高三数学 集合专题复习 二 四种命题和充要条件级逻辑语言

1245870010325100专题二 四种命题和充要条件
1．命题及其真假
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能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系：
(2)四种命题的真假关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
(1)如果p?q，则称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．
(2)①如果p?q，且q?p，则称p是q的充分必要条件；简称为p是q的充要条件．
②如果p?q，但q?/ p，则称p是q的充分不必要条件；
③如果p?/ q，但q?p，则称p是q的必要不充分条件；
④如果既有p?/ q，又有q?/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
四种命题间的关系的判定
【例】 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“如果a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
【解析】 (1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，如果a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．该命题是真命题，证明如下：
∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a．又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，∴否命题为真命题．
(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，如果f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0．是真命题，可证明原命题为真来证明它．
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．
巩固1.下列命题中为真命题的序号是________．
若，则；
命题：若，则或的逆否命题为：若且，则；
“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件；
命题“若，则”的否命题为“若，则”．
【解析】当时，，故错误；
根据逆否命题的定义可知，故正确；
“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故错误；
根据否命题的定义知正确．
故答案为．
巩固2.（选修2-1 P21复习题第4题改编）命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是___________．
【解析】根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
巩固3.给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实数根”的逆否命题；
④若a＋b是偶数，则整数a，b都是偶数．
其中真命题是 ．(填序号)
【解析】①显然正确；②不全等的三角形的面积不相等，故②不正确；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确；④若a＋b是偶数，则整数a，b都是偶数或都是奇数，故④不正确．真命题是①③．

巩固4.有三个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．
其中真命题的序号为____________．
【解析】命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；
因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；
命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0?－3≤x≤2，故命题③是假命题．
综上知只有命题①是真命题．
充要条件、必要条件的判定
【例】给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cos α ③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．
其中正确命题的序号为________．
【解析】因为函数y＝3x在R上为增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错；
由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α 当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数，当f(x)是奇函数时，由f(－1)＝－f(1)得a＝0，所以③真，∴正确命题的序号是③．
巩固1.“”是“”的___________条件．
【解析】时，若，，则““不能得到“”；
时，且，，则“”能得到“”，
则“”是“”的必要不充分条件．故答案为必要不充分．
巩固2.“x＞1”是“false(x＋2)＜0”的____________条件．
【解析】一方面，由x＞1?x＋2＞3?false(x＋2)＜0，另一方面，由
false(x＋2)＜0?x＋2＞1?x＞－1，故“x＞1”是“false(x＋2)＜0”的充分不必要条件．

巩固3.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的______________条件．
【解析】若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
反过来，若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交．
故应填充分不必要．

充分必要条件的应用
【例】已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)(x－8)≤0}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5【解析】(1)由M∩P＝{x|5(2)即在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5反之，M∩P＝{x|5(3)即求一个集合Q，使{a|－3≤a≤5}是集合Q的一个真子集．如果{a|a≤5}，那么未必有M∩P＝{x|5故a≤5是所求的一个必要不充分条件．
巩固1.已知p：<1，q：x2＋(a－1)x－a>0，如果p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
【解析】不等式<1等价于－1<0，即>0，解得x>2或x<1，所以p为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x2＋(a－1)x－a>0可以化为(x－1)(x＋a)>0，当－a≤1时，解得x>1或x<－a，即q为(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此时a＝－1；当－a>1时，不等式(x－1)(x＋a)>0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此时－a<2，即－2 巩固2.已知集合A＝{x∈R|<2x<8}，B＝{x∈R|－1 【解析】A＝{x∈R|<2x<8}＝{x|－1 ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴false，并且false，∴m＋1>3，即m>2．
巩固3.（拔高题）若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
【解析】由已知易得{x|x2－2x－3>0}?{x|xm＋1}，
又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴或∴0≤m≤2．
巩固4.已知命题p：“方程有两个不相等的实根”，命题p是真命题。
求实数m的取值集合M；
设不等式的解集为N，若是的充分条件，求a的取值范围．
【解析】命题p ：方程有两个不相等的实根，
，解得或，
或．
是的充分条件，，
，，解得，
综上，或，
的取值范围为．
巩固5.已知集合，；设p：，q：，若P是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】因为，所以，所以，
所以．
因为，
所以，
又因为，所以．
所以．
因为p是q的充分不必要条件．
所以，中等号不同时成立，可得：．
巩固6.（拔高题）已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
【解析】 ∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0．
又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，
∴false，解得m∈．
∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
∴∴m为4的约数．又∵m∈，∴m＝－1或1．
当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数；
而当m＝1时，两方程的根均为整数，∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1．
1061720010541000常用逻辑用语
1．简单的逻辑联结词
(1)“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词．
(2)“p或q”可记作“p∨q”、“p且q”可记作“p∧q”、“非p”可记作“false”．
(3)复合命题“p且q”、“p或q”、“非p”的真假判断：
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“?”表示．
含有全称量词的命题，称为全称命题．如“对任意实数x∈M，都有p(x)成立”简记成“?x∈p(x)”．
(2)存在量词：对应日常语言中的“存在一个”“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“?”表示．
含有存在性量词的命题称为存在性命题．如“存在实数x∈M，使p(x)成立”简记成“?x∈M，p(x)”．
3．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
?x∈M，p(x)
false
?x∈M，p(x)
false
复合命题及其真假的判断
【例】已知命题p：，使；命题q：，都有，给出下列结论：
命题“”是真命题；命题“”是假命题；
命题“”是真命题；命题“”是假命题．
其中正确的是______．
【解析】命题p：，因此不存在，使?，故是假命题；
命题q：，因此，都有，是真命题．
给出下列结论：命题“”是真命题，不正确；
命题“”是假命题，不正确；
命题“”是真命题，正确；
命题“”是假命题，正确．
故答案为．
巩固1.已知命题p：对任意的，总有；命题q：“”是“”的充分不必要条件，则下列判断中正确的是________填序号
“”为真命题，“为真命题，“”为假命题；
“”为真命题，“”为假命题，“”为真命题；
“”为假命题，“”为假命题，“”为假命题；
“”为真命题，“”为假命题，“”为假命题．
【解析】因为，，所以命题p为真命题；
因为是的必要不充分条件，所以命题q为假命题，
所以为真命题，为假命题，为假命题．
故答案为．
巩固2.已知命题p：，，q：，，则在命题“”；“”；；中，真命题的个数为? ? ? ?．
【解析】由指数函数知，命题，是真命题
因为，所以q：，是假命题，
则?为真命题；??为假命题；?是假命题；?是真命题．
故答案为2．
巩固3.已知命题p：存在x∈R，使tanx＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1①p∧q ②p∧(falseq) ③(falsep)∨q ④(falsep)∨(falseq)
其中真命题是____(填序号)．
【解析】命题p：存在x∈R，使tanx＝1是真命题，
命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1由此可得：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(falseq)”是假命题；③命题“(falsep)∨q”是真命题；④命题“(falsep)∨(falseq)”是假命题．
故答案为①③．
巩固4.（选修2－1 P11习题1．2 第3题改编）设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是____________．
①p为真 ②非q为假 ③p∧q为假 ④p∨q为真
【解析】函数y＝sin2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；
x＝不是y＝cosx的对称轴，命题q为假命题．
故p∧q为假．③正确．
含一个量词的命题的否定及其真假判断
【例】（选修2－1 P21复习题第5题改编）命题“?x>－1，x2＋x－2 019>0”的否定是__________________________．
【解析】含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，
故得命题“?x>－1，x2＋x－2 019>0”的否定是“?x>－1，x2＋x－2 019≤0”．
巩固1.命题：“，”的否定为______．
【解析】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题：“，”的否定是：，；
巩固2.（易错题）已知命题p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则falsep是_____________．
①?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 ②?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
③?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 ④?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
【解析】题目中命题的意思是“对任意的x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0都成立”，要否定它，只要找到至少一组x1，x2，使得(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0即可，故命题“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0”的否定是“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．故选③
巩固3.命题“，”的否定为______．
【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，
即，．
故答案为，．
求含参数的复合命题中参数的取值范围
【例】（1）已知命题p：?x∈false，x2－a≥0，命题q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值的集合是_ ．
（2）已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若?x1∈[，3]，?x2∈[2，3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________．
【解析】（1）由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题．
若命题p为真命题，则a≤x2恒成立，因为x∈false，所以a≤1．
若命题q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实数根，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2．
综上，实数a的取值的集合是{a|a≤－2或a＝1}．
(2)∵x∈[，3]，∴f(x)≥2 ＝4，当且仅当x＝2时，f(x)min＝4，当x∈[2，3]时，g(x)min＝22＋a＝4＋a，依题意f(x)min≥g(x)min，∴a≤0．，即实数a的取值范围是false．
巩固1.若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是______．
【解析】命题“，”是假命题，
则，是真命题，
，解得，
实数a的取值范围是，
巩固2.已知命题p：关于x的方程有实根；命题q：关于x的函数在上是增函数，若是真命题，则实数a的取值范围是______ ．
【解析】命题p：关于x的方程有实根，则，解得，或．
命题q：关于x的函数在上是增函数，，解得．
若是真命题，则p，q同时为真命题，
则，即或
巩固3.已知命题p：方程有实数解，命题q：对任意恒成立若命题“”为真，“”为真，则实数m的取值范围是________．
【解析】对于命题p：方程有实数解，则，解得或，
命题q：对任意恒成立，则，解得，
若命题为真，为真，则p假q真，则实数m的取值范围是．
故答案为．
巩固4.（易错题）已知命题P：false，命题Q：false，若false是false的必要而不充分的条件，试求实数false的取值范围．
【解析】由命题P：false，命题Q：false，得：
false：false，false：false．
记使命题false成立的false的集合为false使命题false成立的false的集合为false．
∵false是false的必要而不充分的条件，∴false是false的真子集
于是false，或false
∴实数false的取值范围是false．

巩固5.（拔高题）设p：方程false表示双曲线；q：函数false在R上有极大值点和极小值点各一个，若“p且q”为真命题，求实数m的取值范围．
【解析】∵方程false表示双曲线，∴false，即false
或false．
∵函数false在R上有极大值点和极小值点各一个，
∴false有两个不同的解false，即△＞0，由△＞0，
得m＜－1或m＞4．
又当false时，false，false在false上单调递增；当false时，false，false在false上单调递减；当false时，false，false在false上单调递增，∴false分别是函数false的极大值点和极小值点．
要使“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，
∴ false．
∴实数false的取值范围是false