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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破配套练习
专题02
函数图象及性质
（测试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·山东菏泽市·高三期中）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（
）
附：
A．20%
B．23%
C．28%
D．50%
2．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他模拟）设函数，则函数的零点的个数为(
)
A．4
B．5
C．6
D．7
3.（2020·全国高考真题（理））若，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·山东日照市·日照一中高三月考）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，若，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·浙江省东阳中学高三月考）已知函数满足，若函数与图象的交点为则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（
）
A．10
B．
C．5
D．20
7．（2020·浙江衢州市·衢州二中高三一模）已知函数（）的最小值为0，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·浙江高三其他模拟）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·梅河口市第五中学高三月考）已知函数的定义域为，且对任意都满足，当时，(其中为自然对数的底数，)若函数与的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是（
）
A．或
B．
C．
D．
10．（2021·天津滨海新区·高三期末）已知函数（，且）在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共7小题，共35分。
13．（2020·浙江高三其他模拟）函数在区间上的最大值是7，则实数a的值为________．
14．（2020·浙江宁波市·宁波华茂外国语学校高三一模）设函数，若恒成立，则实数的值为_____.
15．（2020·浙江温州市·高三月考）如图所示，在直行道路上当绿灯亮起时，①号汽车立刻启动通过停止线，随后每辆汽车都比前一辆汽车延时后启动，每辆汽车启动后先做加速度为的匀加速直线运动，当速度达到之后就做匀速直线运动，已知此处绿灯的时间为，每辆汽车的车长均为，相邻两辆汽车之间的间距均为，则图中的⑥号车________(填“能”或“不能”)在一次绿灯的时间内通过停止线(只要汽车的车头通过停止线就算通过)，在一次绿灯的时间内可以有___________辆汽车通过停止线.(注：物体从静止开始做匀速直线运动时，路程s与时间t的关系是：，其中a为加速度)
16.（2020·江苏省睢宁县高级中学高三月考）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是__________
17．（2020·山东枣庄市·滕州市第一中学新校高三月考）定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是
.
三、解答题：本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2020·浙江高三专题练习）已知函数是定义在区间上的奇函数，对于任意的都有．（1）判断函数的单调性．（2）解不等式．
19．（2021·浙江高三专题练习）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的零点；（Ⅱ）若函数对任意实数都有成立，求函数的解析式；
（Ⅲ）若函数在区间上的最小值为，求实数的值．
20．（2019·浙江高三学业考试）已知函数，.
（1）若为偶函数，求的值并写出的增区间；
（2）若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；
（3）对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．（2020·浙江高三专题练习）函数的函数值表示不超过的最大整数，如，，已知．（1）求函数的表达式．（2）记函数，在平面直角坐标系中作出函数的图象．（3）若方程（，且）有且仅有一个实根，求的取值范围．
22．（2021·浙江高三学业考试）设，已知函数.
（1）若是奇函数，求的值；（2）当时，证明：；
（3）设，若实数满足，证明：.
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破配套练习
专题02
函数图象及性质
（测试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·山东菏泽市·高三期中）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（
）
附：
A．20%
B．23%
C．28%
D．50%
【答案】B
【详解】将信噪比从1000提升至5000时，
增加比率为
．故选：．
2．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他模拟）设函数，则函数的零点的个数为(
)
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】，转化为如图，画出函数和的图像，
当时，有一个交点，
当
时，，，此时，是函数的一个零点，
，，满足，所以在有两个交点，
同理，所以在有两个交点，，所以在内没有交点，
当时，恒有，所以两个函数没有交点所以，共有6个．
3.（2020·全国高考真题（理））若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设，则为增函数，因为
即，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.故选：B.
4．（2020·山东日照市·日照一中高三月考）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，若，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减且，
所以，且在上单调递减
又，所以，而，
，所以，所以.故选:A.
5．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由图可知函数图象关于轴对称，且图象过原点，
对于A，
，是奇函数，图象关于原点对称，不合题意，排除A；
对于C，，不合题意，排除C；
对于D，，是奇函数，图象关于原点对称，不合题意，排除D；故选：B.
6．（2020·浙江省东阳中学高三月考）已知函数满足，若函数与图象的交点为则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（
）
A．10
B．
C．5
D．20
【答案】A
【详解】函数满足即为
可得关于点对称
又函数，即的图象关于点对称，
即若点为交点，则点也为交点，同理若为交点，则点也为交点，……则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
故选：A.
7．（2020·浙江衢州市·衢州二中高三一模）已知函数（）的最小值为0，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设，则，
则，
由于函数的最小值为0，作出函数的大致图像，
结合图像，，得，所以.故选：C
8．（2020·浙江高三其他模拟）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】不等式可等价转化为，
即函数的图象在直线的上方，
如图，考虑直线与二次函数相切，，
解得或，所以.故选：D.
9．（2020·梅河口市第五中学高三月考）已知函数的定义域为，且对任意都满足，当时，(其中为自然对数的底数，)若函数与的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是（
）
A．或
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由，则关于直线对称，由题与的图像只有两个交点，设，图像上的切点，，则，，把代入可得，则，如图所示：结合图像可知，要有两个交点，则或.
故选：A
10．（2021·天津滨海新区·高三期末）已知函数（，且）在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：，
当时，，易知：在时单调递减，
又在区间上为单调函数，且，
解得：，令，即，令，
则函数有三个不同的零点，等价于与有三个不同的交点，分别画出与的图象如下所示：
由图可知：当时，与有个不同的交点，
故只需满足：当时，与有个不同的交点，
即当时，，化简得：，即，
令，即与有一个交点，
画出的图象如下图所示：
易知，，
或，解得：，或，
又，即或，综上所述：.故选：D.
二、填空题：本大题共7小题，共35分。
13．（2020·浙江高三其他模拟）函数在区间上的最大值是7，则实数a的值为________．
【答案】或4
【详解】由二次函数的图象分析知，
在上的最大值只能在，1，2处取得．
①若在处取得最大值7，则，
解得或10，经检验不符合题意，故；
②若在处取得最大值7，则，得或，经检验不合题意，故；
③若在处取得最大值7，则，，经检验，均不符合题意，舍去．
综上，或故答案为：或
14．（2020·浙江宁波市·宁波华茂外国语学校高三一模）设函数，若恒成立，则实数的值为_____.
【答案】
【详解】因为恒成立，所以
即，解得：或
当时，，，则不满足条件
当时，，，则满足条件故答案为：
15．（2020·浙江温州市·高三月考）如图所示，在直行道路上当绿灯亮起时，①号汽车立刻启动通过停止线，随后每辆汽车都比前一辆汽车延时后启动，每辆汽车启动后先做加速度为的匀加速直线运动，当速度达到之后就做匀速直线运动，已知此处绿灯的时间为，每辆汽车的车长均为，相邻两辆汽车之间的间距均为，则图中的⑥号车________(填“能”或“不能”)在一次绿灯的时间内通过停止线(只要汽车的车头通过停止线就算通过)，在一次绿灯的时间内可以有___________辆汽车通过停止线.(注：物体从静止开始做匀速直线运动时，路程s与时间t的关系是：，其中a为加速度)
【答案】能
8
【详解】⑥
号车距离停止线为米，
⑥
号车延时5秒，第6秒启动，又，所以从到共需5秒，
所以⑥
号车在10秒内运动的路程为，故⑥
号车能通过；
设可以通过n辆，则第n辆车延时秒，第n秒启动，显然，
所以，
故可以通过8辆，故答案为：能；8.
16.（2020·江苏省睢宁县高级中学高三月考）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是__________
【答案】
【解析】作出函数和在上的图像，如下图所示
由图可知，当直线在阴影部分之间时，满足在上恒成立
，所以
当直线经过点时，
当直线恰好是轴时，
所以
所以的取值范围是故答案为：
17．（2020·山东枣庄市·滕州市第一中学新校高三月考）定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是
.
【答案】
【详解】，
∵函数是区间上的双中值函数，∴区间上存在
，
满足
∴方程在区间有两个不相等的解，令，
则，解得
∴实数的取值范围是.
三、解答题：本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2020·浙江高三专题练习）已知函数是定义在区间上的奇函数，对于任意的都有．（1）判断函数的单调性．（2）解不等式．
【答案】（1）在区间上是增函数；（2）.
【详解】（1）设，，则
因为函数是定义在区间上的奇函数，所以所以，
不妨设，则，
由函数单调性的定义可得函数在区间上是增函数．
（2）由（1）知函数在区间上是增函数．
又由得，
所以不等式的解集为．
19．（2021·浙江高三专题练习）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的零点；（Ⅱ）若函数对任意实数都有成立，求函数的解析式；
（Ⅲ）若函数在区间上的最小值为，求实数的值．
【答案】（Ⅰ）1和3
（Ⅱ）
（Ⅲ）或.
【详解】（Ⅰ）当时，
，
由可得或，所以函数的零点为1和3．
（Ⅱ）由于对任意实数恒成立，
所以函数图像的对称轴为，即，解得．
故函数的解析式为．
（Ⅲ）由题意得函数图像的对称轴为．
当，即时，
在上单调递减，
所以，解得．符合题意．
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，与矛盾，舍去．
当，即时，
在上单调递增，
所以，解得．符合题意．所以或．
20．（2019·浙江高三学业考试）已知函数，.
（1）若为偶函数，求的值并写出的增区间；
（2）若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；
（3）对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；增区间；（2）；（3）.
【详解】解：（Ⅰ）为偶函数，，即，解得.
所以函数，对称轴，增区间
（Ⅱ）由关于的不等式的解集为，所以知
∴
又∵，∴∴，
即的最小值为，取“”时
（Ⅲ）∵时，∴根据题意得：在恒成立
记，（）
①当时，由，∴
②当时，由
∴
③当时，由，
综上所述，的取值范围是
21．（2020·浙江高三专题练习）函数的函数值表示不超过的最大整数，如，，已知．（1）求函数的表达式．（2）记函数，在平面直角坐标系中作出函数的图象．（3）若方程（，且）有且仅有一个实根，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）图象见解析；（3）.
【详解】（1）．
（2），图象如图所示．
（3）方程有且仅有一个实数根等价于与的图象有且仅有一个交点．由图可知：
当时，，解得；
当时，或，解得或．
综上，的取值范围是．
22．（2021·浙江高三学业考试）设，已知函数.
（1）若是奇函数，求的值；（2）当时，证明：；
（3）设，若实数满足，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【详解】解：（1）由题意，对任意，都有，
即，亦即，因此；
（2）证明：因为，，
.所以.
（3）设，则，当时，；
当时，；，，
所以.
由得，即.
①当时，，，所以；
②当时，由（2）知，，等号不能同时成立.
综上可知.
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题02
函数及其性质
【考纲解读与命题趋势】?
函数是高考数学中的必考内容，函数中的基本处理方法和解题思想贯穿于整个高中数学，可以说函数是整个高中数学的核心。从难度上来说，难度较大的函数小题经常以压轴题目出现，是客观题中最易出难题的部分。函数题目的功能都以“选拔性”为主，是高考最具区分度的能力考点。因此，新高考中函数与性质任然是考察的重点内容，要想在新高考中获得较为理想的成绩，抓好这一内容是必须的。下面分析一下新高考数学函数这部分的基本命题方向。
1、考察的题型：函数与性质主要集中在客观题上，往年平均每年3个，足见其重要性；
2、考察的内容：主要考查基本初等函数图象和性质，包括：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、零点等，分段函数和绝对值函数都是重要载体。不仅有对函数知识内部的综合考查，也有与其他主干知识（数列、解析几何、概率、三角等）相关联的交汇考查。
3、考察的数学思想：函数这部分内容有着极深的思想性，函数与方程思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想、特殊与一般的思想、配方法、放缩法、换元法等在每年的考题中得到了很好的体现。
4、浙江新高考常考题型：（1）函数的性质；（2）函数图像识别；（3）函数零点、方程的根（零点、根的个数或已知个数求参数取值范围）；（4）函数的最值（范围）问题；（5）函数中的新定义问题；（6）恒成立（存在）中的参量取值范围问题；（7）以数学文化和实际生活为背景的题型。
5、做函数与性质题时要注意以下几点：
(1)要克服对函数内容的畏难情绪，首先要抓好基本的常规题型，高考考得是熟练，考的是能力。因为我们所作的所有题目都不是全新的，它们都是需要不断转化，将新问题转化为老问题、熟悉的问题，因此熟练是能力的基础，很难设想一个对知识不熟练的学生能在高考考场上，灵感迸发、才若泉涌，在抓好常规题型的前提下，还要特别关注建立在基本题型下的非常规思路；
(2)在易错点上要格外注意，不要忽视定义域、该分类时分类讨论，该舍解时根据条件舍去；
(3)有关不等式的题目都要联想到函数单调性，看看是否需要根据特征构造函数；
(4)注意解题时极端化思想、排除法、赋值法这些解选填题的解题技巧的灵活运用；
(5)不要忽视函数图像的力量，数形结合思想可以帮助你绝地逢生。
【知识梳理】
1.
函数的单调性
（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；
（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.
2．函数的最值
1.最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最大值.
2.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最小值.
3．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
4．函数的周期性与对称性
1）函数的周期求法：
在定义域内恒满足
周期
在定义域内恒满足
周期
或
2）函数的对称轴及对称中心求法：
满足的条件
的对称轴
满足的条件
的对称中心
直线
点
直线
点
直线
点
3）函数的对称性与周期性的联系:
若函数有两条对称轴分别为：和，则的周期：
若函数有两个对称中心分别为：和，则的周期：
若函数有一个对称中心和一条对称轴分别为：和，则的周期：
5．对数及其运算
1.对数的概念
1）如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2）对数的性质：①负数和零没对数；②；③；3）对数恒等式alogaN＝N
2.对数的运算法则:
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)对数的重要公式:①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；②logaab＝b(a>0，且a≠1);
③logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
6．指数函数的图象和性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x<0时，y>1；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
7．对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
8．函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
9．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
特别提醒两个易错点：
(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
【考点突破】
考点一
函数的性质
策略：函数的四大性质（单调、奇偶、周期、对称）是高考对函数内容考查的重中之重，其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容。在高考命题中，函数常与方程、不等式等其他知识结合进行考查。
【经典例题】
1．（2020·海南高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：或或
解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.
【变式探究】
1．（2020·广东汕头市·金山中学高三期中）已知函数（）满足，若函数与图像的交点为，，…，，则（
）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：因为函数（）满足，
即函数（）满足，所以是关于点对称，
函数等价于，所以函数也关于点对称，
所以函数与图像的交点为，，…，也关于点对称，故交点，，…，成对出现，且每一对点都关于对称，
故.故选：C.
2．（2020·山西太原市·高三期中）已知函数对于任意都满足，且当，（）时，不等式恒成立，若，，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为当，（）时，不等式恒成立，
所以函数是增函数，
又函数对于满足，所以函数的图象关于对称，
所以，
又因，所以，故选：C
3．（2020·江苏南京市·高二期中）已知函数的图像既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．0
【答案】D
【详解】因为函数的图像关于直线对称，所以，
因为函数的图像关于点对称，所以，
所以，即，即，
所以，所以，即，
所以函数的周期为4，所以，故选：D
4．（2020·浙江省东阳中学高三月考）设函数,则使成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.
考点：抽象函数的不等式.
考点二
函数图像的判断
策略：根据函数的解析式判断函数的图像，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图像进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图像问题的基本方法。
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（
）
A
BC
D
【答案】A
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.故选：A.
【规律方法】(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
【变式探究】
1．（2021·江苏苏州市·高三期末）在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中为自然对数的底数）与所给图象最契合的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A选项，当时，，与题中函数图象不符；
对于B选项，设，该函数的定义域为，
，函数为奇函数，
当时，，，
由，可得；由，可得或.
所以函数的单调递减区间为、，单调递增区间为，与题中函数图象相符；
对于C选项，，
所以，函数为上的增函数，与题中函数图象不符；
对于D选项，对于函数，，可得，该函数的定义域为，
与题中函数图象不符.故选：B.
2．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三期中）函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】，是偶函数，排除A，
时，，即，当时，又有，因此，排除B，C
故选：D．
3．（2020·杭州高级中学钱塘学校高三月考）著名数学加华罗庚先生曾说过，“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来硏究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.函数的图象大致是（
）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为的定义域是
所以是奇函数，排除A、B
因为当时，，排除D
故选：C
4．（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高三期中）下列不可能是函数的图象的是（
）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据题意，函数，
当时，其中定义域为关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，不经过原点且在第一象限为单调增函数，故选项A符合题意；
当为正整数时，，其定义域为，图象经过原点，没有选项符合；
当为负整数时，，其定义域为，
可得，
当时，，
可得先负后正，故函数不经过原点且在第一象限先减后增，
其中为负偶数时，函数为偶函数，此时D符合题意；
为负奇数时，函数为奇函数，此时B符合题意；故选：C
考点三
函数的最值（范围）问题
【经典例题】
1．（2020·浙江省东阳中学高三月考）若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【详解】设，则在上存在最小值，
当时，在上是增函数，若函数存在最小值，令，解得：，
当时，解得：；
当时，是对勾函数，若函数存在最小值，则，即，
当时，是增函数，无最小值，故不成立，
综上可知，的取值范围是.故答案为：
【解题方法】求函数最值（值域）的常见方法：
1.单调性法：
利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.
2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.
3.
利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.
4.利用三角函数的有界性,如.
5.利用“分离常数”法:
6.利用换元法:形如型,可用此法求其值域.
7.利用基本不等式法:
8.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域
9.求分段函数的最值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
【变式探究】
1．（2020·浙江绍兴市·高三三模）已知函数，函数，记，其中表示实数，中较小的数.若对都有成立，则实数a的取值范围是________.
【答案】，或
【详解】由于对都有成立，令，可得或；
所以当时，恒成立；
当时，在区间上单调递减，所以，
所以，可得，所以或，所以；
当时，在区间上单调递增，所以，
所以，可得，所以或，所以；
当时，在区间上单调递增，在上单调递减，
所以，此时不成立；
综上所述，，或.故答案为：，或.
2．（2020·浙江高三其他模拟）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【详解】分情况进行讨论：
当时，，
时在取得最小值，时在时取得最小值2，故，解得，
又因为此时，所以。
当时，时在之间取得最小值，
时在处取得最小值，故，解得，又因为此时，所以。
当时，，时在之间取得最小值，而此时，所以时的最小值为。
又根据二次函数性质，时在处取得最小值，
故，解得或，而此时，故。
所以实数的取值范围为。故答案为：
3．（2020·浙江杭州市·高三期中）已知函数，则________；若在既有最大值又有最小值，则实数的取值范围为________．
【答案】
【详解】解：第一空：，；
第二空：的图像如下：
令，，得，，，得，
若在既有最大值又有最小值，则实数的取值范围为.
故答案为：；
4．（2020·全国高三专题练习）若函数在区间的最大值是，最小值是，则（
）
A．与无关，且与无关
B．与无关，但与有关
C．与有关，但与无关
D．与有关，且与有关
【答案】B
【详解】，，
令，由题意的最大值是，最小值是，
而是影响图象的上下平移，此时最大值与最小值同步变大或变小，故与无关，而影响图象左右平移，故与有关.故选：B.
考点四
函数的零点
1）函数零点（即方程的根）的确定
常见的有：函数零点大致存在区间的确定，零点个数的确定，两函数图像交点的横坐标或有几个交点的确定。
策略：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是等号两端对应的函数类型不同的方程，多以数形结合法求解。
【经典例题】
1．（2021·浙江高三学业考试）已知函数，则函数的零点个数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令.
①当时，，则函数在上单调递增，
由于，，由零点存在定理可知，存在，使得；
②当时，，由，解得，.
作出函数，直线、、的图象如下图所示：
由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；
直线与函数的图象有两个交点；
直线与函数的图象有且只有一个交点.
综上所述，函数的零点个数为.故选：D.
【变式探究】
1．（2021·河南信阳市·高三期末）定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程的解的个数是（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【详解】，即为，可得为周期为2的偶函数，
且当时，，即时，，画出的图象，
函数是定义在上的奇函数，
当时，；可得时，，时，，
作出的图象，由，的最大值为，
可得时，和的图象有9个交点；
当时，；当时，和的图象有1个交点；
综上所述，可得和的图象共有11个交点，
即方程共有11个解，故选：C.
2．（2020·浙江高三其他模拟）关于x的方程，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】A
【详解】取，则即为，故，
解得或，故②正确.
取，则即为，
故，解得，故①正确.
取，则即为，
故或，解得或或或，故④正确.
取，则即为，
故，或解得或或，故③正确.故选：A.
3．（2020·甘肃省武威第一中学高三月考）设函数的定义域为，，，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由于函数的定义域为，，，
所以，，则函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称.对于函数，
，
所以，函数的图象关于直线对称.
令，可得，则问题转化为函数与函数在区间上所有交点的横坐标之和.
作出函数与函数在区间上的图象，如下图所示：
设函数与函数在区间上所有交点的横坐标由大到小依次为、、、、、、，由图象可得，且，
因此，函数在区间上的所有零点的和为.故选：A.
2）由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题
策略：利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式进行求解。
【经典例题】
1．（2019·江苏高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则
的取值范围是_____.
【答案】.
【详解】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.
当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三其他模拟）已知函数，若函数有9个零点，则实数k的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意，函数有9个零点，可转化与有9个
不同交点.因当有，所以在上是周期函数，
又当时，有，，
所以在上的图象如图所示
要使与有9个不同交点，则只需夹在与之间即可，所以，解得或.故选：A.
2．（2021·浙江温州市·高三期末）已知函数，若存在异于a的实数m，，使得，则b的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】，且两两不相等，
，即是方程的两个不等实根，
，
，是方程的两个不等实根，
，即，，，
方程最多两个根，所以不可能是该方程的根，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，，解得，综上，.
故选：D.
3．（2021·北京顺义区·高三期末）已知函数.若存在，使得，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由，可得，令，其中，
由于存在，使得，则实数的取值范围即为函数在上的值域.
由于函数、在区间上为增函数，所以函数在上为增函数.
当时，，又，
所以，函数在上的值域为.因此，实数的取值范围是.故选：B.
考点五
不等式恒成立时逆求参数的取值范围
策略：直接含参讨论函数的性质，有点烦琐，却是正统解法，要仔细体会和掌握。分离变量法也是较为有效方法，只是不是所有参数都能分离。
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0
均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（
）
A．a<0
B．a>0
C．b<0
D．b>0
【答案】C
【详解】因为，所以且，设，则的零点
为
当时，则，，要使，必有，且，
即，且，所以；
当时，则，，要使，必有.综上一定有.故选：C
【变式探究】
1．（2021·湖北高三期末）设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当时，
若对任意的，均有即为，
由于,当时，为单调递增函数，又∵函数为偶函数，
∴等价于，即（∵）,
由区间的定义可知,若，于是,即，
由于的最大值为，故显然不可能恒成立；
,即,∴,即,故的最大值为,故选：B.
2．（2020·浙江高三期中）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】作出函数的图象如图所示，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，，关于的不等式不恒成立，不合题意，舍去；
当时，大致图象如图中折线，
只需恒成立，且恒成立即可，
且即，
且，所以，综上所述.故答案为：
3．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【详解】由题意，不等式可化为，
当时，恒成立；当时，不等式可化为，
令，，则，
求导得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：.
考点六
函数的实际应用
【经典例题】
1．（2020·海南高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0
=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
（
）
A．1.2天
B．1.8天
C．2.5天
D．3.5天
【答案】B
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，所以天.故选：B.
【变式探究】
1．（2021·北京高三期末）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz；为信噪比.
香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由条件可知，
，
.故选：D
2．（2021·全国高三专题练习）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能；因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次运算.现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（
）（参考数据：）
A．秒
B．秒
C．秒
D．秒
【答案】B
【详解】解：设这台机器破译所需时间大约为秒，
则，两边同时取底数为10的对数
得，
所以，所以
所以，所以，
而，所以.故选：B.
3．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高三期中）21世纪是人工智能的时代，递归算法（又
称搜索?递归?回溯，简称为dfs）作为机器算法的重要组成部分，在机器学习领域有着广泛的应用.已知某递归算法的时间复杂度T与数据规模n的关系为且当数据规模为4时，该算法运行一次大约要进行150次运算.若一台电脑每秒可以进行1亿次运算，则要使该递归算法能在1秒内完成，数据规模n的最大值为（时间复杂度为该算法运行一次所需要进行的运算数）（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】A
【详解】由题意可知：当时，，
所以，即，所以，
当时，，当时，，
当时，，
随着增大，逐渐增大，所以都不符合题意，所以要使该递归算法能在1秒内完成，数据规模n的最大值为，故选：A
考点七
函数中的新定义问题
【经典例题】
1．（2020·山东菏泽市·高三期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则下列叙述正确的是（
）
A．是偶函数
B．在上是增函数
C．的值域是
D．的值域是
【答案】B
【详解】对于A，根据题意知，.
∵，，
，∴函数不是偶函数，故A错误；
对于B，在上是增函数，则在上是减函数，则在上是增函数，故B正确；
对于C，，，
，即的值域是，故C错误；
对于D，的值域是，则的值域是，故D错误.故选：B.
【变式探究】
1．（2021·北京高三期末）设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和在上具有性质.现有三组函数：①，；②，；③，，其中具有性质的是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】B
【详解】对于①，，则，合乎题意；
对于②，，可得，即，解得，不合乎题意；
对于③，，则，合乎题意.
因此，具有性质的是①③.故选：B.
2．（2021·北京高三期末）对于定义在上的函数，若存在非零实数，使函数在和上均有零点，则称为函数的一个“折点”.下列四个函数存在“折点”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为恒成立，所以函数不存在零点，所以函数不存在折点，故A错误；因为，所以函数不存在零点，即不存在折点，故B错误；对函数，，时，或；时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，又，所以函数只有一个零点，所以函数不存在折点，故C错误；对于函数，由于，结合图像可知该函数一定有折点，故D正确；故选：D.
3．（2020·北京高三期中）对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，函数是“阶准偶函数”，
则集合中恰有个元素.
当时，函数有一段部分为，注意的函数本身具有偶函数性质，故集合中不止有两个元素，矛盾，
当时，根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，为，故当，该方程无解，当，解得或，故要使得集合中恰有个元素，则需要满足，即；
当时，函数，的取值为，为，根据题意得满足恰有两个元素，故满足条件.综上，实数的取值范围是.故选：B
4．（2020·广东汕头市·金山中学高三期中）对于函数与，若存在，使，则称，是函数与图象的一对“隐对称点”.已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意函数与的图象有两个交点，
令，则，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；又恒过点，当时，，
在同一坐标系中作出函数、的图象，如图，
由图象可知，若函数与的图象有两个交点，则，
当直线为函数图象的切线时，由可得,
即.故选：A.
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精品试卷·第
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题02
函数及其性质
【考纲解读与命题趋势】?
函数是高考数学中的必考内容，函数中的基本处理方法和解题思想贯穿于整个高中数学，可以说函数是整个高中数学的核心。从难度上来说，难度较大的函数小题经常以压轴题目出现，是客观题中最易出难题的部分。函数题目的功能都以“选拔性”为主，是高考最具区分度的能力考点。因此，新高考中函数与性质任然是考察的重点内容，要想在新高考中获得较为理想的成绩，抓好这一内容是必须的。下面分析一下新高考数学函数这部分的基本命题方向。
1、考察的题型：函数与性质主要集中在客观题上，往年平均每年3个，足见其重要性；
2、考察的内容：主要考查基本初等函数图象和性质，包括：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、零点等，分段函数和绝对值函数都是重要载体。不仅有对函数知识内部的综合考查，也有与其他主干知识（数列、解析几何、概率、三角等）相关联的交汇考查。
3、考察的数学思想：函数这部分内容有着极深的思想性，函数与方程思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想、特殊与一般的思想、配方法、放缩法、换元法等在每年的考题中得到了很好的体现。
4、浙江新高考常考题型：（1）函数的性质；（2）函数图像识别；（3）函数零点、方程的根（零点、根的个数或已知个数求参数取值范围）；（4）函数的最值（范围）问题；（5）函数中的新定义问题；（6）恒成立（存在）中的参量取值范围问题；（7）以数学文化和实际生活为背景的题型。
5、做函数与性质题时要注意以下几点：
(1)要克服对函数内容的畏难情绪，首先要抓好基本的常规题型，高考考得是熟练，考的是能力。因为我们所作的所有题目都不是全新的，它们都是需要不断转化，将新问题转化为老问题、熟悉的问题，因此熟练是能力的基础，很难设想一个对知识不熟练的学生能在高考考场上，灵感迸发、才若泉涌，在抓好常规题型的前提下，还要特别关注建立在基本题型下的非常规思路；
(2)在易错点上要格外注意，不要忽视定义域、该分类时分类讨论，该舍解时根据条件舍去；
(3)有关不等式的题目都要联想到函数单调性，看看是否需要根据特征构造函数；
(4)注意解题时极端化思想、排除法、赋值法这些解选填题的解题技巧的灵活运用；
(5)不要忽视函数图像的力量，数形结合思想可以帮助你绝地逢生。
【知识梳理】
1.
函数的单调性
（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；
（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.
2．函数的最值
1.最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最大值.
2.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最小值.
3．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
4．函数的周期性与对称性
1）函数的周期求法：
在定义域内恒满足
周期
在定义域内恒满足
周期
或
2）函数的对称轴及对称中心求法：
满足的条件
的对称轴
满足的条件
的对称中心
直线
点
直线
点
直线
点
3）函数的对称性与周期性的联系:
若函数有两条对称轴分别为：和，则的周期：
若函数有两个对称中心分别为：和，则的周期：
若函数有一个对称中心和一条对称轴分别为：和，则的周期：
5．对数及其运算
1.对数的概念
1）如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2）对数的性质：①负数和零没对数；②；③；3）对数恒等式alogaN＝N
2.对数的运算法则:
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)对数的重要公式:①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；②logaab＝b(a>0，且a≠1);
③logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
6．指数函数的图象和性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x<0时，y>1；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
7．对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
8．函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
9．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
特别提醒两个易错点：
(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
【考点突破】
考点一
函数的性质
策略：函数的四大性质（单调、奇偶、周期、对称）是高考对函数内容考查的重中之重，其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容。在高考命题中，函数常与方程、不等式等其他知识结合进行考查。
【经典例题】
1．（2020·海南高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式探究】
1．（2020·广东汕头市·金山中学高三期中）已知函数（）满足，若函数与图像的交点为，，…，，则（
）
A．0
B．
C．
D．
2．（2020·山西太原市·高三期中）已知函数对于任意都满足，且当，（）时，不等式恒成立，若，，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·江苏南京市·高二期中）已知函数的图像既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．0
4．（2020·浙江省东阳中学高三月考）设函数,则使成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
考点二
函数图像的判断
策略：根据函数的解析式判断函数的图像，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图像进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图像问题的基本方法。
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（
）
A
BC
D
【规律方法】(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
【变式探究】
1．（2021·江苏苏州市·高三期末）在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中为自然对数的底数）与所给图象最契合的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三期中）函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·杭州高级中学钱塘学校高三月考）著名数学加华罗庚先生曾说过，“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来硏究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.函数的图象大致是（
）
A．B．C．D．
4．（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高三期中）下列不可能是函数的图象的是（
）
A．B．C．D．
考点三
函数的最值（范围）问题
【经典例题】
1．（2020·浙江省东阳中学高三月考）若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是___________.
【解题方法】求函数最值（值域）的常见方法：
1.单调性法：
利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.
2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.
3.
利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.
4.利用三角函数的有界性,如.
5.利用“分离常数”法:
6.利用换元法:形如型,可用此法求其值域.
7.利用基本不等式法:
8.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域
9.求分段函数的最值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
【变式探究】
1．（2020·浙江绍兴市·高三三模）已知函数，函数，记，其中表示实数，中较小的数.若对都有成立，则实数a的取值范围是________.
2．（2020·浙江高三其他模拟）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为__________.
3．（2020·浙江杭州市·高三期中）已知函数，则________；若在既有最大值又有最小值，则实数的取值范围为________．
4．（2020·全国高三专题练习）若函数在区间的最大值是，最小值是，则（
）
A．与无关，且与无关
B．与无关，但与有关
C．与有关，但与无关
D．与有关，且与有关
考点四
函数的零点
1）函数零点（即方程的根）的确定
常见的有：函数零点大致存在区间的确定，零点个数的确定，两函数图像交点的横坐标或有几个交点的确定。
策略：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是等号两端对应的函数类型不同的方程，多以数形结合法求解。
【经典例题】
1．（2021·浙江高三学业考试）已知函数，则函数的零点个数是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式探究】
1．（2021·河南信阳市·高三期末）定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程的解的个数是（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
2．（2020·浙江高三其他模拟）关于x的方程，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
3．（2020·甘肃省武威第一中学高三月考）设函数的定义域为，，，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（
）
A．
B．
C．
D．
2）由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题
策略：利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式进行求解。
【经典例题】
1．（2019·江苏高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则
的取值范围是_____.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三其他模拟）已知函数，若函数有9个零点，则实数k的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·浙江温州市·高三期末）已知函数，若存在异于a的实数m，，使得，则b的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·北京顺义区·高三期末）已知函数.若存在，使得，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
考点五
不等式恒成立时逆求参数的取值范围
策略：直接含参讨论函数的性质，有点烦琐，却是正统解法，要仔细体会和掌握。分离变量法也是较为有效方法，只是不是所有参数都能分离。
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0
均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（
）
A．a<0
B．a>0
C．b<0
D．b>0
【变式探究】
1．（2021·湖北高三期末）设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江高三期中）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.
3．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________．
考点六
函数的实际应用
【经典例题】
1．（2020·海南高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0
=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
（
）
A．1.2天
B．1.8天
C．2.5天
D．3.5天
【变式探究】
1．（2021·北京高三期末）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz；为信噪比.
香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·全国高三专题练习）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能；因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次运算.现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（
）（参考数据：）
A．秒
B．秒
C．秒
D．秒
3．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高三期中）21世纪是人工智能的时代，递归算法（又
称搜索?递归?回溯，简称为dfs）作为机器算法的重要组成部分，在机器学习领域有着广泛的应用.已知某递归算法的时间复杂度T与数据规模n的关系为且当数据规模为4时，该算法运行一次大约要进行150次运算.若一台电脑每秒可以进行1亿次运算，则要使该递归算法能在1秒内完成，数据规模n的最大值为（时间复杂度为该算法运行一次所需要进行的运算数）（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
考点七
函数中的新定义问题
【经典例题】
1．（2020·山东菏泽市·高三期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则下列叙述正确的是（
）
A．是偶函数
B．在上是增函数
C．的值域是
D．的值域是
【变式探究】
1．（2021·北京高三期末）设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和在上具有性质.现有三组函数：①，；②，；③，，其中具有性质的是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
2．（2021·北京高三期末）对于定义在上的函数，若存在非零实数，使函数在和上均有零点，则称为函数的一个“折点”.下列四个函数存在“折点”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·北京高三期中）对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·广东汕头市·金山中学高三期中）对于函数与，若存在，使，则称，是函数与图象的一对“隐对称点”.已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
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