2021届高考数学二轮专题二 平面向量与复数（Word含解析）

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平面向量与复数
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平面向量与复数
命题趋势
命题趋势
1．平面向量
平面向量是高考的重点和热点，在选择题、填空题、解答题中均有出现．选择题、填空题主要考查平面向量的基本运算，难度中等偏低；解答题中常与三角函数、直线与圆锥曲线的位置关系问题相结合，通常涉及向量共线与数量积．
2．复数
复数的考查主要为复数的运算、复数的几何意义、复数概念的考查．
考点清单
考点清单
一、平面向量
1．平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．
其中，不共线的非零向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设，，则，，
，．
3．平面向量共线的坐标表示
设，，其中，．
4．平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量叫做向量a和b的数量积，
记作a?b=|a||b|cosθ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）投影：叫做向量a在b方向上的投影．
（3）数量积的坐标运算：设向量，，
则①
②
③
④
5．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为ΔABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，
则：O为ΔABC内心?aOA+bOB+cOC=0
O为ΔABC外心
O为ΔABC重心OA+OB+OC=0
（4）O为ΔABC垂心OA?OB=OB?OC=OC?OA

二、复数
1．形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示．
全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母C表示．其中a，b分别叫做复数a+bi的实部与虚部．
2．复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c且b=d．
特别地，a+bi=0?a=0，b=0．
两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小．
3．复数的分类
复数a+bi(a，b∈R)，b=0时为实数；b≠0时为虚数，a=0，b≠0时为纯虚数，
即复数（a+bi，a，b∈R）．
4．复平面
直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z=a+b?对应复平面内的点za，b．
5．共轭复数
（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z的共轭复数用z表示，即如果z=a+bi，那么z=a-bi(a，b∈R)．
（2）共轭复数的性质
①z∈R?z=z；②非零复数z是纯虚数?z+z=0；③z+z=2a，z-z=2bi；④z1±z2=z1±z2；z1?z2=z1?z2；．
（3）两个共轭复数的积
两个共轭复数z，z的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z?z=|z|2=|z|2．
6．复数的模
向量OZ的模r叫做复数z=a+bi(a，b∈R)的模(或长度)，记作|z|或|a+bi|．
由模的定义可知|z|=|a+bi|=r=a2+b2（显然r≥0，r∈R）．
当b=0时，复数a+bi表示实数a，此时r=a2=|a|．
7．复数的加法与减法
两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，
即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a，b，c，d∈R)．
8．复数的乘法
（1）复数的乘法法则
复数乘法按多项式乘法法则进行，设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，
则它们的积z1?z2=(a+bi)?(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i．
（2）复数乘法的运算律
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．对任何z1，z2，z3∈C，
有①z1?z2=z2?z1 (交换律)；
②(z1?z2)?z3=z1?(z2?z3) (结合律)；
③z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (分配律)．
9．复数的除法
复数除法的实质是分母实数化，
即．
精题集训
（70分钟）
精题集训
（70分钟）
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．如图，若OA=a，OB=b，OC=c，B是线段AC上靠近点C的一个三等分点，且，
则（ ）

A． B． C． D．
2．已知向量a，b满足，，且a与b反向，则（ ）
A．36 B．48 C．57 D．64
3．设向量a=(1，1)，b=(-1，3)，c=(2，1)，且(a-λb)⊥c，则λ=（ ）
A．3 B．2 C． D．-3
4．在△ABC中，若AB?BC+AB2=0，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．已知双曲线(a>0，b>0)的左?右焦点分别为F1，F2，且以F1F2为直径的圆与双曲线C的渐近线在第四象限交点为P，PF1交双曲线左支于Q，若2F1Q=QP，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．复数（ ）
A． B． C． D．
7．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知为实数，复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，若为纯虚数，
则（ ）
A． B． C． D．
9．对于给定的复数z，若满足的复数对应的点的轨迹是圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，是虚数单位，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．（多选）设为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题．
12．已知a=-1，3，b=1，t，若a-2b⊥a，则a与b的夹角为________．
高频易错题
高频易错题
一、填空题．
1．平面向量a，b的夹角为，且a-b=1，则的最大值为_________．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．已知向量a=-2，x，b=3，6，若a与b反向，则a?b=（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE=（ ）

A． B． C． D．
3．已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则（ ）
A．25 B．7 C．5 D．7
4．如图，在5×5的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足a=xb+yc，则x+y=（ ）

A．0 B．1 C．55 D．7
5．已知复数z满足（i为虚数单位），则（为z的共轭复数）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知复数，，则为（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数，，则的虚部为（ ）
A． B．4 C．3 D．
8．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．复数，则复数在复平面内所对应的点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四

二、填空题．
10．已知向量|，若，且，则x+y的最大值为_______．
11．在△ABC中，，AC=2，点D在边BC上．若AB?AD=1，，则AB?AC的值为_________．
参考答案
参考答案
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．【答案】D
【解析】，
即，得．故选D．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理，结合向量的线性运算即可解题，属于基础题．
2．【答案】A
【解析】因为a与b反向，所以，
又，，所以，故选A．
【点评】本题考查了平面向量的数量积，属于基础题．
3．【答案】A
【解析】因为a=(1，1)，b=(-1，3)，所以a-λb=1+λ，1-3λ，
当(a-λb)⊥c时，则有21+λ+1-3λ=0，解得λ=3，故选A．
【点评】本题主要考查向量垂直的坐标运算公式，设向量a=x1，y1，b=x2，y2，
则当a⊥b时，x1x2+y1y2=0．
4．【答案】B
【解析】因为AB?BC+AB2=0，所以accos(π-B)+c2=0，
所以accosB=c2，所以，
所以b2+c2=a2，所以三角形是直角三角形，故选B．
【点评】判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边．在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理．
5．【答案】A
【解析】F1(-c，0)，F2(c，0)，圆方程为x2+y2=c2，
由，由a2+b2=c2，x>0，y<0，解得，即P(a，-b)，
设，
由2F1Q=QP，(a-x0，-b-y0)=2(x0+c，y0)，得，，
因为Q在双曲线上，
∴，(1-2e)2=10，解得（舍去），
故选A．
【点评】解题关键是找到关于a，b，c的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得P点坐标，由向量线性关系得Q点坐标，代入双曲线方程可得．
6．【答案】B
【解析】，故选B．
【点评】本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
7．【答案】D
【解析】由复数的运算法则，可得，
对应的点位于第四象限，故选D．
【点评】本题主要考了复数的运算，以及复数平面的概念，属于基础题．
8．【答案】B
【解析】∵为纯虚数，∴，则，
∴，则，故选B．
【点评】本题主要考查了复数的相关概念，属于基础题．
9．【答案】A
【解析】∵的复数对应的点的轨迹是圆，圆心为，半径为，
表示点到定点的距离，，
∴，故选A．
【点评】本题考查复数的几何意义，表示复平面上对应点到原点的距离，表示对应的点间的距离，而，则复数对应的点在以对应点为圆心，为半径的圆上，利用几何意义题中问题转化为求定点到圆心的距离即可得．
10．【答案】A
【解析】，，
，故选A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算、复数相等的充要条件、复数的模，属于基础题．
11．【答案】BC
【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，A错误；
由可得，因为，所以，即，B正确；
因为，，而，所以，所以，C正确；
取，显然满足，但，D错误，
故选BC．
【点评】本题主要考了复数的一些抽象概念，难度中等偏易．
二、填空题．
12．【答案】
【解析】a-2b=-3，3-2t，
∵a-2b⊥a，∴-3×-1+33-2t=0，解得t=2，
即b=1，2，
，
又a与b的夹角的范围是0，π，则a与b的夹角为，故答案为．
【点评】本题考查了向量的垂直，向量的坐标运算，向量夹角的求法，考查计算能力．
高频易错题
高频易错题
一、填空题．
1．【答案】
【解析】，
因为a-b=1，所以，所以，
所以，
所以，
，
令，则，
当且仅当t=3，即时，等号成立．
所以的最大值为，故答案为．
【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．【答案】A
【解析】若a与b共线，则3x=-12，解得x=-4，
∴a=-2，-4，∴，故选A．
【点评】本题考查了向量共线的条件以及向量的坐标运算，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】依题意，，
故选B．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性运算，属于基础题．
3．【答案】D
【解析】因为平面向量，为单位向量，且向量，的夹角为，
所以，
故2m+3n=7，故选D．
【点评】本题考查了向量模长的计算，运用“遇模则平方”的思想即可解题．
4．【答案】D
【解析】将向量a，b，c放入如图所示的坐标系中，每个小正方形的边长为1，
则a=1，3，b=1，-1，c=-2，4，
∵a=xb+yc，∴1，3=x1，-1+y-2，4，
即，解得，
∴x+y=7，故选D．

【点评】本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键．
5．【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，在复平面内对应的点为，在第三象限，故选C．
【点评】本题考点为复数的运算和复数的概念属于基础题．
6．【答案】C
【解析】由题意，复数，，
可得，
则，故选C．
【点评】本题主要考了复数的运算和复数的几何意义，属于基础题．
7．【答案】C
【解析】因为，，
所以，所以的虚部为，故选C．
【点评】本题考点为复数的运算及复数的相关概念，属于基础题．
8．【答案】D
【解析】因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，
又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：

所以，故选D．
【点评】常见的复数与轨迹的结论：
（1）：表示以为圆心，半径为的圆；
（2）且：表示以为端点的线段；
（3）且：表示以为焦点的椭圆；
（4）且：表示以为焦点的双曲线．
9．【答案】A
【解析】，
对应的点为，在第一象限，故选A．
【点评】本题主要考查了复数的周期性、复数的运算法则、复数的几何意义，属于基础题．
二、填空题．
10．【答案】
【解析】∵|a|=|b|，且，∴a与b的夹角为，
设，则，
∵，∴，
又，∴，化简得x2+xy+y2=1，
∴，当且仅当时，等号成立，
∴，故答案为．
【点评】本题考查了平面向量的混合运算，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
11．【答案】-3
【解析】设BD=λBC0<λ<1，故AD-AB=λAC-AB，
即AD=λAC+1-λAB，
故AB?AD=λAC?AB+1-λAB2=λAC?AB+91-λ，
AC?AD=λAC2+1-λAC?AB=4λ+1-λAC?AB，
所以，两式相加可得，
此式代入（1）式可得或（舍去），
代入（1）式可得AC?AB=-3，
故答案为-3．
【点评】本题考查平面向量的基本定理、数量积的运算，以及方程思想的运用，属于中档题．