(共88张PPT)
2课时突破
三角函数及解三角形高考小题
第1课时
三角函数的图象与性质
关键能力·应用实践
考向一 三角函数的定义、
诱导公式及同角三角函数基本关系
【多维题组】速通关
1.已知α∈(0，π)，sin
α+cos
α=
，则cos2α-sin2α=
( )
【解析】选C.因为α∈(0，π)，sin
α+cos
α=
，
所以1+2sin
αcos
α=
，即sin
αcos
α=-
，
所以sin
α>0，cos
α<0，所以cos
α-sin
α<0，
所以
=1-2sin
αcos
α=
，
所以cos
α-sin
α=-
，
则cos2α-sin2α=
2.若tan
α=
，则sin4α+cos4α的值为________.?
【解析】因为tan
α=
，所以sin
αcos
α=
所以sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α
=1-2×
答案：
3.已知函数f(x)=ax-2+2(a>0且a≠1)过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重
合，终边过点P，则
=_______.?
【解析】函数f(x)=ax-2+2(a>0且a≠1)过定点P(2，3)，则tan
α=
.
【变式拓展】
本题函数改为f(x)=loga(x+4)+2(a>0且a≠1)，其他条件不变，则sin
sin(3π+α)=________ .?
【解析】函数f(x)=loga(x+4)+2(a>0且a≠1)的图象恒过点P(-3，2)，
则sin
α=
，cos
α=-
，
所以sin
sin(3π+α)
=sin
sin(π+α)=-cos
αsin
α=
.
答案：
4.(2020·南昌三模)已知sin
则
=________.?
【解析】
【技法点拨】提素养
1.三角函数
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin
α=y，
cos
α=x，tan
α=
(x≠0).各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正
弦，三正切，四余弦.
2.利用诱导公式进行化简求值的步骤
利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化
锐.特别注意函数名称和符号的确定.
提醒：“奇变偶不变，符号看象限”.
考向二 三角函数的图象
【多维题组】速通关
1.要想得到函数y=sin
2x+1的图象，只需将函数y=cos
2x的图象
( )
A.向左平移
个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.向右平移
个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.向左平移
个单位长度，再向下平移1个单位长度
D.向右平移
个单位长度，再向下平移1个单位长度
【解析】选B.先将函数y=cos
2x=sin
的图象向右平移
个单位长度，
得到y=sin
2x的图象，再向上平移1个单位长度，即得y=sin
2x+1的图象.
【变式拓展】
本题“y=sin
2x+1”改为“y=cos
”，“y=cos
2x”改为
“y=sin
2x”，如何进行图象变换.
【解析】因为y=cos
=sin
=sin
2
所以将函数y=sin
2x的图象向左平移
个单位长度可得到函数y=cos
的图象.
2.已知函数y=
sin
2x的图象与函数y=3cos
2x的图象相邻的三个交点分别是
A，B，C，则△ABC的面积为
( )
A.
B.
C.
π
D.
π
【解析】选B.函数y=
sin
2x的图象与函数y=3cos
2x的图象的交点为
(x，y)，
令
sin
2x=3cos
2x，故tan
2x=
，
解得2x=
+kπ(k∈Z)，不妨令2x=
，
，
，
所以x=
，
，
，即
所以三角形的底边长为π，高为
=3.
S△ABC=
×π×3=
π.
3.(2020·浙江高考)函数y=xcos
x+sin
x在区间[-π，π]的图象大致为
( )
【解析】选A.-xcos
(-x)+sin
(-x)=-xcos
x-sin
x，故y=xcos
x+sin
x为奇函数，排除C，D选项，当x=π时，y=-π，故选A.
4.(2020·毕节模拟)函数y=Asin(ωx+φ)+b在一个周期内的图象如图所示(其中
A>0，ω>0，|φ|<
)，则函数的解析式为
( )
A.y=2sin
+1
B.y=2sin
+1
C.y=2sin
+1
D.y=2sin
+1
【解析】选D.结合函数y=Asin(ωx+φ)+b在一个周期内的图象，
可得A=
b=1，
所以ω=2.再根据五点法作图可得
2×
+φ=0，求得φ=-
，故函数的解析式为y=2sin(2x-
)+1.
【技法点拨】提素养
1.关于三角函数的图象变换的方法
(1)平移变换：
①沿x轴平移：由y=f(x)变为y=f(x+φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移.
②沿y轴平移：由y=f(x)变为y=f(x)+k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移.
(2)伸缩变换：
①沿x轴伸缩：由y=f(x)变为y=f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
倍.
②沿y轴伸缩：由y=f(x)变为y=Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的
|A|倍.
2.根据图象求解析式y=Asin
(ωx+φ)+k(A>0，ω>0)的方法
(1)在一个周期内(或者从最高点到相邻的最低点，即半个周期内)，若最大值为
M，最小值为m，则A=
，k=
.特别地，当k=0时，A=M=-m.
(2)φ的求法通常有以下两种：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，k已知)，或代入图象与
直线y=k的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间).
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的零点
作为突破口，
具体如下：
“第一点”(即图象上升时与y=k的交点中距原点最近的交点)为ωx+φ=0；“第
二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=
；“第三点”(即图象下降时与y=k的
交点)为ωx+φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=
；“第五点”
为ωx+φ=2π.
考向三 三角函数的性质(重难突破)
【多维题组】速通关
1.将函数f(x)=cos
x的图象向右平移
π个单位长度，再将各点的横坐标变为
原来的
(ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在
上的值域为
则ω的范围为
( )
A.
B.
C.
D.
【考场思维】
解题方法
数形结合
整体代换
y=Acos(ωx+φ)，令t=ωx+φ转化为y=Acos
t，根据条件结合图象列不等式
素养考查
数学运算、逻辑推理
【解析】选A.将函数f(x)=cos
x的图象向右平移
π个单位长度，可得
y=cos
的图象；
再将各点的横坐标变为原来的
(ω>0)，得到函数g(x)=cos
的图象.
若g(x)在
上的值域为
此时，
令t=ωx-
，则问题转化为y=cos
t，在
上的值域为
结合图象可知，
0≤
≤
，求得
≤ω≤
.
2.(2020·全国Ⅲ卷)关于函数f(x)=sin
x+
有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=
对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号有________.?
【考场思维】
【解析】对于①，由sin
x≠0可得函数的定义域为
故定义域关于原点对称，
由f(-x)=sin(-x)+
=-sin
x-
=-f(x)，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，
①错②对.
对于③，由于f(π-x)=sin(π-x)+
=sin
x+
=f(x)，所以f(x)关于x=
对称，③对.
对于④，令t=sin
x，t∈[-1，0)∪(0，1]，由对勾函数g(t)=t+
的性质，
可知g(t)∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，所以f(x)无最小值，④错.
答案：②③
【技法点拨】提素养
1.求函数单调区间的方法
(1)代换法：求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx+φ=z，得y=Asin
z(或y=Acos
z)，然后由复合函数的单调性求得.
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间.
2.判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断.
【变式训练】
1.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以
为周期且在区间
单调递增的是
( )
A.f(x)=|cos
2x|
B.f(x)=|sin
2x|
C.f(x)=cos
|x|
D.f(x)=sin
|x|
【解析】选A.作出函数f(x)=|cos
2x|的图象，如图.
由图象可知f(x)=|cos
2x|的周期为
，在区间
上单调递增.同理可得
f(x)=|sin
2x|的周期为
，在区间
上单调递减，f(x)=cos
|x|的周期为
2π.f(x)=sin
|x|不是周期函数，排除B，C，D.
2.(2020·包头一模)若函数f(x)=sin
2x+cos
2x在
和[3m，π]上均单调递
增，则实数m的取值范围为________.?
【解析】f(x)=
sin
解-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，k∈Z得，
-
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z，
当k=0时，-
≤x≤
；
当k=1时，
≤x≤
，
所以f(x)在
上单调递增，又f(x)在
，[3m，π]上单调递
增，
所以
解得
≤m≤
，
所以m的取值范围为
答案：
【加练备选】
(2020·南宁二模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)的图象经过点
，
一条对称轴方程为x=
.则函数f(x)的周期可以是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由
T，k∈Z，
则T=
，k∈Z，当k=0时，T=
.
题组训练·素养提升
【新题速递】
1.直线l：2x-y+e=0的倾斜角为α，则sin(π-α)sin
的值为( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选D.因为直线l
：2x-y+e=0的倾斜角为α，
所以tan
α=2，所以sin(π-α)sin
=sin
αcos
α
2.函数f(x)=2sin
+1的图象向右平移
个单位长度后得到y=g(x)的图
象，则函数g(x)
( )
A.有最大值为2
B.有最小正周期为π
C.图象关于直线x=
对称
D.为奇函数
【解析】选C.由函数f(x)=2sin
+1的图象向右平移
个单位长度后得到
y=g(x)的图象，
可得g(x)=f
=2sin
+1=2sin
+1；
可得g(x)的最大值为3，故A错误；
g(x)的最小正周期T=
，故B错误；
当x=
时g(x)=
+1=2sin
+1=3为最大值，故C
对.g(-x)=2sin
+1≠-g(x)，不是奇函数，故D错误.
3.设函数f(x)=cos
在[-π，π]的图象大致如图所示，则f(x)的最小正
周期为
( )
【解析】选C.由题图可得，函数图象过点
，
将它代入函数f
可得，cos
=0，
又
是函数f
图象与x轴负半轴的第一个交点，
所以
所以函数f
的最小正周期
4.关于函数f(x)=|cos
x|+|sin
x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间
上是增函数；
③f(x)的最大值为2；④f(x)的周期为
.其中所有正确结论的编号是( )
A.①②
B.①④
C.①③④
D.②③④
【解析】选B.因为f(x)=|cos
x|+|sin
x|=
①f(-x)=|cos(-x)|+|sin(-x)|=|cos
x|+|sin
x|=f(x)，
所以f(x)是偶函数，所以①正确；
②f(x)的图象如图，
由图象可知f(x)在
上不单调，②错误；
③f(x)的最大值达不到2，③错误；
④因为f
=|cos
|+|sin
|
=|sin
x|+|cos
x|=f(x)，所以函数f(x)的周期为
，
所以④正确.
【创新迁移】
1.音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如asin
bx的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数y=0.06sin
(180
000t)构成乐声的是
( )
A.y=0.02sin
(360
000t)
B.y=0.03sin
(180
000t)
C.y=0.02sin
(181
800t)
D.y=0.05sin
(540
000t)
【解析】选C.由f=
，可知若f1=nf2(n∈N
)，则必有ω1=nω2(n∈N
)，
故选C.
2.对任意闭区间I，用MI表示函数y=cos
x在I上的最大值，若正数a满足
M[0，a]=2M[a，2a]，则a的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.(1)当a∈
时，2a∈[0，π]，
M[0，a]=1，M[a，2a]=cos
a，
由M[0，a]=2M[a，2a]，得2cos
a=1，此时a=
；
(2)当a∈
时，2a∈(π，2π)，M[0，a]=1，
①当a∈
时，(2a-π)-(π-a)
=3a-2π<0，M[a，2a]=cos
a，
由M[0，a]=2M[a，2a]得cos
a=
，
在a∈
上无解；
②当a∈
时，(2a-π)-(π-a)=3a-2π≥0，
M[a，2a]=cos
2a，
由M[0，a]=2M[a，2a]，得2cos
2a=1，此时a=
π；
(3)当a∈
时，2a∈[2π，3π]，M[0，a]=1，
M[a，2a]=1，不合题意；
(4)当a∈
时，2a∈[3π，+∞)，M[0，a]=1，
M[a，2a]=1，不合题意.综上，a的值为
或
π.
五 三角函数的图象与性质(40分钟 80分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.(2020·漳州一模)若角θ的终边经过点
，则sin
+cos(π-θ)
+tan(2π-θ)=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.由题意知tan
θ=-
，
所以sin
+cos(π-θ)+tan(2π-θ)
=cos
θ-cos
θ-tan
θ=-tan
θ=
.
专题能力提升练
2.若sin
x=3sin
，则cos
xcos
=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.因为sin
x=3sin
，
所以sin
x=-3cos
x，所以tan
x=-3，
所以cos
xcos
=-sin
xcos
x
3.如图，角α和角β的终边垂直，且角α与单位圆的交点坐标为P
则sin
β=
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.由任意角的三角函数的定义可知cos
α=
，
所以sin
β=cos
α=
.
4.函数f(x)=tan
的单调递增区间是
( )
【解析】选B.由-
+kπ<
+kπ，k∈Z，得2kπ-
，
k∈Z，则函数f(x)=tan
的单调递增区间是
5.(2020·广州一模)设函数f(x)=2cos
，若对于任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1-x2|的最小值为
( )
A.
B.π
C.2π
D.4π
【解析】选C.函数f(x)=2cos
，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，
则f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值，
|x1-x2|的最小值就是函数的半个最小正周期
6.(2019·北京高考)设函数f(x)=cos
x+bsin
x(b为常数)，则“b=0”
是“f(x)为偶函数”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.因为f(x)=cos
x+bsin
x为偶函数，
所以对任意的x∈R，都有f(-x)=f(x)，
即cos(-x)+bsin(-x)=cos
x+bsin
x，
所以2bsin
x=0.由x的任意性，得b=0.故f(x)为偶函数?b=0.必要性成立.
反过来，若b=0，则f(x)=cos
x是偶函数.充分性成立.
所以“b=0”是“f(x)为偶函数”的充要条件.
7.设函数f(x)=
若函数g(x)=f(x)-m在[0，2π]内恰
有4个不同的零点，
则实数m的取值范围是
( )
A.(0，1)
B.[1，2]
C.(0，1]
D.(1，2)
【解析】选A.函数g(x)=f(x)-m在[0，2π]内有4个不同的零点，即曲线
y=f(x)与直线y=m在[0，2π]上有4个不同的交点，画出图象如图所示，
结合图象可得08.已知周期为π的函数f(x)=
sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)
是奇函数，把f(x)的图象向右平移
个单位得到g(x)的图象，则g(x)的一
个单调增区间为
( )
【解析】选B.周期为π的函数f(x)=
sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)
=2sin
(ω>0，0<φ<π)是奇函数，
所以φ-
=0，所以φ=
，f(x)=2sin
ωx.
再根据T=π=
，所以ω=2，f(x)=2sin
2x.
把f(x)的图象向右平移
个单位得到g(x)=2sin
的图象，
令2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
，k∈Z，
求得kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z，
可得g(x)的增区间为
，k∈Z，故选B.
【加练备选】
(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)=cos
x-sin
x在[-a，a]是减函数，则a的
最大值是
( )
【解析】选A.f(x)=cos
x-sin
x=
且函数y=cos
x在区间[0，π]
上单调递减，则由0≤x+
≤π，得-
≤x≤
.因为f(x)在[-a，a]
上是减函数，所以
解得a≤
，
所以0，所以a的最大值是
.
9.(2020·岳阳二模)已知函数f(x)=4sin
，x∈
，若函数
F(x)=f(x)-3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1则x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn=
( )
B.21π
C.
D.42π
【解题导引】零点即为曲线和x轴的交点的横坐标，所以先求出对称轴方程，
在给定区间
上有8条对称轴，由中点坐标公式可知x1+x2=
×2，
以此类推，xn-1+xn=
×2，各式相加，就可得出答案.
【解析】选C.令2x-
=
+kπ(k∈Z)，可得x=
kπ+
(k∈Z)，
即函数的对称轴方程为x=
kπ+
(k∈Z)，又f(x)的周期T=π，
令
kπ+
=
，可得k=8，所以函数在x∈
上有8条对称轴.根据正
弦函数的性质可知，x1+x2=
×2，x2+x3=
×2，…，xn-1+xn=
×2，
(最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴)，将以上各式
相加得x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn=
10.(2020·广州二模)若函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0，0<φ<
)的部分
图象如图所示，则下列叙述正确的是
( )
A.
是函数f(x)图象的一个对称中心
B.函数f(x)的图象关于直线x=
对称
C.函数f(x)在区间
上单调递增
D.函数f(x)的图象可由y=Asin
2x的图象向左平移
个单位得到
【解题导引】由图象中两个关键点求出A和φ，求出对称中心、对称轴方程和单调递增区间，检验A，B，C，图象平移原则检验D.
【解析】选A.由题图可知，A=2，因为函数f(x)经过点
所以0=2sin
所以
+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ-
，k∈Z，
因为0<φ<
，所以k=1，φ=
.
所以函数f(x)=2sin
令2x+
=kπ，k∈Z，则x=-
，k∈Z，当k=0时，对称中心为
即A正确；
令2x+
=
+kπ，k∈Z，则x=
+
，k∈Z，不存在k使其对称轴为
x=
，即B错误；
令2x+
∈
，k∈Z，
则x∈
，k∈Z，当k=0时，单调递增区间为
即C错误；
y=2sin
2x的图象向左平移
个单位得到y=2sin
2
=2sin
≠f(x)，即D错误.
【加练备选】
(2020·肇庆二模)函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，
则f(x)的单调递增区间为
( )
【解析】选C.根据函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象，
可得
，所以ω=π.
再根据五点法作图，可得π×
+φ=π，
所以φ=
，f(x)=sin(πx+
).
令2kπ-
<πx+
<2kπ+
，k∈Z，得2k-
≤x≤2k-
，k∈Z，
故函数的增区间为
，k∈Z.
再把k换成k+1，可得函数的增区间为
，k∈Z.
11.(2020·九江二模)现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为l1，l2，l3，l4，则
( )
A.l1B.l1C.l1=l2=l3=l4
D.l1=l2=l3【解题导引】由题意可知，正方形、正五边形、正六边形的中心滚动一周的运
动轨迹合成之后都是圆心角为2π的弧长，(圆的中心运动轨迹是一条直线)设半
径分别为r1，r2，r3，则半径为中心与顶点的距离，由正方形、正五边形、正六
边形得几何特征可知r1=
，r1【解析】选B.由题意可知，正方形、正五边形、正六边形的中心滚动一周的运动轨迹合成之后都是圆心角为2π的弧长(圆的中心运动轨迹是一条直线)，
设半径分别为r1，r2，r3，由题意可知，半径为中心与顶点的距离，
又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1，对于正方形，如图所示：
因为∠AOB=90°，所以∠OAB=45°，r1=OA=
；
对于正五边形，如图所示，
因为∠AOB=72°<90°，∠OAB=∠OBA=54°>45°，
所以r1∠AOB=60°，所以△AOB为等边三角形，所以r3=OA=1；
又因为l1=2π·r1，l2=2π·r2，l3=2π·r3，l4=2π，所以l112.(2019·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=sin
(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]
上有且仅有5个零点，下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点
③f(x)在
上单调递增
④ω的取值范围是
其中所有正确结论的编号是
( )
A.①④
B.②③
C.①②③
D.①③④
【解析】选D.①若f(x)在[0，2π]上有5个零点，可画出大致图象，
由图1、图2可知，f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，故①正确.
②由图1、图2可知，f(x)在(0，2π)有且仅有2个或3个极小值点，故②错误.
④当f(x)=sin
=0时，ωx+
=kπ(k∈Z)，
所以x=
，因为f(x)在[0，2π]上有5个零点.
所以当k=5时，x=
≤2π，
当k=6时，x=
>2π，解得
≤ω<
，故④正确.
③函数f(x)=sin
的增区间为-
+2kπ<ωx+
<
+2kπ(k∈Z)，
取k=0，当ω=
时，单调递增区间为-
ππ；
当ω=
时，单调递增区间为-
ππ，
综上可得f(x)在
上单调递增.故③正确.所以结论正确的编号有①③④.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.已知函数f(x)=sin
ωx(0<ω<4)的图象向左平移
个单位后，关于点
对称，则实数ω的值为________.?
【解析】f(x)=sin
ωx(0<ω<4)的图象向左平移
个单位得g(x)=sin
的图象，
因为g(x)的图象关于点
对称，
所以sin
=0，所以
=kπ，k∈Z，由0<ω<4知，当k=1时，ω=2符合题意.
答案：2
14.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2，4]上单调，且f(2)=1，f(4)=-1，则ω=________，f(x)在区间
上的值域是________.?
【解析】由题意知f(x)的最小正周期T=4，
所以ω=
，所以f(x)=sin
又f(2)=sin(π+φ)=1，
所以π+φ=
+2kπ，k∈Z.
又|φ|<π，所以φ=-
，
所以f(x)=sin
由x∈
所以sin
，即f(x)在区间
上的值域为
.
答案：
15.函数f(x)=x2-2x+1的图象与函数g(x)=3cos
πx的图象所有交点的横坐标之和等于________.?
【解析】函数f(x)=x2-2x+1的图象与函数g(x)=3cos
πx的图象
在同一坐标系内的位置和交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
C(x3，y3)，D(x4，y4)，由于f(x)=(x-1)2的对称轴为x=1，函数
的图象与x轴相切，函数g(x)的图象的最小正周期为T=
=2，
函数的图象也关于直线x=1对称，如图所示：所以
则x1+x2+x3+x4=4.
答案：4
16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<
)的部分图象如图
所示，其中|PQ|=2
.则f(x)的解析式为________.?
【解析】由题图可知A=2，P(x1，-2)，Q(x2，2)，
所以|PQ|=
整理得|x1-x2|=2，所以函数f(x)的最小正周期T=2|x1-x2|=4，即
=4，
解得ω=
.又函数图象过点(0，-
)，
所以2sin
φ=-
，即sin
φ=-
.又|φ|<
，
所以φ=-
，所以f(x)=2sin
答案：f(x)=2sin
【加练备选】
已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，若|a-b|的最小值是1，则f
=________.?(共11张PPT)
第二篇
题型突破·考点通关
专题一 三角函数及解三角形
必备知识·整合回顾
【核心知识】建体系
【常用结论】精归纳
1.sin
α+cos
α，sin
α-cos
α，sin
αcos
α的关系
(1)利用(sin
α±cos
α)2=1±2sin
αcos
α实现：
sin
α+cos
α，sin
α-cos
α，sin
αcos
α知一求二.
(2)sin
α-cos
α>0?α的终边在直线y=x上方(特殊的，当α在第二象限时有sin
α-cos
α>1).
(3)sin
α+cos
α>0?α的终边在直线y=-x上方(特殊的，当α在第一象限时有sin
α+cos
α>1).
2.“1”的变换
1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ
3.正弦函数、余弦函数最值的等价说法
f(a)≤f(x)，?x成立等价于f(a)是f(x)的最小值，直线x=a是函数图象的一条
对称轴.
4.辅助角公式
asin
α+bcos
α=
sin(α+φ)，辅助角φ所在象限由点(a，b)所在象限
决定，tan
φ=
.
5.△ABC中的有关结论
(1)sin
A=sin(B+C)，cos
A=-cos(B+C).
(2)A>B?sin
A>sin
B，cos
AB.
(3)tan
A+tan
B+tan
C=tan
A·tan
B·tan
C.
(4)S△ABC=
(R为△ABC外接圆半径).
6.关于三角函数奇偶性的常用结论
(1)y=Asin(ωx+φ)，当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数；
当φ=kπ+
(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx+φ=kπ+
(k∈Z)求得.
(2)y=Acos(ωx+φ)，当φ=kπ+
(k∈Z)时为奇函数；
当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
(3)y=Atan(ωx+φ)，当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.
7.求三角函数周期的常用结论
(1)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为
，y=tan(ωx+φ)的最
小正周期为
.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是
个最
小正周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是
个最小正周期；正切曲线
相邻两对称中心之间的距离是
个最小正周期.
【易错警示】防误区
1.忽视角的终边位置及有关函数值符号的判断
(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
(2)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目
中出现类似kπ±α的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角
函数值的正负.
(3)对于三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调的函数，这
样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是
，选正、余弦皆可；
若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是
，选正弦较好.
2.忽视函数图象对称性和变换规则
(1)正切函数图象的对称中心的坐标是
(其中k∈Z).
(2)三角函数图象变换中，注意由y=sin
ωx的图象变换得到y=sin(ωx+φ)的图
象时，平移量为|
|，而不是φ.
3.求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号
ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间需
加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间.如求函数f(x)=2sin
的单调减区间，应将函数化为f(x)=-2sin
，转化为求函数y=sin
的单调增区间.(共83张PPT)
第2课时 三角恒等变换与解三角形
关键能力·应用实践
考向一 三角恒等变换
【多维题组】速通关
1.函数y=lg
的零点是x1=tan
α和x2=tan
β，则tan
=( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选C.因为函数y=lg
的零点是x1=tan
α和x2=tan
β，所以tan
α和
tan
β是方程x2+5x+4=1的两个实数根，所以tan
α+tan
β=-5，tan
αtan
β=3，所以
2.(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos
2α-8cos
α=5，
则sin
α=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.3cos
2α-8cos
α=5，
得6cos2α-8cos
α-8=0，
即3cos2α-4cos
α-4=0，
解得cos
α=-
或cos
α=2(舍去)，
又因为α∈(0，π)，所以sin
α=
3.(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan
θ-tan
=7，则tan
θ的值为( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解析】选D.由题意可知2tan
θ-
=7，
化简得：2tan
θ-2tan2θ-1-tan
θ=7-7tan
θ，
解得tan
θ=2.
4.
【解析】选C.由α∈
得
+α∈
.
又cos
所以
+α∈
，
所以
5.(2020·聊城二模)已知cos(α+
)=
，α∈
，则sin
=________.?
【解析】
【变式拓展】
本题条件改为sin
求sin
的值.
【解析】因为sin
【技法点拨】提素养
三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”：利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数，有时，虽不能转化为特殊角，但可通过分子分母的约分、正负项的相互抵消达到化简求值的目的.
(2)“给值求值”：关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”：关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.
考向二 利用正弦、余弦定理解三角形
【多维题组】速通关
1.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos
C=
，AC=4，BC=3，则cos
B=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.设AB=c，BC=a，CA=b，因为c2=a2+b2-2abcos
C=9+16-2×3×4
×
=9，所以c=3，cos
B=
2.(2020·哈尔滨二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
b=2
，a=2，cos
B+
sin
B=2，则角A的值为
( )
A.
B.
或
C.
D.
【解析】选D.因为cos
B+
sin
B=2，
可得2sin
=2，所以sin
=1，
因为B∈(0，π)，B+
所以B+
可得B=
.
又因为b=2
，a=2，
所以由正弦定理
可得sin
A=
因为a.
3.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
asin
A-bsin
B=4csin
C，cos
A=-
，则
的值为
( )
A.6
B.5
C.4
D.3
【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2，由余弦定理推论可得-
=
cos
A=
所以
所以
所以
×4=6.
4.在△ABC中，已知AC=
，∠ABC=60°，AB，则BC
边上的高等于________.?
【解析】设a，b，c分别为角A，B，C的对边，因为∠ABC=60°且△ABC的面积
为
，
所以
acsin
60°=
，即ac=6①，
又AC=
，所以b2=a2+c2-2accos
60°=7，
即a2+c2-ac=7②，
联立①②结合a>c解得：a=3，c=2.
设BC边上的高为h，所以
ah=
×3×h=
.
所以h=
.
答案：
本题条件改为AC=3，AB=3
，∠ABC=30°，BC>AC，求AC边上的高.
【解析】设角A，B，C的对边分别为a，b，c.因为AC=3，AB=3
，∠ABC=30°，所以b=3，c=3
，B=30°，
所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos
B，
可得9=a2+27-2×a×3
×
，
整理可得a2-9a+18=0，又a>b，所以a=6.
因为S△ABC=
acsin
B=
，
所以AC边上的高的长为
5.(2020·全国Ⅰ卷)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=
，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=_______.?
【解析】因为AB⊥AC，AB=
，AC=1，
由勾股定理得BC=
=2，
同理得BD=
，所以BF=BD=
，
在△ACE中，AC=1，AE=AD=
，∠CAE=30°，
由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos30°=1+3-2×1×
×
=1，
所以CF=CE=1，在△BCF中，BC=2，BF=
，CF=1，
由余弦定理得cos∠FCB=
答案：-
【技法点拨】提素养
解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A，B与一边a，由A+B+C=π及
可先求出角C及
b，再求出c.
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2=b2+c2-2bccos
A，先求出a，再求出角B，C.
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边a的对角A，由正弦定理
可求出另一边b
的对角B，由C=π-(A+B)，可求出角C，再由
可求出c，而通过
求角B时，可能有一解或两解或无解的情况.
考向三 正弦、余弦定理的实际应用
【多维题组】速通关
1.如图所示，为了测量A，B两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A
在C的北偏西45°的方向上，B在C的北偏东15°的方向上，现在船往东开2百海
里到达E处，此时测得B在E的北偏西30°的方向上，再开回C处，由C向西开2
百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5°的方向上，则A，B两座岛屿间的距离
为
( )
A.3百海里
B.3
百海里
C.4百海里
D.4
百海里
【考场思维】
解题方法
直接计算
解题流程
利用方向角求出三角形中各个角的大小→利用正弦定理求出AC和BC→利用余弦定理求出结果
素养考查
数学运算、直观想象
【解析】选B.根据题意知：∠ADC=∠DAC=67.5°，
∠ACB=60°，DC=2
，CE=2，
∠BCE=75°，∠CBE=45°，
∠CEB=60°.
所以在△BCE中，利用正弦定理
解得BC=
，
在△ADC中，∠ADC=∠DAC=67.5°，
所以DC=AC=2
，
则在△ACB中，利用余弦定理AB2=AC2+CB2-2AC·CB·cos
60°，解得AB=3
，
所以A，B两座岛屿的距离为3
百海里.
2.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC=60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为
( )
A.210(
+
)米
B.140
米
C.210
米
D.20(
-
)米
【考场思维】
解题方法
建立方程求解
解题流程
设AC=x米，则BC=(x-40)米→在△ABC内，由余弦定理构建方程求出AC→在△ACH中，用正弦定理求CH
素养考查
数学运算、直观想象
【解析】选B.由题意，设AC=x米，则BC=(x-40)米，在△ABC内，由余弦定理得
BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cos∠BAC，
即(x-40)2=x2+10
000-100x，解得x=420.
在△ACH中，AC=420米，
∠CAH=30°+15°=45°，∠CHA=90°-30°=60°，
由正弦定理
可得CH=AC·
=140
(米).
【技法点拨】提素养
解三角形实际应用问题的步骤
【变式训练】
1.为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则
小区的面积为
( )
A.
km2
B.
km2
C.
km2
D.
km2
【解析】选D.如图，连接AC，
根据余弦定理可得AC=
，故△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∠BAC=30°，从而△ADC为等腰三角形，且∠ADC=150°，设AD=DC=x，根据余弦
定理得x2+x2+
x2=3，即x2=
所以所求小区的面积为
×1×
+
×3(2-
)×
(km2).
2.如图所示，在山脚A测得山顶P的仰角为∠QAP=45°，沿倾斜角为∠QAB=15°
的斜坡向上走146.4米到达B，在B测得山顶P的仰角为∠CBP=60°，则山高PQ约
为________米.?(
≈1.414，
≈1.732，结果保留到小数点后1位)
【解析】∠PAB=∠PAQ-∠BAQ=45°-15°=30°，
∠APB=∠QPA-∠CPB=45°-(90°-60°)=15°.
∠ABP=180°-(∠PAB+∠APB)=135°，
在△PAB中，由正弦定理得
PQ=APsin∠PAQ=
≈282.8(米).
答案：282.8
【加练备选】
已知在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处.轮船沿BC行驶一段时间后，到达海岛的正西方向的D处，此时轮船距岛A有________千米.?
【解析】由已知可求得AB=
，AC=
，BC=
，
所以sin∠ACB=
，cos∠ACB=
，则∠ACB为锐角，∠ACD为钝角，
且sin∠ACD=
，cos∠ACD=-
.
在△ACD中，sin∠ADC=sin(∠ACD+∠DAC)
=sin∠ACDcos∠DAC+sin∠DACcos∠ACD
由正弦定理可求得AD=
答案：
题组训练·素养提升
【新题速递】
1.已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边绕O
点顺时针旋转
后，经过点(-3，4)，则sin
α=( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选B.角α的终边按顺时针方向旋转
后得到的角为α-
，
所以由三角函数的定义，可得：
所以sin
α=sin
2.若函数f
=sin
2xsin
φ+2cos2xcos
φ-cos
φ
的一个极大值点
为
，则φ=
( )
A.0
B.
C.
D.
【解析】选D.f
=sin
2xsin
φ+2cos2xcos
φ-cos
φ=sin
2xsin
φ+
cos
φ=sin
2xsin
φ+cos
2xcos
φ=cos
，因为f
的一
个极大值点为
，
所以f
=cos
=1，解得φ=
+2kπ，k∈Z，又0<φ<π，
故φ=
.
3.2020年5月27日，中国珠穆朗玛峰测高工程队顺利登顶，将在峰顶竖立站标，安装GNSS(全球卫星导航系统)，将对这座世界最高峰的高度进行最新测量，如在水平面上的A处测得峰顶H的仰角是45°，然后在另一点B处测得峰顶H的仰角是60°，若H在水平面的射影为O(如图)，且∠AOB=150°，AB=a，则珠穆朗玛峰的最新高度OH=________.?
【解析】设OH=h，由题可知：∠OAH=45°，∠OBH=60°，
则AO=h，BO=
h，
在△AOB中，有AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos∠AOB，
又AB=a，所以a2=h2+
-2h·
·cos
150°，
则h2=
?h=
a.
答案：
a
4.已知函数f(x)=2sin2x+
asin
2x的最大值为3，则实数a的值为________.?
【解析】由题得f(x)=2sin2x+
asin
2x
=1-cos
2x+
asin
2x
=
sin(2x+φ)+1，其中tan
φ=-
，
所以f(x)的最大值为
+1=3，解得a=±1.
答案：±1
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=6
sin
，c=6，
则△ABC外接圆的半径大小是________.?
【解析】由条件知
=sin
B+cos
B，
根据正弦定理得：
所以sin
A=sin
C·(sin
B+cos
B)
=sin
Csin
B+sin
Ccos
B，
又sin
A=sin(B+C)=sin
Bcos
C+cos
Bsin
C，
于是sin
Bcos
C=sin
Bsin
C，因sin
B>0，
所以tan
C=1，又C∈(0，π)，
所以C=
，设△ABC外接圆的半径大小为R，
根据正弦定理得2R=
因此R=3
.
答案：3
【创新迁移】
1.有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：“在△ABC中，角
A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=
，________，c2-b2-3c+3=0，求角A.”
经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且该题的答案A=
是唯一确定
的，则破损处应是________.?
【解析】因为c2-b2-3c+3=0，a=
.
所以c2-b2-
ac+a2=0，
即
所以cos
B=
，又B∈(0，π)，所以B=
.
(1)由正弦定理可知，
检验：
又因为A∈(0，π)且a>b，
所以A=
或者A=
，这与已知角A的解为唯一解矛盾.
(2)B=
，A=
，所以C=
，
由正弦定理可知，
检验：
又A∈(0，π)，且c>a，
所以A=
.故应填的条件是：c=
答案：c=
2.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形看起来标准又美观.如图所示，△ABC是黄金三角形，AB=AC，作∠ABC的平分线交AC于点D，易知△BCD也是黄金三角形.若BC=1，则AB=_______；借助黄金三角形可计算sin
234°
=_______.?
【解析】由题可得∠A=∠ABD=∠DBC=36°，∠C=∠BDC=72°，
所以△ABC∽△BCD，得
，且AD=BD=BC=1.
设AB=AC=x，则CD=x-1，所以
，
可解得x=
(负值舍去)，所以AB=
因为sin
234°=sin(180°+54°)=-sin
54°=-cos
36°.
在△ABC中，根据余弦定理可得
cos
36°=
所以sin
234°=-
.
答案：
-
六 三角恒等变换与解三角形
（40分钟
80分）
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.若cos
78°=m，则sin(-51°)=
( )
专题能力提升练
【解析】选A.因为cos
78°=m，
所以cos(180°-78°)=cos
102°=-cos
78°=-m，
可得1-2sin251°=cos102°=-m，
所以sin251°=
，解得：sin
51°=
，
所以sin(-51°)=
.
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2
，c=3，B=2C，则
cos
2C的值为
( )
【解析】选B.由正弦定理可得，
，
所以
，
又b=2
，c=3，所以2cos
C=
，cos
C=
，
所以cos
2C=2cos2C-1=2×
-1=
.
3.(2020·包头二模)已知tan(
)=
，则cos
2α=
( )
【解析】选B.因为tan(
)=
，
解得：tan
α=2，
所以cos
2α=cos2α-sin2α=
4.已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α-β)=
，sin(α+β)=
，则
sin(3α-β)=
( )
【解析】选B.因为α为锐角，β为第二象限角，cos(α-β)>0,sin(α+β)>0，
所以α-β为第四象限角，α+β为第二象限角，
因此sin(α-β)=-
，cos(α+β)=-
，所以sin
2α=sin(α-β+α+β)
=sin
(α-β)cos
(α+β)+cos
(α-β)sin
(α+β)
=
=1.
因为α为锐角，所以2α=
，
所以sin(3α-β)=sin(2α+α-β)=cos(α-β)=
.
【一题多解】解答本题还可以有如下解法：
【解析】由上面可得，sin(α-β)=-
，cos(α+β)=-
.
所以cos2(α-β)=2cos2(α-β)-1=2×
，
sin2(α-β)=2sin(α-β)cos(α-β)=2×
.
所以sin(3α-β)=sin[2(α-β)+(α+β)]
=sin
2(α-β)·cos(α+β)+
cos
2(α-β)·sin(α+β)
=
.
5.函数f(x)=2sin2ωx+sin
2ωx-1的图象向左平移
个单位长度后，与原图象有相同的对称轴，则正实数ω的最小值是
( )
A.1
B.2
C.4
D.6
【解析】选B.因为f(x)=2sin2ωx+sin2ωx-1=sin2ωx-cos2ωx
=
sin
，
将其图象向左平移
个单位长度后，
可得y=
sin
=
sin
的图象.
由于所得的图象与原图象有相同的对称轴，
所以
=kπ，k∈Z，即ω=2k，k∈Z，
则正实数ω的最小值为2.
6.在△ABC中，cos2
=
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为
( )
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.因为cos2
=
，所以
，所以
，化简得a2+b2=c2.故△ABC是直角三角形.
7.函数f(x)=sin2x+2
sin2x-
，若f(x1)·f(x2)=-4，则|x1+x2|的最小值是
( )
【解题导引】首先通过函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正
弦型函数，进一步利用函数的最值求出结果.
【解析】选C.f(x)=sin
2x+2
sin2x-
=2sin
，又f(x1)·f(x2)=-4，
所以f(x)在x1，x2处取到最大值和最小值，
不妨设在x1处有最大值，令2x1-
=2k1π+
，k1∈Z，则x1=k1π+
，k1∈Z，
设在x2处取到最小值，令2x2-
=2k2π-
，k2∈Z，则x2=k2π-
，k2∈Z，
得|x1+x2|=|(k1+k2)π+
|，k1，k2∈Z.
当k1+k2=0时，|x1+x2|的最小值为
.
8.(2020·中卫二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知C=
，sin
B=3sin
A，若△ABC的面积为6
，则c=
( )
【解题导引】由sin
B=3sin
A可得b=3a，再利用面积公式得到a，b的方程组，
解出a，b，最后利用余弦定理求出c的值.
【解析】选B.因为sin
B=3sin
A，所以b=3a，
又因为C=
，△ABC的面积为6
，
所以S=
absin
C=
a2×sin
=6
，
解得a=2
，b=6
，
所以c2=a2+b2-2abcos
C=
=104.
所以c=2
.
【加练备选】
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin
A=
，a=2，S△ABC=
，则b的值为
( )
【解析】选A.由S△ABC=
bcsin
A=
bc×
=
，
解得bc=3.
因为A为锐角，sin
A=
，所以cos
A=
，
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A，代入数据解得b2+c2=6，则(b+c)2=12，
b+c=2
，所以b=c=
.
9.(2020·郑州三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若
asinB=c-bcos
A，则角B等于
( )
【解析】选A.因为
asin
B=c-bcos
A，
所以由正弦定理可得
sin
Asin
B=sin
C-sin
Bcos
A，
所以
sin
Asin
B+sin
Bcos
A=sin
C，
因为sin
C=sin(A+B)=sin
Acos
B+cos
Asin
B，
所以
sin
Asin
B=sin
Acos
B，因为sin
A≠0，
所以
sin
B=cos
B，可得tan
B=
，
因为B∈(0，π)，所以B=
.
10.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30
海里的B处有
一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相
距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则
cos
θ的值为
( )
【解析】选B.在△ABC中，AB=30
，AC=20，∠BAC=135°，
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos
135°=3
400，所以BC=10
，
由正弦定理得
sin∠ACB=
·sin∠BAC=
.
由∠BAC=135°知∠ACB为锐角，
故cos∠ACB=
.
故cos
θ=cos(∠ACB+45°)
=cos∠ACBcos
45°-sin∠ACBsin
45°
=
.
11.(2020·泉州二模)若ω>0，函数f(x)=3sinωx+4cosωx
的值域为
[4，5]，则cos
的取值范围是
( )
【解析】选D.函数f(x)=3sinωx+4cosωx=5sin(ωx+φ)，
其中sinφ=
，cosφ=
，0<φ<
.令t=ωx+φ，g(t)=5sin
t，
因为ω>0，0≤x≤
，所以φ≤t≤
ω+φ，
因为g(φ)=5sinφ=4，且0<φ<
.所以g(π-φ)=4，g(
)=5.
所以
≤
ω+φ≤π-φ，即
-φ≤
ω≤π-2φ.
当0<
-φ≤x≤π-2φ<π时，y=cos
x单调递减.
因为cos
=sin
φ=
，cos(π-2φ)=-cos
2φ=sin2φ-cos2φ=
所以cos
的取值范围是
.
12.(2020·汕头二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
acos
=bsin
A，若b=
，则2a+c的取值范围为
( )
【解析】选C.因为A+B+C=π，所以A+C=π-B，因为acos
=bsin
A，
所以acos
=bsin
A，即asin
=bsin
A，
由正弦定理知，
，
所以sin
Asin
=sin
Bsin
A，因为sin
A≠0，
所以sin
=sin
B=2sin
cos
，
因为sin
≠0，所以cos
=
，因为0<
，所以B=
.
由正弦定理知，
，
所以
所以a=2sin
A，c=2sin
C，
所以2a+c=4sin
A+2sin
C=4sin
A+2sin
=4sin
A+2
=3sin
A+
cos
A=2
sin
，
因为B=
，
所以A∈
，所以A+
∈
，
sin
∈
，
所以2a+c的取值范围为
.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.已知0，且cos
=
，则cos
x=________.?
【解析】因为0，所以
，
又cos
=
，
所以sin
=
，
则cosx=cos
=cos
cos
+sin
sin
=
.
答案：
14.(2020·绵阳模拟)2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我
国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状
军威，振民心，令世人瞩目.飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的
数据分析.一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72
千米/小
时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的
方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则
直升机飞行的高度为________千米(结果保留根号).?
【解析】如图.由题意，得∠ABD=60°，∠CBD=75°；AC=
=
千米；
所以∠ABC=135°；∠BAC=30°；在△ABC中，
?
?
如图：
D1C⊥平面ABC，在直角△BD1C中，
tan∠D1BC=
?D1C=BC·tan∠D1BC
=
×tan
30°=
千米.
答案：
15.(2020·濮阳一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角B为钝角，设△ABC的面积为S，若4bS=a(b2+c2-a2)，则sin
A+sin
C的取值范围是________.?
【解析】因为4bS=a(b2+c2-a2)，所以4sin
B×
bcsin
A=(b2+c2-a2)sin
A，
显然sin
A≠0，故sin
B=
因为B是钝角，所以A，
是锐角，所以B+
=π，所以B=
.
所以sin
A+sin
C=sin
A+sin
=sin
A+sin
=sin
A+cos
2A=-2sin2A+sin
A+1，
因为B为钝角，所以
解得0，所以sin
A∈
.
令y=-2sin2A+sin
A+1，sin
A∈
.
这是一个关于sin
A的二次函数，对称轴可看成sin
A=
，开口向下.
易知，当sin
A=
时有最大值
，当sin
A=
时有最小值
，
故sin
A+sin
C的范围是
.
答案：
【误区警示】解答本题容易忽视依据“B为钝角”推出角A的取值范围.
16.(2020·哈尔滨一模)已知函数f(x)=4cos
cos
x-m在
上有两个不
同的零点，则实数m的取值范围是________.?(共72张PPT)
1课时突破
三角函数及解三角形解答题
三角函数及解三角形的综合问题
考向一 三角函数的图象与性质
【典例】(2019·浙江高考)设函数f(x)=sin
x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x+θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数
的值域.
【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数，
所以对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ)，
即sin
xcos
θ+cos
xsin
θ=-sin
xcos
θ+cos
xsin
θ，
故2sin
xcos
θ=0，所以cos
θ=0.
又θ∈[0，2π)，因此θ=
或θ=
.
因此，所求函数的值域是
.
【探究延伸】
把本例(1)中“偶”改为“奇”，其他条件不变，求θ的值；求第(2)问中函数的单调递增区间.
【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是奇函数，
所以对任意实数x都有sin(-x+θ)=-sin(x+θ)，
即-sin
xcos
θ+cos
xsin
θ=-sin
xcos
θ-cos
xsin
θ，
故2cos
xsin
θ=0，所以sin
θ=0.
又θ∈[0，2π)，因此θ=0或θ=π.
(2)y=1-
cos
.
令2kπ≤2x+
≤2kπ+π，k∈Z，
得kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z，
所以函数y=1-
cos
的单调递增区间是
，k∈Z.
【素养提升】
解决三角函数图象与性质综合问题的思路
(1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+k(一角一函数)的形式；
(2)把“ωx+φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+k的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题.
【变式训练】
设函数f(x)=cos
+2sin2
.
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)当x∈
时，求f(x)的值域.
【解析】(1)f(x)=
cos
2x+
sin
2x+1-cos(2x+π)
=
cos
2x+
sin
2x+1
=
sin
+1，
所以f(x)的最小正周期T=π.
由2x+
=kπ+
，k∈Z，
得对称轴方程为x=
+
，k∈Z.
(2)因为-
≤x≤
，
所以-
≤2x+
≤
，
所以-
≤sin
≤1.
所以f(x)的值域为
.
【加练备选】
已知函数f(x)=4tan
xsin
cos
-
.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间
上的单调性.
【解析】f(x)=4tan
xsin
cos
-
(1)定义域
(2)因为-
≤x≤
，
所以-
≤2x-
≤
，设t=2x-
，
因为y=sin
t在t∈
时单调递减，在t∈
时单调递增.
由
解得
由
解得
所以函数f()在
上单调递增，在
上单调递减.
考向二 利用正弦、余弦定理求三角形的角和边
命题角度1 三角形基本量的求解问题
【典例】(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin
B-sin
C)2=sin2A-sin
Bsin
C.
(1)求A；
(2)若
a+b=2c，求sin
C.
【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin
Bsin
C，
故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得
因为0.
(2)方法一：由(1)知B=
π-C，
由题设及正弦定理得
sin
A+sin(
π-C)=2sin
C，
即
+
cos
C+
sin
C=2sin
C，
可得cos(C+
)=-
.
由于0π，所以sin(C+
)=
，
故sin
C=sin(C+
-
)=sin(C+
)cos
-cos(C+
)sin
=
.
方法二：因为
a+b=2c，
由正弦定理得：
sin
A+sin
B=2sin
C，
又sin
B=sin(A+C)=sin
Acos
C+cos
Asin
C，A=
，
所以
×
+
cos
C+
sin
C=2sin
C，
整理可得：3sin
C-
=
cos
C，
即3sin
C-
cos
C=2
sin
=
，
所以sin
=
，
所以C=
或
，
因为A=
且A+C<π，所以C=
，
所以sin
C=sin
=sin
=sin
cos
+cos
sin
=
.
命题角度2 以平面几何为载体的解三角形问题
【典例】如图，在平面四边形ABCD中，已知A=
，B=
，AB=6.在AB边上取点
E，使得BE=1，连接EC，ED.若∠CED=
，EC=
.
(1)求sin∠BCE的值；
(2)求CD的长.
【解析】(1)在△BEC中，由正弦定理，
知
因为B=
，BE=1，CE=
，
所以
(2)因为∠CED=∠B=
，
所以∠DEA=∠BCE，
所以cos∠DEA=
因为A=
，
所以△AED为直角三角形，又AE=AB-BE=5，
所以
在△CED中，CD2=CE2+DE2-2CE·DE·cos∠CED=
所以CD=7.
【探究延伸】
本例平面四边形ABCD满足的条件改为“∠ABC=
，AB⊥AD，AB=1，sin∠CAD=
，AD=4(如图)”，求CD的长.
【解析】因为∠CAD+∠BAC=∠BAD=
，
所以cos∠BAC=sin∠CAD=
，
所以sin∠BAC=cos∠CAD=
，
因为∠ABC=
，
所以sin∠BCA=sin(
-∠BAC)
=
(cos∠BAC-sin∠BAC)
在△ABC中，由正弦定理得
在△ACD中，由余弦定理得
CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD
=5+16-2×
×4×
=13，
所以CD=
.
【素养提升】
1.用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
2.以平面图形为背景的解三角形问题的求解思路
建
联
系
在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，通过公共条件形成等式，常常将所涉及的已知几何量与所求几何量集中到某一个三角形
用
定
理
①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理；
②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理
【变式训练】
1.(2019·北京高考)在△ABC中，a=3，b-c=2，cos
B=-
.
(1)求b，c的值.
(2)求sin(B+C)的值.
【解析】(1)由已知及余弦定理，
得
即9-2b+c=0，
又b-c=2，
所以b=7，c=5.
(2)由(1)及余弦定理，
得
又sin2C+cos2C=1，0所以sin
C=
，同理sin
B=
，
所以sin(B+C)=sin
Bcos
C+sin
Ccos
B=
×
+
×
=
.
2.如图，四边形ABCD中，AC=
BC，AB=4，∠ABC=
.
(1)求∠ACB；
(2)若∠ADC=
，四边形ABCD的周长为10，求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)设BC=a，则AC=
a，
由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC，
得3a2=42+a2-2×4·a·
，所以a2+2a-8=0，
所以a=2或a=-4(舍去)，
所以AB2=AC2+BC2，
所以∠ACB=
.
(2)因为四边形ABCD的周长为10，AB=4，BC=2，
所以AD+CD=4.
又AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC，
即12=AD2+DC2+AD·DC
=(AD+DC)2-AD·DC，
所以AD·DC=4.
所以S△ADC=
AD·DC·sin
π=
.
所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2
+
=3
.
【加练备选】
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知bsin
A=acos
.
(1)求角B的大小.
(2)设a=2，c=3，求b和sin(2A-B)的值.
【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理
可得bsin
A=asin
B，又由bsin
A=acos
，
得asin
B=acos
，即sin
B=cos
，
所以sin
B=
cos
B+
sin
B，可得tan
B=
.
又因为B∈(0，π)，可得B=
.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=
，
得b2=a2+c2-2accos
B=7，故b=
.
由bsin
A=acos
，可得sin
A=
.
因为aA=
.
因此sin2A=2sin
Acos
A=
，cos2A=2cos2A-1=
.
所以sin(2A-B)=sin2Acos
B-cos
2Asin
B=
考向三 与解三角形有关的最值、范围问题(规范解答)
【典例】(12分)(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sin
Bsin
C.
(1)求A；
(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值.
【思维流程图】
(1)利用正弦定理化角为边→用余弦定理的变形式求cos
A→依据A∈(0，π)和
cos
A求A；
(2)利用余弦定理得到关于AB、AC的定量关系→依据AC·AB≤
建立关
于AB+AC的不等式→求出AB+AC的最大值.
【规范解答】(1)因为sin2A-sin2B-sin2C=sin
Bsin
C，
所以由正弦定理得：BC2-AC2-AB2=AC·AB，…………………………2分
所以
………………………………………………3分
因为A∈(0，π)，所以A=
.…………………………………………4分
考查要求
基础性
学科素养
数学运算、逻辑推理
评分细则
利用正弦定理化角为边给2分；
依据余弦定理得出cos
A给1分；
由cos
A的值求A给1分
(2)由(1)知A=
，又BC=3，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos
A=AC2+AB2+AC·AB=9，
即(AC+AB)2-AC·AB=9.……………………………………………………6分
因为AC·AB≤
(当且仅当AC=AB时取等号)，………………………7分
所以9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-
=
(AC+AB)2，……………9分
解得：AC+AB≤2
(当且仅当AC=AB时取等号)，…………………………11分
所以△ABC的周长=AC+AB+BC≤3+2
，
所以△ABC周长的最大值为3+2
.……………………………………12分
考查要求
综合性
学科素养
数学运算、逻辑推理
评分细则
由余弦定理推出关于AB，AC的等量关系给2分；
依据基本不等式建立关于AB，AC的不等关系给1分；
建立关于AB+AC的不等式，求出AB+AC的最大值各给2分；
正确叙述结论得1分
【答题模板】
【素养提升】
求最值的一般思路
在解三角形的过程中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的
最值问题，一般利用S=
absin
C型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三
角函数的有界性.
【变式训练】
1.(2020·青岛模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个：①a=7，②b=10，③c=8，
④△ABC的面积S=10
，请指出这三个条件，并说明理由；
(2)若a=3，求△ABC周长L的取值范围.
【解析】因为
，
所以sin
Acos
B+sin
Acos
C=sin
Bcos
A+sin
Ccos
A，
即sin
Acos
B-sin
Bcos
A=sin
Ccos
A-sin
Acos
C，
所以sin(A-B)=sin(C-A)，因为A，B，C∈(0，π)，
所以A-B=C-A，即2A=B+C，故A=
，
(1)△ABC同时满足①③④，理由如下：
若△ABC同时满足①②，由正弦定理可得，
不符合题意；
若△ABC同时满足③④，则S△ABC=
bcsin
A=
×b×8×
=10
，故b=5与②
矛盾，故只能是①③④.
(2)△ABC中，由正弦定理可得，
所以b=2
sin
B，c=2
sin
C=2
sin
，
所以L=a+b+c=2
[sin
B+sin
]+3
因为B∈
，
所以
所以△ABC周长L的取值范围是(6，9].
2.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=
sin
B，且满足
tan
A+tan
C=
(1)求角C和边c的大小；
(2)求△ABC面积的最大值.
【解析】(1)由tan
A+tan
C=
可得
所以cos
C=
，因为0所以C=
，因为b=
sin
B，
由正弦定理可得
所以c=
.
(2)由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos
C，
所以
=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b时取等号.
所以S△ABC=
absin
C=
ab≤
×
=
，
故△ABC面积的最大值为
.
【加练备选】
(2019·南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
cos2
-sin
B·sin
C=
.
(1)求角A；
(2)若a=4，求△ABC面积的最大值.
【解析】(1)由cos2
-sin
B·sin
C=
，
得
-sin
B·sin
C=-
，
所以cos(B+C)=-
，
所以cos
A=
(0.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos
A，得16=b2+c2-
bc≥(2-
)bc，
当且仅当b=c时取等号，即bc≤8(2+
).
所以S△ABC=
bcsin
A=
bc≤4(
+1)，
即△ABC面积的最大值为4(
+1).
专题能力提升练
七 三角函数及解三角形的综合问题
（40分钟80分）
1.(2020·德州二模)已知D是△ABC的边AC上的一点，△ABD的面积是△BCD面积
的3倍，∠ABD=2∠CBD=2θ.
(1)若∠ABC=
,求
的值；
(2)若BC=
，AB=3，求边AC的长.
【解析】(1)因为∠ABC=
，∠ABD=2∠CBD=2θ.
所以θ+2θ=
，即θ=
.又△ABD的面积是△BCD面积的3倍，
所以
AB·BDsin
=3×
BC·BDsin
，
所以
.
(2)由已知得，
AB·BDsin
2θ=3×
BC·BDsin
θ，即2ABcos
θ=3BC，
因为BC=
，AB=3，
所以cos
θ=
，则θ=
，即∠ABC=3θ=
，
所以AC2=9+2-2×3×
×(
)=17，故AC=
.
2.(2019·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若a=3c，b=
，cos
B=
，求c的值；
(2)若
，求sin
的值.
【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理，
得cos
B=
，解得c=
.
(2)由
及正弦定理，
得
，
所以2sin
B=cos
B.代入sin2B+cos2B=1，
解得sin
B=
，cos
B=
.
所以sin
=cos
B=
.
3.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：
①
；②cos
2A+2cos2
=1；
③a=
；④b=2
.
(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？
(2)在(1)所有组合中任选一组，并求对应△ABC的面积.(若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分)
【解析】(1)①
，化为：
由cos
=-
，可得
②cos
2A+2cos2
=1，化为：cos
A=
，A∈(0，π)，
解得A=
.
可得①②不能同时出现作为条件.所以满足有解三角形的序号组合有：①③④，
②③④.
(2)取②③④，由正弦定理可得：
，解得sin
B=1.B∈(0，π)，所以
B=
.所以c=
，所以△ABC的面积S=
4.已知函数f(x)=2cos2x+sin
-1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)=
，若
b+c=2a，且
=6，求a的值.
【解析】(1)f(x)=sin
+2cos2x-1
=-
cos
2x+
sin
2x+cos
2x
=
cos
2x+
sin
2x=sin
.
所以函数f(x)的最小正周期T=
=π.
令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
(k∈Z)，
可解得kπ-
≤x≤kπ+
(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
(2)由f(A)=sin
，
可得2A+
=
+2kπ或2A+
=
+2kπ(k∈Z).因为A∈(0，π)，所以A=
.
因为
=bccos
A=
bc=6，
所以bc=12.又因为2a=b+c，
所以cos
A=
=
=
所以a=2
.
【加练备选】
已知函数f(x)=sin2x-cos2x+2
sin
xcos
x(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(∠BAC)=2，c=5，
cos
B=
，求中线AD的长.
【解析】(1)f(x)=-cos
2x+
sin
2x=2sin
，
所以最小正周期T=
=π，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由(1)知f(x)=2sin
.
因为f(∠BAC)=2，所以sin
=1，∠BAC∈(0，π)，
所以2∠BAC-
=
，
所以∠BAC=
，
又cos
B=
，
所以sin
B=
，
所以sin
C=sin(∠BAC+B)=
.
在△ABC中，由正弦定理
，
得
，所以a=7，所以BD=
.
在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB=
所以AD=
.
5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，且函数
g(x)=f
.
(1)求函数g(x)的单调增区间；
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
又c=
，且锐角C满足g(C)=-1，若sin
B=2sin
A，
M为AC边的中点，求△BMC的周长.
【解析】(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象可得
A=2，
即T=π，则ω=
=2，
又函数图象过点
，
则2×
+φ=2kπ+
，k∈Z，
即φ=2kπ+
，k∈Z，又0<φ<π，所以φ=
，
即f(x)=2sin
，则g(x)=2sin
=2cos
2x.
由2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ-
≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数g(x)的单调增区间为
，k∈Z.
(2)由g(C)=-1，得cos
2C=-
，因为0，所以0<2C<π，
所以2C=
，C=
，
又sin
B=2sin
A，由正弦定理得
，①
由余弦定理，得
，
即a2+b2-ab=3，②
由①②解得a=1，b=2.
又c=
，所以a2+c2=b2，
所以△ABC为直角三角形，且角B为直角.
故BM=
AC=
b=1，
所以△BMC的周长为BM+MC+CB=1+1+1=3.
6.(2020·驻马店一模)如图，在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c，a=c(sin∠ABC+cos∠ABC).
(1)求∠ACB的大小；
(2)若∠ABC=∠ACB，D为△ABC外一点，
DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值.
【解题导引】(1)利用正弦定理，三角恒等变换的应用化简已知可得
cos∠ACBsin∠ABC=sin∠ABCsin∠ACB，结合sin
∠ABC≠0，可求tan∠ACB=1，
结合范围∠ACB∈(0，π)，即可求得∠ACB的值.
(2)由已知利用余弦定理可得BC2=12+22-2×1×2×cos
D=5-4cos
D，由已知及(1)
可知∠ACB=
，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求S四边形ABDC，根
据正弦函数的性质即可解得四边形ABDC面积的最大值.
【解析】(1)在△ABC中，因为a=c(sin∠ABC+cos∠ABC)，
所以sin
A=sin∠ACB(sin∠ABC+cos∠ABC)，
所以sin(π-∠ABC-∠ACB)=sin∠ACB(sin∠ABC+cos∠ABC)，
所以sin(∠ABC+∠ACB)=sin∠ACB(sin∠ABC+cos∠ABC)，
所以sin∠ABCcos∠ACB+cos∠ABCsin∠ACB=sin∠ABCsin∠ACB+
sin∠ACBcos∠ABC，
所以cos∠ACBsin∠ABC=sin∠ABCsin∠ACB，
又因为∠ABC∈(0，π)，故sin∠ABC≠0，
所以cos∠ACB=sin∠ACB，即tan∠ACB=1.
又因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB=
.