(共27张PPT)
高考大题标准练(二)
满分60分,实战模拟,60分钟拿到高考主观题高分!
1.在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=
,AB=3
,AD=3.
(1)求BD的长;
(2)求△ABC的面积.
【解析】(1)因为AD⊥AC,所以∠DAC=
.
因为sin
∠BAC=
,
所以sin
=
,
所以cos
∠BAD=
,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos
∠BAD
=
+32-2×3
×3×
=3,
所以BD=
.
(2)在△ABD中,由余弦定理得cos
∠ADB=
,
所以cos
∠ADC=
,所以在Rt△DAC中,
cos
∠ADC=
=
,所以DC=3
,
所以AC=
=3
,
所以S△ABC=
AB·AC·sin
∠BAC
=
×3
×3
×
=6
.
2.已知函数f(x)=logkx(k为常数,k>0且k≠1).
(1)在下列条件中选择一个________使数列
是等比数列,说明理由;?
①数列
是首项为2,公比为2的等比数列;
②数列
是首项为4,公差为2的等差数列;
③数列
是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.
(2)在(1)的条件下,当k=
时,设anbn=
,求数列
的前n项和Tn.
【解析】(1)①③不能使
成等比数列.
②可以:由题意f
=4+(n-1)×2=2n+2,
即logkan=2n+2,得an=k2n+2,且a1=k4≠0,
所以
.
因为常数k>0且k≠1,所以k2为非零常数,
所以数列
是以k4为首项,k2为公比的等比数列.
(2)由(1)知an=
,
所以当k=
时,an=2n+1.
因为anbn=
,所以bn=
,
所以bn=
,
Tn=b1+b2+…+bn=
.
3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1D,AB=BC,∠ABC=120°.
(1)证明:AD⊥BA1;
(2)若平面ADD1A1⊥平面ABCD,且A1D=AB,求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值.
【解析】(1)取AD的中点O,连接OB,OA1,BD,
因为AA1=A1D,所以AD⊥OA1,
又∠ABC=120°,AD=BC=AB,所以△ABD是等边三角形,所以AD⊥OB,因为OA1∩OB=O,OA1,OB?平面A1OB,所以AD⊥平面A1OB,因为A1B?平面A1OB,所以AD⊥A1B.
(2)因为平面ADD1A1⊥平面ABCD,平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,
又A1O⊥AD,所以A1O⊥平面ABCD,因为OB?平面ABCD,所以A1O⊥OB,
所以OA,OA1,OB两两垂直,
以O为坐标原点,分别以OA,OB,OA1所在射线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系,
设AB=AD=A1D=2,则A(1,0,0),A1(0,0,
),B(0,
,0),D(-1,0,0),
则
=(1,0,
),
=(-1,
,0),
=(0,-
,
),
设平面A1B1CD的法向量n=(x,y,z),
则
令x=
,则y=1,z=-1,可取n=(
,1,-1),设直线BA1与平面
A1B1CD所成角为θ,则sin
θ=
.
4.(2020·潍坊市6月模拟)为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程,某
企业每天从该生产线上随机抽取10
000个零件,并测量其内径(单位:cm).根据长
期生产经验,认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N
.
如果加工的零件内径小于μ-3σ或大于μ+3σ均为不合格品,其余为合格品.
(1)假设生产状态正常,请估计一天内抽取的10
000个零件中不合格品的个数约
为多少;
(2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利;若生产的某件产品为不合格品
则该件产品亏损.已知每件产品的利润L(单位:元)与零件的内径X有如下关系:
L=
求该企业一天从生产线上随机抽取10
000个零件的平均利润.
附:若随机变量X服从正态分布N
,
【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997
3,
从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.002
7,因此一天内抽取的10
000个零件中不合格品的个数约为:10
000×0.002
7=27.
(2)结合正态分布曲线和题意可知
P
=0.001
35,
P
=
=0.157
3,
P
=0.997
3-0.157
3
=0.8400,P
=0.001
35,
故随机抽取10
000个零件的平均利润:
10000L=10000(-5×0.00135+4×0.1573+6×0.8400-5×0.00135)=56557(元).
5.已知抛物线C1:y2=2px(x>0)与椭圆C2:x2+2y2=m2(m>0)的一个交点为P(1,t),点F
是C1的焦点,且
.
(1)求C1与C2的方程;
(2)设O为坐标原点,在第一象限内,椭圆C2上是否存在点A,使过O作OA的垂线交抛
物线C1于B(O,B不重合),直线AB交y轴于E,且∠OAE=∠EOB?若存在,求出点A的坐标
和△AOB的面积;若不存在,说明理由.
【解析】(1)由抛物线定义得:
=1+
=
,
所以p=1,C1的方程为y2=2x,
将P(1,t)代入C1:y2=2x得t2=2,即t=±
,
将P(1,±
)代入C2:x2+2y2=m2,
得m2=5,故C2方程为x2+2y2=5.
即C1:y2=2x,C2:x2+2y2=5.
(2)存在.
由题意:直线OA的斜率存在且不为0,
设OA的方程为y=kx(k≠0),由于OA⊥OB,则OB的方程为y=-
x,
由
得x2+2k2x2=5,
所以x=±
,由
得
=2x,
得x=0(舍)或x=2k2.在第一象限内,若满足∠OAE=∠EOB的点A存在,
则k>0,此时A
B(2k2,-2k),设直线AB与x轴交于点D,
由于∠OAE=∠EOB,∠AOB=∠DOE=90°,
所以∠OAD=∠AOD,∠DOB=∠OBD,
故AD=OD=BD,即D为线段AB的中点,
因此
,
解得k2=
,A
,故存在符合题意的
A
,此时B
,kAB=
=
,
直线AB的方程为y-
=
(x-2),
即y=
x-
,
点O到AB的距离h=
,
=
,所以S△AOB=
·
·
=
.
6.已知函数f(x)=ax-ln
x-1(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=0,令g(x)=f(tx+1)+
,若
x1,x2是g(x)的两个极值点,g(x1)+g(x2)>0,
求正实数t的取值范围.
【解析】(1)x∈(0,+∞),f′(x)=a-
=
,
当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上为减函数,
当a>0时,x∈
时,f′(x)<0,f(x)为减函数,x∈
时,f′(x)>0,f(x)为增
函数,综上所述,当a≤0时,f(x)的减区间为(0,+∞),
当a>0时,f(x)的减区间为
,f(x)的增区间为
.
(2)g(x)=f(tx+1)+
=
-ln(tx+1),
g′(x)=
=-
,
当t≥1时,g′(x)<0恒成立,故g(x)在x∈(0,+∞)上为减函数,不成立.所以0
令g′(x)=0,得x1=
,x2=2
,
因为g(x)有两个极值点,
所以g′(x)=0有2个根,
故必有-2
>-
且-2
≠-2,
得0或
且x1为极小值点,x2为极大值点,g(x1)+g(x2)=
-ln(tx1+1)+
-ln(tx2+1)
=
-ln
[t2x1x2+t(x1+x2)+1]
=
-ln
(2t-1)2
=2-
-ln
(2t-1)2,
令u=2t-1,0,
当0时,-1当
令h(u)=2-
-ln
u2
,
当-1-2ln(-u),
h′(u)=
>0,
所以h(u)在u∈(-1,0)上为增函数,
所以h(u)>h(-1)=4>0,
故当0时,g(x1)+g(x2)>0成立,
当0-2ln
u,
h′(u)=
>0,h(u)在u∈(0,1)上为增函数,
所以h(u)故当
综上所述,t∈(0，
)
.(共24张PPT)
高考大题标准练(三)
满分60分,实战模拟,60分钟拿到高考主观题高分!
1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,________,求△ABC的周长L
和面积S.?
在①cos
A=
,cos
C=
,②csin
C=sin
A+bsin
B,B=60°,③c=2,cos
A=-
这三个条件中,任选一个补充在上面问题中的横线处,并加以解答.
【解析】选①.因为cos
A=
,cos
C=
,且0A=
,
sin
C=
,
在△ABC中,A+B+C=π,即B=π-(A+C),
所以sin
B=sin(A+C)=sin
Acos
C+cos
Asin
C=
×
+
×
=
=
,
由正弦定理得,b=
=
=2
,
因为sin
B=sin
C,所以c=b=2
,
所以△ABC的周长L=a+b+c=4+2
+2
=4+4
,△ABC的面积S=
absin
C=
×4×2
×
=8.
选②.
因为csin
C=sin
A+bsin
B,所以由正弦定理得c2=a+b2,因为a=4,所以b2=c2-4.
又因为B=60°.由余弦定理得b2=c2+16-2×4×c×
,所以c2-4c+16=c2-4.解得
c=5.所以b=
.
所以△ABC的周长L=a+b+c=4+
+5=9+
.
△ABC的面积S=
acsin
B=
×4×5×
=5
.
选③,
因为c=2,cos
A=-
,所以由余弦定理得,16=b2+4+2×b×2×
.即b2+b-12=0,
解得b=3或b=-4(舍去).所以△ABC的周长L=a+b+c=4+3+2=9,
因为A∈(0,π),所以sin
A=
,
所以△ABC的面积S=
bcsin
A=
×3×2×
=
.
综上,选①△ABC的周长L为4+4
,面积S为8;
选②△ABC的周长L为9+
,面积S为5
;
选③△ABC的周长L为9,面积S为
.
2.在数列{an}中,a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
(1)求证:数列
是等差数列;
(2)求数列
的前n项和Sn.
【解析】(1)nan+1-(n+1)an=2n2+2n的两边同除以n(n+1),
得
=2,又
=4,
所以数列
是首项为4,公差为2的等差数列.
(2)由(1)得
=2n+2,所以an=2n2+2n,
故
=
,
所以Sn=
.
3.已知长方形ABCD中,AB=1,AD=
,现将长方形沿对角线BD折起,使AC=a,得到一
个四面体A-BCD,如图所示.
(1)试问:在折叠的过程中,异面直线AB与CD能否垂直?若能垂直,求出相应的a的
值;若不垂直,请说明理由;
(2)当四面体A-BCD体积最大时,求二面角A-CD-B的余弦值.
【解析】(1)若AB⊥CD,因为AB⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ACD,所以AB⊥平面
ACD,因为AC?平面ACD,所以AB⊥AC.
由于AB=1,AD=BC=
,AC=a,
由于AB⊥AC,所以AB2+AC2=BC2,
所以12+a2=(
)2,所以a=1,
所以在折叠的过程中,异面直线AB与CD可以垂直,此时a的值为1.
(2)因为△BCD的面积为定值
,所以要使四面体A-BCD体积最大,只需A到平面
BCD的距离最大即可,此时平面ABD⊥平面BCD.
过A作AO⊥BD于O,则AO⊥平面BCD,以O为原点建立空间直角坐标系
(如图),
则易知
显然,平面BCD的法向量为
,
设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),因为
=
,
=
,
所以
令y=
,得n=(1,
,2),
所以cos>=
,
所以二面角A-CD-B的余弦值为
.
4.小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前54单没有奖励,超过54单的部分每单奖励20元.
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系
式;
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足
以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图,其中当某天的派送
量指标在
(m=1,2,3,4,5)时,日平均派送量为50+2m单.若将频率视为概
率,回答下列问题:
①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值
作代表);
②根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出甲、乙两种方
案的日薪X的分布列及数学期望.
请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬
方案比较合适?并说明你的理由.
【解析】(1)甲:y=n+100,
乙:y=
(2)①由题图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9,
故平均数
=
②甲:
E(X)=0.2×152+0.3×154+0.2×156+0.2×158+0.1×160=155.4.
P(概率)
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
X(日薪)
152
154
156
158
160
乙:
E(X)=0.2×140+0.3×140+0.2×180+0.2×220+0.1×260=176,
乙的期望更高,故选择乙方案.
P(概率)
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
X(日薪)
140
140
180
220
260
5.已知O为坐标原点,圆M:x2+y2-2x-15=0,定点F(-1,0),点N是圆M上一动点,线段
NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q,点Q的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C相交于A,B两点,若直线FA,FB
的斜率
之和为0,则动直线l是否一定经过一定点?若过一定点,则求出该定
点的坐标;若
不过定点,请说明理由.
【解析】(1)由题意可知|MQ|+|FQ|=4,又|MF|=2<4,
由椭圆的定义知动点Q的轨迹是以M,F为焦点的椭圆,故2a=4,2c=2,
即所求椭圆的方程为
=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+m,
点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立曲线C与直线l的方程得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,x1+x2
=
.
由已知,直线FA,FB的斜率之和为0,
即
,
则2kx1x2+(k+m)(x1+x2)+2m=0,
即有:
,
化简得:m=4k,
所以直线l的方程为y=k(x+4),
所以直线l过定点(-4,0).
6.已知函数f(x)=aln
x(a≠0)与y=
的图象在它们的交点P(s,t)处具有相同
的切线.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=(x-1)2+mf(x)有两个极值点x1,x2,且x1的取值范围.
【解析】(1)根据题意,函数f(x)=aln
x(a≠0)与
y=
x2可知f′(x)=
,y′=
x,
两图象在点P(s,t)处有相同的切线,
所以两个函数切线的斜率相等,即
×s=
,
化简得s=
(负值舍去),
将P(s,t)代入两个函数可得
=aln
s,
综合上述两式可解得a=1,所以f(x)=ln
x.
(2)函数g(x)=(x-1)2+mf(x)=(x-1)2+mln
x,定义域为(0,+∞),
g′(x)=2(x-1)+
=
,
因为x1,x2为函数g(x)的两个极值点,所以x1,x2是方程2x2-2x+m=0的两个不等实根,
由根与系数的关系知x1+x2=1,x1x2=
,(
)
又已知x1,
将(
)式代入得
=1-x2+2x2ln
x2,令h(t)=1-t+2tln
t,t∈
,
h′(t)=2ln
t+1,令h′(t)=0,解得t=
,
当t∈
时,h′(t)<0,h(t)在
上单调递减;
当t∈
时,h′(t)>0,h(t)在
上单调递增;
所以h(t)min=h
=1-
=1-
,
h(t),h
=
-ln
2<0=h(1),即
的取值范围是
.(共25张PPT)
高考大题标准练(四)
满分60分,实战模拟,60分钟拿到高考主观题高分!
1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
的图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向右平移
个单位长度,得到函数y=g(x),
设h(x)=g(x)+f(x),求函数h(x)在
上的最大值.
【解析】(1)因为f(x)min=-2且A>0,所以A=2.
由图象可知:最小正周期T=4×
=π,
所以ω=
=2.
又f
=2sin
=-2,
所以
+φ=-
+2kπ
,
解得:φ=-
+2kπ
,又
,
所以φ=
,所以f(x)=2sin
.
(2)由题意得:g(x)=f
=2sin
=2sin
2x,
所以h(x)=g(x)+f(x)=2sin
+2sin
2x=2sin
2xcos
+2cos
2xsin
+2sin
2x=sin
2x+
cos
2x+2sin
2x
=3sin
2x+
cos
2x=2
sin
,
当0≤x≤
时,
≤2x+
≤
,
所以当2x+
=
时,h(x)取得最大值,最大值为2
.
2.若数列
满足
=p(n∈N+,p为常数),则称数列
为等方差数列,p为公
方差.
(1)已知数列{cn},{dn},{xn},{yn}分别满足cn=2
020,dn=
,xn=2n+1,yn=3n,从
上述四个数列中找出所有的等方差数列(不用证明);
(2)若数列
是首项为1,公方差为2的等方差数列,求数列
的前n项和Sn.
【解析】(1)由等方差的定义可知:
=2
0202-2
0202=0是一个常数,所以
为等方差数列;
=n+2-n-1=1是一个常数,所以
为等方差数列;同理
{xn},{yn}不是等方差数列;所以
,
为等方差数列.
(2)因为数列
是首项为1,公方差为2的等方差数列,所以
=1+2(n-1)=2n-1,
所以
=2n+1-2n+1=2,所以数列
是一个等差数列,所以Sn=
=n2.
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.过
点A作四棱锥P-ABCD的截面AEFG,分别交PD,PC,PB于点E,F,G,已知PG∶PB=2∶3,E
为PD的中点.
(1)求证:AG∥平面PCD;
(2)求AF与平面PAB所成角的正弦值.
【解析】(1)在PC上取点H,且满足PH∶PC=2∶3,连接GH,HD,则GH∥BC,且GH=
BC=2,因为AD∥BC,所以AD∥GH,且AD=GH,所以四边形ADHG是平行四边形,所
以AG∥HD,又因为HD?平面PCD,AG?平面PCD,所以AG∥平面PCD;
(2)过点A作与DC平行的射线l,易证两两垂直,
以l为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图,
则有P(0,0,2),B(2,-1,0),C(2,2,0),G
,E(0,1,1),
设平面AEFG的法向量为n=(x,y,z),则
令z=1,解得
所以n=(-1,-1,1)是平面AEFG的一个法向量,因为点F在PC上,
所以
=λ
+(1-λ)
=(2λ,2λ,2-2λ),
因为AF?平面AEFG,所以
·n=-2λ-2λ+2-2λ=0,解得λ=
,所以
=
,设平面PAB的法向量为n1=
,
则
令x1=1,解得
所以n1=(1,2,0)是平面PAB的一个法向量,
cos
<
,n1>=
,
所以AF与平面PAB所成角的正弦值为
.
4.每年的3月12日是植树节,某公司为了动员职工积极参加植树造林,在植树节期
间开展植树有奖活动,设有甲、乙两个摸奖箱,每位植树者植树每满30棵获得一
次甲箱内摸奖机会,植树每满50棵获得一次乙箱内摸奖机会,每箱内各有10个球
(这些球除颜色外全相同),甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球,其中a个红球,b个
黄球,5个黑球,乙箱内有4个红球和6个黄球,每次摸一个球后放回原箱,摸得红球
奖100元,黄球奖50元,摸得黑球则没有奖金.
(1)经统计,每人的植树棵数X服从正态分布X～N
,若其中有200位植树者参
与了抽奖,请估计植树的棵数X在区间
内的中奖率及中奖的人数(结果四舍
五入取整数);
附:若X～N
,则P
=0.682
7,P
=0.954
5.
(2)若a=2,某位植树者获得两次甲箱内摸奖机会,求中奖金额Y(单位:元)的分布
列;
(3)某人植树100棵,有两种摸奖方法,
方法一:三次甲箱内摸奖机会;
方法二:两次乙箱内摸奖机会;
请问:这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大.
【解析】(1)依题意得μ=35,σ2=25,得σ=5,植树的棵数X在区间
内有一次
甲箱内摸奖机会,中奖率为1-
=0.5,植树棵数在区间
内人数约为:
200×P
=200×
≈68(人),
中奖的人数约为:68×0.5=34(人).
(2)若a=2,则b=3.中奖金额Y的可能取值为0,50,100,150,200.P=0.5×0.5=0.25;
P
=2×0.3×0.5=0.3;P
=2×0.5×0.2+0.3×0.3=0.29;
P
=2×0.2×0.3=0.12;
P
=0.2×0.2=0.04;
故Y的分布列为
Y
0
50
100
150
200
P
0.25
0.3
0.29
0.12
0.04
(3)因为a+b=5,所以甲箱摸一次所得奖金的期望为E1=100×
+50×
=10a+5b=25+5a,
方法一所得奖金的期望值为3E1=75+15a;
乙箱摸一次所得奖金的期望值为E2=100×0.4+50×0.6=70,
方法二所得奖金的期望值为140,因为a的值可能为1,2,3,4,
所以3E1=75+15a≤135<140,所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.
5.已知O为坐标原点,椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率为
,双曲线
-y2=1的
渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点D,M,N为椭圆C上的动点,M,O,N三点共线,直线DM,DN的斜率分别为k1,k2.
(ⅰ)证明:k1k2=-
;
(ⅱ)若k1+k2=0,设直线DM过点
,直线DN过点
,证明:m2+n2为定值.
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,由题意知:e=
=
=
,所以
a=2b①,因为双曲线
-y2=1的渐近线方程为y=±
x,
所以可设双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限的交点为P
,
所以
,解得t2=
.
因为P
在椭圆上,所以
=1,
即:
=1②,
由①②解得:a=2,b=1,所以椭圆C的标准方程为:
+y2=1.
(2)由题意知:M,N关于原点对称,则可设D(x1,y1),
.
(ⅰ)因为点D,M在椭圆C上,所以
,所以
,
所以k1k2=
=
.
(ⅱ)不妨设k1>0,k2<0,因为k1k2=-
,k1+k2=0,所以k1=
,k2=-
,
因为直线DM过点
,直线DN过点
,所以直线DM:y=
x+m,DN:y=-
x+n,
由
得:x2+2mx+2m2-2=0,
所以x1(-x2)=x1x2=2m2-2,
由
得x2-2nx+2n2-2=0,
所以x1(-x2)=-x1x2=2n2-2,
所以x1x2+
=2m2+2n2-4=0,
即m2+n2=2,所以m2+n2为定值2.
6.已知函数f(x)=
,且曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线斜率为1.
(1)求实数a的值;
(2)证明:当x>0时,f(x)>1;
(3)若数列
满足
=f(xn),且x1=
,
证明:
.
【解析】(1)f′(x)=
,
f′(2)=
=1,所以a=2;
(2)要证f(x)>1,只需证h(x)=ex-
x2-x-1>0,h′(x)=ex-x-1,h″(x)=ex-1,
因为x∈(0,+∞),所以h″(x)>0,所以h′(x)=ex-x-1在(0,+∞)上单调递增,
所以h′(x)=ex-x-1>h′(0)=0,所以h(x)=ex-
x2-x-1在(0,+∞)上单调递增,
所以h(x)=ex-
x2-x-1>h(0)=0成立,
所以当x>0时,f(x)>1成立.
(3)由(2)知当x>0时,f(x)>1.
因为
=f(xn),所以xn+1=ln
f(x),
设g(xn)=ln
f(xn),则xn+1=g(xn),
所以xn=g(xn-1)=g(g(xn-2))=…
=g((…g(x1)))>0;
要证:2n|
-1|<1,只需证:|
-1|<
,因为x1=
,所以|
-1|=
-1,
因为e-
=e-
<0,所以
<
,
所以|
-1|=
-1<
,
故只需证:|
-1|<
|
-1|,因为xn∈(0,+∞),故只需证:
-1<
-
,
即证:f(xn)-1<
-
,只需证:当x∈(0,+∞)时,φ(x)=
ex+
x2
+2x+2>0,
φ′(x)=
ex+x+2,
φ″(x)=
ex+1,
因为φ?(x)=
ex>0,
所以φ″(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
因为φ″(x)=
ex+1>φ″(0)=0,
所以φ′(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
因为φ′(x)=
ex+x+2>φ′(0)=0,
所以φ(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
因为φ(x)=
ex+
x2+2x+2>φ(0)=0,
所以原不等式成立.(共26张PPT)
高考大题标准练(一)
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1.已知函数f(x)=2cos
2x+sin
.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若△ABC中,满足f(A)=
,b+c=2,求边长a的取值范围.
【解析】(1)f(x)=cos
2x+1+
sin
2x-
cos
2x=sin
+1,所以最小正周
期为π.
(2)由题意,知f(A)=sin
+1=
,
化简得sin
=
,
因为A∈(0,π),所以2A+
∈
,
所以2A+
=
,所以A=
.
在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos
=(b+c)2-3bc.
由b+c=2,知bc≤
=1,即a2≥1,
当且仅当b=c=1时取等号.
又由b+c>a得a<2,所以a的取值范围是[1,2).
2.等差数列
中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且
其中的任何两个数不在下表的同一列及同一行.
(1)请选择一个可能的
组合,并求数列
的通项公式;
(2)记(1)中您选择的
的前n项和为Sn,判断是否存在正整数k,使得a1,ak,Sk+2成
等比数列,若有,请求出k的值;若没有,请说明理由.
第一列
第二列
第三列
第一行
5
8
2
第二行
4
3
12
第三行
16
6
9
【解析】(1)由题意可知:有两种组合满足条件:
①a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列
,a1=8,d=4,所以其通项公式为an=4n+4.
②a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列
,a1=2,d=2,所以其通项公式为an=2n.
(2)若选择①,Sn=2n2+6n.则Sk+2=2
+6
=2k2+14k+20.
若a1,ak,Sk+2成等比数列,则ak2=a1·Sk+2,
即
=8
,
整理,得k2+2k+1=k2+7k+10,即5k=-9,
此方程无正整数解,故不存在正整数k,
使a1,ak,Sk+2成等比数列.
若选择②,Sn=n2+n,
则Sk+2=
+
=k2+5k+6,
若a1,ak,Sk+2成等比数列,则ak2=a1·Sk+2,
即
=2
,整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.
故存在正整数k=6,使a1,ak,Sk+2成等比数列.
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BAD=
,
AD=AB=2BC=4,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD,E为棱PD上一点,且PE=
ED.
(1)求证:PB∥平面EAC;
(2)若二面角C-AE-D的余弦值为
,求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】(1)连接BD,交AC于F,连接EF.
因为AD∥BC,所以△FBC∽△FDA,
所以
,
所以EF∥PB,又PB?平面EAC,EF?平面EAC,
所以PB∥平面EAC,
(2)取AD中点O,连接OC,OP,
因为PA=PD,所以PO⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,
所以PO⊥平面ABCD,所以PO⊥OC,PO⊥OD,以O为原点建立如图所示坐标系,
则C(4,0,0),A(0,-2,0),D(0,2,0),
设P(0,0,a)(a>0),则E
(4,2,0),
=
,
平面AED的一个法向量n1=(1,0,0),
设平面CAE的法向量n2=(x,y,z),
则
取n2=(-a,2a,-8),由|cos|
,解得a=2,
所以VP-ABCD=
·S四边形ABCD
·OP=
×12×2=8.
4.为培养学生对传统文化的热爱,某校从理科甲班抽取60人,从文科乙班抽取50人参加传统文化知识竞赛.
(1)根据题目条件完成下面2×2列联表,并据此判断是否有99%的把握认为传统文化知识竞赛成绩与学生的文理分科有关.
优秀人数
非优秀人数
总计
甲班
乙班
30
总计
60
(2)现已知A,B,C三人获得优秀的概率分别为
,
,
,设随机变量X表示
A,B,C三人中获得优秀的人数,求X的分布列及期望E(X).
附:K2=
,n=a+b+c+d.
P(K2
≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
【解析】(1)2×2列联表如下:
由K2=
算得,K2的观测值
k=
≈7.8>6.635,
所以有99%的把握认为学生的传统文化知识竞赛成绩与文理分科有关.
优秀人数
非优秀人数
总计
甲班
40
20
60
乙班
20
30
50
总计
60
50
110
(2)设A,B,C成绩优秀分别记为事件M,N,R,
则P(M)=
,P(N)=P(R)=
,
所以随机变量X的取值为0,1,2,3.
P(X=0)=
,
P(X=1)=P
P(X=2)=P
P(X=3)=
P
所以随机变量X的分布列为:
E(X)=0×
+1×
+2×
+3×
=
.
X
0
1
2
3
P
5.设函数f(x)=x2-bx+aln
x.
(1)若f(x)在x=2取到极值2-6ln
2,求a,b的值,并求f(x)的单调区间;
(2)若?b∈[1,2],都?x∈(1,e)(e为自然对数的底数),使得f(x)<0成立,求实数
a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=
由题意
即
解得a=-6,b=1,所以f(x)=x2-x-6ln
x,x>0,
f′(x)=2x-1-
,x>0,
由f′(x)>0?x>2,f′(x)<0?0所以f(x)的增区间为(2,+∞),减区间为(0,2).
(2)令g(b)=-xb+x2+aln
x,b∈[1,2],则g(b)是关于b的一次函数且为减函数,
由题意,?b∈[1,2],都?x∈(1,e),
使得f(x)<0成立,则g(b)max=g(1)=x2-x+aln
x<0在x∈(1,e)上有解,
令h(x)=x2-x+aln
x,只需存在x0∈(1,e),
使得h(x0)<0即可,
由于h′(x)=2x-1+
=
,
令φ(x)=2x2-x+a,x∈(1,e),则φ(x)在(1,e)上单调递增,φ(x)>φ(1)=1+a,
当a≥-1时,1+a≥0,φ(x)>0,
即h′(x)>0,h(x)在(1,e)上单调递增,
所以h(x)>h(1)=0,不符合题意.
当a<-1时,φ(1)=1+a<0,φ(e)=2e2-e+a,
①若a≤-2e2+e<-1,则φ(e)≤0,
所以在(1,e)上φ(x)≤0恒成立,即h′(x)≤0恒成立,所以h(x)在(1,e)上单调
递减,所以?x0∈(1,e),使得h(x0)②若-2e2+e0,所以在(1,e)上一定存在实数m,使得φ(m)=0,
所以在(1,m)上φ(x)<0恒成立,即h′(x)<0恒成立,
h(x)在(1,m)上单调递减,
所以?x0∈(1,m),使得h(x0)综上所述,当a<-1时,?b∈[1,2],都?x∈(1,e),使得f(x)<0成立.
6.如图,对称轴为坐标轴,焦点均在y轴上的两椭圆E1,
E2,离心率相同且均为
,椭圆E1过点(-1,-
)且其
上顶点恰为椭圆E2的上焦点;P是椭圆E1上异于F1,F2的
任意一点,直线PF1与椭圆E2交于A,B两点,直线PF2与椭
圆E2交于C,D两点.
(1)求椭圆E1,E2的标准方程;
(2)证明:|PA|=|F1B|;
(3)|AB|+|CD|是否为定值?若为定值求出该定值;否则,说明理由.
【解析】(1)焦点在y轴上,离心率为
,
设椭圆E1的方程为
=1,
因为椭圆E1过点(-1,-
),
解得椭圆E1的方程为:
=1,
椭圆E2的方程为:
=1.
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线PF1的斜率为k1,直线PF1的方程为y=k1x-2,
联立
得,(
+2)x2-4k1x-4=0,
由根与系数的关系得,x1+x2=
,
设点F1(x4,y4),P(x3,y3),
联立
得,
(
+2)x2-4k1x=0,
由根与系数的关系得,x3+x4=
,
即x3+x4=x1+x2,
所以|AF1|=|PB|,故|AP|=|F1B|.
(3)设直线PF2的斜率为k2,
所以k1·k2=
·
=
,
又
=1,
所以k1·k2=
=-2,
联立
得,(
+2)x2-4k1x-4=0,
Δ1=16
+16(
+2)=32
+32,
|AB|=
,
联立
得,(
+2)x2+4k2x-4=0,
Δ2=16
+16(
+2)=32
+32,
|CD|=
,
将k1·k2=-2,
代入得|CD|=
,
|AB|+|CD|=
为定值.