大题专练训练20：圆锥曲线（椭圆：最值范围问题2）-2021届高三数学二轮复习Word含解析

二轮大题专练20—圆锥曲线（椭圆：最值范围问题2）
1．已知椭圆的一个焦点为，且椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，，求面积的最大值．
解：（1）由题意可得，
解得：，，故椭圆的方程．（3分）
（2）由题意可得直线，斜率均存在，
设的斜率为，斜率为，设，，，，
直线的方程为，由得：，则，
可得点的横坐标为，代入，得点的纵坐标为，
故点坐标为，（6分）
则，
将换为，得，（8分）
故面积，（10分）
令，，故，，
当时，，故在，单调递减，故，，
所以面积的最大值．（12分）
2．已知椭圆的焦距与短轴长相等，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，为椭圆上两点，是以为斜边的直角三角形为坐标原点），求的最大值．
解：（1）由题意，可知，即，
所以，
把点的坐标代入椭圆方程得，所以，，
所以椭圆方程为．
（2）当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性可知，
不妨设点在第一象限，则直线的方程为．与椭圆联立，得，
所以，从而，
当直线斜率存在时，可设直线方程为，
与椭圆联立，得，
设，，，，则，
是以为斜边的直角三角形，
，即，
，
所以，即，
，
，
（当且仅当时取等号），
，
综上，的最大值为3．
3．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作斜率不为0的直线与曲线交于，两点．
①求证：；
②求的最大值．
解：（1）由题设得，化简得（3分）
（2）设直线的方程为，，，，，
由，
△，
（4分）
，，
，
（7分）
②法1：直线的方程为，
所以点的纵坐标，所以，
同理可得分
，（9分）
令所以，（10分）
由双勾函数单调性可知，当时，有最大值（12分）
法2：接第二问，由等面积法得：，
（10分）
令，所以，
由双勾函数单调性可知，时，有最大值（12分）
4．已知，分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点，直线与的斜率之积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右焦点分别为，，点，为椭圆上位于轴上方的两点，且，求四边形面积的取值范围．
解：（1）由已知可得：，，，
即可得，解得，
所以椭圆的方程为．（4分）
（2）由（1）知：，，
设直线，，，
延长交椭圆于另一点，，
由，
得，△，
则得，（7分）
由点与关于原点对称知
，
因为（当时，等号成立）．
所以．
所以．
即．（12分）
5．已知椭圆的长轴长为4，椭圆的右焦点到右准线的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）若在椭圆上且在第一象限，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线，分别交轴，轴于点，．
①求证：为定值；
②求面积的最小值．
解：（1）根据题意可得，
解得，，，
所以椭圆的方程为．
（2）①证明：由（1）可得，，
设，，则直线的方程为，
令，得，即点坐标为，
直线的方程为，
令，得，即点坐标为，，
所以，，
所以
因为点在椭圆上，所以，即，
所以．
②
，
（当且仅当时取等号），
面积的最小值为．
6．在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆，为椭圆的上顶点．过原点的直线与圆交于点，两点，且点在第一象限，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为．
（1）若，求直线的斜率；
（2）设与的面积分别为，，求的最大值．
解：（1）设直线的方程为，
联立直线与椭圆方程，消去可得，，
所以得到，
联立直线与圆方程，消去可得，，
所以，
由得，，
故，解得，
因为，所以．
（2）由与关于原点对称，可得点坐标，
所以，，，
所以，
同理可得，，
则有
，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最大值为．