高三数学 导数专题复习 二十一 利用导数研究函数图像 最值 极值问题

1070610011988800专题二十一 利用导数研究函数图像 最值 极值问题
一 利用导数研究函数的图象
（2018·全国高考真题（文））函数false的图像大致为
A． B．
C． D．
【分析】根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
【解析】函数过定点false，排除false，
求得函数的导数false，
由false得false，
得false或false，此时函数单调递增，排除false，故选D.
（2017·浙江高考真题）函数false的图像如图所示，则函数false的图像可能是
A． B．
C． D．
【解析】原函数先减再增，再减再增，且false位于增区间内，因此选D．
【小结】
函数图象的辨识主要从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
如图，函数false的图像在点false处的切线方程是false，则false( )。
4086225123190A、false
B、false
C、false
D、false
【解析】∵false，∴false，∴false，∴false，选C。
4086225325120函数false的图像如右图所示，则导函数false的图像的大致形状是( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】false先增后减再不变，则false先小于零后大于零最后等于false，选D。
已知false的图像如图，则( )。
4200525153670A、false
B、false
C、false
D、false
【解析】由图可知false，又false，则false，选A。
函数false的图像如图所示，则下列结论成立的是( )。
407035077470A、false，false，false，false
B、false，false，false，false
C、false，false，false，false
D、false，false，false，false
【解析】∵函数false的图像在false轴上的截距为正值，∴false，∵false，
且函数false在false上单调递增，false上单调递减，false上单调递增，
∴false的解集为false，∴false，又false、false均为正数，
∴false，false，可得false，false，选C。
已知函数false(false)，则函数false的图像可能是( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】设false，false是奇函数，其图像关于原点对称，∵false，
∴false的图像是false的图像向上或向下平移得到的，∴排除A项，
由false，知当false，false时，false，函数单调递增，又false，
∴false，即false，∴排除D项；
当false，false时，false，函数单调递减，又false，∴false，
即false，∴排除C项，选B。
4733925445770设函数false在false上可导，其导函数为false，且函数false的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )。
A、函数false有极大值false和极小值false
B、函数false有极大值false和极小值false
C、函数false有极大值false和极小值false
D、函数false有极大值false和极小值false
【解析】由false的图像知：(分四段考虑)
(1)当false时false，false，则false，
(2)当false时false，false，则false，
(3)当false时false，false，则false，
(4)当false时false，false，则false，
则可知当false和false时false，∴false在false和false上单调递增，
当false时false，∴false在false上单调递减，
故false在false处取得极大值false，在false处取得极小值false，选B。
5200650309880己知函数false是定义域为false的奇函数，且false，false的导函数false的图像如图所示。若正数false满足false，则false的取值范围是( )。
A、false B、false
C、false D、false
【解析】false在false上恒成立，false在false上恒增，false得false，
则false，false，解得false，又false，∴false，则false，选B。
已知函数false(其中false为自然对数的底数)，则false图像大致为( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】false的定义域为false，依题意得false，令false，解得false，
当false时，false，false是减函数，当false时，false，false是增函数，
∴false为false的极小值也为最小值，false，false，
只有C中的函数的极值的false，且极小值为负值，
又当false时，false；因此对比各选项知，选C。
若函数false(false为自然对数的底数)，则false图像大致为( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】记false，则有false，
当false时，false，false是减函数，
当false时，false，false是增函数，
false在false处取极小值也是最小值，false，
当false时false，当false时false，
∴false在有两个零点false、false(false不好求但知道在false之间，
false，false)，
这只是false的单调性，又∵false，则false，
当false时，false是减函数，且false，false，且false是增函数；
当false时，false是减函数，且false，false，且false是增函数，
当false时，false是增函数，且false，false，且false是减函数，
当false时，false是增函数，且false，false，且false是减函数，选C
已知函数false有两个极值点，则实数false的取值范围是
【解析】false的定义域为false，false，
413067575565令false，则false有两个极值点，
等价于false有两个不等的实数根，
又等价于false与false图像有两个交点，
作图，false的图像为标准图像，可直接作出，
false为一次函数，必过点false，
则false的图像围绕着点false旋转，当false与false相切时两图像有唯一一个交点，此时：
设切点false，false，能列出三个方程：false，则false，∴false，false，
则false，当false时直线false与曲线false相切，
由图像知当false时false与false的图像有两个交点，则实数false的取值范围是false，选B。
【小结】设函数false，则false的零点有三种求法：
(1)求false的根，就是false的零点，此法一般只应用于能求根或能因式分解的函数，如二次函数；
(2)做函数false的图像，则false的图像与false轴的交点就是就是false的零点，此法只应用于能画出图像函数；
(3)把函数false拆成false和false两个函数，分别作出false、false的图像，则这两个函数图像的交点就是false的零点，此法一般只应用于能画出false、false的图像的函数。
4330700662940函数false，若方程false恰有四个不相等的实数根，则实数false范围是
【解析】作false的图像，函数false恒过定点false，
设过点false与函数false的图像相切的直线为false，
切点坐标为false，∵false的导函数false，
∴图中false的切线false的斜率为false，则false，解得false，∴false。
二 利用导数研究函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
（2017·全国高考真题（理））若false是函数false的极值点，则false的极小值为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
【解析】由题可得false，
因为false，所以false，false，故false，
令false，解得false或false，
所以false在false上单调递增，在false上单调递减，
所以false的极小值为false，故选A．
（2018年文北京卷）设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围.
【解析】（Ⅰ）因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex，所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex.
f'(2)=(2a-1)e2，由题设知f'(2)=0，即(2a-1)e2=0，解得a=12.
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.
若a>1，则当x∈(1a,1)时，f'(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax-1≤x-1<0，所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.
综上可知，a的取值范围是(1,+∞).
方法二：f'(x)=(ax-1)(x-1)ex.
（1）当a=0时，令f'(x)=0得x=1.f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：
x
(-∞,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
?
f(x)
↗
极大值
↘
∴f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.①当x1=x2，即a=1时，f'(x)=(x-1)2ex≥0，
∴f(x)在R上单调递增，∴f(x)无极值，不合题意.
②当x1>x2，即0x
(-∞,1)
1
(1,1a)
1a
(1a,+∞)
f'(x)
+
0
?
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.
③当x11时，f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：
x
(-∞,1a)
1a
(1a,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
?
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.
（3）当a<0时，令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：
x
(-∞,1a)
1a
(1a,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
?
0
+
0
?
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
∴f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为(1,+∞).
（2017·江苏高考真题）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
证明：b?>3a;
若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围。
【解析】（1）由，得.
当时，有极小值.
因为的极值点是的零点，所以，又，故.
因为有极值，故有实根，从而，即.
时，，故在R上是增函数，没有极值；
时，有两个相异的实根，.
列表如下
x
+
0
–
0
+
极大值
极小值
故的极值点是.从而，因此，定义域为.
（2）由（1）知，.设，则.
当时，，从而在上单调递增.
因为，所以，故，即.因此.
（3）由（1）知，的极值点是，且，.
从而
记，所有极值之和为，
因为的极值为，所以，.
因为，于是在上单调递减.
因为，于是，故.因此a的取值范围为.
【小结】
1.两点说明：
（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减函数没有极值．
2.求函数f(x)极值的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
3.由函数极值求参数的值或范围．
讨论极值点有无(个数)问题，转化讨论f′(x)＝0根有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数值或范围，特别注意：极值点处导数为0，而导数为0点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号

三 利用导数研究函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
（2019·全国高考真题（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
【解析】 (1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
(2)若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.
所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.
所以，而，所以.即的取值范围是.
综上得的取值范围是.
（2017·北京高考真题（理））已知函数false．
（Ⅰ）求曲线false在点false处的切线方程；
（Ⅱ）求函数false在区间false上的最大值和最小值．
【解析】（Ⅰ）因为false，所以false.
又因为false，所以曲线false在点false处的切线方程为false.
（Ⅱ）设false，则false.
当false时，false，所以false在区间false上单调递减.
所以对任意false有false，即false.所以函数false在区间false上单调递减.
因此false在区间false上的最大值为false，最小值为false.
【小结】
1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
第一步，求函数在(a，b)内的极值；
第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
四 函数极值与最值的综合问题
（2019·泉州第十六中学高三期中（文））已知函数false（false）．
（1）求false的单调区间和极值；
（2）求false在false上的最小值．
【解析】（1）false，由false，得false；
当false时，false；当false时，false；
∴false的单调递增区间为false，单调递减区间为false
false，无极大值．
（2）当false，即false时，false在false上递增，∴false；
当false，即false时，false在false上递减，∴false；
当false，即false时，false在false上递减，在false上递增，
∴false
（2019·江苏高考真题）设函数，为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．
【解析】（1）因为，所以．
因为，所以，解得．
（2）因为，
所以，
从而．令，得或．
因为，都在集合中，且，所以．
此时，．令，得或．
列表如下：
1
+
0
–
0
+
极大值
极小值
所以的极小值为．
（3）因为，所以，．
因为，所以，
则有2个不同的零点，设为．
由，得．
列表如下：

+
0
–
0
+
极大值
极小值
所以的极大值．
解法一：
．因此．
解法二：因为，所以．
当时，．
令，则．令，得．
列表如下：
+
0
–
极大值
所以当时，取得极大值，且是最大值，故．
所以当时，，因此．
【小结】
求解函数极值与最值综合问题的策略
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围．
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
1．（2018·全国高考真题（理））函数false的图像大致为 (　　)
A． B． C． D．
【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
【解析】false为奇函数，舍去A,
false舍去D;
false，所以舍去C；因此选B.
2．（2020·广东东莞 高二期末）函数false的单调递增区间是（ ）
A．false B．false C．false D．falsefalse
【解析】由false，当false时false，当false时false，增区间为false．选D
3．（2020·江苏常熟 高二期中）若函数false在区间false内单调递增，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】false，false，
∵函数false在区间false内单调递增，
∴导函数falsefalse恒成立，则false恒成立，故false.故选：A．
4．（2019·湖北高三月考（理））已知false为定义在R上的可导函数，false为其导函数，且false，false=2019，则不等式false(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A．(0.+∞) B．(-∞，0)∪(0，+∞) C．(2019，+∞) D．(-∞，0)∪(2019，+∞)
【解析】设false，则false
∵false，false，∴false，∴false是R上的增函数
又false，∴false的解集为(0,+∞)
即不等式false的解集为(0,+∞)，故选A.
5.（2019·云南高三月考（理））已知false为函数false的导函数，当false时，有false恒成立，则下列不等式成立的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】令false，false，则false，
∵false，即false，∴false，∴false在false上单调递减，
故false，即false，即false，故选：D．
6．（2020·甘肃省岷县第一中学高二开学考试（理））设函数false有两个极值点，则实数false的取值范围是( )
A．false B．false C．false D．false
【解析】false的定义域为false.false，令其分子为false在区间false上有两个零点，故false，解得false，故选B
7．（2020·安徽屯溪一中高二期中（理））若函数false在区间false上有最小值，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【解析】对函数false进行求导，得false，当false，false，当false或false时，false，所以函数false在区间false上单调递减，在区间false上单调递增，在区间false上单调递减，在false处函数false取得极小值false，因为函数在false端点处的函数值无法取到，所以区间false内必存在极小值点false，且此极小值点为最小值，因此false，解得false，又因为false，即函数false在false时的函数值与false处的极小值相同，为了保证在区间false上最小值在false取到，所以false，综上，false.故选：C
8．（2020·广西南宁三中高二期末（文））已经知道函数false在false上，则下列说法不正确的是( )
A．最大值为9 B．最小值为false
C．函数false在区间false上单调递增 D．false是它的极大值点
【解析】false，令false，解得false或false，
所以当false，false时，false，函数false单调递增，
当false时，false，函数false单调递减，C错误；
所以false是它的极大值点，D正确；
因为false，所以函数false的最大值为9，A正确；
因为false，所以函数false的最小值为false，B正确.故选：C
9.（2020·江苏高二期末）【多选题】已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点
C．函数在区间上单调递增 D．函数在处切线的斜率小于零
【解析】由图象得时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，故是函数的极小值点，故选：BC．
10.（2020·山东高二期中）【多选题】已知函数，则（ ）
A．时，的图象位于轴下方 B．有且仅有一个极值点
C．有且仅有两个极值点 D．在区间上有最大值
【解析】由题,函数 满足 ,故函数的定义域为
由 当 时 ，所以，则的图象都在轴下方，A正确；
又，在令 则 ，故
函数单调递增，则函数 只有一个根 使得
当时 函数单调递減 ，当时，函数单调递增，
所以函数只有极值点且为极小值点，所以B正确，C不正确；
又 所以函数在先减后增，没有最大值，所以D不正确.
故选：AB.
11.（2019·江苏高三期中）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围是______．
【解析】由题意可知，函数的定义域为，且，
令，得，即，构造函数，
则直线与函数在上有两个交点.
，令，得，
列表如下：
极大值
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，如下图所示：
当时，直线与函数在上有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
12.（2019·江西临川一中高三期中（理））函数false的最大值为________．
【解析】因为false，求导得falsefalse
因为false，所以当false时，false，当false时，false，
即当false时，false单调递增，
当false时，false单调递减，故false在false处取得极大值即最大值，
所以false.
13．（2019·山东高三期中）若函数false在区间false上单调递减，则实数false的取值范围为__________.
【解析】由题意得：false，
因为false在区间false上单调递减，所以false在区间false恒成立，
所以false.

14．（2020·全国高考真题（文））已知函数false．
（1）讨论false的单调性；
【解析】（1）由题，false，
当false时，false恒成立，所以false在false上单调递增；
当false时，令false，得false，令false，得false，
令false，得false或false，所以false在false上单调递减，在
false，false上单调递增.
15.（2019年高考全国Ⅲ卷理）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）．
令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．
（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0若，b=1，则，与0若，，则或或a=0，与0综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．
一、选择题
46672502520951．如图，函数false是可导函数，直线false：false是曲线false在false处的切线，令false，false是false的导函数，则false( )。
A、false
B、false
C、false
D、false
【解析】由图可知曲线false在false处切线的斜率为false，
且直线false必过点false和false，则false，即false，
又false，false，false，
又false，∴false，选B。
2．已知函数false在false上单调递增，则( )。
A、false且false B、false且false C、false且false D、false且false
【解析】false，则false恒成立，则false，false无要求，选A。
42862502965453．已知函数false的图像如右图所示[其中false是函数false的导函数]，则false的图像大致是下面四个图像中的( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】①false，false，②false，false，③false，false，④false，false，选C。
4．已知函数false，则false在false上不单调的一个充分不必要条件是( )。
A、false B、false C、false D、false
【解析】false定义域为false，false，false在false上不单调，
则false在false上有解，此方程可化为false，false，
∴方程的两解不可能都大于false，从而它在false上只有一解，
充要条件是false，解得false或false，
∴D是要求的一个充分不必要条件，选D。
5．函数false的定义域为false，false，对任意false，false，则false的解集为( )。
A、false B、false C、false D、false
【解析】令false，则false，故false在false上单调递增。
又false，故当false时，false，即false，选C。
6．已知函数false，曲线false在false处的切线false的方程为false，则切线false与坐标轴所围成的三角形的面积为( )。
A、false B、false C、false D、false
【解析】由false得false，则false，得false，
由false得加false，即false，
∴切线false的方程为false，
令false，得到false，令false，得到false，
所求三角形面积为false，选B。
7．设false，若false，false恒成立，则实数false的取值范围为( )。
A、false B、false C、false D、false
【解析】将不等式变形为false，
当false时，不等式恒成立；当false时，不等式变形为false，
记false，则false，而false，
因此false在false上单调递增，故false，∴false，故false，选A
8．已知函数false是偶函数，则不等式false的解集为( )。
A、false B、false C、false D、false
【解析】由特殊的奇偶函数可知false，∴false，
当false时，false，∴false在false上单调递增，
又false为偶函数，∴false在false上单调递减，
∴false可化成false，两边平方得false，
即false，解得false，选A。
9．已知函数false，false，若false，使得false(false)成立，则false的取值范围是( )。
A、false B、false C、false D、false
【解析】false，当false时false，false单调递减；
当false时false，false单调递增；
∴false，∵false，故false，
又false(当且仅当false时等号成立)，∴false，
∵false，故false可化为false，解得false，选B。
10．若存在斜率为false(false)的直线false与曲线false与false都相切，则实数false的取值范围为( )。
A、false B、false C、false D、false
【解析】设直线false与false、false的切点分别为false、false，
则由false，false，得false，解得false，
∴两切点重合，即false，∴false，
依题意false在false上有解，
令false(false)，则false，
当false时false，false单调递增，当false时false，false单调递减，
∴false，当false时false，
∴false，即false，选A。
11．若函数false的图像上存在直线false平行的切线，则实数false可取( )。
A、false B、false C、false D、false
【解析】false的定义域为false，false，
∵函数false存在直线false平行的切线，
∴方程false在区间false上有解，即false在区间上有解，∴，
若直线与曲线相切，设切点，则，
解得，此时，
综上实数的取值范围为，选AB。
12．若函数恰有两个不同的零点，则实数可取的值有( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】显然，不是函数的零点，令，得，
4064000180340构造函数，，则，
令得到，令得到且，
画出函数的图象，如图所示，
可知当时，直线与的图象不可能有两个交点，
当且时取得最小值，∴，
当时，的图象与直线有两个不同的交点，
即函数恰有两个不同的零点，∴的取值范围为，选CD。
二、填空题
13．曲线在处的切线方程为 。
【解析】由，，在处切线斜率为，∴切线方程为
14．已知函数()，若直线与曲线相切，则 。
【解析】，设切点为，则切线斜率为，故，即，故，
令()，则，
∴当时，故在上递减，当时，故在上递增
459105056515015．函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是 。
【解析】画出函数的图像，如图示：若函数有个零点，
只需求与图像交点，也就是分别画出(如图)与
(一条水平直线)，结合图像：或。
16．已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是 。
【解析】∵点在曲线上，则，
又∵，则在上是单调递增函数，则为一一对应函数，
设，则，则，则当时，，
∴，，
设，，则在上是单调递增函数，
∴，即，则实数的取值范围是。
三、解答题
17．已知函数()。
(1)若，求在上的最小值和最大值；
(2)若在上是增函数，求实数的取值范围。
【解析】(1)的定义域为，，
由得，解得，∴，
令，即，解得或，
false
极小值
false
∴在上的最小值是，最大值是；
(2)由题意得：在区间上恒成立，∴，
又当时，是增函数，其最小值为，∴，
即实数的取值范围是。
18．设函数。
(1)证明：在单调递减，在单调递增；
(2)若对于任意，都有，求的取值范围。
【解析】(1)证明：的定义域为，，
若，当时，，
当时，，
若，当时，，
当时，，
∴综上，在单调递减，在单调递增；
(2)由(1)知对于，在单调递减，在false单调递增，∴在处取最小值，
∴的充要条件是，即①，
设函数，则，
当时，当时，故在单调递减，在单调递增，
又，，故当时，
当时，，，即①式成立，
当时，由的单调性可得，即，①式不成立，
当时，由的单调性可得，即，①式不成立，
综上，的取值范围是。
19．已知函数()。
(1)若，函数在区间上的最小值为，求的值；
(2)设，若函数有极值，求实数的取值范围。
【解析】(1)的定义域为，，
若，则恒成立，∴在上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为，则；
(2)由题意得：()，的定义域为，
则，而，当且仅当时取等号，
分两种情况：
①当时，对任意，恒成立，此时无极值，
②当时，令，方程有两根，
，，
∴有两个根，，
当时，，在区间上单调递减，
当或时，在区间和上单调递增，
从而在处取极大值，在处取极小值，
综上，若函数有极值，则实数的取值范围为。
20．已知函数，，其中是自然对数的底数。
(1)判断函数在内的零点的个数，并说明理由；
(2)，，使得成立，试求实数的取值范围
【解析】(1)函数在内的零点的个数为，理由如下：
∵，∴，
∵，，
∴函数在上单调递增，∵，，
根据函数零点存在性定理得函数在内的零点的个数为；
(2)∵，∴，∴，
∴，当时，，函数在上单调递增
∴，∵，∴，
∵，∴，，，∴，
∴函数在上单调递减，∴，∴，
∴，∴实数的取值范围为。
21．已知函数。
(1)讨论的单调性；
(2)求证：当时 ，对都有。
【解析】(1)∵，其定义域为，∴，，
当时，即时，恒成立，∴在上单调递增，
当时，即时，有两个根为：
、，，
∴当和时，，单调递增，
当时，，单调递减；
(2)由(1)知，当时，，在上单调递增，
∵对有，
不妨设，∵在上单调递增，∴，
则原式可以转化为，
即有，即证，
设，，
则，，
当时，单调递增，，
∵，∴，
当时，单调递增，
∴，即，
同理可证，即，
则原不等式得证。
22．已知函数。
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，求正整数的最小值。
【解析】(1)当时，，定义域为，则，
设，定义域为，则，令得，
当时，则在上单调递增，
当时，则在上单调递减，
则在处取极大值也是最大值，，
故当时，恒成立，当且仅当时取等号，
∴在设单调递减；
(2)若()有两个极值点，
即()有两个极值点，
即有两个异号零点，
等价于函数的图像与直线有两个交点，
∵的定义域为，
，
设，∴，故在上单调递增，
而，，故存在，使得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
若函数的图像与直线有两个交点，则，
当时，，∵，。