高中数学《二项式定理》知识点与常见题型解题方法归纳world含解析

高中数学《二项式定理》知识点与常见题型解题方法归纳
一．知识梳理
1．二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N
)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．
其中的系数C(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．
式中的Can－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Can－rbr.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
3．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即
(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项取得最大值．
(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n；
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
一个防范
运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．
一个定理
二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．
两种应用
(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．
(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．
三条性质
(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；
二．常见题型
【题型一】求展开特定项
例1：(1＋3x)n(其中n∈N
且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝(　　)
A.6
B.7
C.8
D.9
例2：()的展开式中x2y2的系数为________.(用数字作答)
【题型二】求展开特定项
例3：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．74
B．121
C．－74
D．－121
【题型三】求展开特定项
例4：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)
A.－4
B.－3
C.－2
D.－1
例5：在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)
A．45
B．60
C．120
D．210
例6：已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，的系数为_______.
【题型四】求展开特定项
例7：求(x>0)的展开式经整理后的常数项.
例8：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（　　）．
A．11　　
B．33　　
C．55　　
D．66
例9：
(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．10
B．20
C．30
D．60
【题型五】二项式展开逆向问题
例10：若C＋3C＋32C＋…＋3n－2C＋3n－1＝85，则n的值为(　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
【题型六】赋值法求系数（和）问题
例11：已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)＋＋＋…＋.
例12：设＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2＝_______________________.
例13：已知(x＋1)2(x＋2)2014＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a2016(x＋2)2016，则＋＋＋…＋的值为______.
【题型七】平移后系数问题
例14：若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5,
其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝____________.
【题型八】二项式系数、系数最大值问题
例15：的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．
例16：把(1－x)9的展开式按x的升幂排列，系数最大的项是第________项
A．4
B．5
C．6
D．7
例17：(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
【题型九】两边求导法求特定数列和
例18：若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________．
【题型十】整除问题
例19：设a∈Z，且0≤a<13，若512
012＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0
B．1
C．11
D．12
例20：已知m是一个给定的正整数，如果两个整数a，b除以m所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a≡b(mod
m)，例如：5≡13(mod
4).若22015≡r(mod
7)，则r可能等于(　　)
A.2013
B.2014
C.2015
D.2016
答案解析
例1：解析　由条件得C35＝C36，∴＝×3，
∴3(n－5)＝6，n＝7.故选B.
例2：解析　展开式的通项公式为Tr＋1＝C＝，
令8－r＝2，解得r＝4，此时r－4＝2，所以展开式中x2y2的系数为(－1)4C＝70.故填70.
例3：解析　展开式中含x3项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.
例4：解析　(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2项为Cx2＋ax·Cx＝10x2＋5ax2＝(10＋5a)x2.
∵x2的系数为5，
∴10＋5a＝5，a＝－1.故选D.
例5：解析　在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.从而f(3，0)＝C＝20，f(2，1)＝C·C＝60，f(1，2)＝C·C＝36，f(0，3)＝C＝4，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝120，故选C.
例6：解析　的系数为。
例7：解析　解法一：在x＞0时可化为，
因而Tr＋1＝C，则r＝5时为常数项，即C·＝.
解法二：所给的式子为三项式，采用两个计数原理求解.
分三类：①5个式子均取，则C＝4；
②取一个，一个，三个，则CC＝20；
③取两个，两个，一个，则CC＝.
所以，常数项为4＋20＋＝.
例8：解析　展开后，每一项都形如，其中，该方程非负整数解的对数为。
例9：解析　易知Tr＋1＝C(x2＋x)5－ryr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，对于二项式(x2＋x)3，由Tt＋1＝C(x2)3－txt＝Cx6－t，令t＝1，所以x5y2的系数为CC＝30.
例10：解析　由C＋3C＋…＋3n－2C＋3n－1＝[(1＋3)n－1]＝85，解得n＝4.故选B.
例11：解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.③
(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.④
(4)∵(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
∴＋＋＋…＋＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)，
∴所求即为④－③(亦即②)，其值为2187.
例12：解析　设f(x)＝，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1)(a0＋a2＋a4＋…＋a2n＋a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＝f(－1)·f(1)＝·＝＝.
例13：解析　依题意令x＝－，得＝a0＋a1＋a2＋…＋a2016，令x＝－2得a0＝0，则＋＋＋…＋＝.
例14：解析　解法一：令x＋1＝y，(y－1)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，故a3＝C(－1)2＝10.
解法二：由等式两边对应项系数相等.即：eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a5＝1，,Ca5＋a4＝0，,Ca5＋Ca4＋a3＝0，)))解得a3＝10.
解法三：对等式：f(x)＝x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5两边连续对x求导三次得：60x2＝6a3＋24a4(1＋x)＋60a5(1＋x)2，再运用赋值法，令x＝－1得：60＝6a3，即a3＝10.故填10.
例15：
解析　由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n＝9，展开式的第四项为T4＝C·()6·＝.
例16：解析　
(1－x)9展开式中第r＋1项的系数为C(－1)r，易知当r＝4时，系数最大，即第5项系数最大，选B.
例17：解析　T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C·25＝C·26，解得n＝8.所以(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C·(2x)4＝1
120x4.
设第r＋1项系数最大，则有eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C·2r≥C·2r－1，,C·2r≥C·2r＋1，))
解得5≤r≤6.所以r＝5或r＝6，所以系数最大的项为T6＝1
792x5或T7＝1
792x6.
例18：解析　原等式两边求导得5(2x－3)4·(2x－3)′＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令上式中x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝10.
例19：解析　512
012＋a＝(52－1)2
012＋a
＝C·522
012－C·522
011＋…＋C×52·(－1)2
011＋C·(－1)2
012＋a，
∵C·522
012－C·522
011＋…＋C×52·(－1)2
011能被13整除．
且512
012＋a能被13整除，∴C·(－1)2
012＋a＝1＋a也能被13整除．
因此a可取值12.
例20：解析　22015＝22×23×671＝4×8671＝4(7＋1)671＝4(7671＋C7670＋…＋C7＋1).因此22015除以7的余数为4.经验证，只有2013除以7所得的余数为4.故选A.