2021届高考数学二轮专题一 集合、常用逻辑用语 、不等式（word含解析）

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集合、常用逻辑用语、不等式
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集合、常用逻辑用语、不等式
命题趋势
命题趋势
1．集合
集合考查主要是与不等式结合的交并补运算，以及Venn图的理解运用．要求掌握集合的概念、集合的表示方法、元素与集合的关系、集合之间的关系、集合之间的交并补的运算，能用Venn图表示集合之间的基本关系．
2．常用逻辑用语
本部分内容的考点为充分条件与必要条件，全称量词和存在量词，充分必要条件主要以其他的知识作为载体进行考查，全称量词和存在量词主要考查命题的否定．
3．不等式
不等式的考查主要为不等式性质的考查，不等式解法的考查，以及基本不等式的使用，题型以选择填空题为主．另外不等式作为工具在大题解题过程中进行应用．
考点清单
考点清单
一、集合
1．集合间的关系与运算
（1）A∪B=A?B?A，A∩B=A?A?B；
（2），．
2．含有nn∈N*个元素的集合有2n个子集，有2n-1个真子集．
3．当集合是不等式的解集时，通常借助数轴进行求解，若集合为抽象集合时，用Venn图求解．

二、逻辑用语
1．充分、必要条件
（1）p?q，则p是q的充分条件；
（2）p?q，则p是q的必要条件；
（3）p?q，则p和q互为充要条件．
2．全称命题、特称命题及其否定
（1）全称命题p：?x∈M，px，其否定为特称命题：?p:?x0∈M，?px0；
（2）特称命题p：?x0∈M，px0，其否定为全称命题：?p:?x∈M，?px．

三、不等式
1．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一般先将二次项系数化为正数，再判断的符号，然后解对应的一元二次方程，最后写出不等式的解．
2．一元不等式的恒成立问题
对于a≠0恒成立的条件为：二次项系数，；
对于a≠0恒成立的条件为：a<0，Δ<0．
3．分式不等式
对于分式不等式：先移项通分标准化，则；．
4．基本不等式
（1）a+b≥2aba>0，b>0，当且仅当a=b时，等号成立．
（2）基本不等式的变形．
①a2+b2≥2aba，b∈R，当且仅当a=b时，等号成立；
②，当且仅当a=b时，等号成立．
精题集训
（70分钟）
精题集训
（70分钟）
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．若集合A=x1≤x≤3，B=xx-1x-2≥0，则A∪B=（ ）
A．x1≤x≤2 B．x2≤x≤3 C．x1≤x≤3 D．R
2．已知M，N均为R的子集，且，则（ ）
A． B．M C．N D．R
3．已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，M=1，3，6，P=3，4，5，指出Venn图中阴影部分
表示的集合是（ ）

A．3 B．1，4，5，6 C．2，3，7，8 D．2，7，8
4．已知集合A=x∈Z∣x2+x-6≤0，B={x∣y=ln(x+1)}，则A∩B中的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知集合A=a，a2-2，0，B=2a，a+b，若A∩B=-1，则b=（ ）
A． B． C．0 D．1
6．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．已知集合Α=0，1，Β=2，3，Μ=x|x=aba+b，a∈Α，b∈Β，则集合Μ的真子集的个数
是（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
8．设a，b∈R，则“a>b>-1”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知命题p：?x∈R，x3>3x，则它的否定形式为（ ）
A．?x∈R，x3≤3x B．?x∈R，x3>3x
C．?x?R，x3≤3x D．?x∈R，x3≤3x
10．已知p:x>2且y>3，q:x+y>5．则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．设a>b>0，c≠0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B．ac2>bc2 C．ac>bc D．
12．已知函数f(x)=-x+log3(9x+1)，则使得fx2-x+1+1 A． B． C． D．
13．若，则函数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．若正实数x，y满足x+3y=xy，则的最小值是（ ）
A．12 B．15 C．25 D．27
二、填空题．
15．已知，，，若不等式m+n≥-x2+4x+a对已知的m，n及任意实数x恒成立，则实数a最大值为_______．
高频易错题
高频易错题
一、选择题．
1．若集合，则实数a的取值范围是（ ）
A．a|0 2．设A=x|x2-8x+15=0，B=x|ax-1=0，若A∩B=B，求实数a组成的集合的子集个数
有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
3．命题“若x2-2x-3=0，则x=3或x=-1”的否定是（ ）
A．若x2-2x-3≠0，则x≠3或x≠-1 B．若x2-2x-3≠0，则x≠3且x≠-1
C．若x2-2x-3=0，则x≠3或x≠-1 D．若x2-2x-3=0，则x≠3且x≠-1
二、填空题．
4．在正项等比数列an中，a1=1，前三项的和为7，若存在m，n∈N*，使得aman=4a1，则的最小值为__________．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．已知集合A={(x，y)∣x，y为实数，且x2+y2=1，B={(x，y)∣x，y为实数，且y=x，则A∩B的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知集合M=xx=3n，n∈Z，N=xx=3n+1，n∈Z，P=xx=3n-1，n∈Z且a∈M，b∈N，c∈P，记d=a+b-c，则（ ）
A．d∈(M∪P) B．d∈M C．d∈N D．d∈P
3．已知全集U=R，集合A={x|x2-3x>0}，B={x|y=ln(x-2)}，则（ ）
A．[0，3) B．(1，?3) C．(2，?3] D．(2，?3)
4．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“⊕”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊕n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n=mn，则在此定义下，集合M=(a，b)|a⊕b=12，a∈N*，b∈N*中的元素个数是（ ）
A．10个 B．15个 C．16个 D．18个
5．（多选）给定数集合M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a-b∈M，则称集合M为闭集合，
则下列说法中不正确的（ ）
A．集合M={-4，-2，0，2，4}为闭集合
B．集合M={n|n=3k，k∈Z}为闭集合
C．正整数集N*是闭集合
D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
6．命题“?x∈R，?n∈Z，使得”的否定形式是（ ）
A．?x∈R，?n∈Z，使得 B．?x∈R，?n∈Z，使得
C．?x∈R，?n∈Z，使得 D．?x∈R，?n∈Z，使得
7．已知函数fx=ex-e-x，则不等式f2x2+f-x-1<0成立的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
8．已知a∈Z，关于x的不等式x2-6x+a≤0的解集中有且只有3个整数，则a的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．函数（a>0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中m，n均大于0，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
10．（多选）已知a，b为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若a C．若a≠b，则a3+b3>a2b+ab2 D．若a+b=1，则
二、填空题．
11．已知集合A=xx+2x-5>0，B=xm≤x 是_________．
12．已知函数，若fx≥ax-1恒成立，则实数a的取值范围是__________．
参考答案
参考答案
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．【答案】D
【解析】因为x-1x-2≥0?x≥2或x≤1，所以A∪B=R，故选D．
【点评】本题主要考查了几何的运算，掌握并集的定义是解题的关键，属于基础题型．
2．【答案】B
【解析】解法一：，，据此可得，故选B．
解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，
矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合，
矩形区域CDFG表示集合N，满足，
结合图形可得：，故选B．

【点评】本题考查了几何的抽象概念，需要借助Venn图来进行求解，属于基础题．
3．【答案】C
【解析】因为M=1，3，6，P=3，4，5，
所以M∩P=3，M∪P=1，3，4，5，6，
因为U=1，2，3，4，5，6，7，8，所以?UM∪P=2，7，8，
由Venn图易知，Venn图中阴影部分表示的集合是?UM∪P∪M∩P，
故Venn图中阴影部分表示的集合是2，3，7，8，故选C．
【点评】本题考查的知识点是Venn图表达几何的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键．
4．【答案】B
【解析】因为集合A=x∈Z∣x2+x-6≤0={-3，-2，-1，0，1，2}，
，
所以A∩B=0，1，2，故选B．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
5．【答案】B
【解析】因为A∩B=-1，所以-1∈A，-1∈B．
又a=-1或a2-2=-1，且a≠a2-2≠0，得．
因为2a>0，所以a+b=-1，即b=-2，故选B．
【点评】本题考查了集合中元素的互异性以及集合的运算，属于基础题．
6．【答案】C
【解析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，
集合A，B，C中元素个数分别为nA．，nB．，nC．，
则nA．=14，nB．=10，nC．=8，n(A∪B∪C)=20，
因为n(A∪B∪C)=nA．+nB．+nC-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)，
且，，，
所以，
即，故选C．

【点评】本题考查集合多面手问题的应用，考查学生转化问题的能力和应用不等关系解题的思想，
属于中档题．
7．【答案】D
【解析】由题意可知M=0，6，12共有3个元素集合，
所以集合Μ的真子集的个数23-1=7，故选D．
【点评】考查了集合的表示与集合关系，先确定集合M中元素的个数是解本题的关键．
8．【答案】A
【解析】∵a>b>-1，∴a+1>b+1>0，，
可得“a>b>-1”是“”的充分条件；
由，
①当a+1>0，b+1>0时，可得a+1>b+1?a>b，即a>b>-1；
②当a+1<0，b+1<0时，可得a+1>b+1?a>b，即b 可得“a>b>-1”不是“”的必要条件；
所以“a>b>-1”是“”充分不必要条件，故选A．
【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了不等式性质的理解和应用，解题的关键是正确理解充分条件和必要条件的判断方法．
9．【答案】D
【解析】因为命题的否定，需要修改量词并且否定结论，
所以命题：?x∈R，x3>3x，
则它的否定形式为：?x∈R，x3≤3x，故选D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，
本题属于基础题．
10．【答案】A
【解析】若x>2且y>3，则x+y>2+3=5，所以p是q成立的充分条件，
当x=1，y=5时，满足，但是不满足x>2且y>3，
所以p不是q成立的必要条件，
综上所述：p是q成立的充分不必要条件，故选A．
【点评】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是q的必要不充分条件，则q对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是q的充分不必要条件，则对应集合是q对应集合的真子集；
（3）若是q的充分必要条件，则对应集合与q对应集合相等；
（4）若是q的既不充分又不必要条件，则q对应集合与对应集合互不包含．
11．【答案】B
【解析】对于A选项，，所以，，所以，，A选项错误；
对于B选项，∵c≠0，则c2>0，由不等式的基本性质可得ac2>bc2，B选项正确；
对于C选项，若c<0，由不等式的基本性质可得ac 对于D选项，若c<0，由A选项可知，，由不等式的基本性质可得，D选项错误，
故选B．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．
12．【答案】C
【解析】令t=x2-x+1，则，
f(t)+1 所以，
令，则，
因为，所以9t-1>0，所以g'(t)>0，
所以g(t)在单调递增，所以由，得，
所以，解得0 【点评】此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得，再构造函数g(t)=log3(9t+1)-t，利用函数的单调性解不等式．
13．【答案】D
【解析】∵，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴函数的最小值为6，故选D．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
14．【答案】C
【解析】x+3y=xy变形得，
因为x，y是正实数，
则，
当且仅当时，取最小值25，故选C．
【点评】在基本不等式中，遇到已知条件为ax+by=xy时，需要先变形为，
然后利用乘“1”法展开计算，再根据“一正二定三相等”的步骤计算最值．
二、填空题．
15．【答案】5
【解析】，
当且仅当，即m=3，n=6时，取等号，
因为不等式m+n≥-x2+4x+a对m，n恒成立，
所以-x2+4x+a≤9对任意实数x恒成立，
即a≤x2-4x+9=x-22+5对任意实数x恒成立，
令t=x-22+5≥5，∴a≤5．
故答案为5．
【点评】本题考查了利用基本不等式求解最值及不等式恒成立与最值求解的相互转化，体现了转化思想的应用．
高频易错题
高频易错题

一、选择题．
1．【答案】D
【解析】设fx=ax2-ax+1，
当a=0时，fx=1>0，满足题意；
当a≠0时，fx是二次函数，依题可知，，
因为，
所以fx=ax2-ax+1恒大于等于0，即，
所以a2-4a≤0，解得0≤a≤4．
【点评】本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论．
2．【答案】D
【解析】A=x|x2-8x+15=0={3，5}，
因为A∩B=B，所以B?A，
因此B=?，{3}，{5}，对应实数a的值为，，，其组成的集合的子集个数有23=8，
故选D．
【点评】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题．
3．【答案】D
【解析】命题：“若x2-2x-3=0，则x=3或x=-1”为真命题，
则其否定为：“若x2-2x-3=0，则x≠3且x≠-1”，故选D．
【点评】本题考查命题的否定形式，注意命题的否定与否命题的区别，若原命题为“若，则q”则其否命题为“若?p，则?q”，否定为“若，则?q”，注意一般命题与全称命题、特称命题否定的区别．
二、填空题．
4．【答案】
【解析】依题意，
依题意存在m，n∈N*，使得aman=4a1，
即aman=16a12=16，即，
所以m+n-2=4，m+n=6，
所以．
当且仅当，时等号成立．
所以的最小值为，故答案为．
【点评】求解有关表达式的最值问题，可以考虑采用1的代换的方法，结合基本不等式求得最值，要注意等号成立的条件．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．【答案】C
【解析】联立，解得或．
即x2+y2=1与y=x相交于两点，，
故A∩B中有两个元素，故选C．
【点评】本题考查了集合的表示方法及集合的运算，属于基础题．
2．【答案】D
【解析】由题意设a=3k1，b=3k2+1，c=3k3-1，（k1，k2，k3∈Z），
则d=a+b-c=3(k1+k2-k3)+2=3(k1+k2-k3+1)-1，
而k1+k2-k3+1∈Z，∴d∈P，故选D．
【点评】本题考点为集合间的关系，属于中档题．
3．【答案】C
【解析】因为A={x|x<0或x>3}，所以CUA={x|0≤x≤3}．
因为B={x|x>2}，所以B∩(?UA)={x|2 【点评】本题结合函数的定义域，不等式考查集合运算，属于基础题．
4．【答案】B
【解析】根据定义知a⊕b=12分两类进行考虑，a，b一奇一偶，则ab=12，a，b∈N*，
所以可能的取值为(1，12)，(12，1)，(3，4)，(4，3)，共4个，
a，b同奇偶，则a+b=12，由a，b∈N*，所以可能的取值为(2，10)，(10，2)，(1，11)，(11，1)，（3，9），(9，3)，(4，8)，(8，4)，(5，7)，(7，5)，(6，6)，共11个，
所以符合要求的共15个，故选B．
【点评】本题主要考查了分类讨论思想，集合及集合与元素的关系，属于中档题．
5．【答案】ACD
【解析】根据对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a-b∈M，
对于A．当集合，，0，2，时，而2+4?M，所以集合M不为闭集合；
对于B．当，时，设a=3k1，，k1，k2∈Z，
则，，所以集合M为闭集合；
对于C．设a，b是任意的两个正整数，当a 对于D．设，，，是闭集合，且3∈A1，2∈A2，
而2+3?A1∪A2，此时A1∪A2不为闭集合，
所以，说法中不正确的是ACD，故选ACD．
【点评】本题考查了新定义的集合与元素的判定问题，解题时应深刻理解新定义的概念，适当的应用反例说明命题是否成立，属于中档题．
6．【答案】B
【解析】命题“?x∈R，?n∈Z，使得”，
则命题的否定为：?x∈R，?n∈Z，使得，故选B．
【点评】本题主要考查了含有量词命题的否定，比较基础．
7．【答案】B
【解析】可得fx的定义域为R，
∵y=ex和y=-e-x都是增函数，∴fx是定义在R的增函数，
∵f-x=e-x-ex=-fx，∴fx是奇函数，
则不等式f2x2+f-x-1<0化为f2x2<-f-x-1=fx+1，
∴2x2 则不等式成立的充分不必要条件应是的真子集，只有B选项满足，故选B．
【点评】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题的关键是判断出fx是增函数且是奇函数，
从而将不等式化为f2x2 8．【答案】D
【解析】令二次函数fx=x2-6x+a，
则二次函数fx=x2-6x+a开口向上，且对称轴为x=3，
根据二次函数对称性可知：
若不等式x2-6x+a≤0的解集中有且只有3个整数，则需要满足，
即，解得5 【点评】本题考查根据不等式的解集求参数，主要考查二次函数的对称性的灵活应用，考查推理能力与计算能力，是简单题．
9．【答案】B
【解析】因为函数（a>0且a≠1）的图象恒过定点A-2，-1，
又因为点A在直线上，所以-2m-n+2=0，即2m+n=2，
所以，
当且仅当，即取等号，
所以的最小值为4，故选B．
【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换的思想，是高考考查的重点．
10．【答案】ACD
【解析】对于A，因为a，b为正实数，且，所以，所以，故A正确；
对于B，因为a，b，m均为正实数，且a 故B错误；
对于C，因为a，b为正实数，a≠b，所a3+b3-a2b+ab2=a-b2a+b>0，
所以a3+b3>a2b+ab2，C正确；
对于D，，当且仅当a=b时等号成立，
故D正确，
故选ACD．
【点评】比较大小的方法：
（1）作差法，其步骤：作差?变形?判断差与0的大小?得出结论．
（2）作商法，其步骤：作商?变形?判断商与1的大小?得出结论．
（3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
（4）赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
二、填空题．
11．【答案】-2，4
【解析】由题意可得：，
据此结合题意可得：，即，
即实数m的取值范围是-2，4．
【点评】本题主要考查集合的表示方法，由集合间的关系求解参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
12．【答案】-6，0
【解析】由图知实数a的取值范围是[k1，0]，其中k1为直线y=ax-1与相切时a的值，
即ax-1=x2-4x?x2-(4+a)x+1=0?Δ=0，a<0?a=-6．

【点评】本题以分段函数为载体，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．