大题专练训练23：圆锥曲线（椭圆：定值定点问题3）-2021届高三数学二轮复习Word含解析

二轮大题专练23—圆锥曲线（椭圆：定值定点问题3）
1．已知椭圆经过点，且与椭圆有相同的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两个不同点，为坐标原点，设直线，斜率分别为，，且，试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
解：（Ⅰ）依题意可得：椭圆的焦点为，，则，
所以，解得．
所以．
故所求椭圆的方程为．
（Ⅱ）的面积为定值．
由题意，可设，，，，
因为，可得，即．
①当直线的斜率不存在时，可得，，则，
由，在圆上可知，，
联立，可求得，．
此时，．
③当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，可得．△，
所以，．
又因为原点到直线的距离为，且．
所以①，
把代入①式可得：．
因为，所以．
化简得，②
把，代入②式有：，所以，
此时，△满足题意，所以．
综上可知，的面积是定值且为．
2．已知椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）不过点的直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点．
（Ⅰ）解：由椭圆离心率为，且经过点，
可知．
所以．
所以．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得．
△．
设，，，，则．
因为以线段为直径的圆经过点，
所以．所以．
，
，
由，整理得．
解得或（都满足△．
所以或．
因为直线不过点，
所以直线过定点．
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
则，，，，．
，
解得或（舍．
综上直线过定点．
3．已知圆，点为圆上的动点，轴，垂足为，若，设点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）直线与曲线交于，两点，为曲线上任意一点，且，证明：为定值．
解：（1）设点的坐标为，点的坐标为，，则有，，
所以有，因为点在圆上，所以．
则有，即，
所以曲线的方程为．
（2）由，有，
显然△，设，，，，
则，，
设，则，
又点在曲线上，
则，
又
，
，
则，
所以为定值．
4．已知点，分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，点是以坐标原点为圆心的单位圆上的一点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设斜率为的直线（不过焦点）交椭圆于，两点，若轴上任意一点到直线与的距离均相等，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
解：（1）设椭圆的方程为：，设，，，
则由已知可得：，即，解得，，
故椭圆的方程为：；
（2）证明：设直线的方程为：，，，，，
则，，
若轴上任意一点到直线与的距离均相等，则轴为直线与的夹角的角平分线，
所以，即，整理可得：①
联立方程，消去整理可得：，
则△，解得，
且，，代入①整理可得：，
即直线的方程为：，
故直线恒过定点．
5．如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由．
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，
则有，解得，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由条件得直线的斜率必存在，
设方程为，又，设，，，，
则由，解得，
所以，
因为，
则有，，，
所以，
同理可得，
所以，
即是定值．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为、，，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的一点，，，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．
解：（1）由题意可知，，且，
所以，，，
所以椭圆方程为；
（2）证明：由（1）知，是椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点，
设，，则，且，，
所以直线的方程为，
当，得．从而，
直线的方程为，
令，得，从而．
．
所以为定值．
7．已知椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，且椭圆截直线所得弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围；
（3）试问在轴上是否存在一点，使得恒为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意椭圆过点，且椭圆的离心率为，
则满足方程组，解得，，
所以椭圆方程为，
（2）设直线的方程为，
联立方程，
消去整理得，△，
设点，，，，，，的中点，，
则，
所以，
的垂直平分线的方程为，
令得，
因为，
所以，
所以点的横坐标的取值范围为．
（3）假设存在，设，．
结合第（2）问知：，
所以
所以
设
则对任意恒成立，
所以，解得，，
所以存在点，使得为定值．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线，分别与椭圆交于，，，四点，且，的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，分别是，的中点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
解：（1）由椭圆的定义可得三角形的周长为，，
又椭圆的离心率为，，则，
椭圆的标准方程为；
证明：（2）当的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为：，，，，，
联立，．
，
，
，，
，，，
当时，得，此时，直线过点，，
当时，，，
，、、三点共线；
当的斜率不存在或存在为0时，，所在直线为轴，过点，．
综上，直线过定点，定点的坐标为，．
9．已知椭圆的焦距为2，四个顶点构成的四边形面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率存在直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，，若点在椭圆上，请判断的面积是否为定值．
解：（1）根据题意可得，
解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，设，，，，，，
联立，得，
所以△，
，，
，
因为，
所以，
所以，，
把点坐标代入椭圆的方程得，
整理得，
点到直线的距离，
所以，
所以的面积为定值．