8.8
8
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.5
则参加运动会的最佳人选应为________.?
11.(社会实践)劳动最光荣.某班在一次劳动教育实践活动中,准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃,则恰好选中2名男生的概率为________.?
12.(社会实践)现有一个圆锥形的钢锭,底面半径为3,高为4.某工厂拟将此钢锭切割加工成一个圆柱形构件,并要求将钢锭的底面加工成构件的一个底面,则可加工出该圆柱形构件的最大体积为________.?
题型3 数学中的五育
///真题再研析·提升审题力///
考向一
【典例1】【解析】因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,
所以先取2名同学看作一组,选法有=6(种),
现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有:=6(种),
根据分步乘法计数原理,可得不同的安排方法有6×6=36(种).
答案:36
考向二
【典例2】【解析】(1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束,共有三种情况:
甲连胜四场的概率为;
乙连胜四场的概率为;
丙上场后连胜三场的概率为.所以需要进行第五场比赛的概率为1---=.
(3)丙最终获胜,有两种情况:
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为.
比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为,,.因此丙最终获胜的概率为+++=.
///高考演兵场·检验考试力///
1.D 由折线图知,月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数;月跑步平均里程不是逐月增加的;月跑步平均里程高峰期大致在9,10月份,故A,B,C错.本题选择D选项.
2.C 样本点的中心的坐标为(4.5,3.5),代入=mx+0.35,得3.5=4.5m+0.35,即m=0.7,所以=0.7x+0.35,取x=9,得=0.7×9+0.35=6.65,预测2021年捐赠的现金大约是6.65万元.
3.C 设高一年级抽取的学生人数为x,则=,解得x=18.所以高一年级抽取的学生人数为18.
4.C
根据题意画出如图的模型,
则CB=10,∠OAB=70°,∠OAC=80°,
所以∠CAB=10°,∠ACB=10°,
所以AB=10,
所以在Rt△AOB中,BO=10sin
70°≈9.4(米).
5.B 设2016年参加“选择考”x人,则2018年参加“选择考”2x人,根据图得出两年各个等级的人数如表所示:
年份
A
B
C
D
E
2016
0.28x
0.32x
0.30x
0.08x
0.02x
2018
0.48x
0.8x
0.56x
0.12x
0.04x
由图可知A,C,D选项错误,B选项正确,故选B.
6.C 18组随机数中,事件A发生的随机数有:210,021,001,130,031,103,共
6个,
所以估计事件A发生的概率为P==.
7.C 根据题意,5个区域依次为A,B,C,D,E,如图,
分4步进行分析:①对于区域A,有5种颜色可选,
②对于区域B,与A区域相邻,有4种颜色可选;③对于区域C,与A,B区域相邻,有3种颜色可选;
④对于区域D,E,若D与B颜色相同,E区域有3种颜色可选,若D与B颜色不相同,D区域有2种颜色可选,E区域有2种颜色可选,则区域D,E有3+2×2=7种选择,则不同的涂色方案有5×4×3×7=420种.
8.B 由题意知,S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比,设S1与S2所在扇形圆心角分别为α,β,则=≈0.618,
又α+β=360°,所以α+≈360°,解得α≈137.50°.
9.C 对于①,由图可知a2>a1,c2>c1,
则a2+c2>a1+c1,所以①错误;
对于②,由椭圆几何性质可知=a1-c1,=a2-c2,
即a1-c1=a2-c2,所以②正确;
对于③,由②可知,a1-c1=a2-c2.
所以a1+c2=a2+c1.两边同时平方可得=,
展开得+2a1c2+=+2a2c1+,
移项变形可得-+2a1c2=-+2a2c1,
根据椭圆的性质可知-=,-=b2,
所以+2a1c2=+2a2c1,因为b1所以a1c2>a2c1,两边同时除以a1a2,可得>,所以③正确.
对于④,由③可知a1c2>a2c1,所以④错误.
综上可知,正确的为②③.
10.【解析】首先分析平均环数可知,乙丙最大,同时丙的方差最小,可知丙的成绩较为稳定,故选丙.
答案:丙
11.【解析】由题意得:从5名学生中选出2名学生,共有=10种选法;
从3名男生选出2名男生,共有=3种选法,故可得恰好选中2名男生的概率为:=.
答案:
12.【解析】设该圆锥内接圆柱的底面半径为x,高为h,则=,即h=4-x,
所以内接圆柱的体积V=πx2(4-x)=4π,
所以V′=4π(2x-x2),令V′=0,解得x=2或x=0(舍去),
当00,当x>2时,V′<0,
所以V=4π在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故当x=2时,Vmax=.
答案:
PAGE题型4 数学阅读与信息整理
情境细盘点
命题大揭秘
类型
2019
2020
1.总体目标:2020年的高考试题将数学关键能力与“理性思维、数学应用、数学探究、数学文化”的学科素养统一在理性思维的主线上,强化数学阅读与信息整理.2.命题载体:2020年高考试题继续创新情境,以反映我国社会主义建设的成果和科研成果为载体,凸显综合性和应用性.3.素材选取:2020年高考数学许多试题在素材选取上源于社会实际和学生的真实生活,拓展试题情境来源,设置新颖的试题呈现方式和设问方式,要求考生主动思考,发现新问题、找到新规律、得出新结论.
卷别
题号
背景
卷别
题号
背景
数学阅读
Ⅰ
4
断臂维纳斯
新高考Ⅰ
12
信息熵
Ⅱ
4
嫦娥四号月球软着陆
Ⅱ
12
周期序列的自相关性
Ⅲ
3
四大名著
信息整理
Ⅰ
21
白鼠实验
新高考Ⅰ
19
环境保护
Ⅱ
18
乒乓球比赛
Ⅱ
18
沙漠环境改善
Ⅲ
17
小鼠实验
Ⅲ
18
空气质量状况和在公园进行体育锻炼
考向一 数学阅读
【典例1】(2020·全国Ⅱ卷)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…an…,C(k)=aiai+k(k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是
( )
A.11010…
B.11011…
C.10001…
D.11001…
试题情境
以周期序列的自相关性为背景,要求判断试题给出的四个周期序列是否满足题设条件.
学科应用
主要考查学生对新概念的理解、探究能力.考查学生数学阅读的能力,对培养学生的创新应用意识起到积极引导作用.
关键能力
逻辑思维能力:通过对周期序列的自相关性数据收集、整理、分析,考查学生逻辑推理能力.运算求解能力:通过分类求解序列号,考查学生数学运算能力.
考向二 信息整理
【典例2】(2020·全国Ⅱ卷)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得xi=60,yi=1
200,(xi-)2=80,(yi-)2=9
000,(xi-)(yi-)=800.
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);
(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);
(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
附:相关系数r=,≈1.414.
试题情境
以沙漠治理为背景设计,考查学生分析和解决问题的能力、数据处理的能力,以及应用数学模型分析解决实际问题的能力.
学科应用
试题通过建立数学模型,考查学生整理和分析信息的能力.
关键能力
数学建模能力:重点考查学生对概率统计基本思想、基本统计模型的理解和运用.运算求解能力:本题设置了对动物数量的估计值、相关系数的求解,重在考查学生运算求解的能力.逻辑思维能力:根据对野生动物数量更准确的估计,确定合理的抽样方案,培养学生逻辑推理能力.
1.(螺旋蚊香)原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载:“端午时,收贮浮萍,阴干,加雄黄,作纸缠香,烧之,能祛蚊虫.”如图,为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”,画法如下:在水平直线l上取长度为1的线段AB,作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D,再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,以此类推,当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有21个交点时,“螺旋蚊香”的总长度的最小值为
( )
A.310π
B.340π
C.930π
D.1
020π
2.(5G技术)中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2.它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比从1
000提升至4
000,则C大约增加了
( )
附:lg
2≈0.301
0
A.10%
B.20%
C.50%
D.100%
3.(病毒学)1943年,我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”,这一研究成果,使病毒在试管内繁殖成为现实,从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数y和天数t的函数关系为:y=2t-1,且该种病毒细胞的个数超过108时会发生变异,则该种病毒细胞实验最多进行的天数为
( )
(lg
2≈0.301
0)
A.25
B.26
C.27
D.28
4.(旅游纪念)甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游,当地有A,B,C,D,E,F六种手工纪念品,他们打算每人买一种,甲说:只要不是A就行;乙说:C,D,E,F都行;丙说:我喜欢C,但是只要不是D就行;丁说:除了C,E之外,其他的都可以.据此判断,他们四人可以共同买的手工纪念品为________.?
5.(信息安全)为了保证信息的安全传输,有一种为秘密密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文
( )
A.4
B.6
C.8
D.9
6.(瓷器)中国是世界上最古老的文明中心之一,中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器,中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,陶瓷形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的焦距为
( )
A.8
cm
B.2
cm
C.4
cm
D.4
cm
7.(粒子运动)如图,一个粒子从原点出发,在第一象限和两坐标轴正半轴上运动,在第一秒时它从原点运动到点,接着它按图所示在y轴、x轴的垂直方向上来回运动,且每秒移动一个单位长度,那么,在2
018秒时,这个粒子所处的位置在点________.?
8.(学习强国)“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员,面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态,紧跟时代脉博的热门APP,某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况,从全市抽取2
000名人员进行调查,统计他们每周利用“学习强国”的时长,如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数;
(2)宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况,准备采用分层抽样的方法从和组中抽取50人了解情况,则两组各抽取多少人?再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会.现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言,求组中至少有1人发言的概率.
题型4 数学阅读与信息整理
///真题再研析·提升审题力///
考向一
【典例1】
C 由ai+m=ai知,序列ai的周期为m,由已知,m=5,
C(k)=aiai+k(k=1,2,3,4),对于选项A,
C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(1+0+0+0+0)=≤,
C(2)=aiai+2=(a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7)=(0+1+0+1+0)=,不满足;对于选项B,
C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(1+0+0+1+1)=,不满足;对于选项D,
C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(1+0+0+0+1)=,不满足.
考向二
【典例2】【解析】(1)样区这种野生动物数量的平均数为yi=×1
200=60,
地块数为200,该地区这种野生动物数量的估计值为200×60=12
000.
(2)样本(xi,yi)的相关系数r===≈0.94.
(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.
理由如下:由(2)知各地块的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的办法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
///高考演兵场·检验考试力///
【数学阅读】
1.A 当以B为圆心,半径为:1,4,7,10,…①
当以C为圆心,半径为:2,5,8,11,…②
当以A为圆心,半径为:3,6,9,12,…③
所以当“螺旋蚊香”与直线l恰有21个交点时,若使“螺旋蚊香”的总长度最小,
则完成整数个循环,所以以B为圆心的弧与直线只有交点A(其余的与以A为圆心的弧与直线交点重合),以C为圆心的弧与直线10个交点,以A为圆心的弧与直线有10个交点,即数列②有10项,数列③有10项,
所以最后一个圆弧的半径为r=3+3(10-1)=30,
所以“螺旋蚊香”的总长度的最小值为l=×2π×=×2π=310π.
2.B 当=1
000时,C≈Wlog21
000,当=4
000时,C≈Wlog24
000,因为==≈≈1.2,
所以将信噪比从1
000提升至4
000,则C大约增加了20%.
3.C 令y=2t-1=108,故t-1=log2108=8log210,即t=8log210+1=8+1≈27.6,
故该种病毒细胞实验最多进行的天数为27.
4.【解析】甲可以选择的手工纪念品的集合为:{B,C,D,E,F},乙可以选择的手工纪念品的集合为{C,D,E,F},丙可以选择的手工纪念品的集合为{A,B,C,E,F},丁可以选择的手工纪念品的集合为{A,B,D,F},这四个集合的交集中只有元素F,故答案为F.
答案:F
【信息整理】
5.D 由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意得2=4α,解得α=,则y=,由=3,得x=9.
6.C 根据椭圆的定义,得到:2a=8,解得a=4,2b=4,解得b=2,
所以c==2,所以焦距2c=4(cm).
7.【解析】如图,设粒子运动到A1,A2,…,An时所用的时间分别为a1,a2,…,an,
则a1=2,a2=6,a3=12,a4=20,…,an-=2n,
将a2-a1=2×2,a3-a2=2×3,a4-a3=2×4,…,an-=2n相加得:an-a1=2(2+3+4+…+n)=n2+n-2,则an=n(n+1),由44×45=1
980,故运动了1
980秒时它到点A44(44,44),
又由运动规律知:A1,A2,…,An中,奇数点处向下运动,偶数点处向左运动,故粒子到达A44(44,44)时向左运动38秒,即运动了2
018秒到达点(6,44),则所求点应为(6,44).
答案:
8.【解析】(1)设被抽查人员利用“学习强国”的平均时长为,中位数为y,
=0.05×1+0.1×3+0.25×5+0.3×7+0.15×9+0.1×11+0.05×13=6.8,0.05+
0.1+0.25+0.15×=0.5,解得y=,即被抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8,中位数为.
(2)组的人数为2
000×0.15=300,设抽取的人数为a,组的人数为2
000×0.1=200,设抽取的人数为b,则==,解得a=30,b=20,
所以在和两组中分别抽取30人和20人,再抽取5人,两组分别抽取3人和2人,将组中被抽取的工作人员标记为A1,A2,A3,将中的标记为B1,B2.
设事件C表示从组中至少抽取1人,则抽取的情况如下:{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},
{B1,B2},共10种情况,
其中在组中至少抽取1人的情况有7种,则P=.
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