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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破配套练习
专题03
导函数
（测试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·浙江衢州市·高三月考）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由的图象可知：当或时，函数递减；
当时，，函数递增；故选：B
2．（2021·浙江温州市·高三期末）已知，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充分必要条件
【答案】D
【详解】构造函数，
恒成立，是单调递增函数，
，即，，即，
即，反过来，若，即，
，即.故选：D
3．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知函数和点，则过点与该函数图像相切的直线条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】函数和点
因为
所以点没有在函数的图像上
设切点坐标为
,则
则
由导数的几何意义可知,过切点的斜率为
过于切点的斜率表示为
所以,化简可得所以解得或
则切点有两个,因而有两条切线方程故选:B
4．（2020·江西高三期中）已知定义在上的函数满足且，其中是函数的导函数，e是自然对数的底数，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令，，则，
因为，，所以，所以在上为单调递减函数，
当时，由可知，不满足；
当时，，所以可化为，即，
因为在上为单调递减函数，所以，
所以不等式的解集为.故选：A
5．（2021·浙江台州市·高三期末）已知函数在上单调递减，则实数的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由在上单调递减，
得，即，
令，则，
当时，
，则，
所以，即，
所以在是单调递减函数，，
得，的最小值为.故选：D.
6．（2019·浙江高三专题练习）已知函数在上有极值点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】∵，∴．①当时，，
故当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．
∴为函数的极大值点．符合题意．
②当时，，，
若，则恒成立，所以有两个不同的零点，函数有一个极大值点和一个极小值点，符合题意．
若，则由解得，此时导函数有两个不同的零点，函数有一个极大值点和一个极小值点．综上可得，∴实数的取值范围是．故选D．
7．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，则
当时，有成立，此时
所以在上单调递增.
又为奇函数，则，则为奇函数，又
则在上单调递增，所以在上单调递增.
当，恒有.可化为，即，
由在上单调递增，所以故选：A
8．（2020·浙江高三开学考试）已知函数（，且）在上的最大值为，若的最小值为，则常数(
)．
A．12
B．16
C．8
D．14
【答案】B
【详解】令，则，令，可得，
，则，所以.
当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.所以，
又，，，
则.
所以，函数的最大值为，设，则，
令，则，
所以，函数在上单调递减，则.
所以，，整理得，
即，由于，解得，即，解得.
故答案为：B.
9．（2021·浙江杭州市·高三期末）设函数.若不等式对恒成立，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由不等式对恒成立，
即为，即对恒成立，
设，由，可得在上递增，且，
当时，；，，作出的图象，
再设，可得表示过，斜率为的一条射线（不含端点），
要求的最大值，且满足不等式恒成立，可得的最大值，由于点在轴上移动，
只需找到合适的，且切于点，如图所示：
此时，即的最大值为.故选：D
10．（2021·浙江高二期末）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当时，由，，
令，.
当或时，；当时，.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
函数的极大值为，极小值为，且，，，
如下图所示：
设，若存在唯一的正整数使得，即，
可得，即，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.
二、填空题：本大题共7小题，共35分。
11．（2020·浙江高三专题练习）曲线的切线方程为，则实数的值为_______.
【答案】2
【详解】根据题意，设曲线与的切点的坐标为
其导数，则切线的斜率
，
又由切线方程为，即则
则切线的方程为
又由，则切线方程为，即
则有，解可得
，
则切点的坐标为
，则有
，
.故答案为：2．
12．（2020·浙江绍兴市·绍兴一中高二期中）若函数，则__________，的极大值点为__________．
【答案】
【详解】解：，，，则，
，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故为函数的极大值点，且极大值为．故答案为：；．
13．（2021·浙江金华市·高二期末）已知函数在区间上存在极大值与极小值，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【详解】，则，
令，可得，，列表如下：
极大值
极小值
所以，函数的极大值点为，极小值点为，
由于函数在区间上存在极大值与极小值，
所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.
14.（2020·嘉兴市第五高级中学月考）若函数（为自然对数的底数）在区间上存在最小值，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
当时，
，
当时，，，单调递减，
当时，单调递增，
函数（为自然对数的底数）在区间上存在最小值，
则，即，解得：
当时，对于区间恒成立，
则，令，得，
当时，单调递减；当时，单调递增；
若区间上存在最小值，则，解得:，
当时，，在区间上单调递增，无最小值，不符合题意.
故答案为：
15．（2020·宁波市北仑中学高二期中）已知函数，则________；若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为________.
【答案】1
【详解】解：由知，
，所以
在
上单调递增；
由
知，
只有一个值，即为1；
且函数定义域为，
为奇函数，
则即为，由函数单调递增可知，
在区间上有解，即在区间上有解，只需
令
，则
，解得或
，
因为当
时，，则在单调递增；
当
时，，则在单调递减.
所以，当
时，有最大值为，故.故答案为:
1;
.
16．（2020·浙江宁波市·余姚中学高二月考）已知函数，若函数的一个单调递增区间为，则实数的值为_______，若函数在内单调递增，则实数的取值范围是_______．
【答案】3
【详解】（1），，
函数的一个单调递增区间为，，.
（2）函数在内单调递增，，在恒成立，
，在恒成立，，故答案为：3；，.
17．（20209·浙江高三专题练习）设函数是单调函数．①的取值范围是_____；②若的值域是，且方程没有实根，则的取值范围是_____．
【答案】
【详解】①当时，，则恒成立，故在上单调递增，，当时，，
由于在上单调递增，故也为单调递增函数，且恒成立，
∴，故的范围为，
②由①可得当时，，∵的值域是，∴当时，，∴，
∵方程没有实根，
当与相切时，设切点为
∵，∴，，
∴，∴∴
故的取值范围为，故答案为，
三、解答题：本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2020·江苏南通市·高三期中）已知函数.（1）当时，求零点的个数；（2）当时，求极值点的个数.
【答案】（1）个；（2）个.
【详解】（1）由题意，，则，
由于，，又，所以，在上单调递增，
因为，，所以函数在上有唯一零点；
（2）由题意，，则.
令，.
①当时，因为，，
所以，
所以，函数在区间上单调递减，无极值点；
②当时，，
当时，因为，所以，
所以从在上是增函数，即，
当时，，，
所以，
所以在是增函数，即，
所以是在上的极小值点；
③当时，，，则，所以函数无极值点；
④当时，，，所以，
所以从在上是减函数，且，，
所以在上有唯一的零点.
当时；当时，，
所以是函数的一个极大值点.
综上所述，函数存在两个极值点.
19．（2020·浙江高三专题练习）已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）
【详解】（1）解：因为，
①当时，总有，所以在上单调递减.
②当时，令，解得.
故时，，所以在上单调递增.
同理时，有，所以在上单调递减.
（2）由（1）知当时，单调递减，所以函数至多有一个零点，不符合已知条件，
由（1）知当时，，
所以当时，解得，从而.
又时，有，因为，，
令，则，
所以在为增函数，故，
所以，根据零点存在定理可知：
在内有一个零点，在内有一个零点，
故当函数有个零点时，的取值范围为.
20．（2020·浙江衢州市·高三月考）已知函数，（）.
（1）求的值域；（2）当时，函数有三个不同的零点，求实数的最小值；（3）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）∵，由得，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴函数的值域是；
（2），∴，
当时，，单调递增
又，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴，∴在上单调递增，不合题意.-
当时，由，得，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∵，∴若，则在区间上存在，
当时，，当时，，当时，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，
在区间上单调递增，此时函数有且只有一个零点.-
当时，存在，使得，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
从而要使有三个零点，必有，
∴，即，∴，
又∵，令，则
∵当时，，∴在区间单调递增，∴，即.-
（3），∴，
令，则，令，则，
∵，∴，在上单调递增，
∴，于是在上单调递增，
又由（1）知当时，恒成立，∴，
∴，∴的取值范围是.
21．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数．（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在有零点，求证：（ⅰ）；（ⅱ）．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析.
【详解】（1）解：
①当时，，在R上单调递增；
②当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增
（2）（ⅰ）由题意可得，要证明，只要证明，
设，，
所以在上递增，所以，得证．
要证明，只要证明，设，
，
，
，
所以，所以，
当时，，，得证．
（ⅱ）因为，所以，
又在上单调递增，，
设，
，且，
设，则
，递增，即递增，
故，
所以，．
22．（2020·浙江高三月考）已知函数.（1）若函数有极值，求实数的取值范围；（2）当时，若在，处导数相等，证明：；
（3）若函数在上有两个零点，，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【详解】解：（1）由题意知，
因为有极值，所以当，有解，所以.
（2）证明：，由，得，即，
因为，且，所以，得，
则.
（3）证明：，即，令，则，
则函数在上单调递减，在上单调递增，.
令，其中，则，当时，，故，
从而当时有两个零点，不妨设，若，则结论成立；
若，即时，令，，
则，令，则，
∴在上单调递增，则，∴在上单调递减，
∴，即在上恒成立，∴，
∵，，而在上单调递增，∴，即．
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精品试卷·第
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题03导函数
【考纲解读与命题趋势】?
在浙江新高考中，导数板块和以往考察的没有多大的变化。考察形式还是常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容?。函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的。
对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解。本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的思路解析与解题套路，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧。
1、考察的题型：选择题，填空，解答题22题（必考）
2、考察的内容：对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值（最值）问题，函数的单调性的判定。因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的。所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性。
3、考察的数学思想：导函数这部分内容有着极深的思想性，函数与方程思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想、特殊与一般的思想、配方法、放缩法、换元法等在每年的考题中得到了很好的体现。
4、浙江新高考常考题型：1）曲线的切线问题；2）函数图象的辨析与应用；3）导数中的构造函数问题；
4）函数函数零点问题（判断（证明）函数零点的个数；由函数零点的个数求参数；与函数零点相关的综合问题）；
5）恒成立（存在）问题中求参数的值或取值范围问题；6）不等式的证明（作差构造函数法证明不等式；“放缩法”证明不等式；双变量不等式的证明）
5、做函数与性质题时要注意以下几点：
1）对于函数零点问题特别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值。
2）恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立选择小题可以采用排除法与特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值。
3）函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解。
4）对于比较复杂的导数题目，一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在。
5）含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是：
双变量常见解题思路：1、双变量化为单变量→寻找两变量的等量关系；2转化为构造新函数；
含参不等式常见解题思路：1、参数分离；2、通过运算化简消参（化简或不等关系）；3、将参数看成未知数，通过它的单调关系来进行消参。
【知识梳理】
1.函数y＝f(x)的导函数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导.这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x).于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或yx′、y′).
2.导数公式表
基本初等函数
导函数
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝xα(α∈Q
)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝ax(a＞0)
f′(x)＝axln
a
f(x)＝sin
x
f′(x)＝cos
x
f(x)＝ln
x
f′(x)＝
f(x)＝cos
x
f′(x)＝－sin
x
f(x)＝logax
(a＞0，a≠1)
f′(x)＝
3.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0).
4.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.
5.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
6.函数的极值与导数
条件
f′(x0)＝0
x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0
x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0
图象
形如山峰
形如山谷
极值
f(x0)为极大值
f(x0)为极小值
极值点
x0为极大值点
x0为极小值点
7.函数的最值与导数
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.
(3)求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【考点突破】
考点一
导函数与原函数图象问题
方法总结：函数的图象与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
【经典例题】
1．（2017·浙江高考真题）
函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
A．
B．C．
D．
【变式探究】
1．（2020·浙江温州市·温州中学高三其他模拟）已知函数，其导函数的图象经过点、，如图所示，则下列命题正确的是（
）
A．当时函数取得极小值
B．有两个极大值点
C．
D．
2．（2020·浙江省宁海中学高三月考）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（
）
A．B．C．D．
3．（2020·广东潮州市·高二期末）设在定义域内可导，其图象如图所示，则导函的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
考点二
与曲线的切线相关的问题
1．求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f
′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f
′(x0)(x－x0)；
2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：(1)设切点为Q(x0，y0)；(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f
′(x0)；(3)利用点Q在曲线上和f
′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f
′(x0)．(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f
′(x0)(x－x0)．
注意：要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y＝f(x)的切线．求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再分别按上述1、2求解．
【经典例题】
1．（2020·浙江高三专题练习）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（
）
A．y=2x+1
B．y=2x+
C．y=x+1
D．y=x+
【变式探究】
1．（2020·浙江高三二模）已知点在曲线上，且该曲线在点处的切线与直线垂直，则方程的实数根的个数为（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．不确定
2．（2020·浙江高三专题练习）已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（
）
A．
B．1
C．3
D．5
3．（2020·浙江杭州市·）已知直线与函数的图象相切，且有两个不同的切点，则实数的值为（
）．
A．
B．2
C．
D．
考点三
导数中的构造函数问题
此类涉及到已知f(x)与f′(x)的一些关系式，比较有关函数式大小或解不等式的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解．
常见构造方法：
(1)知xf′(x)＋f(x)的符号，则构造函数g(x)＝xf(x)；知xf′(x)＋nf(x)的符号，则构造函数g(x)＝xnf(x)．
(2)知xf′(x)－f(x)的符号，则构造函数g(x)＝；知xf′(x)－nf(x)的符号，则构造函数g(x)＝.
(3)知f′(x)＋f(x)的符号，则构造函数f(x)＝exf(x)；知f′(x)＋nf(x)的符号，则构造函数g(x)＝enx·f(x)．
(4)知f′(x)－f(x)的符号，则构造函数f(x)＝；
知f′(x)－nf(x)的符号，则构造函数g(x)＝
【经典例题】
1．（2020·浙江高三其他模拟）已知函数对任意满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江高三专题练习）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式探究】
1．（2020·浙江高三专题练习）设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·山东菏泽市·高三期中）定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江高三其他模拟）设函数是偶函数的导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·安徽池州市·高三期末（理））已知函数定义域为，其导函数为，且在上恒成立，则下列不等式定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
题型四
函数零点问题
函数的零点问题，主要考向有：1.判断（证明）函数零点的个数；2.由函数零点的个数求参数；3与函数零点相关的综合问题。
1）判断（证明）函数零点的个数
1．方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．
2．函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.
3.利用导数研究函数零点或方程根的方法
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
【经典例题】
1．（2020·浙江宁波市·高三一模）设函数().当时的零点有
个数。
2．（2020·浙江高三其他模拟）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）讨论函数的零点个数.
【变式探究】
1．（2020·辽宁沈阳市·高三月考）已知，函数，设函数的零点个数为，函数的零点个数为，则（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知函数是自然对数的底数，存在，所以（
）
A．当时，零点个数可能有3个
B．当时，零点个数可能有4个
C．当时，零点个数可能有3个
D．当时，零点个数可能有4个
3．（2020·浙江高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求证：函数在上单调递增；
（2）当时，讨论函数的零点的个数.
2）由函数零点的个数求参数
根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”．
【经典例题】
1．（2020·浙江衢州市·衢州二中高三其他模拟）定义，已知，，若恰好有3个零点，则实数的取值范围是________.
【变式探究】
1．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）已知不等式在上无解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江高三专题练习）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.
3．（2020·宁波市北仑中学高二期中）已知函数.
（1）讨论的单调性；（2）若，且函数只有一个零点，求的最小值.
4．（2017·全国高考真题（理））已知函数ae2x+(a﹣2)
ex﹣x.
（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.
3）与函数零点相关的综合问题
已知函数存在零点，需要证明零点满足某项性质时，实际上是需要对函数零点在数值上进行精确求解或估计，需要对零点进行更高要求的研究，为此，不妨结合已知条件和未知要求，构造新的函数，再次通过导数的相关知识对函数进行更进一步的分析研究，其中，需要灵活运用函数思想、化归思想等，同时也需要我们有较强的抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．含参数的函数的单调性的讨论，合理分类讨论是关键，分类点的选择一般依据导数是否存在零点，若存在零点，则检验零点是否在给定的范围之中．
【经典例题】
1．（2020·浙江杭州市·高三月考）函数在两个不同的零点函数存在两个不同的零点且满足则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江高考真题）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．
【变式探究】
1．（2020·浙江高三月考）已知函数有两个零点，，有唯一零点，且，则实数的取值范围是______．
2．（2020·浙江台州市·温岭中学高三一模）已知函数在区间上有零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江高三月考）已知、，函数恰有两个零点，则的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
考点五
恒成立（存在）问题中求参数的值或取值范围问题
主要命题方向：1.
单调性问题中求参数值（范围）；2.极值问题中恒成立问题中求参数值（范围）；3.最值问题中求参数值（范围）等；4.不等式恒成立问题中求参数值（范围）等.
【经典例题】
1．（2020·浙江高三专题练习）已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.
2．（2020·浙江杭州市·高三期中）已知，，若是函数的极小值点，则实数的取值范围为（
）
A．且
B．
C．且
D．
3．（2020·嘉兴市第五高级中学高三月考）若函数（为自然对数的底数）在区间上存在最小值，则实数的取值范围是______.
4.（2020·浙江温州中学月考）已知函数．（Ⅰ）若恒成立，求实数a的最大值；（Ⅱ）若恒成立，求正整数a的最大值．
【变式探究】
1．（2020·浙江绍兴市·诸暨中学高二期中）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，如果函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围．
2．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知函数（，是自然对数的底数）.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）若在内存在两个极值点，求的取值范围.
3．（2020·浙江高三开学考试）已知函数（，且）在上的最大值为，若的最小值为，则常数_______．
4．（2019·浙江高考真题）已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有
求的取值范围.
注：为自然对数的底数.
考点六
不等式的证明
1）作差构造函数法证明不等式
作差构造函数法：待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接作差构造函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性加以证明．如证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数.
1.（2020·广东深圳市·明德学校高三月考）已知函数．
（1）当时，求证：；（2）若对恒成立，求实数a的取值范围．
2．（2020·浙江高三其他模拟）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：．
2）“放缩法”证明不等式
适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论，如和是两个典型的不等式，可变形得，.
1．（2020·河北衡水市·衡水中学高三其他模拟）已知函数（）.（1）讨论的单调性.（2）证明：当时，（）.
2．（2020·江苏南京市第二十九中学高三月考）已知函数．（1）若对恒成立，求实数的取值集合；（2）在函数的图象上取定点，记直线AB的斜率为，证明：存在，使成立；（3）当时，证明：．
3）双变量不等式的证明
破解含双参不等式的证明的关键
一是转化，由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；
二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
1．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数有两个不同的零点.
（1）求实数a的取值范围；（2）记的极值点为，求证：①；②.
2．（2021·浙江嘉兴市·高三期末）已知函数，，.
（1）当时，曲线在处的切线与直线平行，求函数在上的最大值(为自然对数的底数)；（2）当时，已知，证明：.
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破配套练习
专题03
导函数
（测试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·浙江衢州市·高三月考）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·浙江温州市·高三期末）已知，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充分必要条件
3．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知函数和点，则过点与该函数图像相切的直线条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2020·江西高三期中）已知定义在上的函数满足且，其中是函数的导函数，e是自然对数的底数，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·浙江台州市·高三期末）已知函数在上单调递减，则实数的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2019·浙江高三专题练习）已知函数在上有极值点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·浙江高三开学考试）已知函数（，且）在上的最大值为，若的最小值为，则常数(
)．
A．12
B．16
C．8
D．14
9．（2021·浙江杭州市·高三期末）设函数.若不等式对恒成立，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2021·浙江高二期末）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共7小题，共35分。
11．（2020·浙江高三专题练习）曲线的切线方程为，则实数的值为_______.
12．（2020·浙江绍兴市·绍兴一中高二期中）若函数，则__________，的极大值点为__________．
13．（2021·浙江金华市·高二期末）已知函数在区间上存在极大值与极小值，则实数的取值范围是_________．
14.（2020·嘉兴市第五高级中学月考）若函数（为自然对数的底数）在区间上存在最小值，则实数的取值范围是______.
15．（2020·宁波市北仑中学高二期中）已知函数，则________；若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为________.
16．（2020·浙江宁波市·余姚中学高二月考）已知函数，若函数的一个单调递增区间为，则实数的值为_______，若函数在内单调递增，则实数的取值范围是_______．
17．（20209·浙江高三专题练习）设函数是单调函数．①的取值范围是_____；②若的值域是，且方程没有实根，则的取值范围是_____．
三、解答题：本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2020·江苏南通市·高三期中）已知函数.（1）当时，求零点的个数；（2）当时，求极值点的个数.
19．（2020·浙江高三专题练习）已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.
20．（2020·浙江衢州市·高三月考）已知函数，（）.
（1）求的值域；（2）当时，函数有三个不同的零点，求实数的最小值；（3）当时，恒成立，求的取值范围.
21．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数．（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在有零点，求证：（ⅰ）；（ⅱ）．
22．（2020·浙江高三月考）已知函数.（1）若函数有极值，求实数的取值范围；（2）当时，若在，处导数相等，证明：；
（3）若函数在上有两个零点，，证明：.
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题03导函数
【考纲解读与命题趋势】?
在浙江新高考中，导数板块和以往考察的没有多大的变化。考察形式还是常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容?。函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的。
对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解。本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的思路解析与解题套路，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧。
1、考察的题型：选择题，填空，解答题22题（必考）
2、考察的内容：对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值（最值）问题，函数的单调性的判定。因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的。所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性。
3、考察的数学思想：导函数这部分内容有着极深的思想性，函数与方程思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想、特殊与一般的思想、配方法、放缩法、换元法等在每年的考题中得到了很好的体现。
4、浙江新高考常考题型：1）曲线的切线问题；2）函数图象的辨析与应用；3）导数中的构造函数问题；
4）函数函数零点问题（判断（证明）函数零点的个数；由函数零点的个数求参数；与函数零点相关的综合问题）；
5）恒成立（存在）问题中求参数的值或取值范围问题；6）不等式的证明（作差构造函数法证明不等式；“放缩法”证明不等式；双变量不等式的证明）
5、做函数与性质题时要注意以下几点：
1）对于函数零点问题特别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值。
2）恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立选择小题可以采用排除法与特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值。
3）函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解。
4）对于比较复杂的导数题目，一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在。
5）含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是：
双变量常见解题思路：1、双变量化为单变量→寻找两变量的等量关系；2转化为构造新函数；
含参不等式常见解题思路：1、参数分离；2、通过运算化简消参（化简或不等关系）；3、将参数看成未知数，通过它的单调关系来进行消参。
【知识梳理】
1.函数y＝f(x)的导函数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导.这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x).于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或yx′、y′).
2.导数公式表
基本初等函数
导函数
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝xα(α∈Q
)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝ax(a＞0)
f′(x)＝axln
a
f(x)＝sin
x
f′(x)＝cos
x
f(x)＝ln
x
f′(x)＝
f(x)＝cos
x
f′(x)＝－sin
x
f(x)＝logax
(a＞0，a≠1)
f′(x)＝
3.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0).
4.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.
5.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
6.函数的极值与导数
条件
f′(x0)＝0
x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0
x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0
图象
形如山峰
形如山谷
极值
f(x0)为极大值
f(x0)为极小值
极值点
x0为极大值点
x0为极小值点
7.函数的最值与导数
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.
(3)求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【考点突破】
考点一
导函数与原函数图象问题
方法总结：函数的图象与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
【经典例题】
1．（2017·浙江高考真题）
函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
A．
B．C．
D．
【答案】D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
【变式探究】
1．（2020·浙江温州市·温州中学高三其他模拟）已知函数，其导函数的图象经过点、，如图所示，则下列命题正确的是（
）
A．当时函数取得极小值
B．有两个极大值点
C．
D．
【答案】D
【详解】由导函数的图象可得：时，是增函数；时，是减函数；时，是增函数；所以A,B均不正确；由于，所以C不正确；
因为，结合图象可知，所以；故选：D.
2．（2020·浙江省宁海中学高三月考）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（
）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．
3．（2020·广东潮州市·高二期末）设在定义域内可导，其图象如图所示，则导函的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数的递减区间对应的，函数的递增区间对应，可知B选项符合题意.
考点二
与曲线的切线相关的问题
1．求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f
′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f
′(x0)(x－x0)；
2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：(1)设切点为Q(x0，y0)；(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f
′(x0)；(3)利用点Q在曲线上和f
′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f
′(x0)．(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f
′(x0)(x－x0)．
注意：要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y＝f(x)的切线．求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再分别按上述1、2求解．
【经典例题】
1．（2020·浙江高三专题练习）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（
）
A．y=2x+1
B．y=2x+
C．y=x+1
D．y=x+
【答案】D
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.故选：D.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三二模）已知点在曲线上，且该曲线在点处的切线与直线垂直，则方程的实数根的个数为（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．不确定
【答案】A
【解析】∵点在曲线上∴
∵曲线在点处的切线与直线垂直∴，则
∴∴∴方程为
∵∴方程的实数根的个数为0个故选A
2．（2020·浙江高三专题练习）已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（
）
A．
B．1
C．3
D．5
【答案】D
【详解】解：依题意设曲线与在公共点处的切线相同.
∵，
∴，
∴，即∵∴，故选：D.
3．（2020·浙江杭州市·）已知直线与函数的图象相切，且有两个不同的切点，则实数的值为（
）．
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【详解】由題意，知直线与函数在，上的图象均相切，
由直线与的图象相切得，
联立方程组，整理得，
由，解得，此时切点为，直线方程为，
设直线与的图象切于点，
由函数，则，所以，所以，所以点的坐标为，
因为点在直线上，所以，解得．故选：D．
考点三
导数中的构造函数问题
此类涉及到已知f(x)与f′(x)的一些关系式，比较有关函数式大小或解不等式的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解．
常见构造方法：
(1)知xf′(x)＋f(x)的符号，则构造函数g(x)＝xf(x)；知xf′(x)＋nf(x)的符号，则构造函数g(x)＝xnf(x)．
(2)知xf′(x)－f(x)的符号，则构造函数g(x)＝；知xf′(x)－nf(x)的符号，则构造函数g(x)＝.
(3)知f′(x)＋f(x)的符号，则构造函数f(x)＝exf(x)；知f′(x)＋nf(x)的符号，则构造函数g(x)＝enx·f(x)．
(4)知f′(x)－f(x)的符号，则构造函数f(x)＝；
知f′(x)－nf(x)的符号，则构造函数g(x)＝
【经典例题】
1．（2020·浙江高三其他模拟）已知函数对任意满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设，则，所以函数在上为增函数，则，故选：A．
2．（2020·浙江高三专题练习）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由，
得：
即
令F（x）=x2f（x），则当
时，得
即
上是减函数，
即不等式等价为
在
是减函数，∴由F
得，
，即故选B．
【变式探究】
1．（2020·浙江高三专题练习）设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】构造函数则
，
已知当时，，所以在x>0时，<0，即g（x）在（0，+）上是减函数，因为y=lnx在（0，+）上是增函数，所以f（x）在（0，+）上是减函数
已知是奇函数，所以f（x）在（-，0）上也是减函数，f（0）=0，
故当时，f（x）<0,
当时，f（x）>0,
由得
，解得x<-2或02．（2020·山东菏泽市·高三期中）定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】∵且，∴是奇函数，设，
则时，，∴在是减函数．
又是奇函数，∴也是奇函数，因此在是递减，
从而在上是减函数，
不等式为，即，∴．故选：B．
3．（2020·浙江高三其他模拟）设函数是偶函数的导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令，则，
当时，，在上是增函数，
，为偶函数，
，，即，
，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.
4．（2021·安徽池州市·高三期末（理））已知函数定义域为，其导函数为，且在上恒成立，则下列不等式定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】，则，
因为在上恒成立，所以在上恒成立，
故在上单调递减，所以，即，即，故选：A.
题型四
函数零点问题
函数的零点问题，主要考向有：1.判断（证明）函数零点的个数；2.由函数零点的个数求参数；3与函数零点相关的综合问题。
1）判断（证明）函数零点的个数
1．方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．
2．函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.
3.利用导数研究函数零点或方程根的方法
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
【经典例题】
1．（2020·浙江宁波市·高三一模）设函数().当时的零点有
个数。
【答案】0；
【详解】证明不等式恒成立，则等价于恒成立，令，
则，当单增；当单减；故，故恒成立，则可放缩为：
，
因为，，则，则，则的零点个数为0个；
2．（2020·浙江高三其他模拟）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）讨论函数的零点个数.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增（2）当时，无零点；当时，只有一个零点；当时，有两个零点
【详解】解：（1）函数的定义域为，
当时，
设，，则
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以，即.令，则，令，则，
因此在上单调递减，在上单调递增.
（2）函数的零点个数，即的根的个数.
当时，在上恒有成立，所以无零点.
当时，
，即
即，设
设，由，可得，，可得
所以在上单调递减，在上单调递增，所以
所以当时，，当时，
在上单调递减，在上单调递增.又当时，，所以，，则即当时，.
又设，则.令，得，，得.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，则.
所以
由洛必达法则有所以当时，，大致图象如图.
(或者由幂函数，指数函数，对数函数中，当时，指数函数的变化速度比幂函数和对数函数快得多，也可以说明以当时，)
当，即时，方程无实数根，即函数无零点.
当，即时，方程有1个实数根，即函数有1个零点.
当，即时，方程无实数根，即函数无零点.
当，即时，方程有2个实数根，即函数有2个零点.
综上，当时，无零点；当时，只有一个零点；
当时，有两个零点.
【变式探究】
1．（2020·辽宁沈阳市·高三月考）已知，函数，设函数的零点个数为，函数的零点个数为，则（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【详解】解：，易知，当时，，
递减，当时，，递增；
，，，
有两个零点，设为，（），则，
由得，或，作出函数的草图如下所示，
由图象可知，或各有两个实数根，故，
由得，，，
，又，
有4个实根，即，.故选：D.
2．（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知函数是自然对数的底数，存在，所以（
）
A．当时，零点个数可能有3个
B．当时，零点个数可能有4个
C．当时，零点个数可能有3个
D．当时，零点个数可能有4个
【答案】C
【详解】将看成两个函数与的交点，
时，与图象的交点，
单调递增，，
所以存在唯一的，使得，
当单调递减，当单调递增，
所以有两个单调区间，与至多只有两个交点，所以AB错误；
当时，
，
设单调递增，，
所以存在唯一的，使得，令或，
当时，或，当时，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是，
所以有三个单调区间，与至多有三个交点，则D错误.故选：C.
3．（2020·浙江高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求证：函数在上单调递增；
（2）当时，讨论函数的零点的个数.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【详解】（1），
令，易得在上递减，上递增，
∴，∴函数在上单调递增.
（2），由（1）知当时，方程有两个根，，
且易知，则在上单调递增，在上单调递减，在单调递增.
所以为的极大值点，为的极小值点.
显然，，∴在仅有唯一零点.
又，（当为较大的整数时），
设，则，
当时，，在
单调递增,即.
所以在
单调递增，即，
即（当为较大的整数时）.于是下面讨论的正负情况：
.
构造函数，且.
①当时，在递增，得，此时，则函数在上只有一个零点.
②当时，显然，函数在上有两个零点.
③当时，在递增，得，此时，则函数在上有三个零点.
综上，，函数在上有一个零点；时，函数在上有两个零点；，函数在上有三个零点.
2）由函数零点的个数求参数
根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”．
【经典例题】
1．（2020·浙江衢州市·衢州二中高三其他模拟）定义，已知，，若恰好有3个零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【详解】由题意得：当时，在轴上方，且为增函数，无零点，
至多有两个零点，不合题意；
当时，令，得，令
，得或
，如图所示：
当时，即时，要有3个零点，则，解得；
当时，即时，要有3个零点，则，
令，，
所以在是减函数，又，要使，则须，所以.
综上：实数的取值范围是.故答案为：
【变式探究】
1．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）已知不等式在上无解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】满足题意时在上恒成立，令，
则，，
故函数在区间上单调递增，且函数图象下凸，
注意到，，则函数在处的切线方程为，
绘制函数图象及其切线如图所示，
满足题意时应有：，，综上可得，实数的取值范围是.故选：B.
2．（2020·浙江高三专题练习）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【详解】（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.
3．（2020·宁波市北仑中学高二期中）已知函数.
（1）讨论的单调性；（2）若，且函数只有一个零点，求的最小值.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）的最小值为1
【详解】（1）由题意可知，.
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）解法一：由题意可知，且.
令，则.记，（
）
当时，，与相矛盾，此时（
）式无解；
当时，无解；
当时，（
）式的解为，此时有唯一解；
当时，
，
所以（
）式只有一个负根，有唯一解，故的最小值为1.
解法二：由题得，
令，则.
再令，则.
记，
函数和函数的图象如图所示：
当，即时，显然不成立；
当，即时，由，得方程存在唯一解，且.
此时亦存在唯一解.综上，的最小值为1.
4．（2017·全国高考真题（理））已知函数ae2x+(a﹣2)
ex﹣x.
（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
3）与函数零点相关的综合问题
已知函数存在零点，需要证明零点满足某项性质时，实际上是需要对函数零点在数值上进行精确求解或估计，需要对零点进行更高要求的研究，为此，不妨结合已知条件和未知要求，构造新的函数，再次通过导数的相关知识对函数进行更进一步的分析研究，其中，需要灵活运用函数思想、化归思想等，同时也需要我们有较强的抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．含参数的函数的单调性的讨论，合理分类讨论是关键，分类点的选择一般依据导数是否存在零点，若存在零点，则检验零点是否在给定的范围之中．
【经典例题】
1．（2020·浙江杭州市·高三月考）函数在两个不同的零点函数存在两个不同的零点且满足则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题,,当时,恒成立,即在上单调递增,无法满足题意,故舍去；当时,令,可得,则在上单调递增,上单调递减,且时,,故由题需满足,即；
由上式可得,因为存在两个不同的零点,则,即,
令,,则,,可得当时,易得一解为,此时,另一解设为,则当时,在的上方.
只有当时,由图象可得,
综上,故选D
2．（2020·浙江高考真题）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．
【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.
【详解】（I）在上单调递增，
，
所以由零点存在定理得在上有唯一零点；
（II）（i），，
令
一方面：
，
在单调递增，，，
另一方面：，所以当时，成立，
因此只需证明当时，
因为
当时，，当时，，
所以，
在单调递减，，，
综上，.
（ii），
，，
，因为，所以，，
只需证明，即只需证明，
令，
则，
，即成立，因此.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三月考）已知函数有两个零点，，有唯一零点，且，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：因为函数有两个零点，，
所以有，
，即：，
因为有唯一零点，所以，.
因为，所以，
所以有，
令，则，所以有，即，
令，则，
注意到为增函数，且，，
故存在，使得
所以在上，在上，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以的解集为，即，
所以，解得.所以实数的取值范围是
故答案为：
2．（2020·浙江台州市·温岭中学高三一模）已知函数在区间上有零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：不妨设，为函数的两个零点，其中，，
则，.
则，
由，，所以，
可令，，
当，恒成立，所以.
则的最大值为，此时，
还应满足，显然，时，，.故选：B.
3．（2020·浙江高三月考）已知、，函数恰有两个零点，则的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】且，，，
则方程必有两个不等的实根、，设，
由韦达定理，，则必有，且，①
当或时，；当时，.
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.
由于，若函数有两个零点，则，②
联立①②得，可得，所以，，
令，令，则，
，解得，.
当时，，此时，函数单调递增，则.故选：D.
考点五
恒成立（存在）问题中求参数的值或取值范围问题
主要命题方向：1.
单调性问题中求参数值（范围）；2.极值问题中恒成立问题中求参数值（范围）；3.最值问题中求参数值（范围）等；4.不等式恒成立问题中求参数值（范围）等.
【经典例题】
1．（2020·浙江高三专题练习）已知函数.（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）当时，
，
，
由解得，由解得，
故当时，的单调递增；当时，单调递减，
当时，函数取得极大值，无极小值.
（2），函数在区间上单调递减，
在区间上恒成立，即在上恒成立，
只需不大于在上的最小值即可.
而
，则当时，，
，即，故实数的取值范围是.
2．（2020·浙江杭州市·高三期中）已知，，若是函数的极小值点，则实数的取值范围为（
）
A．且
B．
C．且
D．
【答案】B
【详解】因为，是函数的极小值点，结合三次函数的图象可设，又，
令得，，即，
，由得，，
是极小值点，则是极大值点，，所以．故选：B．
3．（2020·嘉兴市第五高级中学高三月考）若函数（为自然对数的底数）在区间上存在最小值，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】当时，
，
当时，，，单调递减，
当时，单调递增，
函数（为自然对数的底数）在区间上存在最小值，
则，即，解得：
当时，对于区间恒成立，则，
令，得，
当时，单调递减；当时，单调递增；
若区间上存在最小值，则，解得:，
当时，，在区间上单调递增，无最小值，不符合题意.
故答案为：
4.（2020·浙江温州中学月考）已知函数．（Ⅰ）若恒成立，求实数a的最大值；（Ⅱ）若恒成立，求正整数a的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.
【解析】（Ⅰ）利用参变分离
时，a的最大值是0，下面考虑的情况：
首先，易知，恒成立，则，，
①当时，；
②当时，；
于是，综上所述，a的最大值是．
（Ⅱ）①若，则．
当时，显然有，
当时，显然有；
②当时，若，则；
(1)
若，则(2)
若，则
(3)若，则
于是，，
则，不满足条件．
综上所述，正整数a的最大值是2．
【变式探究】
1．（2020·浙江绍兴市·诸暨中学高二期中）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，如果函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【详解】（1）定义域为，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，；当时，
即在上单调递减，在上单调递增.
（2）
由题意对恒成立
即对恒成立
，.
2．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知函数（，是自然对数的底数）.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）若在内存在两个极值点，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的递减区间为，递增区间为；（Ⅲ）.
【详解】（Ⅰ）
所以切线斜率，而，
所以曲线在点处的切线方程为即；
（Ⅱ）可知函数的定义域为，当时，，
可知在，，当时，；当时，，
故的递减区间为，递增区间为；
（Ⅲ）函数在内存在二个极值点在内有两个异号零点，
所以在内存在二个极值点在内有两个异号零点，
设，则，
①当时，，所以在上递增，
所以在内不存在两个不同的根；
②当时，由可得；由可得，
所以的最小值为，
所以在内有两个不同的根解得，
综上所述，所求的取值范围为.
3．（2020·浙江高三开学考试）已知函数（，且）在上的最大值为，若的最小值为，则常数_______．
【答案】
【详解】令，则，令，可得，
，则，所以.
当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.所以，
又，，，则.
所以，函数的最大值为，设，则，
令，则，
所以，函数在上单调递减，则.
所以，，整理得，
即，由于，解得，即，解得.
故答案为：.
4．（2019·浙江高考真题）已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有
求的取值范围.
注：为自然对数的底数.
【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.
【详解】(1)当时，，函数的定义域为，且：
，
因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
(2)由，得，当时，，等价于，
令，则，设，，
则，
（i）当时，，则，
记，
则
列表讨论：
x
（）
1
（1，+∞）
p′（x）
﹣
0
+
P（x）
p（）
单调递减
极小值p（1）
单调递增
（ii）当时，，
令，则，
故在上单调递增，，
由（i）得，，
由（i）（ii）知对任意，
即对任意，均有，综上所述，所求的a的取值范围是．
考点六
不等式的证明
1）作差构造函数法证明不等式
作差构造函数法：待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接作差构造函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性加以证明．如证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数.
1.（2020·广东深圳市·明德学校高三月考）已知函数．
（1）当时，求证：；（2）若对恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）时，，
令，
令，则，∴在上是增函数，
∴，∴在上是增函数，∴，
∴时，，∴；
（2）∵对成立，∴对成立，
令，则，令，则，
∵，∴，∴，
∴在上是减函数，∴，∴在上是减函数，
∴，∴，∴，即．
2．（2020·浙江高三其他模拟）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：．
【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，无单调递增区间．（Ⅱ）见解析
【详解】（Ⅰ）函数，则定义域为，，
，，，，
（当且仅当时取等号），的单调递减区间为，无单调递增区间．
（Ⅱ）证法一：令函数，
则，显然．
令函数，则，
由（Ⅰ）知，，
，
所以，在上是增函数，且，
当时，即，所以单调递减，
当时，即，所以单调递增．
的最小值为，，．
证法二：令函数，定义域为，
，函数在定义域上是增函数，
，
，①
又，②
①+②得，即当时，．另外，当时，
由（Ⅰ）可知函数在上是减函数，
，
．综上，对.
2）“放缩法”证明不等式
适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论，如和是两个典型的不等式，可变形得，.
1．（2020·河北衡水市·衡水中学高三其他模拟）已知函数（）.（1）讨论的单调性.（2）证明：当时，（）.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）的定义域为.
（），
当时，令，得或；令，得，
在区间，上单调递增，在区间上单调递减.
当时，，在区间上单调递增.
当时，令，得或；令，得，
在区间，上单调递增，在区间上单调递减.
当时，令，得；令，得，
在区间上单调递增，在区间上单调递减.
综上，当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增，无单调递减区间；
当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）证明：当时，由（1）可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，，，即.
当时，，令，得
，，，…，，
以上各式两端分别相加，得，
（）.
2．（2020·江苏南京市第二十九中学高三月考）已知函数．
（1）若对恒成立，求实数的取值集合；
（2）在函数的图象上取定点，记直线AB的斜率为，证明：存在，使成立；
（3）当时，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【详解】（1），
令，当，当时，取得极大值，
亦为最大值，，
，设，
令.
，又，；
（2），，
，令，
，当，
，同理，函数连续不断，
故存在，使得，即存在，使成立；
（3）设，当时，在递增，
，令
，
3）双变量不等式的证明
破解含双参不等式的证明的关键
一是转化，由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；
二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
1．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数有两个不同的零点.
（1）求实数a的取值范围；（2）记的极值点为，求证：①；②.
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【详解】解：（1）因为，所以
因为函数有两个不同的零点.
所以函数在定义域上不单调.，所以
令，解得，即在上单调递增；
令，解得，即在上单调递减；
则的极大值为，所以，所以
因为，，在上单调递增，在上单调递减，，所以时，
因为时，，因为时，，所以的取值范围为
（2）①因为为函数的零点，所以，即①，要证，即只要证，由①，只要证，整理后即
令，即证，因为，令，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立，所以，所以在上单调递增，易知，则，所以成立，即
②要证，只需证
因为，所以，所以，令，，所以，且
下面先证明，只需证明，设，所以只需证明，设，则，所以单调递增，则成立，于是得到，
因此只要证明，构造函数，则，故在上递减，在上递增，则，即成立，
所以
2．（2021·浙江嘉兴市·高三期末）已知函数，，.
（1）当时，曲线在处的切线与直线平行，求函数在上的最大值(为自然对数的底数)；（2）当时，已知，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）当时，，因此，
而曲线在处的切线与直线平行，
故，解得.所以，，
故当时，，即函数在上递减，
当时，，即函数在上递增，
所以，而，，
故，即，
所以函数在上的最大值为.
（2）当时，，，由于，
故要证明成立.
证明成立证明成立，
证明成立.令，因为，则，
即只需证明成立
证明即可，下面证明该不等式成立.
设，求得，
因为，所以，
所以当时，，
因此函数是上的增函数，故，
这就证明了当时，恒成立，故原命题成立.
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精品试卷·第
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