高三数学 导数专题复习 十九 导数的概念及几何意义

专题十九 导数的概念及几何意义
一、基本概念
1、导数定义：函数false在false处的瞬时变化率false，我们称它为函数false在false处的导数，记作false或false，即false。
附注：①导数即为函数false在false处的瞬时变化率；
②定义的变化形式：false；
false；false；
false，当false时，false，∴false。
③求函数false在false处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。
2、基本初等函数的八个必记导数公式
原函数
导函数
原函数
导函数
false(false为常数)
false
false(false)
false
false
false
false
false
false(false且false)
false
false(false且false)
false
false
false
false
false
3、导数四则运算法则
(1)false；
(2)false；
(3)false(false)。
温馨提示：false，即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数。
4、复合函数的导数
(1)复合函数定义：一般地对于两个函数false和false，如果通过变量false，false可以表示成false的函数，就称这个函数为false和false的复合函数，记作false。
(2)复合函数求导法则：复合函数false的导数和函数false、false的导数的关系为false，即false对false的导数等于false对false的导数与false对false的导数的乘积。
求函数false在false处的导数。
分析：先求false，再求false，再求false。
【解析】false。
求导：①false；②false；③false；④false；⑤false。
【解析】①false，false；
②false，false；
③false，false；
④false，false；
⑤false，false。
若物体的运动方程是false，则物体在false时的瞬时速度为( )。
A、false B、false C、false D、false
【解析】∵false，∴false，选C。
如果函数false，则false( )。
A、false B、false C、false D、不存在
【解析】false，false，选B。
函数false的导数是 。
【解析】false。
函数false的导数是 。
【解析】false。
设false，则false( )。
A、false Bfalse
C、false D、false
【解析】false，选A。
函数false的导函数为false，则false( )。
A、false B、false C、false D、false
【解析】false，则得false，选D。
函数false在false处的导数为 。
【解析】∵false；∴false，false。
曲线false(false)，且false，则实数false的值为( )。
A、false B、false C、false D、false
【解析】false，
false，即false，∵false，∴false，选B
求导：(1)false； (2)false。
【解析】(1)false；
(2)∵false，∴false。
已知函数false，判断false在false处是否可导？
【分析】分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导。
【解析】false，false，
∴false在false处不可导。
注意：false，指false逐渐减小趋近于false；false，指false逐渐增大趋近于false。
点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即false，false，包括false与false，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数。
讲解：函数在定义域内的导数可能没有意义，但是函数有意义：例如false，则false，false在函数有意义，在导函数无意义。
导数是切线的斜率，如果原函数某点的切线垂直与false轴，则导数无意义，但是原函数值是存在的。
函数false的导数为 。
【解析】false，则false。
已知false，则false 。
【解析】设false，false，
则false。
求导：(1)false；(2)false；(3)false。
【解析】(1)false
false
false
false；
(2)false，false，false，false，
false，false，
false，false，
false；
(3)解法一：设false，false，false，则：
false
false；
解法二：false
false。
二 导数的几何意义
一 求曲线的切线方程
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
（2020·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.故选：B.
（2019·全国高考真题（文））已知曲线y=aex+xlnx在点1,ae处的切线方程为y=2x+b，则（ ）
A．a=e,b=-1 B．a=e,b=1 C．a=e-1,b=1 D．a=e-1,b=-1
【解析】y'=aex+lnx+1,k=y'|x=1=ae+1=2，∴a=e-1
将(1,1)代入y=2x+b得2+b=1,b=-1，故选D．
【小结】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组false得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
二 求切点坐标
（2015·陕西高考真题（理））设曲线false在点（0,1）处的切线与曲线false上点false处的切线垂直，则false的坐标为_____．
【解析】设false.
对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线false上点P处的切线斜率为－1，由false，得false，则false，所以P的坐标为(1，1)．
（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系false中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
【解析】设点false，则false.又false，
当false时，false，
点A在曲线false上的切线为false，即false，
代入点false，得false，即false，
考查函数false，当false时，false，当false时，false，
且false，当false时，false单调递增，
注意到false，故false存在唯一的实数根false，此时false，
故点false的坐标为false.
【小结】
已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
三 求参数的值(范围)
（2019·安徽高二月考（文））若函数false的图象上存在与直线false垂直的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】设切点为false，切线的斜率为false，由false，得false，所以false，而false，所以false，故选B.
（2020届山东省青岛市三模）【多选题】已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（ ）
A． B．3 C． D．
【解析】由题可知，，则，
可令切点的横坐标为，且，可得切线斜率，
由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，
且可知，
则，即，解得：，的取值可能为，.故选：AC.
（2018·全国高考真题（理））曲线false在点false处的切线的斜率为false，则false________．
【解析】false，则false，所以false
【小结】
根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
1．（2018·全国高考真题（理））设函数false．若false为奇函数，则曲线false在点false处的切线方程为(　　)
A．false B．false C．false D．false
【解析】因为函数false是奇函数，所以false，解得false，
所以false，false，
所以false，
所以曲线false在点false处的切线方程为false，
化简可得false，故选D.
2．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=false和x2+y2=false都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+false C．y=falsex+1 D．y=falsex+false
【解析】设直线false在曲线false上的切点为false，则false，
函数false的导数为false，则直线false的斜率false，
设直线false的方程为false，即false，
由于直线false与圆false相切，则false，
两边平方并整理得false，解得false，false（舍），
则直线false的方程为false，即false.故选：D.
3．（全国高考真题（理））设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．
4．（全国高考真题（理））曲线false在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.
A．false B．false C．2 D．1
【解析】由false，得，故，故切线的斜率为，故选C.
5．（2019·重庆南开中学高三月考（文））若直线false与false相切，则实数false（ ）
A．2 B．false C．false D．false
【解析】设切点为：false false，
∴false在此点处的切线方程为：
false ，即false
∴false ，解得false，故选：B
6．（2019·辽宁高三期中（理））已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=x2+f'（2）lnx，则f'（2）的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】由题得false，∴false，解得false．故选：C．
7．（2019·河北安平中学高二月考）某物体运动规律是false，若此物体的瞬时速度为false，则false ( )
A．false B．false C．false D．false
【解析】依题意false，令false，解得false.故选：C.
8．（2019·全国高考真题（文））曲线在点处的切线方程为___________．
【解析】
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
9．（2020·全国高考真题（文））曲线false的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.
【解析】设切线的切点坐标为false，
false，所以切点坐标为false，
所求的切线方程为false，即false.
10.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
【解析】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x相切位置时，切点Q即为点P到直线x+y=0的距离最小.
由y'=1-4x2=-1，得x=2(-2舍)，y=32，
即切点Q(2,32)，
则切点Q到直线x+y=0的距离为2+3212+12=4，
11．（2019·天津高考真题（文）） 曲线false在点false处的切线方程为__________.
【解析】false，
当false时其值为false，
故所求的切线方程为false，即false.
12．（2019·全国高考真题（文））曲线false在点false处的切线方程为___________．
【解析】false
所以，false
所以，曲线false在点false处的切线方程为false，即false．
13．（2018·全国高考真题（文））曲线false在点false处的切线方程为__________．
【解析】由false，得false，
则曲线false在点false处的切线的斜率为false，
则所求切线方程为false，即false.
14.（2019·江苏高三期中（文））在平面直角坐标系false中，点false在曲线false（false为自然对数的底数）上，且该曲线在点false处的切线经过原点，则点false的坐标是______.
【解析】设切点falsefalse，切线的斜率false，
所以切线方程为：false，
因为切线过原点，所以false，
所以点false的坐标是false.
15．（2019·重庆南开中学高三月考（理））已知曲线false在false处的切线与直线false平行，则false的值为___________．
【解析】由false得false，
因此曲线false在false处的切线斜率为：false，
又切线与直线false平行，
所以false，解得false.
16.（2019·全国高三月考（理））已知函数false，则false________.
【解析】由false，得false，
令false，得false，解得false. 所以false. 所以false.
17.（2019·江西省奉新县第一中学高三月考（理））已知点false在曲线false上，false为曲线在点false处的切线的倾斜角，则false的取值范围是____
【解析】由已知函数false的导数为false
false，false，false
即false，false，false，即答案为：false.
18.（2020届山东省九校高三上学期联考）直线与曲线相切，则__________.
【解析】函数的导函数，
设切点坐标，则，解得：.
19．（2020·山东海南省高考真题）已知函数false．
（1）当false时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
【解析】（1）false，false，false.
false，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为false,即false,
false切线与坐标轴交点坐标分别为false,∴所求三角形面积为false;
例题讲解
曲线false在点false的切线斜率是( )。
A、false B、false C、false D、不存在
【解析】点在曲线上false，选B。
曲线false在点false处切线的倾斜角为( )。
A、false B、false C、false D、false
【解析】点在曲线上false，选C。
曲线false在点false处的切线方程为 。
【解析】false，故false，又点false在曲线false上，
∴曲线在点false处的切线方程为false，化为一般式方程为false。
【小结】求曲线切线方程关键点：利用导数的几何意义求解曲线上某点处切线斜率或曲线上某点坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点false，false点坐标适合曲线方程；false点坐标适合切线方程；false点处切线斜率为false。
已知false为偶函数，当false时，false，则曲线false在点false处的切线方程是 。
【解析】当false时，false，则false，又false为偶函数，∴false，
∴当false时，false，又点false在曲线false上，
则曲线false在点false处的切线的斜率为false，
∴切线方程为false，即false。
已知点false，点false是曲线false上的两点，求与直线false平行的曲线的切线方程。
【解析】false，设切点为false，则false，
∵false的斜率false，又切线平行于false，
∴false，即false，切点false，所求直线方程为false。
由曲线false在点false处的切线与false轴、直线false所围成的三角形的面积为 。
【解析】∵false，∴切线为false，如图，false，false，∴false。
函数false的图像上有两点false和false，在区间false内求实数false，使得函数false的图像在false处的切线平行于直线false。
【解析】false，false(false)，解得false。
已知直线false是函数false图像的切线，则实数false 。
【解析】设切点为false，则false，∴false，
又false，∴false，∴false。
若曲线false在点false处的切线方程是false，则( )。
A、false，false B、false，false C、false，false D、false，false
【解析】∵false，∴曲线在点false处的切线斜率false，
∴false，∴false，