2.5 二次函数与一元二次方程-2020-2021学年北师大版九年级数学下册课件（21张ppt）

2.5二次函数与一元二次方程
学习目标
1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法． 2．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 ，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征．【教学重点】经历“类比—观察—发现—归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．【教学难点】准确理解二次函数与一元二次方程的关系．
1 一元二次方程-5t2+40t=0的根为： 。
2 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。
当△﹥0方程根的情况是： ；当△=0时，方程 ； 当△﹤0时，方程 。
b2-4ac
有两个不等实数根
有两个相等实数根
没有实数根
t1=0，t2=8
3 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条 ，它与x轴的交点有几种可能的情况？
抛物线
三种可能：①两个交点 ②一个交点 ③没有交点。
一、复习回顾
我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．
二、新课导入
探究：画出y＝x2＋2x、y＝x2－2x＋1、y＝x2－2x＋2的图象，观察并解答：1．每个图象与x轴有几个交点？2．一元二次方程x2＋2x＝0、x2－2x＋1＝0、x2－2x＋2＝0有几个根？用判别式验证．3．函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
【归纳结论】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
例1．知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．ac＞0B．方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3C．2a－b＝0D．当x＞0时，y随x的增大而减小
B
解析：A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；B．∵抛物线对称轴是x＝1，与x轴交于(3，0)，∴抛物线与x轴另一交点为(－1，0)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3，故本选项正确；C．∵抛物线对称轴为x＝1，∴2a＋b＝0，故本选项错误；D．∵抛物线对称轴为x＝1，开口向下，∴当x＞1时y随x的增大而减小，故本选项错误．故选B.
例2．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝(　　)
A．－1.6B．3.2C．4.4D．以上都不对
分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x＝3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2.
C
3．根据下列表格的对应值：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x
8
9
10
11
12
ax2＋bx＋c
－4.56
－2.01
－0.38
1.2
3.4
判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是(　　)A．8＜x＜9　　　　　　　　　B．9＜x＜10C．10＜x＜11 D．11＜x＜12
分析：根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而－0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围．
3 抛物线y=x2-4x+4与轴有 个交点，坐标是 。
1 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数
y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 。
2 抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）
A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明
（-2，0）和（3，0）
c
1
（2，0）
课堂练习
4 不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。
解：∵解方程x2-3x-4=0得： x1=-1，x2=4
∴抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是：(-1，0)和(4，0)
1
0
1
x
y
M
N
2
3
2
y=x2-4x+4
5 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。
课堂练习
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的?
知识升华
∴抛出去后第2秒和第6秒时，离地面60米
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
(2).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间，
(3).确定方程x2+2x-10=0的解;
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
活动探究
分别约为-4.3和2.3
x
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
y=x2+2x-10
x
2.1
2.2
2.3
2.4
y=x2+2x-10
其横坐标一个在-5与-4之间
另一个在2与3之间
约为-4.3
约为2.3
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
解法2
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
做一做
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(4).确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
(2). 作直线y=3；
(1).原方程可变形为x2+2x-13=0；
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(4).确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
(2).用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方
程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？
课堂点睛
①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；
②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解。
二次函数y=-2x2+4x+1的图象如图所示，求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根.
(1).观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.2和2.2(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(3).确定方程-2x2+4x+1=0的解;
由此可知,方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
课堂练习
综合运用
如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水
装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+3(x﹥0)。柱子OA的高度是多少米？若不计其它因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
A
O
x/m
y/m
解: 在y=-x2+2x+3中，当x=0时y=3，
∴ OA=3m
而当y=0时，x1=-1（舍去），x2=3
∴水池的半径至少为3m.
课堂小结
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？
①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；
②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解。