高三数学 函数专题复习 四 函数定义域

专题四 函数的定义域
模块一、思维导图
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1． 函数的定义域
(1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合．
(2) 求定义域的步骤：
① 写出使函数式有意义的不等式(组)；
② 解不等式组；
③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)．
(3) 常见基本初等函数的定义域：
① 分式函数中分母不等于零；
② 偶次根式函数中被开方式大于或等于0；
③ 一次函数、二次函数的定义域为R．
④ y＝ax，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R．
⑤ y＝tanx的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
⑥ 函数false的定义域为{x|x>0}．
④ y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
⑤ y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R．
⑥ y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1，1]．
⑦ y＝tanx的值域是R．
函数的定义域
【例1】求下列函数的定义域：
（1）f(x)＝；
（2）false；
（3）已知函数f(2x)的定义域是[－1，1]，求f(x)的定义域．
【解析】（1）为使函数有意义，自变量false需满足即即false，或false
∴函数f(x)的定义域为[0，1)∪(1，2)．
（2）为使函数有意义，必须且只须自变量false满足false，即false且false．
故原函数的定义域为false．
（3）∵ f(2x)的定义域为[－1，1]，即－1＜x＜1，∴ ≤2x≤2，故f(x)的定义域为．

巩固1.（2019·江苏卷）函数y=7+6x-x2的定义域是______．
【解析】由7+6x-x2≥0，得x2-6x-7≤0，解得：-1≤x≤7．
∴函数y=7+6x-x2的定义域是[-1,7]．

巩固2．已知函数false的定义域为false，则false的定义域为________.
【解析】∵函数false的定义域为false，∴ false，得false，∴false．故false的定义域为false.
巩固3.已知函数f（x）的定义域是false，则false的定义域是　 　．
【解析】∵f（x）的定义域是false，∴false，解得﹣1＜x≤3．
∴f（2x）的定义域是（﹣1，3]．
【例2】 (1)若函数f(x)＝false的定义域为R，则a的取值范围为________；
(2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为R，所以false－1≥0对x∈R恒成立，即false≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0．
所以实数a的取值范围是false．
(2)因为函数y＝的定义域为R，所以方程ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即函数t＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．
当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；
当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得0 综上所述，实数a的取值范围是[0，3)．
巩固1.若函数f(x)=xax2+ax+1的定义域为R，则实数a的取值范围是______．
【解析】∵函数f(x)=xax2+ax+1的定义域为R，∴ax2+ax+1>0对任意实数x恒成立．
若a=0，不等式成立；
若a≠0，则a>0a2-4a<0，解得0综上：0≤a<4．
巩固2.函数f(x)=mx2-2x+1的定义域为R，则实数m的取值范围是______．
【解析】∵函数f(x)的定义域为R，∴mx2-2x+1≥0恒成立．
①若m=0，则不等式等价为-2x+1≥0，即x≤12，不满足条件．
②若m≠0，要使不等式恒成立，则m>0△=4-4m≤0,即m>0m≥1，解得m≥1，
综上m≥1，
函数的定义域、值域和最值的综合题
【例】已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
求实数a的取值范围．
【解析】 (1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，∴f(x)在[1，a]上是减函数．
又定义域和值域均为[1，a]，∴即解得a＝2．
∴实数a的值为2．
(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2．
又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2．
∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3，又a≥2，∴2≤a≤3．∴实数a的取值范围是false．
巩固1.已知函数y＝的定义域为R，值域为[0，＋∞)，则实数a的取值集合为________．
【解析】∵函数y＝的定义域为R，值域为[0，＋∞)，
∴x2－2x＋a≥0恒成立，且最小值为0，则满足Δ＝0，即4－4a＝0，则a＝1．
即实数a的取值集合为{1}．
巩固2.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．
【解析】当a>1时无解；
当0则a＋b＝－2＝－．
巩固3.若函数y＝f(x)＝x2－2x＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的值为_______．
【解析】∵y＝f(x)＝(x2－4x＋8)＝(x－2)2＋2，∴其图象的对称轴是x＝2．
因此y＝f(x)在[2，2b]上是递增函数，且2b>2，即b>1．
又函数y＝f(x)＝x2－2x＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，所以有f(2b)＝2b，即(2b)2－2×2b＋4＝2b，∴b2－3b＋2＝0，∴b＝1(舍去)，b＝2．
∴实数false的值为2．
巩固4.（拔高题）已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．
【解析】由0≤－1≤1，即1≤≤2，解之，得0≤|x|≤2，
∴满足整数数对的有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．
模块二、考法梳理
考法一 已知解析式求定义域
例1.函数false的定义域是 。
【解析】∵函数f（x）=false+lg（3x+1），∴false；解得﹣false＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域是（﹣false，1）．
例2.函数false的定义域是 。
【解析】将false化为false，所以定义域为false 因为false，所以false
综上，定义域为false
例3．函数false的定义域为_____________.
【解析】根据二次根式与对数函数有意义的条件可得false，解得，falsefalse时，不等式解集为 false，
故false的定义域为false，
例4．函数false的定义域为________.
【解析】要使原式有意义，则false，解得x∈false．
故答案为：false．
模块三、巩固提升
1．函数false的定义域为 .
【解析】由false，解得x≥0且x≠1．∴函数false的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．
2．函数f(x)＝false的定义域为 .
【解析】要使函数有意义，则false解得x＞2.
3．函数false的定义域为 .
【解析】欲使函数有意义则false，所以false 的定义域为 false .
4．已知false的定义域是 .
【答案】false
【解析】由题意可得false，即false，解得：false或false，
5．函数f（x）=false的定义域为 .
【答案】[3，4）∪（4，+∞）
【解析】要使函数有意义，则false，解得false.
6．函数false的定义域为__________.
【解析】函数false自变量false满足：false，解得false
即false，答案false
7．函数false的定义域是 ．
【解析】false，解得false．答案false
8．函数false的定义域为 ．
【解析】要使false有意义，须false，即false，解得false或false，
即函数false的定义域为false
9．函数false的定义域是________
【解析】要使函数有意义，须false，解得false且false，
false 函数false的定义域是false.故答案为：false.
10．函数false的定义域___________
【解析】由题意可得false，解得false且false，
所有函数的定义域是：false

11．函数false的定义域是________
【解析】由正弦函数的定义和分式的意义，得false，即false，
解得false.
故答案为：false
12.若false，则false的定义域为____________.
【解析】由题false，解得false
考法二 抽象函数求定义域
例1．已知false的定义域为false，则函数false的定义域为 。
【解析】因为函数false的定义域为false，故函数false有意义只需false即可，
解得false．定义域为false
例2．若函数false=false的定义域为false,则函数false的定义域是 。
【解析】因为false=false的定义域为false,所以false,所以函数false=false的定义域是false
例3.已知函数false的定义域为[-2，3]，则函数false的定义域为 。
【解析】由函数y＝false的定义域为[-2，3]，∴false
∴对y＝f（2x+1），有false，解得false，即y＝f（2x+1）的定义域为false．

例4．设函数f（x）=false，则函数f（false）的定义域为 。
【解析】因为false，所以false，
因为false，所以false的定义域为false．
例5.若函数false的定义域为false,则函数false的定义域是 。
【解析】设false，则false.由false的定义域为false知false，
false，即falsefalse的定义域为false，
false要使函数false有意义，必须满足false，即false，解得false，
模块三、巩固提升
1．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数false的定义域为 .
【解析】由题意，函数false的定义域为false，则对于函数false，
应有false，解得false，故false的定义域为false.
2．已知false定义域为false，则false的定义域为 .
【解析】因为false定义域为false，所以false，
令false，解得false，所以false的定义域为false
3.已知函数false的定义域为false，则函数false的定义域是 .
【解析】由于函数false的定义域为false，由题意得false，
解得false且false，因此，函数false的定义域是false
4.若函数false的定义域是false，则函数false的定义域是__________．
【解析】首先要使false有意义，则false，其次false，
∴false，解得false，综上false．
考法三 根据定义域求参数
例1．函数false的定义域false，则实数false的值为 。
【解析】由题意，函数false有意义，满足false，
又由函数false的定义域为false，所以false，解得false．
例2．若函数false的定义域为false，则实数false的取值范围是 。
【解析】因为f（x）的定义域为R又f（x）有意义需ax2+2ax+1≠0
所以ax2+2ax+1＝0无解
当a＝0是方程无解，符合题意
当a≠0时△＝4a2﹣4a＜0，解得 0＜afalse
综上所述0≤afalse
例3．若函数false的定义域为false ，则实数false 取值范围是 。
【解析】∵函数f（x）的定义域为R；
∴不等式mx2falsemx+2>0的解集为R；
①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；
②m≠0时，则false；解得0＜m<8；
综上得，实数m的取值范围是false
模块三、巩固提升
1．函数false的定义域为false，则实数false的取值范围是 .
【解析】∵false的定义域为false，∴false恒成立，即判别式false，
得false，即实数false的取值范围是false
2．若函数false的定义域为false，则false的取值范围为 .
【解析】由题得false恒成立，a=0时，不等式恒成立.
a≠0时，由题得false综合得false.
3.函数false的定义域是false，则false的取值范围是 .
【解析】由题意,false恒成立.
若false,则false成立,符合题意;
若false,只需二次函数false与false轴无交点,即false,解得false.
所以,false的取值范围是false.
4已知函数false的定义域是R，则实数a的取值范围是 .
【解析】由题意可知false对于一切实数都成立,当a＝0时，不等式成立，即符合题意；
当false时，要想false对于一切实数都成立，只需false，解得
－125.若函数f(x) =false的定义域为R，则false的取值范围为_______.
【解析】false恒成立，false恒成立，
false
6.若函数false的定义域为false，则实数false取值范围是___________.
【解析】由题意false时，false恒成立，∴false，false．故答案为false
7．若函数false的定义域是R，则实数false的取值范围是__________.
【解析】由函数false的定义域为R,得false恒成立,化简得false恒成立,所以由false，解得:false.
8.函数false的定义域为false，则实数false的取值范围为________．
【解析】由题意知，对任意的false，false.
①当false时，则有false，合乎题意；
②当false时，则有false，解得false.
综上所述，实数false的取值范围是false
9.已知函数false的定义域为false，则实数false的取值范围是__________.
【解析】函数f（x）false的定义域为R，则对任意实数x，mx2+4mx+3＞0恒成立，
当m＝0时，不等式3＞0恒成立；
当m≠0时，要使mx2+4mx+3＞0恒成立，则false，解得：0false．
综上，实数m的取值范围是[0，false）
10已知函数false的定义域为false，则实数false的取值范围是____________．
【解析】函数f（x）＝lg（falseax）定义域为R，∴falseax＞0恒成立，∴falseax恒成立，
设yfalse，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在yfalse的下方，画出图形如图所示；
∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，解得﹣1≤a≤1；
∴实数a的取值范围是[﹣1，1]
12.已知false的定义域为R，求实数false的取值范围 .．
【解析】由题设得：false在false时恒成立，
当false时：
当false时，false恒成立；当false时，false不恒成立∴false；
若false，则false或false
综上所述：实数false的取值范围是实数false或false．
13.函数false.若false的定义域为false，求实数false的取值范围.
【解析】（1）当false时，false，false的定义域为false，符合题意；
（2）当false时，false，false的定义域不为false，所以false；
（3）当falsefalse时，false的定义域为false知抛物线false全部在false轴上方（或在上方相切），此时应有，解得false；
综合（1），（2），（3）有false的取值范围是false.