素养1 数学抽象
通过由具体的实例概括一般性结论，看我们能否在综合的情境中学会抽象出数学问题，并在得到数学结论的基础上形成新的命题，以此考查数学抽象素养.,主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.具体表现：①形成数学概念与规则；②形成数学命题与模型；③形成数学方法与思想；④形成数学结构与体系.
[例1] (2020·新高考全国卷Ⅰ，T8)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
D [由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，故选D．]
[点评] 由函数性质抽象出函数图形，体现了数学抽象的素养．
素养2 直观想象
通过对空间图形与平面图形的观察以及图形与数量关系的分析，通过想象对复杂的数学问题进行直观表达，看我们能否运用图形和空间想象思考问题，感悟事物的本质，形成解决问题的思路，以此考查直观想象素养．
主要包括利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．具体表现：①利用图形描述数学问题；②利用图形理解数学问题；③利用图形探索和解决数学问题；④构建数学问题的直观模型．
[例2] (2020·全国卷Ⅰ，T3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A．
B．
C．
D．
C [设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m，依题意得h2＝×2a×m，即h2＝am①，易知h2＋a2＝m2②，由①②得m＝a(负值舍去)，所以＝＝.故选C．]
[点评] 由实物体勾勒出几何图形，体现了直观想象的素养．
素养3 逻辑推理
通过提出问题和论证命题的过程，看我们能否选择合适的论证方法与途径予以证明，并能用准确、严谨的数学语言表述论证过程，以此考查逻辑推理素养.
主要包括两类，一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，推理形式主要有归纳推理、类比推理；一类是从大范围成立的命题推断小范围内成立的命题的推理，推理形式主要有演绎推理.具体表现：①发现和提出命题；②掌握推理的基本形式和规则；③探索和表述论证的过程；④构建命题体系；⑤表达与交流.
[例3] (2019·全国卷Ⅱ，T5)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
A [由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A．]
[点评] 由语言间的逻辑关系推导出结果，体现了逻辑推理的素养．
素养4 数学运算
通过各类数学问题特别是综合性问题的处理，看我们能否做到明确运算对象，分析运算条件，选择运算法则，把握运算方向，设计运算程序，获取运算结果，以此考查数学运算素养．
主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果．具体表现：①理解运算对象；②掌握运算法则；③探索运算思想；④设计运算程序．
[例4] (2020·全国卷Ⅲ，T6)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝( )
A．－
B．－
C．
D．
D [由a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝25－6＝19，又|a＋b|＝＝7，所以cos〈a，a＋b〉＝＝＝，故选D．]
[点评] 向量的模、数量积的运算、向量的夹角等均体现了数学运算的素养．
素养5 数学建模
通过实际应用问题的处理，看我们是否能够运用数学语言，清晰、准确地表达数学建模的过程和结果，以此考查数学建模素养.
主要包括在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符合实际的结果.具体表现：①发现和提出问题；②建立模型；③求解模型；④检验结果和完善模型.
[例5] (2020·全国卷Ⅱ，T4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3
699块
B．3
474块
C．3
402块
D．3
339块
C [由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9、公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n.设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝＝3
402，故选C．]
[点评] 由题设信息抽象出数列模型，体现了数学建模的素养．
素养6 数据分析
过对概率与统计问题中大量数据的分析和加工，看我们能否获得数据提供的信息及其所呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，以此考查数据分析素养.
主要包括收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数据获取知识.具体表现：①数据获取；②数据分析；③知识构建.
[例6] (2020·全国卷Ⅱ，T18)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得xi＝60，yi＝1
200，
(xi－)2＝80，
(yi－)2＝9
000，
(xi－)(yi－)＝800.
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；
(2)求样本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；
(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数r＝，≈1.414.
[解] (1)由已知得样本平均数＝i＝60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12
000.
(2)样本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相关系数
r＝＝＝≈0.94.
(3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．
理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．
[点评] 由题设样本数据对总体作出合理分析，体现了数据分析的素养．
真题示例1
源于教材
2019·全国卷Ⅰ，T15
人教A版选修2－3P59B组T1
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________.
甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？
点评：背景相同：以体育比赛为背景；考查知识点相同：独立重复试验.
真题示例2
源于教材
2013·全国新课标卷Ⅰ，T20(1)
人教A版选修2－1P50B组T2人教A版选修2－1P80A组T3(2)
已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．(1)求C的方程.
1.一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.2.与圆x2＋y2＝1及圆x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在( )A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上
点评：以上试题均以圆与圆的位置关系为载体考查圆心的轨迹方程问题.
真题示例3
源于教材
2016·全国卷Ⅰ，T17(1)2013·全国新课标卷Ⅱ，T17(1)
人教A版必修5P18练习T3
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos
C(acos
B＋bcos
A)＝c.(1)求C．2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos
C＋csin
B．(1)求B．
在△ABC中，求证：a＝bcos
C＋ccos
B，b＝ccos
A＋acos
C，c＝acos
B＋bcos
A．
点评：以上高考题利用教材中的此结论均可轻松解决.
真题示例4
源于教材
2018·全国卷Ⅰ，T20(1)
人教A版选修2－3P58探究与发现
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)略.
二项分布是应用最广泛的离散型随机变量概率模型．对与二项分布有关的一些问题的探究是很有意义的．例如，在上面的例4中，我们还可以提这样的问题：如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标几次？设他在10次射击中，击中目标的次数为X.由于射击中每次射击的结果是相互独立的，因此X～B(10,0.8)．于是恰好k次击中目标的概率为P(X＝k)＝C×0.8k×0.210－k，k＝0,1,2，…，10.从而＝＝1＋，k＝0,1,2，…，10.于是，当k＜8.8时，P(X＝k－1)＜P(X＝k)；当k＞8.8时，P(X＝k－1)＞P(X＝k).由以上分析可知，他在10次射击中，最有可能8次击中目标.思考：如果X～B(n，p)，其中0＜p＜1，那么当k由0增大到n时，P(X＝k)是怎样变化的？k取何值时，P(X＝k)最大？
点评：均考查二项分布的最值问题.
真题示例1
追踪溯源
2018·全国卷Ⅰ，T21
2011·湖北高考，T22
已知函数f(x)＝－x＋aln
x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：＜a－2.
设函数f(x)＝x－－aln
x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
点评：(1)本题所考查的函数可以说是完全相同：－x＋aln
x＝－；(2)问题的第(1)问均讨论该函数的单调性；(3)2011年湖北高考题的问题(2)中的k＝，故问题转化为＝2－a＝－(a－2)，而2018年全国卷是证明不等式＜a－2.
真题示例2
追踪溯源
2020·全国卷Ⅰ，T16
2012·新课标全国卷，T16
数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝______________________________________________.
数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项的和为________.
点评：均考查数列的递推公式和分组求和，考查学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.
真题示例3
追踪溯源
2017·全国卷Ⅱ，T21
2016·山东高考，T21
已知函数f(x)＝ax2－ax－xln
x，且f(x)≥0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2＜f(x0)＜2－2.
设f(x)＝xln
x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.(1)令g(x)为f(x)的导函数，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围.
点评：(1)考查函数极度相似；(2)均考查函数的极值问题.
真题示例1：(2019·全国卷Ⅱ，T13)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________．
真题示例2：(2019·全国卷Ⅲ，T16)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD?A1B1C1D1挖去四棱锥O?EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6
cm，AA1＝4
cm，3D打印所用原料密度为0.9
g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
真题示例3：(2020·全国卷Ⅲ，T4)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t
)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t
约为(ln
19≈3)( )
A．60 B．63 C．66 D．69
真题示例4：(2017·全国卷Ⅰ，T2)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A．
B．
C．
D．
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命题有依据
数学理
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核心素养引领复习方向
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夯实教材只为高考筑基
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高考真题延续往年精髓
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科学育人巧融高考真题
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核心素养引领复习方向
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<009
①核心素养引领复习方向
数学学科核心素养培养目标为用数学眼光观察世界,发展数学抽象、直观想象素养(一般性);用数
学的思维分析世界,发展逻辑推理、数学运算素养(严谨性);用数学的语言表达世界,发展数学建模、数
据分析素养(应用性).在促进学生形成正确人生观、价值观、世界观等方面发挥独特作用
解析答案
。
②夯实教材只为高考筑基
高考考主干、考能力、考素养,重思维、重应用、重创新,从“解题”到“解决冋题”,从“做题”
到“做人做事”,直到提升素养.在素养导冋新举措、能力考査新突破的形势下,髙考数学试题中相当数
量的基本题源于教材,即使是综合题也表现出教材的基础作用,在复习备考时,要注意对教材内容的组
合、加工和拓展
③高考真题延续往年精髓
深人研究以往的髙考试题,对于把握髙考命题规律,感悟髙考热点、重点及其考査方式,探寻培养数
学素养的途径,提高自己应考能力和复习效率是大有益处的.所谓“知已知彼,百战百胜”就是这个理
④科学育人巧融高考真题
试题将数学元素与经济、文化、艺术、道德修养、价值理念等融为一体,情境来源于我国社会主义建
设的不同领域,结合社会现实,贴近生活,反映数学应用的广阔领域,体现数学的应用价值,从多个角度
考查考生的数学理念,落实“五育”,全面提升人文素养
B
○
D
