高三数学 函数专题复习 十四 三角函数定义

1093470012065000专题十四 三角函数定义
模块一、思维导图
(一)角的概念的推广
1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
其中顶点，始边，终边称为角的三要素。角可以是任意大小的。
(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。
①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；
②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；
③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。
(2)在直角坐标系中讨论角：
①角的顶点在原点，始边在false轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。
(3)终边相同的角的集合：设false表示任意角，所有与false终边相同的角，包括false本身构成一个集合，这个集合可记为false。集合false的每一个元素都与false的终边相同，当false时，对应元素为false。
2、弧度制和弧度制与角度制的换算
(1)角度制：把圆周false等分，其中false份所对的圆心角是false度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。
(2)false弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做false弧度的角。
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。任一已知角false的弧度数的绝对值false，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
(3)角度制与弧度制的互化：false，false；false； false。
3、特殊角的三角函数值
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false
false
false
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false
4、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：false，false；
false轴正半轴
false
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第一象限角平分线
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false
false轴负半轴
false
false
第二象限角平分线
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false
false轴
false
false
第三象限角平分线
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false轴正半轴
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第四象限角平分线
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false轴负半轴
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第一、三象限角平分线
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false轴
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第二、四象限角平分线
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false
坐标轴
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象限角平分线
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false
5067300901705、弧长及扇形面积公式：弧长公式：false，
扇形面积公式：false，false是圆心角且为弧度制，false是扇形半径。
(二)任意角的三角函数
1、任意角的三角函数：设false是一个任意角，它的终边上一点false(除了原点)的坐标为false，它与原点的距离为false，那么：
(1)半径等于单位长圆叫做单位圆。设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与false轴交点为false，false，而与false轴交点分别为false，false。由三角函数的定义可知，点false的坐标为false，即false。其中false，false。即角false余弦和正弦分别等于角false终边与单位圆交点横坐标和纵坐标。过点false作单位圆切线，它与角false终边或其反向延长线交与点false(或false)，则false(或false)。
36671251930402266950193040(2)正弦false；余弦false；
正切false；余切false；
正割false；余割false。
(3)有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。具有方向的线段叫做有向线段。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
(4)三角函数线的定义：设任意角false的顶点在原点false，始边与false轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点false，过false作false轴的垂线，垂足为false；过点false作单位圆的切线，它与角false的终边或其反向延长线交与点false。我们就分别称有向线段false，false，false为正弦线、余弦线、正切线。
(5)各象限的符号： false false false
125730024765一全正
二正弦
三正切
-1485900770890-
-
四余弦
29718001885955715002336802、几个重要结论
(1) (2)
(3)若false，则false。
463486529210证明：在单位圆false中，false，false，
当false时，false，
则false，则false，则false。
模块二、考法梳理
考点一：终边相同的角
1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为 。
【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：，，
角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：，．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：，．
2．下列各组角中，终边相同的角是 。
A．与 B．与
C．与 D．与
【解析】对于A选项，表示的整数倍，表示的奇数倍，与的终边不一定相同；
对于B选项，，表示除余数为的整数，表示除余数为的整数，而表示的整数倍，
所以，，则与的终边不一定相同；
对于C选项，对于，取得，对于，取得，，
均为的整数倍，
则与 的终边相同；
对于D选项，显然，
则与的终边不一定相同.故选：C.
3．已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是 。
A． B．
C． D．
【解析】令，则，故B选项符合.故选：B
4．集合M={Z}，N={Z}，则 。
A．MN B．NM C．MN= D．MN=R
【解析】∵k∈Z；∴k＝2n或2n+1，n∈Z；
∴；又；
∴M?N．故选A．
考点二：三角函数定义
1．角α的终边经过点（2，﹣1），则2sinα+3cosα的值为 。
【解析】由角的终边经过点(2,-1),可得,,
所以.
2．已知角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，则m等于 。
【解析】，解得.
3．若点是角终边上异于原点的任意一点，则的值是 。
【解析】由三角函数的定义可得.
4．在平面直角坐标系中,点是角终边上的一点,点是角终边上的一点,则的值是 。
【解析】因为，所以，同理可得，
，所以．
如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点和第二象限内的点都在单位圆上，，.若，则的值为 。
【解析】由三角函数的定义有，，
因为点在第二象限内，所以，
所以
6．设点是角终边上一点，当最小时，的值是 。
【解析】，
当且仅当时取等号，∵，因为最小值为，
所以此时，点，．
7．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin（α+β）＝，则cosβ＝ 。
【解析】β为锐角，角α的终边过点（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β为钝角，∴cos（α+β），
则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β） cosα+sin（α+β） sinα??，
考点三：三角函数值的正负（或象限）判断
1．若，则所在的象限是( )
A．二、四 B．一、二 C．一、四 D．二、三
【解析】，或.
若且，则角为第一象限角；若且，则角为第四象限角.
综上所述，角为第一或第四象限角.故选：C.
2．若是第二象限角，则点在 （　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】因为是第二象限角，所以，所以点在第四象限，故选D
3．若且，则终边在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第三象限 D．第三或第四象限
【解析】．，，
即，
．，，
即的解集为，
则
可得终边在第一或第三象限．故选：．
4．若α是第三象限角，则y＝＋的值为( )
A．0 B．2 C．－2 D．2或－2
【解析】∵α是第三象限角，∴是第二或第四象限角．当为第二象限角时，y＝1＋(－1)＝0；当为第四象限角时，y＝－1＋1＝0.∴y＝0.
5．如果sinα＜0，tanα＞0，那么角的终边在（　　）
A．第一或第三象限 B．第二或第四象限 C．第一或第二象限 D．第三或第四象限
【答案】B
【解析】由sinα＜0，则角的终边在第三、四象限或轴的非正半轴上，
由tanα＞0，则角的终边在第一、三象限，所以角的终边在第三象限,
即,所以
当为偶数时，的终边落在第二象限，当为奇数时，的终边落在第四象限，
所以的终边落在第二或第四象限.故选：B
6．如果是第二象限角,且,那么所在象限为第几象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【解析】，
因为是第二象限角，故，则，，
在一、三象限，又因为，所以在第三象限，故选C．
考点四：三角函数线
1．若和分别是角的正弦线和余弦线，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】在单位圆中画出角的正弦线和余弦线，如图所示，则.故选：C.
2．在内,使成立的x的取值范围为( )
A． B． C． D．
【解析】在内，画出与对应的三角函数线是MT，OM，如图：
满足在内，使的即，所以所求的范围是：，故选：B.
3．若点在第一象限， 则在内的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】点在第一象限，，如下图所示：
在内的取值范围是，本题选A.
4．比较大小，正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以．
而，，
由，所以，．
综上，，故选B．
5．函数的定义域为____________.
【解析】要使，则有且
由得
由得
因为
所以原函数的定义域为
故答案为：
1206500011455400 三角函数定义
【题组一 终边相同的角】
1．终边在直线上的角的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当的终边在直线（）时， ，，
当的终边在直线（）时，，，所以角的取值集合是
=，故选：D.
2．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】在间阴影部分区域中边界两条终边表示的角分别为，.
所以阴影部分的区域在间的范围是.
所以终边在阴影部分区域的角的集合为：.故选：C.
3．下列选项中叙述正确的是（ ）
A．钝角一定是第二象限的角 B．第一象限的角一定是锐角
C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D．终边相同的角一定相等
【解析】对于选项A：钝角的范围是，是第二象限的角，所以正确；
对于选项B：第一象限的角含有负角，所以不正确；
对于选项C：三角形的内角为直角时，既不是第一象限角也不是第二象限角，所以不正确；
对于选项D：与终边相同，但是两者不相等，所以不正确.故选A.
4．设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么( 　)
A．M＝N B．N?M C．M?N D．M∩N＝?
【解析】由题意可
即为的奇数倍构成的集合，又，即为的整数倍构成的集合，，故选C．
5．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么______.（用弧度制描述）
【解析】角的终边在图中阴影所表示的范围为：，
即.
6．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；
④若，则与的终边相同；
⑤若，则是第二或第三象限的角．
其中正确的命题是______．（填序号）
【答案】③
【解析】①，则为第二象限角；，则为第一象限角，此时，可知①错误；
②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误；
③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确；
④若，，此时，但终边不同，可知④错误；
⑤当时，，此时不属于象限角，可知⑤错误．
本题正确结果：③
【题组二 三角函数的定义】
1．已知角的终边过点，且，则的值为 。
【答案】
【解析】因为角的终边过点，所以，解得.
2．已知，若角的终边经过点，则的值为 。
【答案】
【解析】因为角的终边经过点所以
所以所以
3．角终边上有一点,则下列各点中在角的终边上的点是 。
【答案】
【解析】角终边上有一点，则，故
，排除 同理计算：，排除
4．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点是O，始边是x轴的非负半轴，，点是终边上一点，则的值是________.
【解析】因为，即点在第一象限，所以，
又，∴．故答案为：．
5．已知是角的终边上一点，则______，角的最小正值是______.
【答案】
【解析】由于是角的终边上一点，所以.由于，所以在第四象限，也即是第四象限角，所以，当时，取得最小正值为.故答案为：（1）；（2）
6．在平面直角坐标系中，角的终边过点，则___；将射线（为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角的终边，则___.
【答案】 ；
【解析】∵角的终边过点，则，
将射线（为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角的终边，
则，故答案为，.
【题组三 三角函数值的正负】
1．设角α是第二象限角,且=-cos,则角是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【解析】由于是第二象限角，故，所以，即是第一或第三象限角.又因为，所以是第三象限角.故选C.
2．若 且，则的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第三象限或第四象限
【解析】由 且，知为二象限角，即.
则，当为偶数时，的终边在第一象限；
当为奇数时，的终边在第三象限.故选C.
3．若,且,则角的终边所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】,,.
,,.,.
综上可得,.
当,且时,角的终边所在象限是第二象限.故选:B
4．若sinαtanα<0，且<0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角，由<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角.
所以本题答案为C.
5．已知，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】由，可知，结合，得，
所以角是第四象限角，故选:D
6．（多选）已知，则函数的值可能为（ ）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
【答案】BC
【解析】，
当在第一象限时：；
当在第二象限时：
当在第三象限时：
当在第四象限时：故选：
【题组四 三角函数线的运用】
1．使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是 。
【答案】
【解析】2sinx≥0解得：sinx进一步利用单位圆解得：（k∈Z）
2．的解集为 。
【答案】
【解析】原不等式等价于，即正弦线长度大于或等于余弦线长度．
3．使成立的的一个变化区间是 。
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示
当和时，，
故使成立的的一个变化区间是.故选A
4．设a=sin1,b=cos1,c=tan1,则a,b,c的大小关系是 。
【答案】b【解析】由于，结合三角函数线的定义有：，
结合几何关系可得：，即.
5．若，以下不等式成立的是 。
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，，，，所以.故选A.
6． 则的的大小关系是 。
【答案】
【解析】设,则,
作出角的三角函数线,如下图,
则,,,
又在中,,则,
故,即.
7．设，，，则 。
【答案】
【解析】 ,因为 ,所以 ,选C.
8．在内，使成立的的取值范围是 。
【答案】
【解析】根据三角函数线得在内成立的的取值范围是，
在内成立的的取值范围是
9．已知则的大小关系是__________．
【答案】
【解析】令，则 当0故答案为.
10．设，，，，则按从大到小的顺序是_____________.（用“>”号连接）
【答案】
【解析】∵，∴；
∵为锐角，故，又．∴．
答案：