2.3确定二次函数的表达式
第2课时
教学目标
【知识与能力】
会用待定系数法确定二次函数的表达式．
【过程与方法】
根据二次函数的不同表示方式，从不同方面对函数的性质进行研究．
【情感态度价值观】
通过用二次函数解决实际问题，让学生体验数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识．
教学重难点
【教学重点】
会用待定系数法确定二次函数的表达式．
【教学难点】
求简单的实际问题中的二次函数表达式．
课前准备
课件
教学过程
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
二次函数一般式中有两个字母未知，需要几个条件才能求出表达式呢？
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
(1)二次函数表达式有哪几种表达方式？
一般式：y＝ax2＋bx＋c；
顶点式：y＝a(x－h)2＋k[a≠0，(h，k)是抛物线的顶点坐标]；
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．
(2)如何求二次函数的表达式？
①已知二次函数表达式中的一个字母系数和图象上的两个点的坐标，可设一般式代入求其表达式；
②已知二次函数顶点坐标和图象上的一个点的坐标，可设顶点式代入求其表达式；
③已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)(x2，0)，可设交点式代入求其表达式．
这两个问题是上一节课的内容，通过对这两个问题的回顾，学生自然会产生寻求其他求解方法的欲望，符合学生的学习心理.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】
一个二次函数的图象经过A(0，－1)，B(1，2)，C(2，－1)三点，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流．
处理方式：1.先让小组内讨论可用什么方法解决．
2．每个小组派代表先说，然后在黑板上书写解题过程．
3．同一个小组内可用不同方法去解．
4．小组内总结错误的地方，给出不同方法的优缺点．
5．师生共同总结，每个学生可选用自己喜欢或能做对的方法．
方法一 设所求的二次函数为y＝a(x－1)2＋2，由图象经过点(0，－1)，得－1＝a(0－1)2＋2，解得a＝－3.故所求的二次函数表达式为y＝－3(x－1)2＋2，即y＝－3x2＋6x－1.
方法二 设所求的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.将三点A(0，－1)，B(1，2)，C(2，－1)的坐标分别代入表达式，得解得所以，所求二次函数的表达式为y＝－3x2＋6x－1.
【探究2】
如图2－3－18是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，你能从此图象中获取哪些信息？你能求出这个二次函数的表达式吗？
图2－3－18
可以先让学生独立思考，最后通过互查的形式让每个学生都互相取长补短，培养学生学习交流的意识.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.因为抛物线开口向上，所以a>0；因为对称轴在y轴右侧，所以b<0；因为抛物线交y轴于负半轴，所以c<0.
2．抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－2)．
3．当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小；当x＝1时，y有最小值，y最小＝－2.
方法一 抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－2)．所以设抛物线的表达式是y＝a(x－1)2－2，把点(3，0)代入，得4a－2＝0，解得a＝.所以，抛物线的表达式是y＝(x－1)2－2，即y＝x2－x－.
方法二 因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是(－1，0)．因为抛物线与x轴的两个交点分别是(3，0)，(－1，0)，所以设抛物线的表达式是y＝a(x－3)(x＋1)，把点(1，－2)代入，得－4a＝－2，解得a＝.所以，抛物线的表达式是y＝(x－3)(x＋1)，即y＝x2－x－.
方法三 设抛物线的表达式是y＝ax2＋bx＋c，把点(1，－2)，(3，0)，(－1，0)分别代入，得解得所以，抛物线的表达式是y＝x2－x－.
学习函数的一种重要方法就是“数形结合”，引导学生从知识获得途径、结论、应用、数学思想方法等几个方面展开，自主归纳完成，这有利于强化学生对知识的理解.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 某同学用描点法画y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，列出如下表格：
x01234y30－203
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的表达式________.
例2 如图2－3－19，已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求抛物线的表达式.
图2－3－19
多角度、分层次设置例题，使基础题面向全体学生，能力题面向中等以上学生，达到培优效果，从而让不同的学生有不同的发展.
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例3 如图2－3－20，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为(4，0)，∠AOC＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N(点M在点N的上方)，若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒(0≤t
图2－3－20
≤4)，则能大致反映S与t的函数关系图象的是( )
图2－3－21
拓展提升是对于基础知识的提高与应用，培养学生的实际应用能力，提升思维水平.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂检测】
1．课本P45随堂练习
2．课本P45习题2.7中T1、T2、T3
当堂检测，及时反馈学习效果.
【板书设计】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在创设情境环节中，利用实际生活中的问题引导学生思考，学生能够提高兴趣，对数学的应用价值有深入的体会；在探究新知活动中，学生能够在讨论、交流的同时，对于求得新知有深入的理解，获得求解二次函数表达式的方法.
②[讲授效果反思]
本课的重、难点：(1)正确选择二次函数的形式；(2)解三元一次方程组时注意“消元”的方法和步骤；(3)运用顶点式进行求解时，先代入顶点式．从教学过程分析，学生充分地利用自主探究、合作交流的时间，能够起到较好的效果，教师点拨到位、举例说明，能够落实课时学习目标.
③[师生互动反思]
________________________________________________________
________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思，更进一步提升.2.5二次函数与一元二次方程
第2课时
教学目标
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系
经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验
理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根
理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力
教学重难点
【教学重点】
理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标
【教学难点】
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
课前准备
课件
教学过程
教学过程设计
从学生原有的认知结构提出问题
我们知道，二次函数与一元二次方程有一定的相似之处，它们的表达式基本相同.其实，二次函数中的y值为零时，那么就会变成一元二次方程.这节课，我们来研究它们之间的关系.
师生共同研究形成概念
书本引例
利用竖直上抛小球问题，引出二次函数与一元二次方程的关系.可由学生用自己的语言表达它们之间有什么关系.
二次函数与一元二次方程的关系
☆
议一议
书本P
53
议一议
理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.
二次函数的图象与x轴的交点坐标有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量x的值，即一元二次方程的根.
用逐渐迫近的方法求一元二次方程的近似根
☆
想一想
书本
估算方程的根
要让学生理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力.
随堂练习
书本
随堂练习
《练习册》
小结
二次函数与一元二次方程的关系.
作业
书本
习题2.11
12.2.2二次函数的图象与性质
第2课时
教学目标
1．使学生会用描点法画二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象．
2．使学生能根据图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
教学重难点
【教学重点】
会用描点法画二次函数y=ax2+c的图象，掌握它的性质．
【教学难点】
渗透数形结合思想．
课前准备
课件
教学过程
（一）导入新课
函数y=x?和y=-x?的图象
函数
图像形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=x?
y=-x?
明确：
（二）讲授新课
探究一
在下列平面直角坐标系中，作出y=2x2的图象
x
-2
-1
0
1
2
y=2x2
8
2
0
2
8
问题：它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
在下列平面直角坐标系中，
作出y=-x?及y=-2x?的图象
探究二、3x?及y=-3x?的图象会有哪些特点？
函
数
y=3x?
y=-3x?
探究三、y=ax2（a≠0）的图象有哪些特征？
探究四、二次函数y=2x2+1、y=2x2-1与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？
动手验证一下你的想法.
探究五、二次函数y=-3x2+,
y=-3x2-
的图象与二次函数y=-3x2
的图象有什么关系？
明确：二次函数y=-3x2+
由二次函数y=-3x2的图象向上平移（
）个单位
二次函数y=-3x2-
由二次函数y=-3x2的图象向下平移（
）个单位
探究六、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与y=ax2+c（a≠0）的图象有什么异同？
函数
关系式
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
y=ax2+c
（三）探究归纳
y=ax2+c的图象是由
y=ax2的图象上下平移得到的
当c>0
时，向上平移c个单位;
当c<0
时，向下平移︱c︱个单位.
（四）归纳小结
1.y=ax2(a≠0)的图象的特征
(1)y=ax2的图象是一条抛物线.
(2)其顶点坐标是（0，0）.
(3)对称轴是y轴（也可写作直线x=0）.
(4)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.
随着︱a︱的增大，开口将越来越小.
2.二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a≠0)的图象的关系
y=ax2+c是由
y=ax2的图象上下平移得到的
当c>0
时，向上平移c个单位;
当c<0
时，向下平移︱c︱个单位.
（五）随堂检测
1.（乐山·中考）将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（
）.
A.
B.
C.
D.
2．（济南·中考）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
3．坐标平面上有一函数y=24x248的图象，其顶点坐标为（
）
A.(0，2)
B.(1，24)
C.(0，48)
D.(2，48)
4．（郴州·中考）将抛物线y=x2
+1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_____________．
5．（西宁·中考）小汽车刹车距离s（m）与速度v（km/h）之间的函数关系式为一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车
有危险（填“会”或“不会”）.
【答案】
1.
【解析】选A.抛物线可以经过适当的平移得到，其平移规律是：“h左加右减”即自变量加减左右移.
2.选B.
3.
选C.
4.
y=x2－1
5.
会
六．作业布置
课本P36练习
练习册相关练习
七、教学反思2.2二次函数的图象与性质
第1课时
教学目标
1.探索经历二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.
2.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.
3.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象间的联系.
教学重难点
【教学重点】
会用描点法画二次函数y=ax2的图象，掌握它的性质．
【教学难点】
渗透数形结合思想．
课前准备
课件
教学过程
（一）导入新课
1.二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.
2.画函数图象的主要步骤是什么？
（1）列表.
（2）描点.（3）连线
（二）讲授新课
活动内容1：
活动1：小组合作
请你画出二次函数
y=x2
的图象.
1.列表：
（2）描点：
（3）连线：
议一议
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
（1）图象与x轴交于原点(0，0).
（2）y≥0.
（3）当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大.
（4）当
x=
0时，y最小值=
0.
（5）图象关于y轴对称.
（三）重难点精讲
说说二次函数y=-x2的图象：
有哪些性质,与同伴交流：
（1）图象与x轴交于原点(0，0).
（2）y≤0.
（3）当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.
（4）当x=0时，y最大值=0.
（5）图象关于y轴对称.
（四）归纳小结
二次函数y=±x2的性质
１.顶点坐标与对称轴.
２.位置与开口方向.
３.增减性与最值.
（五）随堂检测
1．（盐城·中考）给出下列四个函数：
（1）（2）（3）（4）时y随x的增大而减小的函数有（
）
A.1
B.2个
C.3个
D.4个
2．（盐城·中考）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式
．
3．（烟台·中考）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（
）
4．（哈尔滨·中考）在抛物线上的一个点是（
）
A.（4，4）
B.（1，－4）
C.（2，0）
D.（0，4）
【答案】
1.
选C.
2.
y=x2-2x（答案不唯一）
3.
选D.
4.
选C.
六．板书设计
2.2.1二次函数的图象与性质
（1）图象与x轴交于原点(0，0).
（2）y≥0或者y≤0.
（3）当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.
（4）当x=0时，y最大值=0.
（5）图象关于y轴对称.
作图步骤：
七、作业布置
课本P34练习1、2
练习册相关练习
八、教学反思2.2二次函数的图象与性质
第3课时
教学目标
1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程.
2.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.
3.能够作出y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系.理解a，h和k对二次函数图象的影响.
4.能够正确说出y=a（x-h）2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
教学重难点
【教学重点】
能够作出y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系.理解a，h和k对二次函数图象的影响.
【教学难点】
正确说出y=a（x-h）2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
课前准备
课件
教学过程
（一）导入新课
1.函数
的图象的顶点坐标是
；开口方向是
；最
值是
.
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数
的图象向
平移
个单位得到.
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数__________的图象.
（二）讲授新课
探究一：在同一坐标系中画出下列函数的图象：
思考：它们的图象之间有什么关系？
明确：的图像向上平移两个单位得到的图像，向左平移一个单元得到。
函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象关系：
的图像向右平移h（h﹥0）个单位(向左平移︱h︱（h﹤0）个单位)
函数y=a（x-h）2的图象，
探究二：画出二次函数y=3（x-1）2+2的图象，并与二次函数y=3x2的图象进行比较，说明它们之间的关系.
明确：的图像向上平移两个单位得到的图像，向右平移一个单元得到y=3（x-1）2+2。
（三）探究归纳
平移规律：的图像向上（下）平移k个单位得到；的图像向右（左）平移k个单位得到；的图像向上平移k个单位得到；的图像向上（下）平移k个单位再向左（右）平移h个单位得到；
（四）归纳小结
1.y=a(x-h)2+k的图象的特征.
y=a(x-h)2+k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a＞0
a＜0
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
（五）随堂检测
1.（无锡·中考）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是(
).
A.y=(x－2)2+1
B.y=(x+2)2+1
C.y=(x－2)2－3
D.y=(x+2)2－3
2．（西宁·中考）将抛物线向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为
_______________.
3．（襄樊·中考）将抛物线
先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式为____________．
4．（宁夏·中考）把抛物线
向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（
）
A.
B.
C.
D.
5．（荆州·中考）若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，…,则
E（x，）可以由E（x,）怎样平移得到？
（
）
A.向上平移１个单位
B.向下平移１个单位
C.向左平移１个单位
D.向右平移１个单位
【答案】
1.选C.根据以直线x=2为对称轴可知选项A，C符合，再根据图象经过点(0，1)知选项C符合.
2.
3.
或
4.
选B
5.
选D.
六．作业布置
课本P38练习1、2
练习册相关练习
七、教学反思2.4二次函数的应用
第1课时
教学目标
【知识与能力】
经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
【过程与方法】
经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值问题．
【情感态度价值观】
积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值，从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣．
教学重难点
【教学重点】
分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
【教学难点】
积累利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
课前准备
课件
教学过程
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
问题：
二次函数的性质有哪些？在函数中，函数值与自变量之间又有怎样的变化关系？如何找出二次函数的顶点坐标？
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
1．随着经济和人口的发展，城市用地已经越来越少了，黄金地段更是寸土寸金，所以有效利用土地资源极具研究价值，某开发商计划开发一块三角形土地，它的底边长100米，高80米．开发商要沿着底边修一座底面是矩形的大楼，这座大楼地基的最大面积是多少？
图2－4－13
要解决这些实际问题，实际上就是求面积最大的问题，在数学中也就是求最大值的问题．我们看能否用已学过的数学知识来解决以上问题，因此本节课我们将继续利用二次函数解决实际问题——最大面积问题.
用二次函数解决实际问题，关键是要读懂题目，明确要解决的问题是什么，分析问题中的各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解.
本节课我们利用二次函数解决有关图形面积最大值问题．
通过实际情景设置悬念，引入新课．学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值，让学生亲身实践探究，培养学生思维的缜密性，渗透函数思想.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】
如图2－4－14，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
(1)设长方形的一边AB＝x
m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为y
m2，当x取何值时，y值最大？最大值是多少？
学生讨论，并写出步骤．
图2－4－14
图2－4－15
【探究2】
如果我们将这个问题再进行变式：
如图2－4－15，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上．
(1)设矩形的一边BC＝x
m，那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y
m2，当x取何值时，y值最大，最大值是多少？
学生独立完成，小组内交流，落实知识．
小结：对应高之比等于相似比，这是此题的难点．
通过师生分析交流，让学生经历用含x的代数式表示矩形的另一边，变三个变量为两个变量，为建立二次函数模型做好铺垫，也让学生体会数形结合来表示线段的重要意义．这是解决整个实际问题的关键之处，也是难点所在，让学生在充分交流的基础上，回忆起运用三角形相似解决问题.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 窗户是一幢建筑最重要的标志之一，每个人的家里都有窗户，我们小时候还经常爬在窗户前数星星，下面我们来看一个和窗户有关的问题：
某建筑物的窗户示意图如图2－4－16所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15
m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01
m)此时，窗户的面积是多少？
图2－4－16
图2－4－17
例2 如图2－4－17所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，点D在BC上运动(不与点B，C重合)，DE∥AC，交AB于点E.设BD＝x，△ADE的面积为y.
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)x为何值时，△ADE的面积最大？最大面积是多少？
把数学问题变式到实际生活问题，让学生把数学知识运用到日常生活中，体会用数学的过程．由矩形面积变式到复合型面积，拓展了思维，以不变应万变，通过本题的训练让学生进一步体会利用二次函数解决最大面积问题的方法、过程.
【拓展提升】
例3 如图2－4－18，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN＝4
cm，抛物线顶点处到边MN的距离是4
cm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B，C落在边MN上，A，D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8
cm？
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
图2－4－18
图2－4－19
例4 如图2－4－19，苗圃的形状是直角梯形ABCD，AB∥DC，BC⊥CD.其中AB，AD是已有的墙，∠BAD＝135°，另外两边BC与CD的长度之和为30米，如果梯形的高BC为变量x(米)，梯形面积为y(米2)，问：当x取何值时，梯形的面积最大？最大是多少？
通过这两道题目对学生的掌握情况进行反馈，发现学生在解决这类问题时存在的不足之处．如果学生感觉到困难，可以进行小组讨论或者教师加以引导点拨．分层设练，使学生知识、技能呈螺旋式的上升，这也是一种思维与能力的训练.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂检测】
1．课本P47随堂练习
2．课本P47习题2.8中T1、T2、T3
当堂检测，及时反馈学习效果.
【板书设计】
第1课时 最大面积是多少一、直角三角形的内接矩形最大面积
1．矩形两边在直角边上
2．矩形一边在斜边上二、窗户的最大面积三、运动中的四边形的最大四边形面积
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
设置了生活中常见的楼房的面积等事例引导学生思考，使学生能提高学习数学的兴趣，深刻体会学数学在实际生活中的应用价值.
②[讲授效果反思]
解决最大面积应用问题的关键是要审清题意，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，建立数学模型．在此基础上，利用我们所学过的数学知识，逐步得到问题的解答过程．通过学习用二次函数知识解决最大面积的问题，让学生增强了应用数学知识的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值.
③[师生互动反思]
_______________________________________________
_______________________________________________
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思，更进一步提升.2.4二次函数的应用
第2课时
教学目标
【知识与能力】
经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会用二次函数解决最优化问题的过程，并感受数学的应用价值．
【过程与方法】
根据二次函数关系式和图象特点，并明确当a<0时函数取得最大值，当a>0时函数取得最小值，从而解决实际问题．
【情感态度价值观】
经历销售中最大利润问题的探究过程，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神．
教学重难点
【教学重点】
探索销售中最大利润问题，能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力．
【教学难点】
能正确理解题意，找准数量关系，运用二次函数的知识解决实际问题．
课前准备
课件
教学过程
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
问题：
1.请求出下列二次函数的最大值或最小值：
(1)y＝2x2－4x－5；(2)y＝－x2＋3x.
2.用一根长为20
m的绳子围成一个矩形，则围成的矩形的最大面积是多少？
师生活动：学生自主进行解答，教师做好指导和点评.
提示：
解答第1题可指导学生运用两种不同的方法进行解答；
解答第2题按照先确定矩形的长和宽，然后利用矩形面积公式列关系式，最后求最值．
1.通过回顾二次函数的最值问题，为新课讲解提供铺垫.
2.复习运用二次函数解答面积问题，采用对比教学效果较为明显.
(续表)
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．你能帮助厂家分析，批发单价是多少时可以获利最多吗？
图2－4－32
前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，从简单的二次函数y＝x2开始，然后研究了y＝ax2，y＝ax2＋c，最后研究的是y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k，y＝ax2＋bx＋c，并且掌握了二次函数的三种表示方式．预习过的同学会发现今天突然转到了获取最大利润，看来这两者之间肯定有关系，那么究竟有什么样的关系呢？让我们大家一起进入到今天的研究课题．
问题情境的创设，意在让学生初步感受二次函数在生活中的应用模型，同时通过设置疑问，激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强应用意识.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
处理方式：引导学生分析题意，理解问题情境，同时思考以下问题：
1.本题反映了哪两个变量之间的关系？
2．设批发单价为x(10＜x≤13)元，那么
(1)每件T恤衫的利润可以表示为________；
图2－4－33
(2)经销量可以表示为________；
(3)厂家获利可以表示为________；
(4)设厂家获利y元，则y与x的关系可以表示为________．
学生自主思考完成后，在小组内交流讨论，然后找一名学生展示，教师适时点拨强调．学生展示后，教师及时追问以下问题：
(5)厂家获利y元与批发单价x元是什么关系？
(6)厂家批发单价是多少时可以获利最多？你是如何做的？与同伴交流．
学生完成后，教师借助多媒体展示学生求解问题(6)的过程，让学生进行互评，教师适时点评强调，对于不同的求解方法要给予表扬鼓励，同时引导学生对比不同计算方法的优劣．
让学生列出利润与单价的函数关系式，将实际问题转化为数学问题．使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内，此二次函数何时取得最大值问题.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究2】
某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
方法一：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间．设客房的日租金总收入为y元，则y＝(160＋10x)(120－6x)＝－60(x－2)2＋19440.
∵x≥0，且120－6x＞0，
∴0≤x＜20.
当x＝2时，y最大＝19440.
这时每间客房的日租金为160＋10×2＝180(元)．
因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元．
方法二：设每间客房的日租金为x元，则每天客房出租数会减少(120－×6)间．设客房的日租金总收入为y元，则
y＝x(120－×6)＝－0.6(x－180)2＋19440.
因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元.
通过这个实际问题，让学生体会用二次函数解决最优化问题的过程，并感受数学的应用价值.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式：y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60000.
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系；
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
例2 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，
图2－4－34
销售量相应减少20件，销售单价为多少元时，半个月内获得的利润最大？
实际问题的解决难点在于建立数学模型．让学生进一步用图象刻画橙子的总产量与增种橙子树之间的函数关系，将实际问题转化为数学模型.
在学生初步掌握一定技能之后，将技能训练寓于问题的解决过程中．培养学生应用数学的意识，增强学习数学的兴趣和信心，使其解题能力和应用能力得到进一步提升.
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例3 某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
例4 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
例5 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0＜x≤11)．
(1)用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为______元；
(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式；
(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？
学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高．
让学生进一步地熟悉和掌握本课所学知识，拓宽知识面，使其解题能力和应用能力得到进一步提升.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂检测】
1．课本P49随堂练习
2．课本P50习题2.9中T1、T2、T3
当堂检测，及时反馈学习效果.
【板书设计】
提纲挈领，重点突出.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课以生活场景引入问题，通过探索思考解决问题，前后呼应．体现了学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，学生的数学学习活动是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程．
②[讲授效果反思]
本节课采用“引导——探究——发现”的教学方式，结合T恤衫销售、橙子产量等实际问题的探究，希望通过师生互动、生生互动共同解决问题，提高课堂教学效率，也体现了教师是数学学习的组织者、引导者、合作者的理念．
③[师生互动反思]
____________________________________________
____________________________________________
④[习题反思]
好题题号__________________________________
错题题号__________________________________
反思，更进一步提升.2.2二次函数的图象与性质
第4课时
教学目标
1.经历探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.
2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.
教学重难点
【教学重点】
探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.
【教学难点】
利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.
课前准备
课件
教学过程
（一）导入新课
1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)
y=2(x－3)2
－5
(2)y=－0.5(x+1)2
(3)
y
=
3(x+4)2+2
2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？
（二）讲授新课
活动1：小组合作
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
把二次函数y=ax?+bx+c的化为顶点式：
这个结果通常称为顶点坐标公式.
活动2：探究归纳
顶点坐标公式
因此,二次函数y=ax?+bx+c的图象是一条抛物线
它的对称轴是直线：
它的顶点坐标是;
（三）重难点精讲
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
x?+
x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
你有哪些计算方法？与同伴进行交流.
【解析】（1）将函数y=
x?+
x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
∴这条抛物线的顶点坐标是（-20,1）
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
（2）
且左右两条钢缆关于y轴对称，
∴右边的钢缆的表达式为：
这条抛物线的顶点坐标是（20,1）
∴这两条钢缆最低点之间的距离为：
当然，还有别的方法建立关系式进行解题，同学们可以试试。
（四）归纳小结
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
（五）随堂检测
1.
（菏泽·中考）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A
,
B,
C
为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（
）
A.a+b=-1
B.a-b=-1
C.b<2a
D.ac<0
2.（鄂州·中考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0．其中正确的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
3．（安徽·中考）
若二次函数配方后为，则b,k的值分别是（
）
4．（福州·中考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是(
)
A.a＞0
B.c＜0
C.b2－4ac＜0
D.a＋b＋c＞0
5．（
莱芜·中考）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6．（株洲·中考）已知二次函数(a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当a=-1,
a=0,
a=1,
a=2时二次函数的图象.它们的顶点在同一条直线上，这条直线的解析式是
.
【答案】
1.选B.∵抛物线开口向上，∴a＞0,
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，故D错；∵OA=OC=1，∴A，C两点的坐标分别为（-1，0），（0，1），∴当x=0时，y=1，即c=1；当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴a-b=-c=-1，故B对；由图象可知x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，∴a+b＞-1，故A错；
∵对称轴
，∴b＞2a，故C错.
2.
选C
3.选D
4.
选D
5.
选D
6.
六．作业布置
课本P41练习
练习册相关练习
七、教学反思2.3确定二次函数的表达式
第1课时
教学目标
【知识与能力】
1.让学生利用已知条件设立恰当的函数表达式，用待定系数法求二次函数的表达式．
2．指导学生利用二次函数的表达式和性质解决问题．
【过程与方法】
让学生在经历方程与识图的过程中，培养学生独立分析问题、解决问题的能力，提升数学思维意识．
【情感态度价值观】
让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣；让学生体验数学这一工具在解决实际问题中的作用．
教学重难点
【教学重点】
如何根据已知条件设定恰当的函数表达式．
【教学难点】
在实际问题中，体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题.
课前准备
课件
教学过程
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.求下列函数的表达式：
(1)一个正比例函数的图象经过点(2，－4)；
(2)一个一次函数与x轴交于点(3，0)，与y轴交于点(0，6)．
2．用待定系数法求函数表达式的基本步骤有哪些？
3．学习过二次函数的表达式有哪些？
师生活动：学生独立完成并进行口述，教师对学生的解答情况进行评价并总结：用待定系数法求函数表达式的步骤为：①设出表达式，②列出方程组，③解方程组，④代入．
二次函数的表达式有：一般式：y＝ax2＋bx＋c；顶点式：y＝a(x－h)2＋k.
一方面回顾确定函数表达式的基本条件(已知函数图象上的一个点或两个点的坐标)；另一方面回顾确定函数表达式的基本步骤(设、代、解、答)，为下步确定二次函数表达式提供类似的研究背景.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16
m，跨度为40
m，现把它的图形放在如图2－3－5所示的坐标系中，请求出这条抛物线的表达式．
图2－3－5
解析式法、列表法和图象法是我们学过的常用的表述函数关系的方法．如何确定函数的表达式呢？
通过生活中的拱桥的问题，引发学生的学习热情，培养了他们的学习兴趣．引导学生主动参与思考，为知识迁移做准备，并不失时机地进行德育渗透.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】
一名学生推铅球时，铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图2－3－6所示，你能求出y与x之间的关系式吗？
图2－3－6
学生按照求函数表达式的一般步骤尝试书写确定此二次函数表达式的解题过程，不能顺利解题的同学可以在小组内交流、探讨.
【探究2】
结合以上求二次函数表达式的过程，你认为确定一个二次函数表达式需要哪些条件？带着这个问题解决以下两个例题.
例1 已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．
让学生体会用待定系数法求二次函数表达式的过程，从而明确如何借用图象上的点求未知系数.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
解：将点(2，3)和(－1，－3)的坐标分别代入表达式y＝ax2＋c中，
所以，所求二次函数的表达式为y＝2x2－5.
例2 已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的表达式．
解：∵顶点坐标为(8，9)，
∴设所求二次函数的表达式为y＝a(x－8)2＋9.
把(0，1)代入上式，得a(0－8)2＋9＝1，
∴a＝－.∴y＝－(x－8)2＋9，即y＝－x2＋2x＋1.
本例主要涉及二次函数一般形式表达式的确定，在学生对本例的自主探究中，体会若函数中已知一项系数，只需再知道两点坐标，即可确定函数关系式．
让学生逐步发现确定函数表达式的另一种方法：利用顶点式确定函数表达式，并能够顺利进行总结.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 抛物线的对称轴为直线x＝2，且经过点(1，4)和(5，0)，求此二次函数的表达式．
解：因为抛物线的对称轴为直线x＝2，所以设此二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋c，将点(1，4)和(5，0)代入y＝a(x－2)2＋c中，得
解得a＝－，c＝.
所以此二次函数的表达式为y＝－(x－2)2＋，即y＝－x2＋2x＋.
使学生明确：若已知条件中仅仅给出顶点的横坐标或纵坐标，同样亦可设顶点式.
【拓展提升】
例2 如图2－3－7是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水面距离桥顶12米，当水位上升达到警戒线CD时，水面宽4米．若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；
(2)求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
图2－3－7
图2－3－8
解：(1)以拱桥最高点为坐标原点，建立直角坐标系，如图2－3－8，设y＝ax2.
∵AB＝4，故B点坐标为(2，－12)，
∴－12＝24a，∴a＝－，∴y＝－x2.
(2)由题意，得D(2，y1)，将D(2，y1)代入，得y1＝－6，∴t＝＝24，故水过警戒线后24小时淹到拱桥顶.
学习的最终目的是将知识用于实际问题的解决，出示此题是提高学生独立解决实际问题的能力.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂检测】
1．课本P43随堂练习
2．课本P43习题2.6中T1、T2、T3
当堂检测，及时反馈学习效果.
【板书设计】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
运用复习提问、创设情境的方法对本节课的学习进行知识的铺垫和心理的激励工作，极大调动了学生的学习热情.
②[讲授效果反思]
课堂上要把激发学生的学习热情和让学生获得学习的能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度，让所有的学生都相信我能行.
③[师生互动反思]
________________________________________________________
________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思，更进一步提升.2.5二次函数与一元二次方程
第1课时
教学目标
1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。
3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
教学重难点
【教学重点】
用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。
【教学难点】
提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点
课前准备
课件
教学过程
教
学
过
程
设
计
补充完善
一、创设情景，引入新课
（1）一元二次方程的解有三种情况
，
，
。解的情况取决于
。
（2）二次函数的图象与x轴的交点有三种情况
，
，
。
（3）当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程
的解.
二．进行新课
画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解。(精确到0.1)
(1)列表：
x…-3-2-1-012…y…51-1--115…
画出图象如图：
函数y＝x2＋x－1的图象与x轴交点的横坐标分别是x1＝－1.7和x2＝0.7，所以一元二次方程x2＋x－1＝0的解是x1＝－1.7和x2＝0.7。
（结论）函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。
三、典例分析
例1。把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：．当时，小球的运动时间为（
）
A．20s
B．2s
C．（）s
D．（）s
例2．已知方程（）的两个根为和，那么可知抛物线（a≠0）的对称轴为 。
分析：
例3．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（
）
A．
B．且k≠0
C．
D．且k≠0
分析：函数的交点与方程的解用△联系起来。
随堂练习：
1、方程的根为 ， ．二次函数与x轴的交点是 ．
2、抛物线的一部分如图1所示，该抛物
线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是（
）
A．（，0）
B．（1，0）
C．（2，0）
D．（3，0）
3、若一元二次方程有两个实数根，则抛物线与x轴（
）
A．有两个交点
B．只有一个交点
C．至少有一个交点
D．至多有一个交点
归纳小结
（结论）函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。
四、知识延伸：
1、关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2、不论自变量x取什么实数，二次函数的值总是正值，你认为m的取值范围是 ，此时关于x的一元二次方程的根的情况是 （填“有实根”或“无实根”）．
3、函数的图象如图3所示，那么关于x的一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
4．已知二次函数．
（1）说明抛物线与x轴有两个不同交点；
（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；
（3）a取何值时，两点间的距离最小？
五、课堂检测
1、（温州）若二次函数的图象与轴没有交点，其中为整数，则 ．（只要求写出一个）．
2、（成都）已知二次函数的图象与轴的一个交点为，那么该二次函数图象的顶点坐标为 ．
3、抛物线与x轴有 个交点．
教师组织学生分组讨论、交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2＋x－1的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2＋x－1=0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2＋x－1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2＋x－1=0的解。1二次函数
教学目标
【知识与能力】
经历探索、分析和建立两个变量之间的函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
【过程与方法】
经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
【情感态度价值观】
体会数学与人类生活的密切联系；通过观察、操作、交流、归纳等数学活动，加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维．
教学重难点
【教学重点】
对二次函数概念的理解．
【教学难点】
由实际问题确定函数表达式和确定自变量的取值范围．
课前准备
课件
教学过程
教学
步骤
师生活动
设计意图
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
请同学们先欣赏几幅图片，如图2－1－2.(教师播放课件)
图2－1－2
在客观世界中存在很多这样的图形形状，我们把它们叫做抛物线．我们如何用数学方法描述它、研究它呢？从本节课开始，我们就一起来研究这一问题．
师生活动：教师提出以下问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结．
1．我们学习过哪些函数呢？试着举例说明一下．
2．下列函数哪些是正比例函数？哪些是一次函数？
(1)y＝2x＋1；(2)y＝－4x；(3)y＝5x2；(4)y＝；(5)y＝ax＋1.
3．学习函数应从哪几方面进行探究呢？
[答案]
1.学习过的函数是一次函数，如y＝x＋1；正比例函数，如y＝x.其中正比例函数是一次函数的特殊形式．
2．正比例函数有(2)，一次函数有(1)(2)．
3．学习函数一般是从函数的定义、函数的一般形式、函数的图象及其性质、函数的实际应用等方面进行学习.
回顾以前学习过的具体实例能更好地帮助学生了解函数的本质所在，而回顾同学们比较熟悉的一次函数、反比例函数更能让他们回忆起学习函数的过程．学习新的内容，注重知识之间的联系，调动学生学习的积极性与主动性，也为接下来的学习做好铺垫.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】
某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每
图2－1－3
棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
(4)大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？
【探究2】
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．(本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存期付给的“报酬”，本息和就是本金与利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间))
这样设计问题由简单到复杂，逐步推进，同时也让学生初步体会到问题中所蕴含的函数关系.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式．
生1：y＝100(1＋x)＋100(1＋x)x.
生2：y＝100(1＋x)2.
生3：y＝100x2＋200x＋100.
从我们刚才所推导出的关系式：y＝100x2＋200x＋100中分析出y是x的函数，你能说出它的结构特点吗？请小组内思考探究．
生：y是x的函数，而且y关于x的代数式是整式且最高次项的次数是2.
师：很好，这就是我们所学的二次函数，你能根据它的特点归纳出二次函数的定义吗？它的一般表达式是怎样的？
生：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．
师：上述概念中的a为什么不能等于0?
生：如果a＝0，就没有二次项了，y也就不是x的二次函数了．
师：概念中的b和c可否为0，若b和c有一个为0或b和c均为0，上述表达式可以怎样改写？你认为它们还是二次函数吗？
生：b和c可以为0，也可以同时为0，表达式分别为：①y＝ax2＋bx；②y＝ax2＋c；③y＝ax2.它们都还是二次函数．
师：同学们分析得很好，二次函数的表达式与我们所学过的什么知识类似？
生：与我们所学过的一元二次方程类似，当函数值y＝0时就是我们所学过的一元二次方程了．
师：太棒了！从这几个问题我们可以看出，判断一个函数是否是二次函数的关键是：判断二次项系数是否为0.
通过解决生活中的数学问题，进一步熟悉用函数表达式反映变化过程．若学生对本金、利息、利率、本息和等概念熟悉，则能够较容易地列出函数表达式.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y＝3(x－1)2＋1；(2)y＝；(3)s＝3－2t2；
(4)y＝－2x2.
解：(1)(3)(4)是二次函数，(2)不是．
例2 函数y＝(m＋2)xm2－2是x的二次函数，求m的值．
解：∵y是x的二次函数，
∴m2－2＝2，且m＋2≠0，
∴m＝2.
通过两个例题的解决，加深学生对二次函数概念的理解.
【拓展提升】
例3 下列函数中是二次函数的有(B)
①y＝x＋； ②y＝3(x－1)2＋2；
③y＝(x＋3)2－2x2；
④y＝＋x.
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
例4 圆的半径是1
cm，假设半径增加x
cm时，圆的面积增加y
cm2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例4 圆的半径是1
cm，假设半径增加x
cm时，圆的面积增加y
cm2.
(1)写出y与x之间的关系式；
(2)当圆的半径分别增加1
cm，
cm，2
cm时，圆的面积增加多少？
解：
(1)y与x之间的关系式是：y＝π(x＋1)2－π＝πx2＋2πx.
(2)当圆的半径分别增加1
cm，
cm，2
cm时，即x的值分别为1，，2，代入y＝πx2＋2πx，圆的面积分别增加3π
cm2，2π
cm2，8π
cm2.
通过举例、交流达到内化、升华、巩固二次函数的意义，强化对二次函数概念的理解，确保目标的落实，同时也体现了学法指导．另外也训练了学生如何就简单的问题列出简单的二次函数关系式.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．课本P30随堂练习
2．课本P30习题2.1中T1、T3、T4
当堂检测，及时反馈学习效果.
【板书设计】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
通过学生身边熟悉的事物，让学生感受到二次函数的引入是实际生活的需要，数学与我们的生活密不可分．结合学生的认知能力，注重引导学生联系生活实际，从具体的实际问题中抽象出二次函数的概念，从而引导学生去构造数学模型．
②[讲授效果反思]
在教学中突出数学与生活的联系，用无声的语言让学生懂得“生活处处皆数学”，激励学生学好数学的信心和激情．教学中要体现出教为主线、学为主题的教学思想，让学生充分参与其中，使其更好地理解和掌握本课所学知识，以便取得较好的教学效果.
③[师生互动反思]
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④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思，更进一步提升.
