2.5 二次函数与一元二次方程（第1课时） 课件（共19张PPT）

数学北师大版
九年级
2.5二次函数与一元二次方程第1课时
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_________。
当△﹥0方程根的情况是：___________ ；当△=0时，方
程 ； 当△﹤0时，方程 。
b2-4ac
有两个不等实数根
有两个相等实数根
没有实数根
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像是一条抛物线，它与x轴的交点有几种可能的情况？
两个交点
想一想：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像是否存在某种联系呢？
一个交点
没有交点
我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间t (s)的关系可以用公式
h=－5t2+v0t +h0 表示，
其中h0 (m)是抛出点距地面
的高度，v0 (m/s)是抛出时
的速度.一个小球从地面被
以40 m/s的速度竖直向上抛
起，小球的高度h (m)与运
动时间t(s)的关系如图所示，
那么
O
h/m
t/s
1 2 3 4 5 6 7 8
80
70
60
50
40
30
20
10
（1）h与t 的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴交流.
解析：（1）由图象知函数过点（0，0）与点（8，0）
代入关系式h=－5t2+v0t+h0得h0=0, 由已知可知v0=40，
得h=－5t2+40t.
（2）由图象可知小球经过8秒后落地.可以令h=0，得t=0s（舍去）或t=8s.
二次函数①y=x2+2x，②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的
图象如图所示.（1）每个图象与x轴有几个交点？
-1
1
-3 -2 -1
O
x
y
-1
1 2 3
y
x
O
-1
1 2 3
O
y
x
二次函数y=x2+2x的图象
与x轴有几个交点？
与x轴有2个交点：
（-2，0）和（0，0）
一元二次方程x2+2x=0
有几个根？
解：x(x+2)=0
x=0或x+2=0
∴ x1=-2，x2=0
方程的根是-2和0
二次函数y=x2-2x+1
的图象与x轴有几个交点？
与x轴有1个交点：
（1，0）
一元二次方程x2-2x+1=0
有几个根？
解： (x-1)2=0
∴ x1=x2=1
方程的根是1
二次函数y=x2-2x+2
的图象与x轴有几个交点？
与x轴没有交点
一元二次方程x2-2x+2=0
有几个根？
没有实数根
解：∵△=(-2)2-4×1×2
=-4﹤0
∴ 原方程无实根
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
（2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个根？
解方程验证一下，一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？
（2）①x1=0, x2=-2,两个不相等实数根.
②x1=x2=1,两个相等实数根.
③?=（-2）2-4×1×2=-4<0没有实数根.
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：
有两个交点、有一个交点、没有交点.
与此相对应，-元次方程ax'+bx +c=0的根也有种情况:
有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
二次函数y-ax + bx + c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
无实数根
>
＝
<
例1不画图象,判断下列函数的图象与x轴是否有公共点,并说明理由.
∴此方程有两个不相等的实数根．
∴该抛物线与x轴有两个交点.
∴此方程没有实数根．
∴该抛物线与x轴没有公共点.
解:
例2:已知二次函数 的图象与x轴有交点,
求k的取值范围.
点拨:①因为是二次函数，因而k≠0;
②有交点，所以应为△≥0．
错解:由△=(－7)2－4×k×(－7)=49+28k＞0,
得 ．
正确解法:此函数为二次函数,∴k≠0,又与x轴有交点,
∴△=(－7)2－4×k×(－7)= 49+28k≥0,
得 , 即 且k≠0
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.根据一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是两个不相等的实根、两个相等实根、没有实数根，图象上对应与x轴的交点个数是两个、一个、没有.
1.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点情况是( )
A.无交点 B.只有一个交点
C.有两个交点 D.不能确定
C
课后作业
2.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式.
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
【解析】（1）把（-1，0）代入y=-x2+bx+c中得-1-b+c=0,把（0.3）代入得c=3。所以b=2,故所求解析式为y=-x2+2x+3,
(2)令y=0,得-x2+2x+3=0，解得x1=-1,x2=3.∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),
∴由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围
是－1＜x＜3．
3.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0），(-3m,0)(m≠0).
（1）证明:4c=3b2.
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
【解析】（1）依题意，m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根
根据一元二次方程根与系数的关系，得 ,
∴
∴
（2）依题意，
由（1）得
∴二次函数的最小值为-4.
谢谢
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