高三数学 函数专题复习 十二 幂函数

1097280011671300专题十二 1055370011722100二次函数、幂函数
模块一、思维导图
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象


定义域
(－∞，＋∞)．
(－∞，＋∞)．
值域
．
．
单调性
在x∈上单调递减；
在x∈上单调递增．
在x∈上单调递增；
在x∈上单调递减．
对称性
函数的图象关于x＝－对称．
2．幂函数
(1)定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
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(2)幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②幂函数的图象过定点(1，1)；
③当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
④当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上
单调递减．
求二次函数的解析式
【例】已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式false的解集为(1，3)．
（1） 若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（2） 若f（x）的最大值为负数，求实数a的取值范围．
【解析】（1） ∵false的解集为（1，3），∴f（x）+2x=a（x－1）（x－3），且a<0．
于是f（x）=a(x－1)(x－3)－2x=ax2－(2+4a)x+3a．①
由方程f（x）+6a=0，得ax2－（2+4a）x+9a=0．②
∵方程②有两个相等的根，∴Δ=［－（2+4a）］2－4a·9a=0，即5a2－4a－1=0．
解得a=1或a=－false．又a<0，∴a=－false．
将a=－false代入①得f（x）的解析式为f（x）=－falsex2－falsex－false．
（2） 由f（x）=ax2－2(1+2a)x+3a=afalse及a<0，可得f（x）的最大值为false
由false，解得false．
故当f（x）的最大值为负数时，实数a的取值范围是false．
巩固1.已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________．
【解析】设f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)，
令f(x)＝0，得x＝2±．
设f(x)＝0的两根为x1，x2，∵＝2，∴2＝2，即a＝－k．
∵图象过点(4，3)，∴a(4－2)2＋k＝3，即4a＋k＝3，可得a＝1，k＝－1，
∴f(x)＝(x－2)2－1＝x2－4x＋3．
求二次函数在给定区间上的最值
【例】设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在区间false上的最大值、最小值分别是M，m，集合A＝{x|f(x)＝x}．
(1)若A＝{1，2}，且f(0)＝2，求M和m的值；
(2)若A＝{1}，且a≥1，记g(a)＝M＋m，求g(a)的最小值．
【解析】(1)由f(0)＝2可知c＝2．又A＝{1，2}，故1，2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的两实根．所以解得a＝1，b＝－2．所以f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈false．
当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝1，即m＝1．当x＝－2时，f(x)max＝f(－2)＝10，即M＝10．
(2)由题意知，方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有两相等实根x＝1．所以即
所以f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a，x∈false，其对称轴方程为x＝＝1－．
又a≥1，故1－∈．
所以M＝f(－2)＝9a－2．m＝f＝1－．g(a)＝M＋m＝9a－－1．
又g(a)在区间false上是单调递增函数，所以当false时，false．
巩固1. 函数f（x）=－x2+4x－1在区间［t，t+1］（t∈R）上的最大值为g(t)．
（1） 求g(t)的解析式；（2） 求g(t)的最大值．
【解析】（1） f（x）=－x2+4x－1=－(x－2)2+3．
当t+1<2，即t<1时，f（x）在区间［t，t+1］上为增函数，∴g（t）=f（t+1）=－t2+2t+2；
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，g（t）=f（2）=3；
当t>2时，f（x）在区间［t，t+1］上为减函数，∴g（t）=f（t）=－t2+4t－1．
综上所述，g（t）=false
（2） 当t<1时，g（t）=－t2+2t+2=－（t－1）2+3<3；
当1≤t≤2时，g（t）=f（2）=3；当t>2时，g（t）=－t2+4t－1=false（t－2）2+3<3．∴g（t）最大值为3
巩固2.已知a，t为正实数，函数f(x)＝x2－2x＋a，且对任意的x∈[0，t]，都有f(x)∈[－a，a]．若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为__________．
【解析】因为f(x)＝(x－1)2＋a－1，且f(0)＝f(2)＝a．
当a－1≥－a，即a≥时，此时恒有[a－1，a]?[－a，a]，故t∈(0，2]，从而它的最大值为2；
当a－1<－a，即0 综上，g(a)的值域为(0，1)∪{2}．
巩固3.设函数．
Ⅰ当时,求函数在上的最小值的表达式．
Ⅱ已知函数在上存在零点,,求b的取值范围．
【解析】Ⅰ当时,,对称轴为,
当时,函数在上递减,则；
当时,即有,则；
当时,函数在上递增,则．
综上可得,；
Ⅱ设s,t是方程的解,且,则,
由于,由此,
当时,,由,由
得,所以；
当时,,由于和,所以,
故b的取值范围是
一元二次方程根的分布
【例】已知方程4x2＋2(m－1)x＋(2m＋3)＝0(m∈R)有一正根和一负根，求实数m的取值范围．
【解析】方程4x2＋2(m－1)x＋(2m＋3)＝0(m∈R)有一正根和一负根，
则函数y＝4x2＋2(m－1)x＋(2m＋3)与x轴的交点位于y轴两侧，∴，
即，解得m<－．
∴实数m的取值范围是false．
巩固1.（易错题）已知关于false的方程false的两根都要在区间false上，求实数a的取值范围．
【解析】令false，则二次函数false的图象是开口向上的抛物线，如图：
∵false的方程false的两根都要在区间false上，必须且只须
∴false，解得false．
∴实数a的取值范围是false．
巩固2.已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关于x的方程false=|a－1|+2的根的取值范围．
【解析】 由条件知Δ≤0，即（－4a）2－4(2a+12)≤0，∴－false≤a≤2．
（1） 当false≤a<1时，原方程化为x=－a2+a+6．
∵－a2+a+6=false，∴当a=－false时，xmin=false；当a=false时，xmax=false．
∴此时false≤x≤false．
（2） 当1≤a≤2时，x=a2+3a+2=false，
∴当a=1时，xmin=6；当a=2时，xmax=12．∴ 6≤x≤12．
综上所述，false≤x≤12．
模块二、考法梳理
考法一：幂函数定义辨析
1．已知函数，其中，若函数为幂函数且其在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则 。
【解析】因为函数为幂函数,所以,所以,
又因为函数在上是单调递增函数,所以,所以,
因为,所以.当 时,函数 为奇函数,不合题意,舍去.
当 时.为偶函数,符合题意.所以.
2．幂函数在时是减函数，则实数m的值为 。
【解析】由题意得.
3．若幂函数没有零点，则满足 。
A．在定义域上单调递减 B．在单调递增
C．关于y轴对称 D．
【答案】D
【解析】函数为幂函数，∴，解得或，
当时，，函数没有零点，是奇函数，且满足；
当时，，函数有零点，不满足题意.
4．已知幂函数y＝（m2﹣3m+3）xm+1是奇函数，则实数m的值为 。
【答案】2
【解析】根据幂函数得到或
当时，不是奇函数，排除；当时，满足题意；
考法二：幂函数的性质
1．函数的定义域 。
【解析】由题得所以函数的定义域为.
2．若函数则函数y＝f(4 x－3)的定义域是 。
【解析】幂函数，,
所以，所以，所以函数的定义域是.
3．已知幂函数的图象过点，则该函数的单调递减区间为 。
【解析】过点，即，，，单调递减区间为
4．若,则不等式的解集是 。
【解析】由得是定义在上的增函数,
则由不等式得,解得:.
5．已知，则的取值范围__________.
【解析】幂函数当时为偶函数，在上是减函数，在上是增函数，所以有，两边平方整理得，解得，故答案为：
6．已知函数，且，则实数的取值范围是______.
【解析】因为，且，所以其在上是减函数，
所以根据幂函数的性质，有，即，
所以或．故答案为：．
7．已知，，则的大小关系是 。
【解析】由于为上的增函数，所以.由于在上递增，所以，即.所以.
考法三：图像问题
1．幂函数y=（m2-m-5）x的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为______.
【解析】由题意，幂函数的图象分布在第一、二象限，
∴，解得或，
当时，函数的图象分布在第一、三象限，不符合题意；
当时，函数的图象分布在第一、三象限，符合题意；故答案为：3．
2．上图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于曲线、、、的依次为（ ）
【解析】设曲线、、、的函数解析式分别为、、、，
作直线，由图象可知，，

由于指数函数为增函数，所以，
因此，相应于曲线、、、的依次为，，，.
3．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ）
① ② ③ ④
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
【答案】B
【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ
4．已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.
【解析】当时，幂函数和直线第一象限的图像如下
由图可知，不满足题意
当时，幂函数和直线重合，不满足题意
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下
由图可知，满足题意，
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下
由图可知，满足题意，
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下
由图可知，满足题意综上，
【题组一 幂函数定义辨析】
1．已知函数是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数 。
【解析】函数是幂函数，，解得：或，
时，，其图象与两坐标轴有交点不合题意，
时，，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故。
2．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数n=_______
【解析】函数f（x）＝（n2﹣n﹣1）xn是幂函数，∴n2﹣n﹣1＝1，解得n＝﹣1或n＝2；
当n＝﹣1时，f（x）＝x﹣1，在x∈（0，+∞）上是减函数，满足题意；
当n＝2时，f（x）＝x2，在x∈（0，+∞）上是增函数，不满足题意．
综上，n＝﹣1．故答案为：﹣1．
3．是幂函数，且在上是减函数，则实数m=______.
【解析】是幂函数，则，解得或.
当时，，在上是减函数，满足；
当时，，在上是增函数，排除.
综上所述：.故答案为：.
4．若幂函数的图像过点，则__________．
【解析】幂函数的图像过点，
5．幂函数在上为单调递增的，则______.
【解析】由幂函数在上为单调递增的，所以，解得
6．幂函数的图像与坐标轴没有公共点，且关于轴对称，则的值为______.
【答案】
【解析】由于幂函数的图像与坐标轴没有公共点，所以，又因为函数为偶函数，故分别代入检验可知：满足；故填：
7．幂函数在单调递减，则实数的值为_________.
【答案】1
【解析】由题意可得，解得，故答案为：
【题组二 幂函数性质】
1．幂函数的定义域为_________(用区间表示).
【答案】
【解析】幂函数，，解得，
函数的定义域为．故答案为：．
2．已知幂函数的图象过点,则这个函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】由题意可知，设函数图象过点
即
要使得函数有意义，则需，即函数的定义域为.故答案为：
3．使(3－2x－x2有意义的x的取值范围是________.
【解析】，要使表达式有意义，必有，解得，故答案为.
4．若,则的取值范围是 ______
【解析】幂函数，当时是减函数，函数?的定义域为，
所以有，解得 ，故答案为??.
5．若，则实数的取值范围是______.
【解析】由题得，所以，
所以，所以，
所以或,所以a的取值范围为
6．若，则实数的取值范围是________.
【解析】由题：，考虑幂函数，，
根据幂函数的性质，在单调递增，
在为常数函数，在单调递减，
此题只需在单调递减，所以.故答案为：
7．若，试求的取值范围 .
【解析】∵，∴或或解得或.故的取值范围是.
8．不等式的解为 。
【解析】等价于∴解得．
9．已知函数，若，，则的太小关系是 。
【解析】在上是减函数，，所以，
10．已知，，，则 。
【解析】幂函数在区间上为减函数，，即；
指数函数在上为增函数，，即.因此，.
11．已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为 。
【解析】点在幂函数的图象上，
∴，解得，，
∴在上单调递增，又，∴，
12．设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是 。
【答案】a>c>b
【解析】∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.
13．比较的大小关系是 。
【答案】
【解析】∵，，又幂函数在上是增函数，，∴．
【题组三 图像问题】
1．已知实数且，则在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是 。
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题,当时, 为增函数且图像往上凸,
为减函数且过.易得D满足条件.
当时,为增函数且图像往下凸,
为增函数且过.无对应选项.
2．在同一直角坐标系中，函数，的图象不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A来说：幂函数中，而对数函数平移后的图象应该还在轴右侧（定义域为），所以A是不可能的；
对于B来说：幂函数中，而对数函数平移后的图象应该还在直线右侧（定义域为），所以B是可能的；
对于C来说：幂函数中，选择，而对数函数平移后的图象应该还在直线右侧（定义域为），所以C是可能的；
对于D来说：幂函数中，选择，而对数函数平移后的图象应该还在直线右侧（定义域为），所以D是可能的.故选：A.
3．在同一坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对A，由图知中的，中的，符合；
对B，由图知中的，的图没有过，不符；
对C，由图知中的，中的，不符；
对D，由图知中的，此时中的，不符；故选：A.
4．已知函数，，的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
B． C． D．
【解析】由图,当时,,当时,又幂函数为增函数且上凸,故.故.故选：A
5．已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c【答案】A
【解析】由幂函数图像特征知，，，，所以选A．
6．已知函数的图象如图所示，则的大小关系为（ ）
B． C． D．
【解析】由图像可知，，得，故选A..