2021届新高考二轮复习数学专题一　三角函数与解三角形第一课时 三角函数及解三角形解答题课件 （79张PPT）

(共79张PPT)
三角函数及解三角形解答题
三角函数及解三角形的综合问题
考向一　三角函数的图象与性质
【典例】(2019·浙江高考)设函数f(x)=sin
x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数
的值域.
【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,
所以对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin
xcos
θ+cos
xsin
θ=-sin
xcos
θ+cos
xsin
θ,
故2sin
xcos
θ=0,所以cos
θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=
或θ=
.
因此,所求函数的值域是
.
【探究延伸】
　把本例(1)中“偶”改为“奇”,其他条件不变,求θ的值;求第(2)问中函数的单调递增区间.
【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是奇函数,
所以对任意实数x都有sin(-x+θ)=-sin(x+θ),
即-sin
xcos
θ+cos
xsin
θ=-sin
xcos
θ-cos
xsin
θ,
故2cos
xsin
θ=0,所以sin
θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=0或θ=π.
(2)y=1-
cos
.
令2kπ≤2x+
≤2kπ+π,k∈Z,
得kπ-
≤x≤kπ+
,k∈Z,
所以函数y=1-
cos
的单调递增区间是
,k∈Z.
【素养提升】
　解决三角函数图象与性质综合问题的思路
(1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+k(一角一函数)的形式;
(2)把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+k的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题.
　【变式训练】
在①f(x)的图象关于直线x=
对称,②f(x)=cosωx-
sinωx,③f(x)≤f(0)
恒成立这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中.若问题中的ω存在,求出ω
的值,若ω不存在,请说明理由.
设函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤
),______,是否存在正整数ω,使得
函数f(x)在
上是单调的??
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)
【解析】若选①,令ωx+φ=kπ,k∈Z,代入x=
,
解得φ=kπ-
,k∈Z,
因为0≤φ≤
,
所以当k=1时,φ=
,f(x)=2cos
,
当x∈
时,
若函数f(x)在
上单调,则有
解得0<ω≤
,所以存在正整数ω=1时,使得函数f(x)在
上是单调的.
若选②,f(x)=cosωx-
sinωx=2cos
,
所以φ=
,
当x∈
时,
若函数f(x)在
上单调,则有
解得0<ω≤
,
所以存在正整数ω=1时,使得函数f(x)在
上是单调的.
若选③,因为f(x)≤f(0)恒成立,即f(x)max=f(0)=2cos
φ=2,所以cos
φ=1,
因为0≤φ≤
,所以φ=0,f(x)=2cos
ωx,
当x∈
时,ωx∈
,若函数f(x)在
上单调,则有
≤π,解得
0<ω≤2,
所以存在正整数ω=1或2时,使得函数f(x)在
上是单调的.
【加练备选】
已知函数f(x)=4tan
xsin
cos
-
.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间
上的单调性.
【解析】f(x)=4tan
xsin
cos
-
(1)定义域
(2)因为-
≤x≤
,所以-
≤2x-
≤
,
设t=2x-
,
因为y=sin
t在t∈
时单调递减,
在t∈
时单调递增.
由
解得
由
解得
所以函数f(x)在
上单调递增,
在
上单调递减.
考向二　利用正弦、余弦定理求三角形的角和边
命题角度1　三角形基本量的求解问题
【典例】已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边.试从①②两个条件中任选一个作为已知条件并完成下面(1)(2)两问的解答.①
②2ccos
C=acos
B+bcos
A.
(1)求角C;
(2)若c=
,a+b=
,求△ABC的面积.
【解析】选择①:(1)根据正弦定理得
从而可得a2-c2=ab-b2,
根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos
C,
解得cos
C=
,
因为C∈(0,π),故C=
.
(2)根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos
C,
得3=a2+b2-ab,
即3=(a+b)2-3ab,解得ab=
.
又因为S△ABC=
absin
C,
故△ABC的面积为
.
选择②:(1)根据正弦定理有sin
Acos
B+sin
Bcos
A
=2sin
Ccos
C,
即sin(A+B)=2sin
Ccos
C,
即sin
C=2sin
Ccos
C.因为C∈(0,π),故sin
C≠0,
从而有cos
C=
,故C=
.
(2)根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos
C,
得3=a2+b2-ab,
即3=(a+b)2-3ab,解得ab=
.
又因为S△ABC=
absin
C,
故△ABC的面积为
.
【加练备选】
(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin
B-sin
C)2
=sin2A-sin
Bsin
C.
(1)求A;
(2)若
a+b=2c,求sin
C.
【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin
Bsin
C,故由正弦定理得
b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得
因为0.
(2)方法一:由(1)知B=
π-C,
由题设及正弦定理得
sin
A+sin(
π-C)=2sin
C,
即
+
cos
C+
sin
C=2sin
C,
可得cos(C+
)=-
.
由于0π,所以sin(C+
)=
,
故sin
C=sin(C+
-
)
=sin(C+
)cos
-cos(C+
)sin
=
.
方法二:因为
a+b=2c,
由正弦定理得:
sin
A+sin
B=2sin
C,
又sin
B=sin(A+C)=sin
Acos
C+cos
Asin
C,A=
,
所以
×
+
cos
C+
sin
C=2sin
C,
整理可得:3sin
C-
=
cos
C,
即3sin
C-
cos
C=2
sin
=
,
所以sin
=
,所以C=
或
,
因为A=
且A+C<π,所以C=
,
所以sin
C=sin
=sin
=sin
cos
+cos
sin
=
.
命题角度2　以平面几何为载体的解三角形问题
【典例】如图,在平面四边形ABCD中,已知A=
,B=
,AB=6.在AB边上取点E,使得BE=1,连接EC,ED.若∠CED=
,EC=
.
(1)求sin∠BCE的值;
(2)求CD的长.
【解析】(1)在△BEC中,由正弦定理,知
因为B=
,BE=1,CE=
,
所以sin∠BCE=
(2)因为∠CED=∠B=
,
所以∠DEA=∠BCE,
所以cos∠DEA=
因为A=
,
所以△AED为直角三角形,又AE=AB-BE=5,所以
在△CED中,CD2=CE2+DE2-2CE·DE·cos∠CED=
所以CD=7.
【探究延伸】
　本例平面四边形ABCD满足的条件改为“∠ABC=
,AB⊥AD,AB=1,
sin∠CAD=
,AD=4(如图)”,求CD的长.
【解析】因为∠CAD+∠BAC=∠BAD=
,
所以cos∠BAC=sin∠CAD=
,
所以sin∠BAC=cos∠CAD=
,
因为∠ABC=
,
所以sin∠BCA=sin(
-∠BAC)
=
(cos∠BAC-sin∠BAC)
在△ABC中,由正弦定理得
在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=5+16-2×
×4×
=13,
所以CD=
.
【素养提升】
1.用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
2.以平面图形为背景的解三角形问题的求解思路
建
联
系
在平面几何图形中求相关的几何量时,需寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,通过公共条件形成等式,常常将所涉及的已知几何量与所求几何量集中到某一个三角形
用
定
理
①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理;
②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理
【变式训练】
1.如图,在四边形ABCD中,AC=
BC,AB=4,∠ABC=
.
(1)求∠ACB;
(2)若∠ADC=
,四边形ABCD的周长为10,求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)设BC=a,则AC=
a,
由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,
得3a2=42+a2-2×4·a·
,所以a2+2a-8=0,
所以a=2或a=-4(舍去),
所以AB2=AC2+BC2,
所以∠ACB=
.
(2)因为四边形ABCD的周长为10,AB=4,BC=2,
所以AD+CD=4.
又AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC,
即12=AD2+DC2+AD·DC=(AD+DC)2-AD·DC,
所以AD·DC=4.
所以S△ADC=
AD·DC·sin
π=
.
所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2
+
=3
.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin
A=acos
.
(1)求角B的大小.
(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理
可得bsin
A=asin
B,又由bsin
A=acos
,
得asin
B=acos
,即sin
B=cos
,
所以sin
B=
cos
B+
sin
B,可得tan
B=
.
又因为B∈(0,π),可得B=
.
(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=
,
得b2=a2+c2-2accos
B=7,故b=
.
由bsin
A=acos
,可得sin
A=
.
因为aA=
.
因此sin2A=2sin
Acos
A=
,
cos2A=2cos2A-1=
.
所以sin(2A-B)=sin2Acos
B-cos
2Asin
B
=
考向三　与解三角形有关的最值、范围问题(规范解答)
【典例】(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin
Bsin
C.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
【思维流程图】
(1)利用正弦定理化角为边→用余弦定理的变形式求cos
A→依据A∈(0,π)和
cos
A求A;
(2)利用余弦定理得到关于AB、AC的定量关系→依据AC·AB≤
建立关
于AB+AC的不等式→求出AB+AC的最大值.
【规范解答】(1)因为sin2A-sin2B-sin2C=sin
Bsin
C,
所以由正弦定理得:BC2-AC2-AB2=AC·AB,………………………………2分
所以
……………………………………3分
因为A∈(0,π),所以A=
.……………………………………………4分
考查要求
基础性
学科素养
数学运算、逻辑推理
评分细则
利用正弦定理化角为边给2分;
依据余弦定理得出cos
A给1分;
由cos
A的值求A给1分;
(2)由(1)知A=
,又BC=3,所以由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos
A
=AC2+AB2+AC·AB=9,
即(AC+AB)2-AC·AB=9.……………………………………………………6分
因为AC·AB≤
(当且仅当AC=AB时取等号),……………………7分
所以9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-
=
(AC+AB)2,…………9分
解得:AC+AB≤2
(当且仅当AC=AB时取等号),…………………………11分
所以△ABC的周长=AC+AB+BC≤3+2
,
所以△ABC周长的最大值为3+2
.…………………………………………12分
考查要求
综合性
学科素养
数学运算、逻辑推理
评分细则
由余弦定理推出关于AB,AC的等量关系给2分;
依据基本不等式建立关于AB,AC的不等关系给1分;
建立关于AB+AC的不等式,求出AB+AC的最大值各给2分;
正确叙述结论得1分.
【答题模板】
【素养提升】
　求最值的一般思路
在解三角形的过程中,若涉及已知条件中含边长之间的关系,且与面积有关的最
值问题,一般利用S=
absin
C型面积公式及基本不等式求解,有时也用到三角函
数的有界性.
　【变式训练】
(2020·青岛模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个:①a=7,②b=10,③c=8,
④△ABC的面积S=10
,请指出这三个条件,并说明理由;
(2)若a=3,求△ABC周长L的取值范围.
【解析】因为
所以sin
Acos
B+sin
Acos
C=sin
Bcos
A+sin
Ccos
A,
即sin
Acos
B-sin
Bcos
A=sin
Ccos
A-sin
Acos
C,
所以sin(A-B)=sin(C-A),因为A,B,C∈(0,π),
所以A-B=C-A,即2A=B+C,故A=
,
(1)△ABC同时满足①③④,理由如下:
若△ABC同时满足①②,由正弦定理可得,
不符合题意;
若△ABC同时满足③④,则S△ABC=
bcsin
A=
×b×8×
=10
,故b=5与②
矛盾,故只能是①③④.
(2)△ABC中,由正弦定理可得,
所以b=2
sin
B,c=2
sin
C=2
sin
,
所以L=a+b+c=2
[sin
B+sin
]+3
因为B∈
,
所以
所以△ABC周长L的取值范围是(6,9].
【加练备选】
　　　(2019·南昌模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
且cos2
-sin
B·sin
C=
.
(1)求角A;
(2)若a=4,求△ABC面积的最大值.
【解析】(1)由cos2
-sin
B·sin
C=
,
得
-sin
B·sin
C=-
,
所以cos(B+C)=-
,
所以cos
A=
(0.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos
A,得16=b2+c2-
bc≥(2-
)bc,当且仅当
b=c时取等号,即bc≤8(2+
).
所以S△ABC=
bcsin
A=
bc≤4(
+1),
即△ABC面积的最大值为4(
+1).
专题能力提升练
六　三角函数及解三角形的综合问题
(40分钟　80分)
1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac=
,②csin
A=3,③c=
b这三个条件中任
选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形
不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin
A=
sin
B,
C=
,________??
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【解析】方案一:选条件①.
由C=
和余弦定理得
.
由sin
A=
sin
B及正弦定理得a=
b.
于是
,由此可得b=c.
由①ac=
,解得a=
,b=c=1.
因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.
方案二:选条件②.
由C=
和余弦定理得
.
由sin
A=
sin
B及正弦定理得a=
b.
于是
,
由此可得b=c,B=C=
,A=
.
由②csin
A=3,所以c=b=2
,a=6.
因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2
.
方案三:选条件③.
由C=
和余弦定理得
.
由sin
A=
sin
B及正弦定理得a=
b.
于是
,由此可得b=c.
由③c=
b与b=c矛盾.
因此,选条件③时问题中的三角形不存在.
2.如图,在△ABC中,D为BC的中点,AB=2
,AC=4,AD=3.
(1)求边BC的长;
(2)点E在边AB上,若CE是∠BCA的平分线,求△BCE的面积.
【解析】(1)因为D在边BC上,
所以cos∠ADB=-cos∠ADC,
在△ADB和△ADC中,由余弦定理,
得
因为AB=2
,AC=4,AD=3,BD=DC,
所以9+BD2-52+9+BD2-16=0,
所以BD2=25,BD=5.所以边BC的长为10.
(2)由(1)知△ADC为直角三角形,
所以S△ADC=
×4×3=6,S△ABC=2S△ADC=12.
因为CE是∠BCA的平分线,
所以
所以S△ABC=S△BCE+S△ACE=S△BCE+
S△BCE=
S△BCE=12,所以S△BCE=
.
即△BCE的面积为
.
3.(2020·湖南长郡中学模拟)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若△ABC
同时满足下列四个条件中的三个:①
②cos
2A+2cos2
=1;③a=
;④b=2
.
(1)满足有解三角形的序号组合有哪些?
(2)在(1)所有组合中任选一组,并求对应△ABC的面积.(若所选条件出现多种可
能,则按计算的第一种可能计分)
【解析】(1)
化为:
②cos
2A+2cos2
=1,
化为:cos
A=
,A∈(0,π),解得A=
.
可得①②不能同时出现作为条件.所以满足有解三角形的序号组合有:①③④,②
③④.
(2)取②③④,由正弦定理可得:
解得sin
B=1.
B∈(0,π),所以B=
.
所以c=
,所以△ABC的面积
4.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,
).
(1)求sin
2α-tan
α的值;
(2)若函数f(x)=cos(x-α)cos
α-sin
(x-α)sin
α,求函数g(x)=
f
-
2f2(x)在区间
上的值域.
【解析】(1)因为角α的终边经过点P(-3,
),
所以sin
α=
,cos
α=-
,tan
α=-
.
所以sin
2α-tan
α=2sin
αcos
α-tan
α
=
(2)因为f(x)=cos
(x-α)cos
α-sin
(x-α)sin
α=cos
x,
所以g(x)=
cos
-2cos2x=
sin
2x-1-cos
2x=2sin
-1.
因为0≤x≤
,所以-
≤2x-
≤
.
所以-
≤sin
≤1,
所以-2≤2sin
-1≤1,
故函数g(x)=
f
-2f2(x)在区间
上的值域是[-2,1].
【加练备选】
已知函数f(x)=sin2x-cos2x+2
sin
xcos
x(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(∠BAC)=2,c=5,cos
B=
,求中
线AD的长.
【解析】(1)f(x)=-cos
2x+
sin
2x
=2sin
,
所以最小正周期T=
=π,所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由(1)知f(x)=2sin
.
因为f(∠BAC)=2,
所以sin
=1,∠BAC∈(0,π),
所以2∠BAC-
=
,所以∠BAC=
,
又cos
B=
,所以sin
B=
,
所以sin
C=sin(∠BAC+B)
在△ABC中,由正弦定理
得
,所以a=7,所以BD=
.
在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos
B=52+
-2×5×
×
=
.
所以AD=
.
5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,且函数
g(x)=f
.
(1)求函数g(x)的单调增区间;
(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,又c=
,且锐角C满足g(C)=-1,若
sin
B=2sin
A,M为AC边的中点,求△BMC的周长.
【解析】(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象可得A=2,
,即T=π,则ω=
=2,
又函数图象过点
,
则2×
+φ=2kπ+
,k∈Z,
即φ=2kπ+
,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=
,
即f(x)=2sin
,则
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,
得kπ-
≤x≤kπ,k∈Z,
所以函数g(x)的单调增区间为
,k∈Z.
(2)由g(C)=-1,得cos
2C=-
,
因为0,所以0<2C<π,
所以2C=
,C=
,
又sin
B=2sin
A,由正弦定理得
=2,①
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos
,
即a2+b2-ab=3,②
由①②解得a=1,b=2.
又c=
,所以a2+c2=b2,
所以△ABC为直角三角形,且角B为直角.
故BM=
AC=
b=1,
所以△BMC的周长为BM+MC+CB=1+1+1=3.
6.如图,在△ABC中,∠A,∠ABC,∠ACB的对边分别为a,b,c,a=c(sin∠ABC+cos∠ABC).
(1)求∠ACB的大小;
(2)若∠ABC=∠ACB,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,求四边形ABDC面积的最大值.
【解题导引】(1)利用正弦定理,三角恒等变换的应用化简已知可得cos∠ACBsin∠ABC=sin∠ABCsin∠ACB,结合sin
∠ABC≠0,可求tan∠ACB=1,结
合范围∠ACB∈(0,π),即可求得∠ACB的值.
(2)由已知利用余弦定理可得BC2=12+22-2×1×2×cos
D=5-4cos
D,由已知及(1)
可知∠ACB=
,利用三角形面积公式可求S△ABC,S△BDC,从而可求S四边形ABDC,根据正
弦函数的性质即可解得四边形ABDC面积的最大值.
【解析】(1)在△ABC中,
因为a=c(sin∠ABC+cos∠ABC),
所以sin
A=sin∠ACB(sin∠ABC+cos∠ABC),
所以sin(π-∠ABC-∠ACB)
=sin∠ACB(sin∠ABC+cos∠ABC),
所以sin(∠ABC+∠ACB)
=sin∠ACB(sin∠ABC+cos∠ABC),
所以sin∠ABCcos∠ACB+cos∠ABCsin∠ACB
=sin∠ABCsin∠ACB+sin∠ACBcos∠ABC,
所以cos∠ACBsin∠ABC=sin∠ABCsin∠ACB,
又因为∠ABC∈(0,π),故sin∠ABC≠0,
所以cos∠ACB=sin∠ACB,即tan∠ACB=1.
又因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=
.
(2)在△BCD中,DB=2,DC=1,
所以BC2=12+22-2×1×2×cos
D
=5-4cos
D.
又∠ABC=∠ACB,由(1)可知∠ACB=
,
所以△ABC为等腰直角三角形,
所以S△ABC=
×BC×
×BC=
BC2
=
-cos
D,
又因为S△BDC=
×BD×DC×sin
D=sin
D,
所以S四边形ABDC=
-cos
D+sin
D
=
+
sin
.
所以当D=
时,四边形ABDC的面积取最大值,最大值为
+
.