(共82张PPT)
第三篇
解题技巧?思想导引
第1讲 解客观题的8种方法
选择题、填空题是高考必考的题型,共占80分,因此,探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的.选择题的特点是灵活多变、覆盖面广,且答案就在给出的选项中.而填空题是一种只要求写出结果,不要求写出解答过程的客观性试题.解答选择题、填空题时,对正确性的要求比解答题更高、更严格.它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法.
题型特点
常用方法
(1)知识面广,切入点多,综合性
较强;
(2)概念性强,灵活性大,技巧性
较强;
(3)立意新颖,构思精巧,迷惑性
较强.
选择题、填空题属“小”题,解题的原则
是“小”题巧解,“小”题快解.主要分直
接法和间接法两大类.具体的方法有:直接
法、特值(例)法、数形结合法、排除法
(筛选法)、构造法和估算法等.
一
直接法
直接对照型选择题是直接从题设条件出发,利用已知条件、相关概念、性质、公式、定理、法则等基础知识,通过严谨推理、准确运算、合理验证,从而得出正确结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座”,从而确定选项.其基本求解策略是由因导果,直接求解是解题中最常用的方法.
【典例1】(1)(2020·郴州一模)在数列{an}中,满足a1=2,
=an-1·an+1(n≥2,
n∈N
),Sn为{an}的前n项和,若a6=64,则S7的值为( )
A.126 B.256 C.255 D.254
【解析】选D.在数列{an}中,满足
=an-1an+1(n≥2,n∈N
),则数列{an}为等比数
列,设其公比为q,又由a1=2,a6=64,得q5=
=32,则q=2,则S7=
=28-2=254.
(2)已知直线l过抛物线C:y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于M,N两点,若线段MN的长是16,MN的中点到y轴的距离是6,O是坐标原点,则( )
A.抛物线C的方程是y2=-8x
B.抛物线的准线方程是y=2
C.直线l的方程是x-y+2=0
D.△MON的面积是8
【解析】选A.设M(x1,y1),N(x2,y2),由抛物线的定义可得|MN|=-(x1+x2)+p=16,
又因为MN的中点到y轴的距离是6,
所以|x1+x2|=12,所以x1+x2=-12,
所以p=4,所以抛物线的方程为y2=-8x,
所以A正确,准线方程为x=2,所以B不正确;
设直线l的方程为x=my-2,
联立直线与抛物线的方程:
整理可得y2+8my-16=0,y1+y2=-8m,所以
x1+x2=m(y1+y2)-4=-8m2-4=-12,解得m=±1,所以l的方程为:x=±y-2,所以C不正
确;
设抛物线的焦点为F,则S△MON=
|OF|·|y1-y2|=
·2
,所以D不正确.
【技法点拨】
直接法适用范围及注意事项
(1)涉及概念、性质的辨析或简单的运算题目多采用直接法.
(2)直接法解题一定要注意概念的内涵与外延,再注意运算的准确性.
【变式训练】
1.已知复数z=
为纯虚数(其中i为虚数单位),则实数a=( )
A.-3
B.3
C.-
D.
【解析】选A.由题意,复数z=
因为复数z为纯虚数,可得
解得a=-3.
2.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
则f(2
020)的值为
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选C.因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
所以f(x+6)=f(x+5)-f(x+4)=f(x+4)-f(x+3)-f(x+4)=-f(x+3)=-[f(x+2)-f(x+1)]
=-[f(x+1)-f(x)-f(x+1)]=f(x),
所以f(2
020)=f(336×6+4)
=f(4)=f(3)-f(2)=f(2)-f(1)-f(2)
=-f(1)=-f(0)+f(-1)=-log21+log22=1.
二
特值(例)法
特值(例)法是根据题设和各选项的具体情况和特点,选取满足条件的特殊的数
值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的
方程等,针对各选项进行代入对照、排除,从而得到正确的答案.
【典例2】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,
则
=________.?
【解析】取特殊值a=3,b=4,c=5,
则cos
A=
cos
C=0,
从而
答案:
(2)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10
=__________.?
【解析】方法一(直接法):由9=a5a6=a4a7=a3a8=a2a9=a1a10知原式=log3(a5a6)5=
log3310=10.
方法二(小题巧做):因为答案唯一,故取一个满足条件的特殊数列a5=a6=3,q=1,则原式=log3310=10.
答案:10
【技法点拨】
特值法应注意的问题
用特值法解选择题或填空题时,要注意以下两点:
(1)取特值尽可能简单,有利于计算和推理;
(2)若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符,则应选另一特例情况再检验,或改用其他方法求解.
【变式训练】
已知E为△ABC的重心,AD为BC边上的中线,令
=a,
=b,过点E的直线分别交
AB,AC于P,Q两点,且
=ma,
=nb,则
+
=( )
A.3
B.4
C.5
D.
【解析】选A.由于直线PQ是过点E的一条“动”直线,所以结果必然是一个定值.
方法一:如图1,令PQ∥BC,
则
此时,m=n=
故
=3.
方法二:如图2,直线BE与直线PQ重合,此时
故m=1,n=
,所
以
=3.
三
图解法
对于一些含有几何背景的问题,往往可以借助图形的直观性,迅速做出判断,解决问题,得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.
【典例3】(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,
则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b
=b2,所以cos
θ=
,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为
,故选B.
(2)(2019·天津高考)已知函数f(x)=
若关于x的方程f(x)=-
x
+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为( )
【解析】选D.如图,当直线y=-
x+a位于B点及其上方且位于A点及其下方,或
者直线y=-
x+a与曲线y=
相切在第一象限时符合要求.
即1≤-
+a≤2,即
≤a≤
,
或者-
=-
,得x=2,y=
,
即
=-
×2+a,得a=1,
所以a的取值范围是
∪{1}.
【技法点拨】
图解法解题技巧
正确把握各种式子中的变量与几何图形之间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.
【变式训练】
1.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[1,3]时,f(x)=-x2+4x-3,函
数g(x)=
则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-3,3]上的零点的个数为
( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选B.因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x),所以函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数.在区间[-3,3]上,函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f(x)=g(x)的根的个数,即函数f(x)和g(x)的图象的交点的个数.
于是,在同一平面直角坐标系内分别画出函数f(x)和g(x)的图象(如图),则由图可知:在区间[-3,3]上两个函数的图象共有4个交点.
2.已知函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)恰有一个零点,则实数a的取值范围为________.?
【解析】f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有一个零点等价于函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=x+a的图象有一个交点,由图象(如图1)可知,当0
当a>1时(如图2),因为函数y=ax(a>1)的图象过点(0,1),
而直线y=x+a所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点,所以实数a的取值范围是0答案:0四
排除(筛选)法
排除法也叫筛选法、淘汰法,此法适用于选择题,它是充分利用选择题的特征,即有且只有一个正确的选项,通过分析、推理、计算、判断,排除不符合要求的选项,从而得出正确结论的一种方法.
【典例4】(1)函数f(x)=
的部分图象大致是( )
【解析】选A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),所以f(x)为
奇函数,排除选项C,D.又f(π)=-
<0,则排除B.
(2)如图,半径为1的圆O中,A,B为直径的两个端点,点P在圆上运动,设∠BOP=α,
将动点P到A,B两点的距离之和表示为α的函数f(α),则y=f(α)在[0,2π]上
的图象大致为( )
【解析】选A.以角度为变量的三角函数图象是弯曲的,排除C,D.当∠BOP=
时,y=f(α)=2
<3,排除B.
【技法点拨】
排除法解题策略
(1)逻辑排除:通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定.
(2)逐一验证:将选项逐一代入条件验证排除.
【变式训练】
1.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图,判断下列结论不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【解析】选D.从2006年开始,将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较,得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大,A选项正确;2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多,B选项正确;虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些,但自2006年以来,整体呈递减趋势,即C选项正确;自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关,D选项错误.
2.函数f(x)=
cos
x(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
【解析】选D.因为f(x)=
cos
x,
所以f(-x)=-f(x),又定义域关于原点对称,所以f(x)为奇函数,排除A,B;当x=
π时,f(x)<0,排除C.
五
构造法
构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向,通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型,从而转化为自己熟悉的问题.
关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,首先应观察题目,观察已知(例如代数式)形式上的特点,然后积极调动思维,联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型,深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型,达到快速解题的目的.
【典例5】(1)在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形
的四面体称为鳖臑.如图所示,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异
面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.由题意,可补成正方体,如图,
异面直线AC与BD所成角就是ED与BD所成角,而△BDE为等边三角形,所以ED与BD
所成角为
,cos
=
.故选A.
(2)(2019·天津高考)设x>0,y>0,x+2y=5,则
的最小值为
________.?
【解析】
当且仅当xy=3时等号成立.
故所求的最小值为4
.
答案:4
【技法点拨】
构造法的解题策略
(1)认真阅读题设条件;
(2)联想、类比已有知识;
(3)构造一个数学模型解决问题.
如(1)题巧妙地构造出正方体,而(2)构造基本不等式,问题都很容易地解决了.
【变式训练】
1.已知m,n∈(2,e),且
,则( )
A.m>n
B.mC.m>2+
D.m,n的大小关系不确定
【解析】选A.由不等式可得
m-ln
n,即
+ln
n<
+ln
m.设
f(x)=
+ln
x(x∈(2,e)),
则f′(x)=-
+
=
.
因为x∈(2,e),所以f′(x)>0,故函数f(x)在(2,e)上单调递增.因为f(n)所以n2.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N
,则a1=________,
S5=________.?
【解析】因为an+1=2Sn+1,所以Sn+1-Sn=2Sn+1,
所以Sn+1=3Sn+1,所以Sn+1+
=3
所以数列
是公比为3的等比数列,
所以
=3.又S2=4,所以S1=1,所以a1=1,所以S5+
=
×34=
×34=
所以S5=121.
答案:1 121
六
估算法
估算法就是不需要计算出准确数值,可根据变量变化的趋势或极值的取值情况估算出大致取值范围,从而解决相应问题的方法.
【典例6】(1)(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐
的长度与肚脐至足底的长度之比是
(
≈0.618,称为黄金分割比例),
著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至
肚脐的长度之比也是
.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为
105
cm,头顶至脖子下端的长度为26
cm,则其身高可能是( )
A.165
cm
B.175
cm
C.185
cm
D.190
cm
【解析】选B.如图所示,设a,b,c,d分别为头顶到肚脐、肚脐到足底、头顶到
咽喉、咽喉到肚脐的长度.
由条件①c≤26,而
≈0.618,
所以d≤
≈42.
所以c+d<68.
即a<68.而
≈0.618,
所以b<
≈110,所以a+b<178.
由条件②b≥105,
因为
≈0.618,
所以a≥105×0.618,
即a≥64.9.
所以a+b≥169.9.
综上,169.9≤a+b<178.
故选B.
(2)如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,
EF=
,EF到平面AC的距离为2,则该多面体的体积为( )
A.
B.5
C.6
D.
【解析】选D.该多面体体积直接求比较困难,可连接BE,CE,原体积转化为四棱锥E-ABCD和三棱锥E-BCF的体积之和,而VE-ABCD=6,故由局部估算出整体,原多面体体积大于6,只有D符合.
【技法点拨】
估算法的应用技巧
对于数值计算,常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等;对于几何体问题,常进行分割、拼凑、位置估算.
【变式训练】
若0<α<β<
,sin
α+cos
α=a,sin
β+cos
β=b,则( )
A.aB.a>b
C.ab<1
D.ab>2
【解析】选A.若α→0,则sin
α+cos
α=a→1.
若β→
,则sin
β+cos
β=b→
,从而b>a.
对f(x)=sin
x+cos
x=
sin(x+
),
0,
<
,
所以f(x)∈(1,
),所以a,b∈(1,
).
所以ab∈(1,2),则C,D均不正确.
七
多项选择题的解法
多项选择题由一个题干和四个备选项组成,备选项中至少有2个正确的选项,所选正确答案将是2个或3个有时也可能4个.如果答案中没有错误选项,并全数选出正确选项,则该题得5分;如果答案中没有错误选项,但正确选项未全数选出,则得3分;如果应考者所选答案中有错误选项,该题得零分.
【典例7】如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图(如:第三季度华为销量约占50%,三星销量约占30%,苹果销量约占20%),根据该图,以下结论中不正确的是( )
A.四个季度中,每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量
B.苹果第二季度的销量小于第三季度的销量
C.第一季度销量最大的为三星,销量最小的为苹果
D.华为的全年销量最大
【解析】选ABC.对于A,第四季度中,华为销量大于50%,三星和苹果总销量之和低于华为的销量,故A错误;
对于B,每个季度的销量不确定,根据每个季度的百分比无法比较苹果在第二、三季度销量的多少;
对于C,第一季度销量最大的是华为,故C错误;
对于D,由图知,四个季度华为的销量占比都最大,所以华为的全年销量最大,D正确.
【技法点拨】
多项选择题的解题方法
多项选择题的解题方法可采用直接选择法、排除法、比较法和逻辑推理法等,但一定要慎用感觉猜测法.总之,要根据对各选项把握的程度合理安排应答策略.
【变式训练】
若直线l与曲线C满足下列两个条件:①直线l在点P
处与曲线C相切;②曲
线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列结论
正确的是( )
A.直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3
B.直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln
x
C.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin
x
D.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan
x
【解析】选ACD.A项,因为y′=3x2,当x=0时,y′=0,所以l:y=0是曲线C:y=x3在点
P(0,0)处的切线.
当x<0时,y<0;当x>0时,y>0,所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确;
B项,y′=
,当x=1时,y′=1,在P(1,0)处的切线为l:y=x-1.令h(x)=x-1-ln
x,
则h′(x)=1-
(x>0),当x>1时,h′(x)>0;
当0所以h(x)min=h(1)=0.故x-1≥ln
x,即当x>0时,曲线C全部位于直线l的下侧(除切
点外),结论错误;
C项,y′=cos
x,当x=0时,y′=1,在P(0,0)处的切线为l:y=x,由正弦函数图象可
知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确;
D项,y′=
当x=0时,y′=1,在P(0,0)处的切线为l:y=x,由正切函数图象可
知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.
八
双空题的解题
双空题是新高考的一个新题型,即一个题干中涉及两个空,它们可以是并列关系,也可以是递进关系.做这种题型不要求给出解答过程的求解题,其特点是题目小,跨度大,知识覆盖面广,渗透着各种思想与方法,形式灵活,一般用来考查基础知识和基本运算.
【典例8】(1)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=6,4sin
B=
5sin
C,A=2C,则△ABC的周长为________,若O为△ABC的内心,则△AOB的面积为__________.(本题第一空2分,第二空3分.)?
【解析】由4sin
B=5sin
C,得4sin(π-A-C)=5sin
C,即4sin(A+C)=5sin
C,即
4(sin
Acos
C+cos
Asin
C)=5sin
C.又A=2C,所以4(sin
2Ccos
C+cos
2Csin
C)
=5sin
C,即4[2sin
Ccos2C+(2cos2C-1)sin
C]=5sin
C.因为A=2C,所以0所以sin
C≠0,所以16cos2C-4=5,解得cos
C=
所以sin
C=
所以sin
A
=sin
2C=2sin
Ccos
C=
由正弦定理
得c=
=4.由
4sin
B=5sin
C得4b=5c,所以b=
c=5,所以△ABC的周长为a+b+c=15.S△ABC=
bcsin
A=
×5×4×
设△ABC的内切圆半径为r,则r=
S△AOB=
cr=
.
答案:15
(2)已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2,数列{bn}的每一项都有bn=|an|,设数列{bn}的前n项和为Tn,则T4=________,T30=________.(本题第一空2分,第二空3分.)?
【解析】当n=1时,a1=S1=9,当n≥2时,an=Sn-
=10n-n2-[10(n-1)-(n-1)2]=
-2n+11,当n=1时也满足,所以an=-2n+11(n∈N
),所以当n≤5时,an>0,bn=an,当
n>5时,an<0,bn=-an,所以T4=S4=10×4-42=24,T30=S5-a6-a7-…-a30=2S5-S30=2×
(10×5-52)-(10×30-302)=650.
答案:24 650
【技法点拨】
填空题是一种只要求写出结果,不要求写出解答过程的客观性试题,不设中间分,所以要求所填的是最简最完整的结果.
【变式训练】
1.(2020·洮北区校级期中)已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x3-ln
x,则
曲线y=f(x)在点(-1,-1)处的切线的斜率为____________.已知抛物线C:y2=4x
的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=
x0,则x0=____________.?
【解析】根据题意,设x<0,则-x>0,
则f(-x)=(-x)3-ln(-x)=-x3-ln(-x),
又由函数f(x)为奇函数,
则f(x)=-f(-x)=x3+ln(-x),
则当x<0时,f′(x)=3x2+
,则f′(-1)=3-1=2,
则曲线y=f(x)在点(-1,-1)处的切线的斜率为2;
抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),
因为A(x0,y0)是C上一点,|AF|=
x0,
所以
x0=x0+1,解得x0=4.
答案:2 4
2.若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则
的最小值是________,
最大值为________.(本题第一空2分,第二空3分.)?
【解析】由log2x+log2y=1,得log2(xy)=1,即xy=2,所以
=2,当且仅
当
即x=2,y=1时等号成立.由题意知
>0,又
=(x-y)+
≥2
=4,当且仅当x-y=
即x=1+
,y=
-1时
等号成立,所以
的最小值为4,所以
的最大值为
.
答案:2 (共39张PPT)
第2讲 函数与方程
题型特点
常用方法
函数思想的实质是抛开所研究
对象的非数学特征,用联系和变
化的观点提出数学对象,抽象其
数学特征,建立各变量之间固有
的函数关系,通过函数形式,利
用函数的性质,使问题得到解决.
方程思想是从问题的数量关系入手,运用
数学语言将问题中的条件转化为方程或
方程组,通过解方程或方程组或者运用方
程的性质去分析、转化问题,使问题得到
解决的思想.
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的,是相辅相成的.函数思想
重在对问题进行动态的研究,方程思想则是在动中求静,研究运动中的等量关
系.
一
函数与方程思想在不等式中的应用
【典例1】已知函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数,则不等式(x-2)f(x)<0的解集
为( )
A.(-
,
)∪(2,+∞)
B.(-
,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-
,2)
【解析】选A.因为函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数,所以a+2=0,得a=-2,所以
f(x)=-2x2+4.所以不等式(x-2)f(x)<0可转化为
解得-
或x>2.
故原不等式的解集为(-
,
)∪(2,+∞).
【技法点拨】
函数与不等式的相互转化,把不等式问题转化为函数问题,借助函数的图象和性质可解决相关的问题.常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,从而研究函数性质破解问题.
【变式训练】
已知f(x)=log2x,x∈[2,16],对于函数f(x)值域内的任意实数m,使x2+mx+4>
2m+4x恒成立的实数x的取值范围为( )
A.(-∞,-2]
B.[2,+∞)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】选D.因为x∈[2,16],所以f(x)=log2x∈[1,4],即m∈[1,4]时,不等式x2
+mx+4>2m+4x恒成立,即为m(x-2)+(x-2)2>0恒成立.构造函数g(m)=(x-2)m+(x-
2)2,则此函数在区间[1,4]上恒大于0,所以
解得x<-2或x>2.
二
函数与方程思想在数列的应用
【典例2】(1)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)=4f(x+2),当x∈[0,2)时,
f(x)=
设f(x)在[2n-2,2n)上的最大值为an(n∈N
),且{an}
的前n项和为Sn,若Sn【解析】选B.由题意得,当x∈[0,1)时,1≤f(x)≤
;当x∈[1,2)时,
≤f(x)
≤1,所以当x∈[0,2)时,f(x)的最大值为
;又因为f(x+2)=
f(x),所以当x∈
[2,4)时,f(x)的最大值为
×
;当x∈[4,6)时,f(x)的最大值为
×
,…,
所以当x∈[2n-2,2n)时,f(x)的最大值an=
×
.由等比数列的前n项和公式,
得Sn=
若Sn.
(2)已知函数f(x)满足f(1+x)=1+
,数列{an}满足a1=2,an+1=f
(n∈N
).
(ⅰ)求证:数列{an}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式;
(ⅱ)若bn=an·2n-1,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn以及当Tn>100时n的最小值(n≥1).
【解析】(ⅰ)令t=1+x,
则f(1+x)=1+
可化简为f(t)=1+
.
因为an+1=f
,所以an+1=1+
=an+1,
所以an+1-an=1,所以数列{an}是首项为2,公差为1的等差数列,an=a1+n-1=n+1.
(ⅱ)由(ⅰ)得an=n+1,
因为bn=an·2n-1=(n+1)·2n-1,
所以Tn=2×20+3×21+4×22+…+(n+1)·2n-1①,
2Tn=2×21+3×22+4×23+…+(n+1)·2n②,
由①-②可得:-Tn=2+(21+22+23+…+2n-1)-(n+1)·2n=2+
-(n+1)·2n=
-n·2n,所以Tn=n·2n.
通过计算可得:当n≤4时,Tn<100;
当n≥5时,Tn>100.
综上,当Tn>100时n的最小值为5.
【技法点拨】
数列是定义在正整数集上的特殊函数,等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式都具有函数关系,都可以看成关于n的函数,在解等差数列、等比数列问题时,有意识地寻找其函数关系,从而用函数思想或函数方法研究、解决问题,不仅能获得简便的解法,而且能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平.
【变式训练】
已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.
(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列,求数列{an}的通项公式an;
(2)在(1)的条件下,数列{an}的前n项和为Sn,设bn=
若对任意
的n∈N
,不等式bn≤k恒成立,求实数k的最小值.
【解析】(1)因为a1=2,
=a2(a4+1),
又因为{an}是正项等差数列,故d≥0,
所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),解得d=2或d=-1(舍去),
所以数列{an}的通项公式an=2n.
(2)因为Sn=n(n+1),则
所以bn=
令f(x)=2x+
(x≥1),则f′(x)=2-
>0恒成立,所以f(x)在[1,+∞)上是增函
数,
所以当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max=
,要使对任意的正整数n,不
等式bn≤k恒成立,则需使k≥(bn)max=
,所以实数k的最小值为
.
三
函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用
【典例3】(1)已知函数y=f(x)对任意x∈R,都有2f(x)-3f(-x)=5sin
2x+cos
2x,
将曲线y=f(x)向左平移
个单位长度后得到曲线y=g(x),则曲线y=g(x)的一条
对称轴方程为( )
(2)已知在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=120°,C是OB的中点,P为弧AB上任意一
点,且
则λ+μ的最大值为________.?
【解析】(1)选C.
由
①×2+②×3,得-5f(x)=-5sin
2x+5cos
2x,
即f(x)=sin
2x-cos
2x=
将曲线y=f(x)向左平移
个单位长度后
得到g(x)=
的图象.
令2x+
=
+kπ,k∈Z,求得x=
,k∈Z,
则g(x)的图象的对称轴方程为x=
,k∈Z.
经计算,选项C符合题意.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系,则O(0,0),A(2,0),C
则
=
(2,0),
设P(2cos
θ,2sin
θ),
则λ(2,0)+μ
=(2cos
θ,2sin
θ),
则λ+μ=
sin
θ+cos
θ=
sin(θ+φ),其中tan
φ=
据此可知,
当sin(θ+φ)=1时,λ+μ取得最大值
答案:
【技法点拨】
(1)含参数的三角函数方程问题的两种处理思路:一是分离参数构建函数,将方程有解转化为求函数的值域.二是换元,将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程,进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决.
(2)解决平面向量问题的常用方法:对平面向量的模进行平方处理,把模问题转化为数量积问题,再利用函数与方程思想进行分析与处理.
【变式训练】
1.若方程cos2x-sin
x+a=0在x∈
上有解,则a的取值范围是________.?
【解析】方法一:把方程cos2x-sin
x+a=0变形为a=-cos2x+sin
x,
设f(x)=-cos2x+sin
x,x∈
,f(x)=-(1-sin2x)+sin
x=
由x∈
可得sin
x∈(0,1],易求得f(x)的值域为(-1,1],故a的取值范围是
(-1,1].
答案:(-1,1]
方法二:令t=sin
x,由x∈
,可得t∈(0,1].
依题意得1-t2-t+a=0,即方程t2+t-1-a=0在t∈(0,1]上有解,设f(t)=t2+t-1-a,
其图象是开口向上的抛物线,对称轴为直线t=-
,如图所示.
因此,f(t)=0在(0,1]上有解等价于
即
所以-1答案:(-1,1]
2.设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=
,则|a+xb|(x∈R)的最小值为( )
【解析】选B.|a+xb|2=a2+2xa·b+x2b2
=x2+x+1=
所以当x=-
时,|a+xb|取得最小值
四
函数与方程思想在解析几何中的应用
【典例4】已知点A,B的坐标分别是(-
,0),(
,0),动点M(x,y)满足直线
AM和BM的斜率之积为-3,记M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)直线y=kx+m与曲线E相交于P,Q两点,若曲线E上存在点R,使得四边形OPRQ为
平行四边形(其中O为坐标原点),求m的取值范围.
【解析】(1)kAM·kBM=
=-3,(y≠0),化简得曲线E的方程:
=1(y≠0).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立
得(3+k2)x2+2kmx+m2-6=0,
x1+x2=-
,y1+y2=k(x1+x2)+2m=
Δ=(2km)2-4×(3+k2)(m2-6)=-12m2+24k2+72>0,即-m2+2k2+6>0,①
若四边形OPRQ为平行四边形,则PQ的中点也是OR的中点,所以点R的坐标为
又点R在曲线E上,所以
化简得2m2=
k2+3,②
将②代入①得m2>0,所以m≠0,由②得2m2≥3,所以m≥
或m≤-
,
所以m的取值范围为
【技法点拨】
解决解析几何中的范围问题的关键是抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数的性质来使问题得以解决,这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法.
【变式训练】
1.已知M,N分别是椭圆
+y2=1和圆C:x2+(y-4)2=1上的动点,则|MN|的最大值
为( )
【解析】选D.圆心C为(0,4),设M(x,y),
则|MC|=
又因为-1≤y≤1,所以当y=-
时,
|MC|max=3
,则|MN|max=3
+1.
2.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于P,Q两点.
(1)若l过点F,抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G.证明:点G在定直
线上.
(2)若p=2,点M在曲线y=-
上,MP,MQ的中点均在抛物线C上,求△MPQ面积
的取值范围.
【解析】(1)易知F(0,
),设P(x1,
),Q(x2,
).由题意可知直线l的斜率
存在,故设其方程为y=kx+
.由
得x2-2pkx-p2=0,所以x1x2=-p2.
由x2=2py,得y=
,y′=
,则kPG=
,
直线PG的方程为y-
=
(x-x1),即
x-y-
=0,①
同理可得直线QG的方程为
x-y-
=0,②
联立①②,可得(x1-x2)y=
因为x1≠x2,所以y=
故点G在定直线y=-
上.
(2)设M(x0,y0),MP,MQ的中点分别为
因为MP,MQ的中点均在抛物线C上,
所以x1,x2为方程
的解,
即为方程x2-2x0x+8y0-x02=0的两个不同的实根,
则x1+x2=2x0,x1x2=8y0-x02,
Δ=(-2x0)2-4(8y0-x02)>0,即x02>4y0,
所以PQ的中点N的横坐标为x0,纵坐标为
则
=
[(x1+x2)2-2x1x2]-y0=
-3y0,
|x1-x2|=
所以△MPQ的面积S=
|MN|·|x1-x2|=
由y0=-
,得x02=1-y02(-1≤y0≤0),
所以x02-4y0=-y02-4y0+1=-(y0+2)2+5,
因为-1≤y0≤0,所以1≤-(y0+2)2+5≤4,
所以△MPQ面积的取值范围为(共37张PPT)
第3讲 分类与整合
题型特点
常用方法
分类与整合的思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题,通过
“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略.使用分类与整合思想应注意以下几点:
1.分类时要不重不漏;
2.标准要统一,层次要分明;
3.能不分类的要尽量避免,决不无原则的讨论.
1.由数学概念而引起的分类讨论.
2.由数学运算要求而引起的分类讨论.
3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论.
4.由图形的不确定性而引起的分类讨论.
5.由参数的变化而引起的分类讨论.
分类与整合的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略.
一 由概念、法则、公式引起的分类讨论
【典例1】在直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2=r2(r>0)与直线l0:y=x+2
相切,
点A为圆C1上一动点,AN⊥x轴于点N,且动点M满足
,设动点M的轨
迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设P,Q是曲线C上两动点,线段PQ的中点为T,OP,OQ的斜率分别为k1,k2,且k1k2
=-
,求|OT|的取值范围.
【解析】(1)设动点M(x,y),A(x0,y0),由于AN⊥x轴于点N,所以N(x0,0),又圆
C1:x2+y2=r2(r>0)与直线l0:y=x+2
相切,
所以r=
=2,则圆C1:x2+y2=4.
由题意,
得(x,y)+(x-x0,y-y0)=(x0,0),所以
又点A为圆C1上的动点,所以x2+4y2=4,即
+y2=1.
(2)当PQ的斜率不存在时,设直线OP为y=
x,
不妨取点P（
），则Q（
），T(
，0)，
所以|OT|=
.
当PQ的斜率存在时,设直线PQ为y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.
所以x1+x2=
x1x2=
因为k1k2=-
,所以4y1y2+x1x2=0.
所以4(kx1+m)(kx2+m)+x1x2
=(1+4k2)x1x2+4km(x1+x2)+4m2
=4m2-4-
+4m2=0.
化简得:2m2=1+4k2,所以m2≥
.
Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)=16(4k2+1-m2)=16m2>0.设T(x3,y3),则x3=
y3=kx3+m=
.所以|OT|2=
所以|OT|∈
综上,|OT|的取值范围是
【技法点拨】
解决由概念、法则、公式引起的分类整合问题的步骤
第一步:确定需分类的目标与对象,即确定需要分类的目标,一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标.
第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类对象进行区分.
第三步:分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处理.
第四步:汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总,并作进一步处理.
【变式训练】
1.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,
且函数g(x)=(1-4m)
在[0,+∞)上是增函数,则a=________.?
【解析】若a>1,有a2=4,
a-1=m.
解得a=2,m=
.
此时g(x)=-
为减函数,不合题意.
若0故a=
,m=
,检验知符合题意.
答案:
2.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…),则q的取值范围是
________.?
【解析】由{an}是等比数列,Sn>0,可得a1=S1>0,q≠0,当q=1时,Sn=na1>0.当q≠1
时,Sn=
>0,即
>0(n=1,2,3,…),
由①得-11.
故q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
答案:(-1,0)∪(0,+∞)
二
由参数的取值范围引起的分类讨论
【典例2】已知函数f(x)=ex(ax2+x+a)(其中常数a≥0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)≤ex(ax2+2x)+1恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R,且f′(x)=(ax+a+1)(x+1)ex,
①当a=0时,f′(x)=ex(x+1),当x>-1时,f′(x)>0,当x<-1时,f′(x)<0,
所以函数f(x)的单调增区间为(-1,+∞),单调减区间为(-∞,-1).
②当a>0时,f′(x)=a(x+1)
ex,则方程f′(x)=0有两根-1,-
,
且-1>-
.
所以函数f(x)的单调增区间为
和(-1,+∞),单调减区间为
综上可知,当a>0时,函数f(x)的单调增区间为
和(-1,+∞),
单调减区间为
当a=0时,函数f(x)的单调增区间为(-1,+∞),
单调减区间为(-∞,-1).
(2)函数f(x)≤ex(ax2+2x)+1恒成立转化为a≤x+
在R上恒成立.
令h(x)=x+
,则h′(x)=
,易知h(x)在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为
减函数.
所以h(x)min=h(0)=1,则a≤1.
又依题设知a≥0,故实数a的取值范围为[0,1].
【技法点拨】
若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论,此种题目为含参型,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确、不重不漏.
【变式训练】
已知函数f(x)=x2-(2m+1)x+ln
x(m∈R).
(1)当m=-
时,若函数g(x)=f(x)+(a-1)ln
x恰有一个零点,求a的取值范围;
(2)当x>1时,f(x)<(1-m)x2恒成立,求m的取值范围.
【解析】(1)函数g(x)的定义域为(0,+∞).
当m=-
时,g(x)=aln
x+x2,
所以g′(x)=
①当a=0时,g(x)=x2,在x∈(0,+∞)上,g(x)=0无解.所以x>0时无零点,即a≠0.
②当a>0时,g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,取x0=
,则
=-1+
<0,
因为g(1)=1,所以g(x0)·g(1)<0,此时函数g(x)恰有一个零点,即a>0.
③当a<0时,令g′(x)=0,解得x=
.
当0时,
g′(x)<0,
所以g(x)在
上单调递减;
当x>
时,g′(x)>0,
所以g(x)在
上单调递增.
要使函数g(x)有一个零点,
则
=0,即a=-2e.
综上所述,若函数g(x)恰有一个零点,则a=-2e或a>0.
(2)令h(x)=f(x)-(1-m)x2=mx2-(2m+1)x+ln
x,根据题意,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0
恒成立.
又h′(x)=2mx-(2m+1)+
①若0,则x∈
时,h′(x)>0恒成立,所以h(x)在
上是增函数,
且h(x)∈
所以不符合题意.
②若m≥
,则x∈(1,+∞)时,h′(x)>0恒成立,所以h(x)在(1,+∞)上是增函数,
且h(x)∈(h(1),+∞),所以不符合题意.
③若m≤0,则x∈(1,+∞)时,恒有h′(x)<0,故h(x)在(1,+∞)上是减函数,于是“h(x)<0对任意x∈(1,+∞)都成立”的充要条件是h(1)≤0,即m-(2m+1)≤0,解得m≥-1,故-1≤m≤0.
综上,m的取值范围是[-1,0].
三 由图形位置或形状引起的分类讨论
【典例3】(1)已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行截面间的距离是( )
A.1 B.2 C.1或7 D.2或6
【解析】选C.画出球的截面图.如图所示.
是一个球的大圆,两平行直线是球的两个平行截面的直径,m=
=4,n=
=3,
当两个平行截面在球心的两侧时,
两平行截面间的距离是m+n=7;
当两个平行截面在球心的同侧时,
两平行截面间的距离是m-n=1.
(2)设F1,F2为椭圆
=1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角
三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求
的值.
【解析】①若∠PF2F1=90°,
则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,
又因为|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2
,
解得|PF1|=
,|PF2|=
,所以
=
.
②若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2.
所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,
所以
=2.综上知,
=
或2.
【技法点拨】
六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类整合
(1)二次函数对称轴的变化;(2)函数问题中区间的变化;(3)函数图象形状的变化;(4)直线由斜率引起的位置变化;(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化;(6)立体几何中点、线、面的位置变化等.
【变式训练】
1.已知实数x,y满足约束条件
如果目标函数z=x+ay的最大值为
,
则实数a的值为( )
【解析】选D.先画出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分所示,目标
函数化为y=-
x+
z,当a>0时,-
<0,只需目标函数截距最大.
①若
,即a>2,最优解为
a=3,符合题意;
②若
,即0,不符合题意,舍去.
当a<0时,-
>0,只需目标函数截距最小.
③若
,即a<-2,最优解为C(-2,-2),
z=-2-2a=
,a=-
,符合题意;
④若
,即-2,此时a=
,不符合题意,舍去.
⑤若-
>1,即-1,
,不符合题意,舍去;
综上可知实数a的值为3或-
.
2.设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.
【解析】f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,函数图象的对称轴为x=1.当t+1<1,即t<0时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小值为f(t+1)=t2+1;
当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图象如图(2)所示,在对称轴x=1处取得最小值,最小值为f(1)=1;
当t>1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小
值为f(t)=t2-2t+2.
综上可知,f(x)min=
四
由运算、性质引起的分类讨论
【典例4】设{an}是无穷等差数列,公差为d,前n项和为Sn.
(1)设a1=40,a6=38,求Sn的最大值;
(2)设S9=0,且a2+a3+a4+a5=-18,令bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)数列{an}是无穷等差数列,公差为d,
由于a1=40,a6=38,
所以a6=a1+5d,a6-a1=-2=5d,解得d=-
.
当n=100或101时,Sn取得最大值2
020;
(2)由题意知,
解得
故an=3n-15,所以当n≤5时,an≤0,
故Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-an
当n>5时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(-a1-a2-…-a5)+a6+…+an
=Sn-2S5=
所以Tn=
【技法点拨】
计算时,常遇到需要分类讨论的问题,这时一般是根据绝对值的性质、函数奇偶性、指数性质、对数性质等进行分类讨论,在处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值属于哪个区间段,再选取相应的对应法则.离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.
【变式训练】
1.已知a>0,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,则( )
A.(a-1)(b-1)<0
B.(a-1)(a-b)>0
C.(b-1)(b-a)<0
D.(b-1)(b-a)>0
【解析】选D.因为a>0,b>0且a≠1,b≠1,
所以当a>1,即a-1>0时,
不等式logab>1可化为
>a1,即b>a>1,
所以(a-1)(a-b)<0,(a-1)(b-1)>0,(b-1)(b-a)>0.当0logab>1可化为
0,(b-1)(b-
a)>0.
2.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=
与y=f(x)图象的交点为
(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则
(xi+yi)=( )
A.0 B.m C.2m D.4m
【解析】选B.函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),即f(x)+f(-x)=2,可得f(x)的
图象关于点(0,1)对称,函数y=
,即y=1+
的图象关于点(0,1)对称.所以函
数y=
与y=f(x)图象的交点也关于(0,1)对称,关于(0,1)对称的两个点的横
坐标和为0,纵坐标和为2.当交点不在对称轴上时,m为偶数,所以
(xi+yi)=
xi+
yi=0×
+2×
=m;
当有交点在对称轴上时,m为奇数,
则
(xi+yi)=
xi+
yi=0×
+0+2×
+1=m.
综上,
(xi+yi)=m.(共28张PPT)
第4讲 数
形
结
合
题型特点
常用方法
借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系,把数转化为形,即以形作为手段,数作为目的来解决数学问题的数学思想.
借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的来解决问题的数学思想.
数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合,达到抽象思维和形象思维的和谐统一.通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,能够变抽象思维为形象思维.它是数学的规律性与灵活性的结合,有助于把握数学问题的本质,从而使问题得到解决.
一 数形结合思想在函数与方程中的应用
【典例1】(1)已知函数f(x)满足当x≤0时,f(x-2)=f(x),且当x∈(-2,0],f(x)=
|x+1|-1;当x>0时,f(x)=logax(a>0且a≠1).若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则a的取值范围是( )
A.(5,+∞) B.(2,4) C.(3,5) D.(3,4)
(2)已知函数f(x)=
,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点(1,2)对称
B.函数f(x)在(-∞,1)上是增函数
C.函数f(x)的图象上至少存在两点A,B,使得直线AB∥x轴
D.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
【解析】(1)选C.函数f(x)满足当x≤0时,f(x-2)=f(x),此时函数的周期为2,
当x∈(-2,0]时,f(x)=|x+1|-1,函数f(x)图象上关于原点对称的点恰好有3对,
根据函数f(x)在(-∞,0]上的图象,画出关于原点对称的图象,则函数f(x)=logax
的图象与所作函数的图象有3个交点,所以
解得3(2)选A.由f(x)=
知f(x)是y=
(a>0)型函数,作出其简图如图所
示.
从图象可以看出f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称;其在区间(-∞,1)和(1,+∞)
上均是减函数;没有能使AB∥x轴的点存在.即只有A正确.
【技法点拨】
利用数形结合探究方程解的问题的注意点
(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数,使问题转化为讨论两曲线的交点问题.
(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键,数形结合应以快和准为原则,不要刻意去用数形结合.
【变式训练】
已知函数f(x)=
其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程
f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.?
【解析】作出f(x)的图象如图所示.
当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.
所以要使方程f(x)=b有三个不同的根,
则有4m-m20.又m>0,解得m>3.
答案:(3,+∞)
二
数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用
【典例2】(1)已知函数f(x)=
若|f(x)|≥ax,则a的取值范围
是( )
A.(-∞,0]
B.(-∞,1]
C.[-2,1]
D.[-2,0]
(2)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x).当x∈[0,1]时,f(x)=2x.
若在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则实数a的取值
范围是________.?
【解析】(1)选D.作出函数y=|f(x)|的图象,如图,
当|f(x)|≥ax时,必有k≤a≤0,其中k是y=x2-2x(x≤0)在原点处的切线斜率,显然,k=-2.
所以a的取值范围是[-2,0].
(2)由题可知f(x)为周期为2的偶函数,可得图象如图,
因为在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,即过定点A(-2,
0)的直线y=ax+2a在区间[-2,3]上与函数f(x)图象恰有四个交点,则由图可知直
线斜率kAC,kAB=
,即可得a的取值范围
为
.
答案:
【技法点拨】
利用数形结合思想处理不等式问题,要从题目的条件与结论出发,着重分析其几何意义,从图形上找出解题思路.因此,往往通过构造熟知的函数,作出函数图象,利用图象的交点和图象的位置求解不等式.
【变式训练】
1.若存在实数a,对任意的x∈[0,m],都有(sin
x-a)·(cos
x-a)≤0恒成立,则实数m的最大值为( )
【解析】选C.在同一坐标系中,作出y=sin
x和y=cos
x的图象,
当m=
时,要使不等式恒成立,只有a=
,
当m>
时,在x∈[0,m]上,必须要求y=sin
x和y=cos
x的图象不在y=a=
的同
一侧.所以m的最大值是
.
2.若不等式
的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=________.?
【解析】如图,分别作出直线y=k(x+2)-
与半圆y=
的图象.因为
≤k(x+2)-
的解集为[a,b],由图象知b=3,
由题意,知直线在半圆的上方,且过定点A(-2,-
),由b-a=2,可知b=3,a=1,即直
线与半圆交点N的横坐标为1,代入y=
,所以直线y=k(x+2)-
过点
(1,2
),则k=kAN=
答案:
三
数形结合在解析几何中的应用
【典例3】(1)设P为双曲线x2-
=1右支上一点,M,N分别是圆C1:(x+4)2+y2=4和圆
C2:(x-4)2+y2=1上的点,设|PM|-|PN|的最大值和最小值分别为m,n,则|m-n|=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选C.由题意得,圆C1:(x+4)2+y2=4的圆心为(-4,0),半径为r1=2;圆C2:
(x-4)2+y2=1的圆心为(4,0),半径为r2=1.
设双曲线x2-
=1的左、右焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0).如图所示,连接PF1,PF2,F1M,F2N,
则|PF1|-|PF2|=2.
又|PM|max=|PF1|+r1,|PN|min=|PF2|-r2,
所以|PM|-|PN|的最大值m=|PF1|-|PF2|+r1+r2=5.又|PM|min=|PF1|-r1,
|PN|max=|PF2|+r2,
所以|PM|-|PN|的最小值n=|PF1|-|PF2|-r1-r2=-1,所以|m-n|=6.
(2)已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为________.?
【解析】从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷
远处运动时,直角三角形PAC的面积S△PAC=
|PA|·|AC|=
|PA|越来越大,从而
S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动,S四边形PACB变小,显
然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直于直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小
值,此时|PC|=
=3,
从而|PA|=
所以(S四边形PACB)min=2×
×|PA|×|AC|=2
.
答案:2
【技法点拨】
应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何意义的代数形式,主要有:①比值——可考虑直线的斜率;②二元一次式——可考虑直线的截距;③根式型分式——可考虑点到直线的距离;④根式——可考虑两点间的距离.
【变式训练】
1.已知动点P(x,y)在椭圆
=1上,若A点坐标为(2,0),|
|=1
且
=0,则|
|的最小值为( )
A.3 B.
C.2 D.
【解析】选B.由题中的方程可得右焦点的坐标为(2,0),由题意可得A为右焦点,
由|
|=1,可得以A为圆心,1为半径的圆,如图.
因为
=0,所以PM⊥AM,
所以|
|为P到圆A的切线长,即|
|=
所以当|PA|最小时,|
|取最小值,
因为P在椭圆上,而a=4,c=2,
所以a-c≤|PA|≤a+c,
即|PA|∈[2,6],
所以|
|的最小值为
2.已知直线l1:2x-y+3=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上的点P到直线l1和直线l2的距
离之和的最小值是( )
A.
B.2
C.
D.
【解析】选A.如图所示,
过点P作PN⊥l2,PM⊥l1,垂足分别为N,M.连接PF.
因为直线l2是抛物线y2=4x的准线,所以|PN|=|PF|.
所以当且仅当三点M,P,F共线时,动点P到直线l1和l2的距离之和取得最小值.
所以最小值|FM|=
.(共30张PPT)
第5讲 转化与化归
题型特点
常用方法
1.熟悉化原则 2.简单化原则
3.直观化原则 4.正难则反原则
1.直接转化法 2.换元法 3.数形结合法 4.构造法
5.坐标法 6.类比法 7.特殊化方法
8.等价问题法 9.加强命题法 10.补集法
转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种数学思想方法,其核心是把复杂的问题化归为简单的问题,将较难的问题化归为较容易求解的问题,将未能解决的问题化归为已经解决的问题.
一
一般与特殊的相互转化
【典例1】(1)在△ABC中,三边长a,b,c满足a+c=3b,则
的值为( )
【解析】选C.令a=4,c=5,b=3,则符合题意(取满足条件的三边).则由C=90°,得
tan
=1.
由tan
A=
,得
,解得tan
(负值舍去).所以
(2)过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF,FQ的长
分别为p,q,则
=________.?
【解析】不妨设PQ的斜率k=0,因为抛物线焦点坐标为
,把直线方程y=
代入抛物线方程得x=±
,
所以PF=FQ=
,即p=q=
,从而
=2a+2a=4a.
答案:4a
【技法点拨】
(1)一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果.
(2)对于某些选择题、填空题,如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的量用特殊值代替,即可得到答案.
【变式训练】
1.设四边形ABCD为平行四边形,
若点M,N满足
则
=( )
A.20
B.15
C.9
D.6
【解析】选C.(特例法)若四边形ABCD为矩形,建系如图.
由
,知M(6,3),N(4,4),
所以
=(6,3),
=(2,-1),
=6×2+3×(-1)=9.
2.已知函数f(x)=(a-3)x-ax3在[-1,1]上的最小值为-3,则实数a的取值范围
是( )
A.(-∞,-1]
B.[12,+∞)
C.[-1,12]
D.
【解析】选D.当a=0时,函数f(x)=-3x,x∈[-1,1],显然满足条件,故排除A,B;
(注意,对于特殊值的选取,越简单越好,0,1往往是首选.)
当a=-
时,函数f(x)=
,
f′(x)=
(x2-1),当-1≤x≤1时,f′(x)≤0,所以f(x)在[-1,1]上单调递
减,所以f(x)min=f(1)=
=-3,满足条件,故排除C.
二
正与反的相互转化
【典例2】(1)若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+
x2-2x在区间(t,3)上总
不为单调函数,则实数m的取值范围是________.?
【解析】由题意得g′(x)=3x2+(m+4)x-2,
若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立,或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立.
由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4≥
-3x在x∈(t,3)上恒成立,所以m+4≥
-3t
恒成立,则m+4≥-1,即m≥-5;由②得m+4≤
-3x在x∈(t,3)上恒成立,则m+4≤
-9,则m≤-
.
所以函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为-
答案:-
(2)(2020·大庆模拟)若命题“?x0∈R,
+2mx0+m+2<0”为假命题,则m的取值
范围是( )
A.(-∞,-1]∪[2,+∞)
B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.[-1,2]
D.(-1,2)
【解析】选C.命题“?x0∈R,
+2mx0+m+2<0”为假命题,则命题的否定
“?x∈R,x2+2mx+m+2≥0”为真命题,所以Δ=4m2-4(m+2)≤0,
所以-1≤m≤2.所以m的取值范围为[-1,2]
.
【技法点拨】
正与反的转化法
正难则反,利用补集求得其解,这就是补集思想,一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法.一般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简单.因此,间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中.
【变式训练】
若抛物线y=x2上的所有弦都不能被直线y=k(x-3)垂直平分,则k的取值范围是( )
【解析】选D.当k=0时,显然符合题意.当k≠0时,设抛物线y=x2上两点
A(x1,
),B(x2,
)关于直线y=k(x-3)对称,AB的中点为P(x0,y0),则
x0=
,y0=
.由题设知
,所以
.又AB的中点
P(x0,y0)在直线y=k(x-3)上,
所以
,
所以中点P
.由于点P在y>x2的区域内,则
,整理得
(2k+1)(6k2-2k+1)<0,解得k<-
.
因此当k<-
时,抛物线y=x2上存在两点关于直线y=k(x-3)对称,于是当k≥-
时,抛物线y=x2上不存在两点关于直线y=k(x-3)对称.所以实数k的取值范围为
.
三
常量与变量的相互转化
【典例3】已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是f(x)的导
函数.对任意a∈[-1,1]都有g(x)<0,则实数x的取值范围为________.?
【解析】由题意,知g(x)=3x2-ax+3a-5,令φ(a)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.
因为对a∈[-1,1],恒有g(x)<0,即φ(a)<0,
所以
即
解得-
时,对任意
a∈[-1,1]都有g(x)<0.
答案:
【技法点拨】
(1)本题若按常规法视x为主元来解,需要分类讨论,这样会很烦琐,若以a为主元,即将原问题化归在区间[-1,1]上,一次函数φ(a)=(3-x)a+3x2-5<0成立的x的取值范围,再借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决.
(2)在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中的常数(或参数),将其看作是“主元”,实现主与次的转化,即常量与变量的转化,从而达到减元的目的.
【变式训练】
1.对于满足0≤p≤4的所有实数p,使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的取值范围是________.?
【解析】设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,
则当x=1时,f(p)=0,所以x≠1.
f(p)在0≤p≤4时恒为正等价于
即
解得x>3或x<-1.
故x的取值范围为(-∞,-1)∪(3,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)
2.设y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t∈[-2,2]时,y恒取正值,则x的取值范围是
________.?
【解析】设y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1,则f(t)是一次函数,当t∈
[-2,2]时,f(t)>0恒成立,则
即
解得log2x<-1或log2x>3.即0或x>8,
故x的取值范围是
∪(8,+∞).
答案:
∪(8,+∞)
四 形、体位置关系的相互转化
【典例4】如图所示,已知多面体ABCDEFG中,AB,AC,AD两两互相垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为________.?
【解析】方法一:(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行,如图所示,过点C
作CH⊥DG于H,连接EH,即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱
BEF-CHG.由题意,知V三棱柱DEH-ABC=S△DEH·AD=
×2=2,V三棱柱BEF-CHG=S△BEF·DE=
×2=2.故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG=2+2=4.
方法二:(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行,如图所示,将多面体补成棱
长为2的正方体,显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半.又正方体的体积
V正方体ABHI-DEKG=23=8,故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG=
×8=4.
答案:4
【技法点拨】
形体位置关系的相互转化的技巧
(1)分析特征,一般要分析形体特征,根据形体特征确定需要转化的对象.
(2)位置转化,将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体.由于新的几何体是转化而来,一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行必要分析,准确理解新的几何体的特征.
(3)得出结论,在新的几何结构中解决目标问题.
【变式训练】
1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°,点D为侧棱BB1上的动点.当AD+DC1最小时,三棱锥D-ABC1的体积为________.?
【解析】将平面AA1B1B沿着B1B旋转到与平面CC1B1B在同一平面上(点B在线段AC
上),连接AC1与B1B相交于点D,此时AD+DC1最小,BD=
CC1=1.因为在直三棱柱
中,BC⊥AB,BC⊥BB1,且BB1∩AB=B,所以BC⊥平面AA1B1B,又CC1∥平面AA1B1B,所以
=
=V三棱锥C-ABD=
S△ABD·BC=
×
×1×1×2=
.
答案:
2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=
CC1=
,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是________.?
【解析】连接A1B,沿BC1将△CBC1展开,与△A1BC1在同一个平面内,如图,连接A1C,
则A1C的长度就是所求的最小值.
通过计算可得AB=A1B1=
,A1B=
,A1C1=6,BC1=2,所以∠A1C1B=90°,
又∠BC1C=45°,
所以∠A1C1C=135°.由余弦定理可求得A1C=
.
答案: