2021届高考数学二轮专题三 排列组合、二项式定理（Word含解析）

313690229235
38177376752专题 3
××
排列组合、二项式定理
00专题 3
××
排列组合、二项式定理
命题趋势
命题趋势
排列组合多以实际生活为背景对其应用进行考查，在解答题中常与概率统计等知识综合命题，主要考查逻辑推理的核心素养．二项式定理主要考查运算求解能力，比如二项展开式某项的系数，注意转化与化归的思想．
考点清单
考点清单
1．排列、组合的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义

合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2．排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数
组合数
定
义
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公
式


性
质
Ann=n!，0!=1
Cn0=1，Cnm=Cnn-m，Cnm+Cnm-1=Cn+1m
正确理解组合数的性质
（1）Cnm=Cnn-m：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n-m个元素的方法数．
（2）Cnm+Cnm-1=Cn+1m：从n+1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有Cnm种方法；②含特殊元素A有Cnm-1种方法．
3．二项式定理
（1）二项式定理：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+?+Cnkan-kbk+?+Cnnbn(n∈N*) ?；
（2）通项公式：Tk+1=Cnkan-kbk，它表示第k+1项；
（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为Cn0，Cn1，?，Cnn?．
4．二项式系数的性质

（1）①项数为n+1．
②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n．
③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．
（2）二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a+bx)n的二项展开式中，第k+1项的二项式系数是Cnk，而该项的系数是Cnkan-kbk．
当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．
精题集训
（70分钟）
精题集训
（70分钟）
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ）
A．24 B．12 C．10 D．6
2．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”，某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低，则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知某年级有4个班级，在一次数学学科考试中安排4个班级的班主任监考，则4个班主任都不监考本班的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议，规定男女同学至少各有1人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：
①C201C301C482；②C504-C204-C304；③C201C303+C202C302+C203C301．
则其中正确算式的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．的展开式中x3的系数为（ ）
A． B． C． D．
8．展开式中x-2y3项的系数为160，则a=（ ）
A．2 B．4 C． D．-22
二、填空题．
9．将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法．
10．某会议有来自6个学校的代表参加，每个学校有3名代表．会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团，不同的选取方法数为______．
11．一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点P2，6的跳法共有______种．
12．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有_____种．

13．数列an中，a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），则________．
14．多项式展开式的常数项为__________．（用数字作答）
高频易错题
高频易错题
一、选择题．
1．新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院．
每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种．
A．252 B．540 C．792 D．684
2．市教体局选派5名专家到A，B，C三所学校视导高三工作，要求每个学校至少派一名专家，则不同的派法种数是（ ）
A．90 B．150 C．240 D．300
二、填空题．
3．某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．在(1-x)5+(1-x)6+…+(1-x)18+(1-x)19的展开式中，含x3的项的系数是（ ）
A．4840 B．-4840 C．3871 D．-3871
2．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）
A．C84-12 B．C84-8 C．C84-6 D．C84-4
3．式子的展开式中，x3y3的系数为（ ）
A．3 B．5 C．15 D．20
4．2x2-x-15的展开式中的系数为（ ）
A．400 B．120 C．80 D．0
二、填空题．
5．一排11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不同排法的种数是_________．
6．高三年级毕业成人礼活动中，要求A，B，C三个班级各出三人，组成3×3小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为________．
7．某班要从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出4人参加4×100米的接力赛，若甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，丙丁两人如果都参加，他们必须是相邻的两棒，则不同的选派方式有______种．
8．已知2-x21+ax3的展开式的所有项系数之和为27，则展开式中含的项的系数是_________．
9．1-2x5展开式中x3的系数为_______；所有项的系数和为________．
参考答案
参考答案
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．【答案】C
【解析】当个位数是0时，有A33=6个；当个位数是5时，有C21?A22=4个，
所以能被5整除的个数是10，故选C．
【点评】本题主要考查了分类计数原理，以及排列的思想，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为．
从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，
再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，
故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为，
所以所求的概率，故选B．
【点评】排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法．
3．【答案】A
【解析】将身高从低到高的9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，
则9号必须排在正中间，从其余8个人中任选4人排在9号的左边，剩下的4个人排在9号的右边，有C84=70种，
当排名第四的6号排在最高的9号的左边时，从1，2，3，4，5中任选3个排在6号的左边，其余四个排在9号的右边，有种，
同理：当排名第四的6号排在最高的9号的右边时，也有10种，
所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种，
所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为，故选A．
【点评】本题考查了排列中的定序问题，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
4．【答案】D
【解析】由题意，4个班级的班主任监考4个班级，共有A44=24种不同的监考方式，
其中有1人在本班监考的有C41×2=8种；
有2人在班监考的有种；
有4人在班监考的有1种，
在不符合条件的监考安排方法有8+6+1=15种，
所以4个班主任都不监考，共有24-15=9种，
则4个班主任都不监考的概率为，故选D．
【点评】本题主要考查了组合数公式的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中若直接法比较复杂或没有思路时，可采用间接法求解，着重考查推理与运算能力．
5．【答案】D
【解析】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．
某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，
其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．
现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n=C95=126，
每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数为，
则每个宣传小组至少选派1人的概率为，故选D．
【点评】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分类，再分组”的思想即可．
6．【答案】C
【解析】①错，计算有重复；
②对，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况；
③对，分类，即1男3女，2男2女，3男1女，
故选C．
【点评】求解排列、组合问题常用的解题方法：
（1）元素相邻的排列问题——“捆绑法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法．
7．【答案】D
【解析】展开式的通项公式为，
令，则r=1，
所以的展开式中x3的系数为，故选D．
【点评】本题考查了二项式定理展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
8．【答案】C
【解析】二项式1+ay6展开式的通项为Tr+1=C6r×16-rayr=C6raryr，
令r=3可得二项式1+ay6展开式中的系数为C63a3，
∴展开式中x-2y3的系数为-1C63a3=160，
可得a3=-8，解得a=-2，故选C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，属于基础题．
二、填空题．
9．【答案】535
【解析】四个盒子放球的个数如下：
1号盒子：{0，1}；
2号盒子：{0，1，2}；
3号盒子：{0，1，2，3}；
4号盒子：{0，1，2，3，4}，
结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法：
：3C51种；
：4C52种；
：6C53C21种；
：6C52C32种；
：3C52C31C21种，
∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种，故答案为535．
【点评】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算．
10．【答案】540
【解析】第一步：从6个学校中选出3个学校，方法数有C63=20；
第二步，从选出的3个学校中各选取1个代表，方法数有；
根据分步计数原理可知，总的方法数有20×27=540种，
故答案为540．
【点评】本小题主要考查分步计数原理，考查组合数的计算，属于基础题．
11．【答案】1200
【解析】分两类情况讨论：
第一类，向上跳6次，向右跳3次，向左跳1次，有C106C43=840种；
第二类，向上跳7次，向下跳1次，向右跳2次，有C107C31=360种，
根据分类计数原理得，共有840+360=1200种方法，
故答案为1200．
【点评】本题主要考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
12．【答案】80
【解析】分步计算，第一步A→C最近走法有2种；
第二步C→D最近走法有C63=20种；
第三步最近走法有2种，
故由A→B最近走法有种，
故答案为80．
【点评】本题主要考查乘法原理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平．
13．【答案】454
【解析】因为an+1+1=2an+2=2an+1，
所以an+1以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1，
则C50a1+C51a2+C52a3+C53a4+C54a5+C55a6
=C50×2+C51×22+C52×23+C53×24+C54×25+C55×26-C50+C51+C52+C53+C54+C55，
又C50×2+C51×22+C52×23+C53×24+C54×25+C55×26
=2×C50×20+C51×21+C52×22+C53×23+C54×24+C55×25
=2×1+25=486，
C50+C51+C52+C53+C54+C55=25=32，所以原式=486-32=454，
故答案为454．
【点评】本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量．
14．【答案】6
【解析】，通项公式，
当4-2r=0时，r=2，T2+1=C42=6，
故答案为6．
【点评】本题考查多项式求常数项，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型．
高频易错题
高频易错题
一、选择题．
1．【答案】D
【解析】护士6名，可分为2，2，2或者1，2，3两类．
先安排医生，再安排护士．
安排医生，方法数有A33=6种，
安排护士，由于“护士甲和护士乙必须分到同一家医院”，
故方法数有种．
其中C41?A33表示护士甲和护士乙共2人一组的方法数，
C41?C31?A33表示护士甲和护士乙与另一人共3人一组的方法数．
所以总的方法数有6×114=684种，故选D．
【点评】本小题主要考查分类加法、分步乘法计数原理，属于中档题．
2．【答案】B
【解析】由题可知：每个学校去的人数可以是：1，1，3或2，2，1，
所以不同的派法种数是（种），故选B．
【点评】本题考查排列组合的应用，尤其对平均分组的情况，要除以平均分组的组数的全排列，属基础题．
二、填空题．
3．【答案】150
【解析】将五人分成三组，则三组人数分别为3、1、1或2、2、1，
则分组方法种数为，
再将三组分配给三个房间，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为，
故答案为150．
【点评】本题考查人员的安排问题，考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．【答案】B
【解析】由题意得含x3的项的系数为-C53-C63-…-C183-C193
=-C54+C53+C63+?+C183+C193-C54=-C64+C63+…+C183+C193-C54
=…=-C204-C54=-4840，
故选B．
【点评】本题考查二项式定理，利用组合数的性质简化运算是解题的关键．
2．【答案】A
【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有C84种，
正方体表面四点共面不能构成四面体有6种，
正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有6种，
所以可得到的四面体的个数为C84-6-6=C84-12种，故选A．
【点评】本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键．
3．【答案】B
【解析】，
xx+y5的展开式通项为Tk=xC5k?x5-k?yk=C5k?x6-k?yk，
的展开式通项为Sr=y2xC5r?x5-r?yr=C5r?x4-r?yr+2，
由，可得，
因此，式子的展开式中，x3y3的系数为C53-C51=5，
故选B．
【点评】求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．
4．【答案】D
【解析】∵2x2-x-15=(x-1)5(2x+1)5，
二项展开式(x-1)5的通项为C5rx5-r(-1)r，
二项展开式的通项式为C5k(2x)5-k，??
故的通项为(-1)r25-kC5rC5kx10-(k+r)，所以k+r=8，
所以展开式中的系数为(-1)522C55C53+(-1)42C54C54+(-1)3C53C55=0，故选D．
【点评】本题考查二项式中制定项系数的求解，涉及通项公式的使用，属基础题．
二、填空题．
5．【答案】44
【解析】根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类，
当两人在三个空位左侧时：共3×A22=6（种），
同理，当两人在三个空位右侧时：共3×A22=6（种），
当两人在三个空位异侧时：共4×4×A22=32（种），
即共6+6+32=44（种），故答案为44．
【点评】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
6．【答案】
【解析】根据题意，A，B，C三个班级各出三人，组成3×3小方阵，有种安排方法，
若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有A33=6种，
第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；
第一行的每个位置的人员安排方法有种，
第二行的每个位置的人员安排有2×2×2=8种，
第三行的每个位置的人员安排有1×1×1=1种，
则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率，
故答案为．
【点评】本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题．
7．【答案】50
【解析】根据题意可分两种情况：
1．甲乙都参加．若四人为甲乙丙丁，
根据计数原理，则有A22(A22+1)=6种选派方式；
若四人为甲乙丙戊或甲乙丁戊，
根据计数原理则有2×(A44-2A33+A22)=28种选派方式．
2．甲乙只有一人参加．若四人为甲丙丁戊，
根据计数原理则有A22A21A22=8种选派方式；
若四人为乙丙丁戊，根据计数原理则有A22A21A22=8种选派方式．
根据分类加法计数原理不同的选派方式共有6+28+8+8=50，
故答案为50．
【点评】本题考查分类加法计数原理和排列的综合应用，重点是分类要不重不漏，属于中档题．
8．【答案】23
【解析】已知2-x21+ax3的展开式的所有项系数之和为27，
将x=1代入表达式得到1+a3=27?a=2．
展开式中含的项的系数是2×C31×22+-1×C33=23，
故答案为23．
【点评】本题考查二项式定理，考查用赋值法求展开式中所有项的系数和，及求指定项的系数，掌握二项式通项公式是解题基础．
9．【答案】，
【解析】因为Tr+1=C5r(-2)rxr，令r=3，T4=-80x3，
所以x3的系数为，
设1-2x5=a0+a1x+…+a5x5，
令x=1，则，所以所有项的系数和为．
【点评】本题主要考查了二项展开式的通项公式，二项式所有项的系数和，属于中档题．