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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题04
三角函数与解三角形
【考纲解读与命题趋势】?
?浙江新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个热点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，三角试题每年都考。
1、题目分布：浙江卷历年考试基本上是1道解答题和1道选择题（填空题），以中档题为主。
2、考察的知识内容：（1）三角函数的概念；（2）同角三角函数基本关系式与诱导公式及其综合应用；（3）三角函数的图像和性质及综合应用；（4）三角恒等变换及其
综合应用；（5）利用正、余弦定理求解三角形；（6）与三角形面积有关的问题；（7）判断三角形的形状；（8）正余弦定理的应用。
3、新题型的考察：（1）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多条件的解答题题型。
4、与其它知识交汇的考察：（1）与函数、导数的结合；（2）与平面向量的结合；（3）与不等式的结合；（4）与几何的结合。
5、做三角函数与解三角形题时要注意以下几点：
1、从三角函数的定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、求值，结合三角函数的图像，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质，并能正确地描述三角函数图像的变换规律。要重视对三角函数图像和性质的深入研究，三角函数
，是高考考查知识的重要载体，是三角函数的基础。
“五点法”画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键，因此复习时应精选典型例题(选择题、填空题、解答题)加以训练和巩固，把解决问题的方法技巧进行归纳、
整理，达到举一反三、触类旁通。
2、以两角差的余弦公式为基础，掌握两角和与两角差的正余弦公式、正切公式、二倍角公式，特别是用一种三角函数表示二倍角的余弦，掌握公式的正用、逆用、变形应用，迅速正确应用这些公式进行化简、求值与证明，即以两角差的余弦公式为基础.推出三角恒等变换的相应公式，掌握公式的来龙去脉。
3、从正余弦定理的公式出发，结合三角形的面积公式，精选高考真题进行解答推广并加以应用，灵活求解三角形中的边角问题以及三角形中边角互化，得出面积公式的不同表达式，判断三角形的形状等间题，同时注意三角形中隐含条件的挖掘利用.
4、三角函数是特殊的函数，其思想方法多种多样，复习时要重视思想方法的渗透。数形结合思想在三角函数中有着广泛的应用，如三角函数在闭区间上的最值问题可以利用三角函数的图像和性质，三角函数的零点问题、对称中心、对称轴以及三角函数的平移变换、伸缩变换等都渗透数形结合思想。在三角函数求值中，把所求的量作为未知数，其余的量通过三角函数转化为未知数的表达式，列出方程，就能把问题转化为含有未知数的方程问题加以解决。
【知识梳理】
1.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝
rad；1
rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
2.同角三角函数的基本关系：(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tanα.
3.三角函数的诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限
4.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
cos(α?β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.
tan(α±β)＝.
5.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin
2α＝2sinαcosα.
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan
2α＝.
6.辅助角公式：已知函数f(α)＝asin
α＋bcos
α(a，b为常数)，
可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
7.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
{x
x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
8.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC
常见变形
(1)a＝2Rsin
A，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asin
B＝bsin
A，bsin
C＝csin
B，asin
C＝csin
A
cos
A＝；cos
B＝；cos
C＝
2.S△ABC＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)
【考点突破】
考点一
同角三角函数与恒等变换
该考点在浙江新高考中选填题和解答题都有考查先例，整体难度较低，是学生容易拿分的。
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）已知，则________；______．
2．（2018·浙江高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
【变式探究】
1．（2020·浙江省东阳中学高三期中）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江高三月考）已知，，，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·浙江绍兴市·高三期末）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍（所成角记、），则_______．
4．（2020·浙江高三专题练习）如图，在单位圆上，AOB＝()，
BOC＝
，且△AOC的面积等于．（
I）求
sin
的值；（
II）求
2cos()sin)
考点二
三角函数的图象和性质
关于三角函数的图象和性质的考查，主要考向有：1.简单三角函数的图象和性质；2.三角恒等变换与三角函数的图象和性质综合；3.三角函数的图象和性质与其它知识的综合考查.
【经典例题】
1．（2021·河南高三月考（理））已知函数的部分图象如图所示.给出下列结论：
①，，；②，；③点为图象的一个对称中心；
④在上单调递减.其中所有正确结论的序号是（
）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
2．（2017·浙江高考真题）已知函数
（I）求的值（II）求的最小正周期及单调递增区间.
【变式探究】
1．（2020·浙江宁波市·高三期中）要得到函数的图象只需将函数的图象（
）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
2．（2020·浙江杭州市·高三月考）已知函数f（x）＝（，x∈R）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的命题中正确的是（
）
A．函数g（x）是奇函数
B．g（x）的图象关于直线对称
C．g（x）在上是增函数
D．当时，函数g（x）的值域是[0，2]
3．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数.
（1）求函数在区间上的值域；
（2）求函数()图象上的所有点向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，若，求实数的最小值.
4．（2021·浙江高三学业考试）已知函数，.
（1）求的值；（2）求函数的最小正周期；（3）当时，求函数的值域.
考点三
解三角形
解三角形问题离不开三角恒等变换，主要考向有：1.正弦定理的应用；2.余弦定理的应用；3.正弦定理、余弦定理的综合运用；4.三角函数的图象和性质与解三角形问题的综合.
【经典例题】
1．（2020·浙江金华市·高三月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为___________，周长的取值范围为___________.
2．（2021·浙江嘉兴市·高三月考）在中，角，，所对的边分别是，，．已知．（1）求的值；（2）若，，求的值．
【变式探究】
1．（2020·浙江绍兴市·高三月考）在中，角??所对的边分别为??，已知，则=___________；若点是边上靠近的三等分点，且，则面积的最大值为___________.
2．（2020·浙江高三月考）已知中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积，则的外接圆的直径为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三期中）在中，内角，，的对边分别为，，，若，.（1）求的值；（2）设在边上，且，求的面积.
4．（2020·浙江高三一模）如图，在中，已知点在边上，，，，．（1）求的值；（2）求的长.
考点四
平面向量运算与三角问题的综合运用
【解题技巧】
三角形的边可以看做向量的模长，三角形的内角可以看做向量的夹角，所以平面向量的数量积、夹角公式及线性运算，往往可与三角形问题相结合.解答此类问题，首先平面向量的基本概念、基本运算必须熟练，更要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件，其次要注意问题的转化，把题目中的向量用三角中边和角表示，体现向量的工具作用.
【经典例题】
1．（2020·浙江杭州市·高三期中）已知的外心为，则的取值范围是_____________.
2．（2020·浙江杭州市·高三期中）若是垂心，且
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式探究】
1．（2020·浙江高三二模）已知三角形的外接圆半径为，外接圆圆心为，且点满足，则______，______.
2．（2020·浙江高三月考）已知中，D是边上一点，，且，则的最大值是______.
3．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三其他模拟）设O为的外心，a，b，c分别为，，的对边，且，则的最小值为_________________．
4.（2020·浙江宁波市·高三期中）已知平面向量，，设函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
考点五
三角函数、三角变换与解三角形问题的结合
【解题技巧】
三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
2．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数的部分图像如图所示，为该图像的最高点.
（1）若，求的值；（2）若，的坐标为，求的解析式.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三月考）在中，角，，的对边分别为，，，.
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
2．（2020·浙江杭州市·高三期中）已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．
3．（2021·浙江湖州市·高三期末）在中，角，，所对的边分别是，，.已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的取值范围.
4.（2020·浙江省宁海中学高三月考）已知的内角，，所对的边分别是，，，其面积．（1）若，，求．
（2）求的最大值．
考点六
三角函数（解三角形）多条件的解答题
【经典例题】
1．（2021·浙江温州市·高三期末）已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）在①的周长为，②的面积为，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求B的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：已知，______?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【变式探究】
1．（2021·山东菏泽市·高三期末）在①，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在中，角，，的对边分别为，，，且______
（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围（如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分）
2．（2021·浙江金华市·高三期末）从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若_______，
（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若面积的最大值为，求b．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
考点七
实际应用中的三角形问题
【解题技巧】
解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
【经典例题】
1．（2020·浙江高三专题练习）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江高三专题练习）如图：某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知（公里），，，是等腰三角形，.（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？
参考值：，，
.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三专题练习）如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为（
）
A．
B．2
C．3
D．2
2．（2021·山西吕梁市·高三一模）刘徽(约公元225年-295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·湖南常德市一中高三月考）已知是半径为2的半圆上的一点，是半圆的直径，为的内接正方形，记?正方形的面积分别为，，.
（1）分别写出，关于的函数；（2）求的最小值.
4．（2021.浙江高三模拟）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某市的一条健康步道，，为线段，是以为直径的半圆，，，.
（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道（，在两侧），，为线段.若，到健康步道的最短距离为，求到直线距离的取值范围.
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精品试卷·第
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破配套训练
专题04
三角函数与解三角形
（测试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·山东菏泽市·高三期末）明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米（称一指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换、调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意所对直角边长为，相邻直角边长为，则斜边长为，
，，∴．故选：C．
2．（2020·浙江台州市·台州一中高三期中）在中，若，则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】A
【详解】解：因为，，所以，若，则，因为，所以，所以
所以，所以
所以，整理得解得或（舍去）
故选：A
3．（2020·浙江高三专题练习）如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（
）
A．海里
B．海里
C．海里
D．40海里
【答案】A
【详解】在中，，所以，
由正弦定理可得：，解得，
在中，，所以，
在中，，由余弦定理可得：
，解得.故选：A.
4．（2020·浙江高三专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，终边分别为射线和，射线，与单位圆的交点分别为，．若，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题知，，，，，
则，故选：C．
5．（2021·江苏南通市·高三期末）圭表（圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆）是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为，，表影长之差为，那么表高为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】如图，在中，，所以由正弦定理得，，可得，在中，.故选：B
6．（2020·浙江高三月考）若α∈(，π)，且3cos
2α＝sin(－α)，则sin
2α的值为（
）
A．－
B．
C．－
D．
【答案】C
【详解】由，可得，
又由，可知，
于是，所以，故，故选：C.
7．（2021·山西吕梁市·高三一模）已知函数，给出下列结论：①的最小正周期为；②点，是函数的一个对称中心；③在上是增函数；④把的图象向左平移个单位长度就可以得到的图象，则正确的是（
）
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②③④
【答案】C
【详解】
即，则周期，故①正确；，故②正确；
当时，，在上是增函数故③正确；
因为，所以把的图像向左平移个单位长度就可以得到的图像，故④错误，故选：C.
8．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知，则角所在的区间可能是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由得，，
对于A，
当时，，，
而，，两个式子不可能相等，故错误；
对于B，当时，，，
，，，存在使得，故正确；
对于C，
时，，，，而，，不可能相等，所以错误；
对于D，
当时，，，
，而，，不可能相等，所以错误
故选：B.
9．（2020·浙江高三其他模拟）在锐角三角形中，，则的最小值是（
）.
A．3
B．
C．
D．12
【答案】B
【详解】∵，∴，∴，
∴，
∵，当且仅当时取等号，
∴.故选：B.
10．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，则（
）
A．是奇函数
B．
C．的一个周期是
D．的最小值小于0
【答案】D
【详解】A.，所以不是奇函数；
B.，，所以，故B不正确；
C.
，，所以函数的一个周期不是，故C不正确；
D.，所以函数的周期,
当时，
当时，，，
当时，
，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上可知，一个周期内的最小值是，因为，所以，
即，所以的最小值小于0.故选：D
二、填空题：本大题共7小题，共35分。
11．（2020·浙江省桐庐分水高级中学高三期中）已知sinθ＋cosθ＝，则tanθ＋的值是__________.
【答案】
【详解】由sinθ＋cosθ＝得.
tanθ＋.故答案为：
12．十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得___________.
【答案】
【详解】由题意知：若，则，得，而∴，故答案为：
13．（2019·浙江高考真题）在中，，，，点在线段上，若，则____；________.
【答案】
【详解】在中，正弦定理有：，而,
，，所以.
14．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数，且，则_________；若与的周期相同，则_________．
【答案】
【详解】因为，所以，因为，所以；因为的周期为，所以可知函数的周期为，所以故答案为：；.
15．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则________，________.
【答案】
【详解】角的终边过点，则
由三角函数的定义可得：
由余弦的二倍角公式可得：
故答案为：；
16．（2020·海南高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12
cm，DE=2
cm，A到直线DE和EF的距离均为7
cm，圆孔半径为1
cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
【详解】设，由题意，，所以，
因为,所以，因为，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，解得；
等腰直角的面积为；扇形的面积，
所以阴影部分的面积为.故答案为：.
18．（2020·浙江省桐庐中学高三月考）锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小为________；若，则面积的取值范围是_________.
【答案】
【详解】∵，∴，整理得，
∴，又是三角形内角，∴，
是锐角三角形，则，∴．
由正弦定理得，，
∴，
∵，∴，∴．故答案为：；．
三、解答题：本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2020·浙江高三月考）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若边上的中线，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）因为，，
所以，因为，
所以，因为，所以，所以
（2）因为是边上的中线，所以，所以，
所以，因为所以，
所以，
19．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知平面向量，，设函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）因为，
所以，
，所以，所以的最小正周期为；
（Ⅱ）因为，所以，所以，
由不等式恒成立，得，解得，
故所求实数的取值范围为.
20．（2020·浙江高三月考）已知向量，，，且的图像过点和点.（1）求，的值及的最小正周期；（2）若将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求在时的值域和单调递减区间.
【答案】（1）；最小正周期为；（2）值域为；单调递减区间为..
【详解】（1）.
把和代入上式，得：.
∴∴
∴的最小正周期为.
（2）由已知得.
当时，，所以，此时，
所以，此时，所以的值域为.
令，所以，
当时，且，所以的单调递减区间为.
21．（2020·浙江高三月考）已知，中，角，，所对的边为，，.（1）求的单调递增区间；（2）若，，求周长的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【详解】（1），
∴在上单调递增，∴，
（2），得，即，，则，
而，由余弦定理知：，有，
所以当且仅当时等号成立，而在中，
∵周长，∴
22．（2020·浙江温州市·浙鳌高级中学高三月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，.(Ⅰ)求角；(Ⅱ)若，求的周长取值范围.
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)
【详解】(Ⅰ)因为，所以由正弦定理可得，
所以，即，所以，
又为锐角，所以.
(Ⅱ)
由(Ⅰ)知，所以，
由得，，，
所以的周长
由题意可得,即，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以的周长的取值范围为.
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题04
三角函数与解三角形
【考纲解读与命题趋势】?
?浙江新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个热点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，三角试题每年都考。
1、题目分布：浙江卷历年考试基本上是1道解答题和1道选择题（填空题），以中档题为主。
2、考察的知识内容：（1）三角函数的概念；（2）同角三角函数基本关系式与诱导公式及其综合应用；（3）三角函数的图像和性质及综合应用；（4）三角恒等变换及其
综合应用；（5）利用正、余弦定理求解三角形；（6）与三角形面积有关的问题；（7）判断三角形的形状；（8）正余弦定理的应用。
3、新题型的考察：（1）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多条件的解答题题型。
4、与其它知识交汇的考察：（1）与函数、导数的结合；（2）与平面向量的结合；（3）与不等式的结合；（4）与几何的结合。
5、做三角函数与解三角形题时要注意以下几点：
1、从三角函数的定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、求值，结合三角函数的图像，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质，并能正确地描述三角函数图像的变换规律。要重视对三角函数图像和性质的深入研究，三角函数
，是高考考查知识的重要载体，是三角函数的基础。
“五点法”画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键，因此复习时应精选典型例题(选择题、填空题、解答题)加以训练和巩固，把解决问题的方法技巧进行归纳、
整理，达到举一反三、触类旁通。
2、以两角差的余弦公式为基础，掌握两角和与两角差的正余弦公式、正切公式、二倍角公式，特别是用一种三角函数表示二倍角的余弦，掌握公式的正用、逆用、变形应用，迅速正确应用这些公式进行化简、求值与证明，即以两角差的余弦公式为基础.推出三角恒等变换的相应公式，掌握公式的来龙去脉。
3、从正余弦定理的公式出发，结合三角形的面积公式，精选高考真题进行解答推广并加以应用，灵活求解三角形中的边角问题以及三角形中边角互化，得出面积公式的不同表达式，判断三角形的形状等间题，同时注意三角形中隐含条件的挖掘利用.
4、三角函数是特殊的函数，其思想方法多种多样，复习时要重视思想方法的渗透。数形结合思想在三角函数中有着广泛的应用，如三角函数在闭区间上的最值问题可以利用三角函数的图像和性质，三角函数的零点问题、对称中心、对称轴以及三角函数的平移变换、伸缩变换等都渗透数形结合思想。在三角函数求值中，把所求的量作为未知数，其余的量通过三角函数转化为未知数的表达式，列出方程，就能把问题转化为含有未知数的方程问题加以解决。
【知识梳理】
1.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝
rad；1
rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
2.同角三角函数的基本关系：(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tanα.
3.三角函数的诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限
4.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
cos(α?β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.
tan(α±β)＝.
5.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin
2α＝2sinαcosα.
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan
2α＝.
6.辅助角公式：已知函数f(α)＝asin
α＋bcos
α(a，b为常数)，
可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
7.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
{x
x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
8.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC
常见变形
(1)a＝2Rsin
A，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asin
B＝bsin
A，bsin
C＝csin
B，asin
C＝csin
A
cos
A＝；cos
B＝；cos
C＝
2.S△ABC＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)
【考点突破】
考点一
同角三角函数与恒等变换
该考点在浙江新高考中选填题和解答题都有考查先例，整体难度较低，是学生容易拿分的。
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）已知，则________；______．
【答案】
【详解】，
，故答案为：
2．（2018·浙江高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
或
.
【详解】详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.
由得，
所以或.
【变式探究】
1．（2020·浙江省东阳中学高三期中）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令，则且，
因此
.故选：B.
2．（2020·浙江高三月考）已知，，，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】或
因为，所以
故选：B
3．（2021·浙江绍兴市·高三期末）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍（所成角记、），则_______．
【答案】
【详解】由题意，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍时，，
所以故答案为：.
4．（2020·浙江高三专题练习）如图，在单位圆上，AOB＝()，
BOC＝
，且△AOC的面积等于．（
I）求
sin
的值；（
II）求
2cos()sin)
【答案】(Ⅰ)
sin
(Ⅱ)
【详解】（I），∴，
∴，
=
（II）∵=，
∴==.
考点二
三角函数的图象和性质
关于三角函数的图象和性质的考查，主要考向有：1.简单三角函数的图象和性质；2.三角恒等变换与三角函数的图象和性质综合；3.三角函数的图象和性质与其它知识的综合考查.
【经典例题】
1．（2021·河南高三月考（理））已知函数的部分图象如图所示.给出下列结论：
①，，；②，；③点为图象的一个对称中心；
④在上单调递减.其中所有正确结论的序号是（
）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
【答案】D
【详解】由图象可知，，，再由，得，故①不正确，②正确；由于为图象的一个对称中心，又的最小正周期为，故其全部的对称中心为，当时，对称中心为，故③错误；由于为的单调递减区间，的最小正周期为，故的单调递减区间为，当时即为，故④正确.故选：D.
2．（2017·浙江高考真题）已知函数
（I）求的值（II）求的最小正周期及单调递增区间.
【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.
【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin
x
cos
x，＝﹣cos2xsin2x，＝﹣2，
则f（）＝﹣2sin（）＝2，
（Ⅱ）因为．所以的最小正周期是．
由正弦函数的性质得，解得，
所以，的单调递增区间是．
【变式探究】
1．（2020·浙江宁波市·高三期中）要得到函数的图象只需将函数的图象（
）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
【答案】B
【详解】解：由函数，，
所以先向左平移个单位长度，得的图像，再向上平移2个单位长度，得
的图像，故选：B
2．（2020·浙江杭州市·高三月考）已知函数f（x）＝（，x∈R）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的命题中正确的是（
）
A．函数g（x）是奇函数
B．g（x）的图象关于直线对称
C．g（x）在上是增函数
D．当时，函数g（x）的值域是[0，2]
【答案】B
【详解】＝sinωx2sin()，
由题意知函数周期为π，则，ω＝2，从而＝2sin(），
把函数的图象沿x轴向左平移个单位，
横坐标伸长到原来的2倍得到函数＝2sin()，
不是奇函数，A错；在[]是单调递增，C错；
时，函数的值域是[1,2]，D错；
的图象关于直线对称，B对；只有选项B正确，故选：B．
3．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数.
（1）求函数在区间上的值域；
（2）求函数()图象上的所有点向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，若，求实数的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【详解】（1）
因为，所以，所以函数的值域为.
（2）解法1：直接思维.由题意可知，.
因为，所以当时，取到最大值.所以，.
解得，.因为，所以的最小值为.
解法2：逆向思维.因为，所以当时，取到最大值.
由题意可知，当时，取到最大值.所以，.
解得，.因为，所以的最小值为.
4．（2021·浙江高三学业考试）已知函数，.
（1）求的值；（2）求函数的最小正周期；（3）当时，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1），即.
（2），
故的最小正周期.
（3）因为，所以，
当，即时，；当，即时，，
故在上的值域为.
考点三
解三角形
解三角形问题离不开三角恒等变换，主要考向有：1.正弦定理的应用；2.余弦定理的应用；3.正弦定理、余弦定理的综合运用；4.三角函数的图象和性质与解三角形问题的综合.
【经典例题】
1．（2020·浙江金华市·高三月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为___________，周长的取值范围为___________.
【答案】
【详解】由得，所以，所以当时，
的最大值为，所以，即面积的最大值为；
由余弦定理可得，所以，
又，所以，所以，即周长的取值范围为.
故答案为：；.
2．（2021·浙江嘉兴市·高三月考）在中，角，，所对的边分别是，，．已知．（1）求的值；（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）由，得，代入
，即，又，解得，．
（2）由余弦定理得，即，解得，即．
【变式探究】
1．（2020·浙江绍兴市·高三月考）在中，角??所对的边分别为??，已知，则=___________；若点是边上靠近的三等分点，且，则面积的最大值为___________.
【答案】
【详解】因为，所以，
所以，即，故所以.
因为点是边上靠近的三等分点，所以，
从而.,故，即，
故.故答案为：，
2．（2020·浙江高三月考）已知中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积，则的外接圆的直径为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由三角形面积公式得
由余弦定理可得
则的外接圆的直径故选：C
3．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三期中）在中，内角，，的对边分别为，，，若，.（1）求的值；（2）设在边上，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）△ABC中，sin2A+sin2C﹣sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得，a2+c2﹣b2＝ac，
所以cosB＝＝＝；又B∈（0，π），所以sinB＝＝＝；
（2）如图所示，
设BD＝AD＝2DC＝x，由c＝AB＝2，利用余弦定理得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BD?cosB，
即x2＝22+x2﹣2×2×x×，解得x＝3，CD＝x＝，
所以△ABC的面积为S△ABC＝AB?BC?sinB＝×2×（3+）×＝3．
4．（2020·浙江高三一模）如图，在中，已知点在边上，，，，．（1）求的值；（2）求的长.
【答案】（1）（2）
【解析】根据平方关系由求出，利用求出，根据三角形内角和关系利用和角公式求出，利用正弦定理求出，根据，计算，最后利用余弦定理求出.
（1）在中，，，所以．
同理可得，．
所以
．
（2）在中，由正弦定理得，．
又，所以．
在中，由余弦定理得，
．
考点四
平面向量运算与三角问题的综合运用
【解题技巧】
三角形的边可以看做向量的模长，三角形的内角可以看做向量的夹角，所以平面向量的数量积、夹角公式及线性运算，往往可与三角形问题相结合.解答此类问题，首先平面向量的基本概念、基本运算必须熟练，更要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件，其次要注意问题的转化，把题目中的向量用三角中边和角表示，体现向量的工具作用.
【经典例题】
1．（2020·浙江杭州市·高三期中）已知的外心为，则的取值范围是_____________.
【答案】
【详解】作出图示如下图所示，取BC的中点D，连接OD，AD，因为的外心为O,则，
因为，
又，
所以，同理可得，，
所以化为，
即.由余弦定理得，
又，当且仅当时，取等号，又，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的数量积运算，以及三角形的外心的定义和性质，关键在于三角形的外心的定义和向量的线性表示，转化表示向量的数量积，将已知条件转化为三角形的边的关系，属于较难题.
2．（2020·浙江杭州市·高三期中）若是垂心，且
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】在中，，由，
得，连接并延长交于，
因为是的垂心，所以，，
所以
同乘以得，
因为，所以
由正弦定理可得
又，所以有，
而，所以，
所以得到，而，所以得到，故选：D.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三二模）已知三角形的外接圆半径为，外接圆圆心为，且点满足，则______，______.
【答案】
【详解】由题意可知为锐角三角形，点在内部，
由可得，
两边同时平方可得，
由可得，
由可得得；
由.故答案为：，.
2．（2020·浙江高三月考）已知中，D是边上一点，，且，则的最大值是______.
【答案】
【详解】假设，则，因为，所以点在圆上运动（直线上方），不妨设，则，圆半径为，易得，
显然当是圆切线时，最大，即最大，
设方程为，即，由，解得（舍去），即方程是：，此时，即．故答案为：．
3．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三其他模拟）设O为的外心，a，b，c分别为，，的对边，且，则的最小值为_________________．
【答案】
【详解】由平面向量数量积的定义可知，，
同理可得，，，
所以，同理：，
.由题得，
所以，所以，
由余弦定理得.
当且仅当时取等.所以的最小值为.故答案为：
4.（2020·浙江宁波市·高三期中）已知平面向量，，设函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）因为，所以，
，，，
所以，所以的最小正周期为；
（Ⅱ）因为，所以，所以，
由不等式恒成立，得，解得，
故所求实数的取值范围为.
考点五
三角函数、三角变换与解三角形问题的结合
【解题技巧】
三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【详解】（I）由结合正弦定理可得：
△ABC为锐角三角形，故.
（II）结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
2．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数的部分图像如图所示，为该图像的最高点.
（1）若，求的值；（2）若，的坐标为，求的解析式.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题设可知，由，则
在中，，则,
所以，，
由余弦定理可得：.
（2）由，的坐标为,所以在，
易知，，所以，又，则
又，所以，所以.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三月考）在中，角，，的对边分别为，，，.
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）因为，
由正弦定理可得，即为.
由余弦定理可得，因为，所以.
（Ⅱ）在中由正弦定理得，又，
所以，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，且，所以且，
所以且，所以，所以，
所以周长的取值范围是.
【点睛】第二问在确定角B的范围时，容易忽视，结合即的条件.
2．（2020·浙江杭州市·高三期中）已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由得，
由正弦定理，∴即，
∴，
∴.
（2）因为
，
因为，所以，
所以，所以，
所以的取值范围为.
3．（2021·浙江湖州市·高三期末）在中，角，，所对的边分别是，，.已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【详解】（Ⅰ）在中，由正弦定理可得，
即，因为，
所以，因为，所以，
可得：，因为，所以，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，
，
因为，所以，
所以，，
所以的取值范围是.
4.（2020·浙江省宁海中学高三月考）已知的内角，，所对的边分别是，，，其面积．（1）若，，求．
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为三角形面积为，
所以，解得，
因为，，由正弦定理得：，所以，
因为，所以，所以为锐角，所以.
（2）由（1）知，
所以
，
令，因为，
所以，所以，
原式，
当，即时，原式取得最大值.
考点六
三角函数（解三角形）多条件的解答题
【经典例题】
1．（2021·浙江温州市·高三期末）已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）在①的周长为，②的面积为，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求B的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：已知，______?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）选①，；选②，；选③，三角形不存在，
【详解】（Ⅰ）在中，，
由正弦定理可得，，则，
即，由，则，所以，
所以，解得.
（Ⅱ）选①的周长为，
由，则，
又，
，所以，
，解得，（i）
又，（ii）
由（i）（ii）可得，，，解得，
由因为，所以.
选②，的面积为，，，则，解得，
所以为等边三角形，所以.
选③，，，，
由余弦定理可得，（iii）
又，（iv）
由（iii）（iv）联立，无解，三角形不存在.
【变式探究】
1．（2021·山东菏泽市·高三期末）在①，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在中，角，，的对边分别为，，，且______
（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围（如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分）
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【详解】（1）若选①：，且，
所以，所以．
又，所以，所以，所以．
若选②：由正弦定理得，因为，
所以，即．
由，，所以，所以.
若选③：由正弦定理得，即，
由余弦定理得，又，所以.
（2）因为是锐角三角形，，
所以，且，得
由正弦定理得，
所以
因为，所以，所以，
所以，即得取值范围是．
2．（2021·浙江金华市·高三期末）从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若_______，
（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若面积的最大值为，求b．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【详解】解：（Ⅰ）若选①：∵，∴，
解得：或（舍去）
∴又，∴；
若选②：由正弦定理角化边可得：，
∴．又，∴；
若选③：由正弦定理边化角可得：
∴∴，
又∴，
∵，∴，∴，又，∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理可知：，∴
由基本不等式得，∴，当且仅当时等号成立，
∴，又的面积的最大值为，所以．
考点七
实际应用中的三角形问题
【解题技巧】
解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
【经典例题】
1．（2020·浙江高三专题练习）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，
由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：
，整理得：，
此时，即：
同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：
，整理得：
此时所以故选C
2．（2020·浙江高三专题练习）如图：某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知（公里），，，是等腰三角形，.（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？
参考值：，，
.
【答案】（1）不能；（2）能.
【详解】（1）在中，，由，得，
于是，由
可知，快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处.
（2）在中，由，得，
在中，，由，得，
由可知，汽车能先到达C处.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三专题练习）如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为（
）
A．
B．2
C．3
D．2
【答案】C
【详解】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，
则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，
则有＝，变形可得BC＝＝＝，
在中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，
则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，则AB＝3．故选：.
2．（2021·山西吕梁市·高三一模）刘徽(约公元225年-295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为，
因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，
所以，所以，故选：D
3．（2021·湖南常德市一中高三月考）已知是半径为2的半圆上的一点，是半圆的直径，为的内接正方形，记?正方形的面积分别为，，.
（1）分别写出，关于的函数；（2）求的最小值.
【答案】（1），(或者写成?)；（2）最小值为.
【详解】（1）易知，，
∴
设正方形的边长为，则有，，而，
故(或者写成?)
∴(或者写成?)
（2）易知(
)令，则
而，，得在上递减，
故当时，有，此时.综上，的最小值为.
4．（2021.浙江高三模拟）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某市的一条健康步道，，为线段，是以为直径的半圆，，，.
（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道（，在两侧），，为线段.若，到健康步道的最短距离为，求到直线距离的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）在
中，由余弦定理可得，，
．
（2）
的轨迹为
外接圆的一部分，设
外接圆的半径为，
由正弦定理，且满足，
由（1）得：，所以为直角，过作于，设所求距离为，
①当通过圆心时，
达到最大，由几何关系得，四边形为矩形，
所以，此时满足，
②当无限接近时，此时，综上：所求
到直线
距离
的取值范围为．
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破配套训练
专题04
三角函数与解三角形
（测试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·山东菏泽市·高三期末）明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米（称一指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换、调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江台州市·台州一中高三期中）在中，若，则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．或
3．（2020·浙江高三专题练习）如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（
）
A．海里
B．海里
C．海里
D．40海里
4．（2020·浙江高三专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，终边分别为射线和，射线，与单位圆的交点分别为，．若，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·江苏南通市·高三期末）圭表（圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆）是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为，，表影长之差为，那么表高为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·浙江高三月考）若α∈(，π)，且3cos
2α＝sin(－α)，则sin
2α的值为（
）
A．－
B．
C．－
D．
7．（2021·山西吕梁市·高三一模）已知函数，给出下列结论：①的最小正周期为；②点，是函数的一个对称中心；③在上是增函数；④把的图象向左平移个单位长度就可以得到的图象，则正确的是（
）
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②③④
8．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知，则角所在的区间可能是（
）．
A．
B．
C．
D．
9．（2020·浙江高三其他模拟）在锐角三角形中，，则的最小值是（
）.
A．3
B．
C．
D．12
10．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，则（
）
A．是奇函数
B．
C．的一个周期是
D．的最小值小于0
二、填空题：本大题共7小题，共35分。
11．（2020·浙江省桐庐分水高级中学高三期中）已知sinθ＋cosθ＝，则tanθ＋的值是_____.
12．十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得___________.
13．（2019·浙江高考真题）在中，，，，点在线段上，若，则____；________.
14．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数，且，则_________；若与的周期相同，则_________．
15．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则________，________.
16．（2020·海南高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12
cm，DE=2
cm，A到直线DE和EF的距离均为7
cm，圆孔半径为1
cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
18．（2020·浙江省桐庐中学高三月考）锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小为____；若，则面积的取值范围是______.
三、解答题：本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2020·浙江高三月考）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若边上的中线，，求的面积.
19．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知平面向量，，设函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
20．（2020·浙江高三月考）已知向量，，，且的图像过点和点.（1）求，的值及的最小正周期；（2）若将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求在时的值域和单调递减区间.
21．（2020·浙江高三月考）已知，中，角，，所对的边为，，.（1）求的单调递增区间；（2）若，，求周长的取值范围.
22．（2020·浙江温州市·浙鳌高级中学高三月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，.(Ⅰ)求角；(Ⅱ)若，求的周长取值范围.
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