2.2.2 二次函数的图像与性质 课件（共25张PPT）

第2节 二次函数的图像与性质
（第2课时）
第二章 二次函数
2020-2021北师大版九年级数学下册
1.会画二次函数y=ax2+c的图象.（难点）
2.掌握二次函数y=ax2+c的性质并会应用.（重点）
3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系.
学习目标
门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗？
羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,大家能回忆出二次函数y=x2的性质吗？
新课导入
二次函数y=ax2的图象
知识点一
（2）描点.
（3）连线.
（1）列表.
问题1：画二次函数y=2x2的图象.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
2x2
…
…
18
8
2
0
2
8
18
1
2
3
4
5
x
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
y=2x2
探究新知
1. 二次函数y=2x2的图象是什么形状？
抛物线
1
2
3
4
5
x
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
y=2x2
1
2
3
4
5
x
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
y=2x2
2.二次函数y=2x2与y=x2有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
开口方向相同：向上
对称轴相同：y轴
顶点相同：原点
开口大小不同
开口方向：向上；对称轴：y轴；顶点坐标：（0，0）
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
开口方向、对称轴、顶点坐标相同，开口大小不同
二次函数 , y=x2 ,y=2x2的图象有什么相同和不同之处？
当a>0时，a的值越大，开口越小.
问题2：在同一直角坐标系中，画出函数
的图象如图所示，观察其开口大小与a的值有什么关系？
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
当a<0时，a的值越小，开口越小.
例1 在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2和
y3＝ x2的图象，正确的是图中的(　　)

D
例题讲解
二次函数y＝ax2的性质
知识点二
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质如下表：
函数
y＝ax2
图象
开口方向
开口大小
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
a＞0
向上
|a|越大，
开口越小
(0，0)
y轴(直线x＝0)
左减
右增
当x＝0时，
y最小值＝0
a＜0
向下
|a|越小，
开口越大
(0，0)
y轴(直线x＝0)
左增
右减
当x＝0时，
y最大值＝0
例2 如图所示，四个二次函数的图象分别对应的是：
① y=ax2；② y=bx2；
③ y=cx2；④ y=dx 2.
①与③，②与④分别关于x 轴对称.
（1）比较a，b，c，d 的大小关系；
（2）说明a 与c，b 与d 的数量关系.
例题讲解
总结：用特殊值法：当x=1时，四个函数值分别等于二次项系数，
∴直线x=1 与四条抛物线的交点从上到下依次为
（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
∴ a>b>d>c.
例3 根据下列条件分别求a的取值范围：
(1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值；
(3)抛物线y＝(a＋2)x2与抛物线y＝－ x2的形状相同；
(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线．
例题讲解
解：(1)由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)由题意得3a－2＜0，解得a＜ .
(3)由题意得|a＋2|＝ ，解得a1＝－ ，a2＝－ .
(4)由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1，
由题知a＞0，∴a＝1.
问题3： 画出二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的图象，观察图象，看一看它们是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
(1)列表：
x
···
－2
－1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y=2x2＋1
···
···
y=2x2－1
···
···
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
(2)描点
(3)连线
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
y=2x2+1的图象是轴对称图形
开口：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0,1）
y=2x2-1的图象是轴对称图形 开口：向上
对称轴：y轴 顶点坐标：（0,-1）
可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
结论：
抛物线y=ax2+c的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （c＞0）或 （c＜0）平移 个单位.
向上
向下
|c|
1.若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点(　　)
A．(2，4)　 B．(－2，－4)
C．(－4，2)　 D．(4，－2)
课堂练习
2.函数y＝ax－2与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
3.函数y＝k(x－k)与y＝kx2，y＝ (k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
4.抛物线y＝ x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对
称轴；④都关于x轴对称．其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.若二次函数y＝－ax2，当x＝2时，y＝ ；则当x＝－2时，y＝________．
y=±x2
y=2x2
y=ax2（a＞0，a＜0）
y=2x2±1
y=ax2+c（c＞0，c＜0）
特殊
一般
分类
数形结合！
a＞0开口向上 a＜0开口向下|a|越大，开口越小，顶点（0,0）对称轴y轴，最值
当c>0时,向上平移|c|个单位
当c<0时,向下平移|c|个单位
课堂小结
抛物线
y=ax2(a≠0)
y= ax2 +c
开口方向
对称轴
顶点
增减性
最值
关系
y=ax2向上（下）平移|c|个单位
a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
a>0时，在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；a<0时，在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减
最大（小）值是0
最大（小）值是c
（0，c）
a>0时，在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；a<0时，在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减
谢谢聆听