外接球内切球的9大类题型梳理
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．例如：球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．
1.
球的表面积为S=4πR2
2.
球的体积为V＝πR3
多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略
(1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题．
(2)利用平面几何知识寻找几何体元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
(3)若球面上4点P，A，B，C构成的3条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
一．球的性质应用
已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为(
)
A．
B．
C．
D．
【解析】因为△ABC是边长为6的正三角形,所以△ABC外接圆的半径r=，
为球的直径，且，球半径R=4，
所以点O到平面ABC的距离，
SC为球O的直径,点S到平面ABC的距离为2d=4，
此棱锥的体积为，选C.
已知三棱锥中，，，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积为，则球表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
二．最值问题
已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】如图，设球心为，
由，，可得为直角三角形，
斜边的中点为球小圆的圆心，接，，则平面，由，可得，故三棱锥最大体积为，选．
在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
已知的三个顶点落在半径为的球的表面上，三角形有一个角为且其对边长为3，球心到所在的平面的距离恰好等于半径的一半，点为球面上任意一点，则三棱锥的体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
三．球直径灵活应用
已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】作出图形，设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC
∵CO1=，
∴，∴高SD=2OO1=，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC=，∴．
四．球与其它几何体的综合
如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8
cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】设球的半径为cm，根据已知条件知
正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm
所以由，得
所以球的体积为
选A
四面体中，已知，且两两相互垂直，在该四面体表面上与点距离为的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是(
)
A．
B．
C．
D．
五．球定义的灵活应用
如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面，，分别为棱，上一点，已知，，，且平面，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】在棱CD上取一点H,使得HD=1
平面BCE
又平面BCE，平面平面BCE
，
又平面平面ABCD=GH，平面平面ABCD=BC,
=
HD=1,
故四面体可以补成一个长方体，且长，宽，高分别为4，1，1
所以球的表面积为选C
如图所示，在三棱锥中，，，，点在平面内的投影恰好落在上，且，，则三棱锥外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
六．多面体放球中的解题策略
已知二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，且∠PAB＝∠ABC＝90°，AB＝AP，AB+BC＝6．若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（
）
A．45π
B．
C．
D．
【解析】设AB＝x，（0＜x＜6），则，
由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，
且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，
OB为三棱锥外接球半径，取AB的中点为G，如图，
由条件知
在△EGH中，由余弦定理得
∴△EGH的外接圆直径，
当时，OB2的最小值为，
∴该球的表面积的最小值为.
选B．
等腰三角形的腰，，将它沿高翻折，使二面角成，此时四面体外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
在三棱锥中，，，，二面角的余弦值是，若都在同一球面上，则该球的表面积是（
）
A．
B．
C．
D．
已知三棱锥中，，，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
表面积为的球面上有四点，且是边长为的等边三角形，若平面平面，则三棱锥体积的最大值是
七．球的截面问题
如图，正四面体A﹣BCD的棱长为a，点E、F分别是棱BD、BC的中点，则平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为_____.
【解析】根据题意知,平面AEF截该正四面体的内切球所得截面一定是圆，设圆心为P，内切球的球心为O，作平面,则为底面三角形的中心
在等边三角形中,
在中,由勾股定理知,
由图可知,为四面体外接球的半径,设
在中,由勾股定理可得,,解得
所以正四面体A﹣BCD的内切球半径为,
因为OP⊥AM，,所以，又因为
由AM2＝NM2+AN2可得AM，∴，即,解得OP
∴平面AEF截该正四面体的内切球所得截面圆半径r1
平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为
已知三棱锥的所有顶点在球的球面上，平面，是等腰直角三角形，，是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是______.
八．内切球问题
图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为________.
【解析】如图（2）
作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上
过点，分别作AD，BC的垂线，垂足分别为E，F
设球的半径为r，球的半径为R
由，，得，
∴，∴
九．翻折问题与球
在平行四边形中，，，且，以为折痕，将折起，使点到达点处，且满足，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
【解析】解：在中，，，且
由余弦定理，得
即：，解得：
在四面体中，，，
三组对棱长相等，可将四面体放在长方体中
设长方体的相邻三棱长分别为，，，设外接球半径为
则，，
则，即，所以
所以，四面体外接球的表面积为：
在矩形中，，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_____.
在平面五边形中,,,,,且.将五边形沿对角线折起,使平面与平面所成的二面角为,则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是________.外接球内切球的9大类题型梳理
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．例如：球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．
1.
球的表面积为S=4πR2
2.
球的体积为V＝πR3
多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略
(1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题．
(2)利用平面几何知识寻找几何体元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
(3)若球面上4点P，A，B，C构成的3条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
一．球的性质应用
例题1
已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为(
)
A．
B．
C．
D．
【解析】因为△ABC是边长为6的正三角形,所以△ABC外接圆的半径r=，
为球的直径，且，球半径R=4，
所以点O到平面ABC的距离，
SC为球O的直径,点S到平面ABC的距离为2d=4，
此棱锥的体积为，选C.
巩固1
已知三棱锥中，，，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积为，则球表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由题意，
.
又的外接圆的半径
因此球的半径
球的表面积：，选C
巩固2
已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】∵底面中，，，
，的外接圆半径
面，三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积，选C．
二．最值问题
例题2
已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】如图，设球心为，
由，，可得为直角三角形，
斜边的中点为球小圆的圆心，接，，则平面，由，可得，故三棱锥最大体积为，选．
巩固1
在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，
记三角形的中心为，设球的半径为，，
则球心到平面的距离为，即，
连接，则，∴.
在中，取的中点为，连接，
则，，
所以.在中，，
由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，
设此时截面圆的半径为，
则，
所以最小截面圆的面积为，
当截面过球心时，截面面积最大为，
所以，，
球的表面积为.
选C.
巩固2
已知的三个顶点落在半径为的球的表面上，三角形有一个角为且其对边长为3，球心到所在的平面的距离恰好等于半径的一半，点为球面上任意一点，则三棱锥的体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】设外接圆的圆心为，则平面，所以
设外接圆的半径为，，
由正弦定理可得：，解得：
由球的截面圆性质可得：，解得：
所以点到平面的距离的最大值为：.
在中，由余弦定理可得：
当且仅当时，等号成立，所以.
所以，当且仅当时，等号成立.
当三棱锥的底面面积最大，高最大时，其体积最大.
所以三棱锥的体积的最大值为
选C
三．球直径灵活应用
例题3
已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】作出图形，设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC
∵CO1=，
∴，∴高SD=2OO1=，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC=，∴．
四．球与其它几何体的综合
例题4
如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8
cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】设球的半径为cm，根据已知条件知
正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm
所以由，得
所以球的体积为
选A
巩固1
四面体中，已知，且两两相互垂直，在该四面体表面上与点距离为的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是(
)
A．
B．
C．
D．
【解析】在四面体表面上与点距离为的点形成一条曲线
曲线分别与交于
，，同理，
，，
.
选B.
五．球定义的灵活应用
例题5
如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面，，分别为棱，上一点，已知，，，且平面，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】在棱CD上取一点H,使得HD=1
平面BCE
又平面BCE，平面平面BCE
，
又平面平面ABCD=GH，平面平面ABCD=BC,
=
HD=1,
故四面体可以补成一个长方体，且长，宽，高分别为4，1，1
所以球的表面积为选C
巩固1
如图所示，在三棱锥中，，，，点在平面内的投影恰好落在上，且，，则三棱锥外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由已知可知平面，平面平面，
又因为，平面，可构造直三棱柱，
直三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，
且球心为直三棱柱上下底面三角形外接圆圆心连线的中点.
在中，由正弦定理可求得外接圆半径为，
外接球半径为，
三棱锥外接球的表面积为，选D.
六．多面体放球中的解题策略
例题6
已知二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，且∠PAB＝∠ABC＝90°，AB＝AP，AB+BC＝6．若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（
）
A．45π
B．
C．
D．
【解析】设AB＝x，（0＜x＜6），则，
由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，
且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，
OB为三棱锥外接球半径，取AB的中点为G，如图，
由条件知
在△EGH中，由余弦定理得
∴△EGH的外接圆直径，
当时，OB2的最小值为，
∴该球的表面积的最小值为.
选B．
巩固1
等腰三角形的腰，，将它沿高翻折，使二面角成，此时四面体外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由题意，设所在的小圆为，半径为，
又因为二面角为，
即，
所以为边长为的等边三角形，
又正弦定理可得，，
即，
设球的半径为，且，
在直角中，，
所以，
所以球的体积为，
选D．
巩固2
在三棱锥中，，，，二面角的余弦值是，若都在同一球面上，则该球的表面积是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】取的中点，连接.
因为，所以，
可得即为二面角的平面角，故.
在直角中，，同理可得，
由余弦定理得
解得.
在中，，
所以为直角三角形，
同理可得为直角三角形，取中点，
则，在与中，，，
所以点为该球的球心，半径为，所以球的表面积为.
选C
巩固3
已知三棱锥中，，，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】如图，
取的中点，连接，，则，
又平面平面，平面平面，平面，
所以面，又平面，
所以，
在上取一点，使得，则为球心，
设球的半径为，
因为，
所以为直角三角形，
又为的中点，
所以，又，
又在中，，即，
解得.
所以外接球表面积为.
选C.
巩固4
表面积为的球面上有四点，且是边长为的等边三角形，若平面平面，则三棱锥体积的最大值是
【解析】∵，
故当到面的距离最大时，三棱锥的体积最大，
由图可知即当，为中点时，三棱锥的体积最大，
作，面，连接，由，得，
由于，得，故，，
故，，，
，
故答案为
七．球的截面问题
例题7
如图，正四面体A﹣BCD的棱长为a，点E、F分别是棱BD、BC的中点，则平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为_____.
【解析】根据题意知,平面AEF截该正四面体的内切球所得截面一定是圆，设圆心为P，内切球的球心为O，作平面,则为底面三角形的中心
在等边三角形中,
在中,由勾股定理知,
由图可知,为四面体外接球的半径,设
在中,由勾股定理可得,,解得
所以正四面体A﹣BCD的内切球半径为,
因为OP⊥AM，,所以，又因为
由AM2＝NM2+AN2可得AM，∴，即,解得OP
∴平面AEF截该正四面体的内切球所得截面圆半径r1
平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为
巩固1
已知三棱锥的所有顶点在球的球面上，平面，是等腰直角三角形，，是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是______.
【解析】点是的外心，过点作平面使
是外接球球心，半径设为，
在直角梯形中，，，，得
过点作球的截面
当截面时，截面面积最小，此时截面圆的半径为
∴截面面积的最小值是
八．内切球问题
例题8
图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为________.
【解析】如图（2）
作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上
过点，分别作AD，BC的垂线，垂足分别为E，F
设球的半径为r，球的半径为R
由，，得，
∴，∴
九．翻折问题与球
例题9
在平行四边形中，，，且，以为折痕，将折起，使点到达点处，且满足，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
【解析】解：在中，，，且
由余弦定理，得
即：，解得：
在四面体中，，，
三组对棱长相等，可将四面体放在长方体中
设长方体的相邻三棱长分别为，，，设外接球半径为
则，，
则，即，所以
所以，四面体外接球的表面积为：
巩固1
在矩形中，，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_____.
【解析】由题意可知，，
所以可得面，
设外接圆的半径为，
由正弦定理可得，即，，
设三棱锥外接球的半径，
因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，
则，
所以外接球的表面积为.
巩固2
在平面五边形中,,,,,且.将五边形沿对角线折起,使平面与平面所成的二面角为,则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是________.
【解析】由题意知,是正三角形,是矩形
设的中心为,矩形的中心为
过作垂直于平面的直线,过作垂直于平面的直线
由球的性质可知,直线与的交点为几何体的外接球的球心
取的中点F,连接
易得,,
连接,显然与全等,从而,,
连接,则为所求几何体外接球的半径,又,
则,
故所得几何体外接球的表面积为.
