2.2.5二次函数的图像与性质 课件（共29张PPT）

第2节 二次函数的图像与性质
（第5课时）
第二章 二次函数
2020-2021北师大版九年级数学下册
2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.
1.经历探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.
学习目标
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
（h，k）
（h，k）
直线x=h
向上
向下
当x=h时,y有最小值为k.
当x=h时, y有最大值为k.
当xh时, y随着x的增大而增大.
根据图象填表：
直线x=h
当xh时, y随着x的增大而减小.
y=a(x-h)2+k（a<0）
y=a(x-h)2+k（a>0）
新课导入
顶点坐标
对称轴
最值
y=-2x2
y=-2x2-5
y=-2(x+2)2
y=-2(x+2)2-4
y=(x-4)2+3
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
(0,0)
y轴
0
(0,-5)
y轴
-5
(-2,0)
直线x=-2
0
(-2,-4)
直线x=-2
-4
(4,3)
直线x=4
3
?
?
?
?
?
?
探究：
如何画出y＝ x2－6x＋21的图象呢？
我们知道，像y＝a(x－h)2 ＋k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数y＝ x2－6x＋21也能化成这样的形式吗？
二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系
知识点一
探究新知
y＝ x2－6x＋21
配
方
y＝ (x－6)2＋3.
你知道是怎样配方的吗？
3.“化”：化成顶点式.
y＝ (x2－12x)＋21
y＝ (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ (x－6) 2＋21－18
y＝ (x－6) 2＋3
1. “提”：提出二次项系数；
2.“配”：括号内配成完全平方式；
求二次函数y=ax2＋bx＋c的顶点式？
配方：
提取二次项系数
配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项
化简：去掉中括号
所以y=ax2＋bx＋c的对称轴是：
顶点坐标是：
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1)，当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大.
解：
例1 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴、顶点坐标和增减性.
例题讲解
例2 求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得y=ax2+bx+c
例题讲解
因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直
线x= ,顶点坐标是
顶点式
y=a(x－h)2 +k
二次函数y=ax2+bx+c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
(1)
x
y
O
如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大；当x= 时，函数达到最小值，最小值为 .
(2)
x
y
O
如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小;当x= 时，函数达到最大值，最大值为 .
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随x的增大而减小.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知识点二
思考：1.你能画出　　　　　　 的图象吗？
2.如何直接画出　　　　　　 的图象？
3.观察图象，二次函数　　　　　　 的性质是什么？
如果直接画二次函数y＝ x2－6x＋21的图象，可按如下步骤进行
由配方的结果可知，抛物线y＝ x2－6x＋21的顶点是(6，3)，对称轴是x＝6.
先利用图象的对称性列表：
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
y＝
…
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
…
然后描点画图，得到y＝ 的图象(如图)．
从图中二次函数y＝ x2－6x＋21的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大．
二次函数y=ax2 +bx+c的图形与a,b,c之间的关系
知识点三
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c＝0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
例3 已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图，有下列结论：
① a+b+c<0；② a-b+c>0；③ abc>0；④ b=2a. 其中正确的结论有（ ）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
B
总结：当x=1 时，对应的函数值y=ax2+bx+c=a+b+c，观察图象可知此时抛物线上对应的点在x 轴下方，说明此时的函数值y<0，即a+b+c<0.
例题讲解
1.若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位长度，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线的表达式应变为(　　)
A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5
C．y＝x2－1 D．y＝x2＋4
课堂练习
2.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的表达式是(　　)
A． B．
C． D．
3 对于二次函数y＝－ x2＋x－4，下列说法正确的是(　　)
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值－3
C．图象的顶点坐标为(－2，－7)
D．图象与x轴有两个交点
4. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．abc＜0，b2－4ac＞0
B．abc＞0，b2－4ac＞0
C．abc＜0，b2－4ac＜0
D．abc＞0，b2－4ac＜0
5.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)．其中结论正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
开口方向：当a＞0时，开口向上；
当a＜0时，开口向下；
顶点坐标：
对称轴：直线x＝－
课堂小结
函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
增减性　
当x＜－ 时，y随x的增大而减小；
当x＞－ 时，y随x的增大而增大
当x＜－ 时，y随x的增大而增大；
当x＞－ 时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－ 时，y有最小
值，为
当x＝－ 时，y有最大
值，为
谢谢聆听