巧用5招秒杀选择题、填空题
妙招1 特值(例)法
特值(例)法是根据题设和各选项的具体情况和特点，选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等，针对各选项进行代入对照，从而得到正确答案的方法．
(1)使用前提：满足当一般性结论成立时，对符合条件的特殊情况也一定成立．
(2)使用技巧：找到满足条件的合适的特殊例子，有时甚至需要两个或两个以上的特殊例子才可以确定结论．
(3)常见问题：求范围，比较大小，含字母求值或区间，恒成立问题，任意性问题等．
真题示例
技法应用
(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( )A．cos
2α＞0
B．cos
2α＜0C．sin
2α＞0
D．sin
2α＜0
当α＝－时，cos
2α＝0，sin
2α＝－1，排除A，B，C．选D
(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，
则球O的体积为( )A．8π
B．4πC．2π
D．π
如图所示，构造边长为的正方体PBJA?CDHG，显然满足题设的一切条件，则球O就是该正方体的外接球，从而体积为π.选D
妙招2 排除法
学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确选项.排除法就是通过观察分析或推理运算题目提供的信息或通过特例，对错误的选项逐一剔除，从而获得正确选项的方法.
?1?使用前提：四个选项中有且只有一个正确答案，适用于定性型或不易直接求解的选择题.
?2?使用技巧：当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选.它与特值?例?法、验证法等常结合使用.
?3?常见问题：函数图象的判别，不等式，空间线面位置关系等不宜直接求解的问题.
真题示例
技法应用
(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图象大致为( )A BC D
由函数解析式易知函数为奇函数，故可排除C，再取特殊值x＝4，可排除D，取特殊值x＝6，可排除A．选B
妙招3 验证法
验证法是把选项代入题干中进行检验，或反过来从题干中找合适的验证条件，代入各选项中进行检验，从而可否定错误选项，得到正确选项的方法.
?1?使用前提：选项中存在唯一正确的答案.
?2?使用技巧：可以结合特值?例?法、排除法等先否定一些明显错误的选项，再选择直觉认为最有可能的选项进行验证，这样可以快速获取答案.
?3?常见问题：题干信息不全，选项是数值或范围，正面求解或计算繁琐的问题等.
真题示例
技法应用
(2020·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝( )A．?B．{－3，－2,2,3}C．{－2,0,2}D．{－2,2}
验证元素－3?A，排除选项B；验证元素－2∈A且－2∈B，排除选项A；验证元素0?B，排除选项C，故选D
(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A．[－2,2]
B．[－1,1]C．[0,4]
D．[1,3]
当x＝4时，f(x－2)＝f(2)＜f(1)＝－1，不符合题意，当x＝3时，f(x－2)＝f(1)＝－1，符合题意．选D
妙招4 构造法
构造法是一种创造性的解题方法，它很好地体现了数学中的发散、类比、转化思想．利用已知条件和结论的特殊性构造函数、数列、方程或几何图形等，从而简化推理与计算过程，使较复杂的或不易求解的数学问题得到简捷解答．
构造法来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经类似的问题中找到构造的灵感．
(1)使用前提：所构造的函数、方程、图形等要合理，不能超越原题的条件限制．
(2)使用技巧：对于不等式、方程、函数问题常构造出新函数，对于不规则的几何体常构造成规则几何体处理．
(3)常见问题：比较大小，函数与导数问题，不规则的几何体问题等．
真题示例
技法应用
(2020·全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )A．a>2b B．a<2bC．a>b2
D．a构造函数f(x)＝2x＋log2x，易知f(x)在(0，＋∞)单调递增，从而易证f(a)＜f(2b)，从而a＜2b.选B
(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A． B．C．
D．
在长方体ABCD?A1B1C1D1的平面ABB1A1的一侧再补填一个完全一样的长方体ABC2D2?A1B1B2A2，研究△AB2D1即可．选C
(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)
根据题意构造新函数g(x)＝，求导研究函数g(x)的性质，进而得到答案．选A
妙招5 估算法
因为选择题提供了唯一正确的答案，解答又不需提供过程，所以可以通过猜测、合理推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次.估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷.
?1?使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值?例?法结合起来使用.
?2?使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.
?3?常见问题：求几何体的表面积、体积，三角函数的求值，求离心率，求参数的范围等.
真题示例
技法应用
(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105
cm，头顶至脖子下端的长度为26
cm，则其身高可能是( )A．165
cm B．175
cm
C．185
cm
D．190
cm
头顶至脖子下端的长度为26
cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42
cm，肚脐至足底的长度小于110
cm，则该人的身高小于178
cm.又由肚脐至足底的长度大于105
cm，可得头顶至肚脐的长度大于65
cm，则该人的身高大于170
cm.选B
(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D?ABC体积的最大值为( )A．12
B．18C．24
D．54
等边三角形ABC的面积为9，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4,8)，所以×9×4＜V三棱锥D?ABC＜×9×8，即12＜V三棱锥D?ABC＜24.选B
妙用8个二级结论巧解高考题
结论1 奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
[链接高考]
1．(2012·全国新课标卷)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
2 [显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min
＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]
结论2 函数周期性问题
已知定义在R上的函数f?x?，若对任意的x∈R，总存在非零常数T，使得f?x＋T?＝f?x?，则称f?x?是周期函数，T为其一个周期，常见的与周期函数有关的结论如下：
?1?如果f?x＋a?＝－f?x??a≠0?，那么f?x?是周期函数，其一个周期T＝2a.
?2?如果f?x＋a?＝?a≠0?，那么f?x?是周期函数，其一个周期T＝2a.
?3?如果f?x＋a?＋f?x?＝c?a≠0?，那么f?x?是周期函数，其一个周期T＝2a.
?4?如果f?x?＝f?x＋a?＋f?x－a??a≠0?，那么f?x?是周期函数，其一个周期T＝6a.
[链接高考]
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
C [∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C．]
结论3 函数图象的对称性
已知函数f?x?是定义在R上的函数.
?1?若f?a＋x?＝f?b－x?恒成立，则y＝f?x?的图象关于直线x＝对称，特别地，若f?a＋x?＝f?a－x?恒成立，则y＝f?x?的图象关于直线x＝a对称.
?2?若f?a＋x?＋f?b－x?＝c，则y＝f?x?的图象关于点中心对称.特别地，若f?a＋x?＋f?a－x?＝2b恒成立，则y＝f?x?的图象关于点?a，b?中心对称.
[链接高考]
3．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln
x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)单调递增
B．f(x)在(0,2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
C [f(x)的定义域为(0,2)．
f(x)＝ln
x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．
设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又y＝ln
u在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
∴选项A，B错误．
∵f(x)＝ln
x＋ln(2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确．
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln
x]＋[ln
x＋ln(2－x)]＝2[ln
x＋ln(2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．
故选C．]
结论4 等差数列的有关结论
(1)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
(2)若等差数列{an}的项数为2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.
(3)若等差数列{an}的项数为2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)·am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
[链接高考]
4．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
A．5
B．7
C．9
D．11
A [法一：利用等差数列的性质进行求解．
∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，
∴S5＝＝5a3＝5，故选A．
法二：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行整体运算．
∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，
∴a1＋2d＝1，
∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A．]
结论5 等比数列的有关结论
(1?公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列?n∈N
?.
?2?若等比数列的项数为2n?n∈N
?，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶＝qS奇.
?3?已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sm＋n＝Sm＋qmSn?m，n∈N
?.
[链接高考]
5．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝( )
A．12
B．24
C．30
D．32
D [法一：设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32，故选D．
法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N
)，则bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3.设数列{an}的公比为q，则＝＝＝q，所以数列{bn}为等比数列，由题意知b1＝1，b2＝2，所以等比数列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n－1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32.故选D．]
结论6 多面体的外接球和内切球
?1?长方体的对角线长d与共点的三条棱a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球的半径为R，则有?2R?2＝a2＋b2＋c2.
?2?棱长为a的正四面体内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.
[链接高考]
6．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．
14π [∵长方体的顶点都在球O的球面上，
∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．
设球的半径为R，
则2R＝＝.
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×＝14π.]
结论7 过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦
过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦AB有：
(1)xA·xB＝.
(2)yA·yB＝－p2.
(3)|AB|＝xA＋xB＋p＝(α是直线AB的倾斜角)．
[链接高考]
7．(2014·全国新课标卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A．
B．6
C．12
D．7
C [∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，
∴F，
∴AB的方程为y－0＝tan
30°，即y＝x－.
联立得x2－x＋＝0.
∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.
由于|AB|＝xA＋xB＋p，
所以|AB|＝＋＝12.]
结论8 对数、指数形式的经典不等式
?1?对数形式：1－≤ln?x＋1?≤x?x＞－1?，当且仅当x＝0时，等号成立.
?2?指数形式：ex≥x＋1?x∈R?，当且仅当x＝0时，等号成立.
[链接高考]
8．(2012·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )
A B
C D
B [由题意得f(x)的定义域为{x|x>－1且x≠0}，所以排除选项D．令g(x)＝ln(x＋1)－x，则由不等式ln(x＋1)≤x知，g(x)≤0恒成立，故f(x)＝＜0恒成立，所以排除A，C，故选B．]
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