大题专练训练24：圆锥曲线（抛物线：最值范围问题1）-2021届高三数学二轮复习Word含解析

二轮大题专练24—圆锥曲线（抛物线：最值范围问题）
1．已知抛物线的焦点为．
（1）求上纵坐标为4的点到焦点的距离；
（2）若斜率为2的直线与交于、两点，且达到最小值，求直线的方程；
（3）设是的一条弦且，求线段中点横坐标的最小值．
解：（1）抛物线的焦点，准线方程为，
可得，点到焦点的距离为；
（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，
可得，
由△，可得，
设，，，，可得，，
，
则，
当时，达到最小值，
所以直线的方程为；
（3）设直线的方程为，
与抛物线方程联立，可得，
设，的纵坐标分别为，，可得，，
且△，即，
由，
可得，
则，
可得线段中点横坐标
，
当时，，
当且仅当，取得等号；
当时，令，
由在递增，可得的最小值为．
综上可得，时，所求最小值为；
时，所求最小值为．
2．如图，已知点，，是抛物线上的三个不同的点，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）若直线的斜率为1，求顶点的坐标；
（Ⅱ）求三角形的面积的最小值．
解：（1）直线的斜率为1，
直线的倾斜角为，即，
又是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
，
直线与轴平行，
由抛物线的对称性知，点为原点，
．
（2）由对称性知，不妨设点在轴的右侧（包括轴），且，，，，，
则，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为，
联立，得，
，，
，
同理可得，，
，
，
化简可得，，
的面积
，
当且仅当时，等号成立，
故三角形的面积的最小值为1．
3．如图，已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，与轴分别交于，．
（1）求证：直线过定点，并求出该定点；
（2）设直线与轴相交于点，记，两点到直线的距离分别为，；求当取最大值时的面积．
解：（1）证明：设过点与抛物线相切的直线方程为：，
由，
因为相切，所以，
设，是该方程的两根，
由韦达定理得：，
，分别表示切线，斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，
所以切点
所以直线为：，
直线方程为：，
所以过定点．
（2）方法一
由（1）知，
由（1）知点坐标为，，所以直线方程为：，
即：，，分居直线两侧，，
，
当且仅当，
又由，令得：，
；
方法二：
因为，
由（1）知点坐标为，，
又由（1）知直线方程为：，
，
当且仅当取到等号，
又由，令得：，．
4．已知抛物线的焦点为，且点，是抛物线上的动点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于，两点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当直线垂直于直线时，求实数的取值范围．
（Ⅰ）抛物线的焦点为，，则，
抛物线方程为；
（Ⅱ）设，，，，
由题意知，，不与轴垂直，
设，，
由，得，
则，得，同理可得，
，
由直线与圆相切，可得，
得，
则，
又，，
，
，即，
将代入，化简有：，
即，，
，即，得．
实数的取值范围是，．
5．已知椭圆的右顶点与的焦点重合．且椭圆的离心率为，过的右焦点且垂直于轴的直线截所得的弦长为．
（1）求椭圆和抛物线的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线与椭圆交于两点，，直线与直线交于点，求的取值范围．
解：（1）设椭圆的焦距为，实轴长为，
由题意得，则，将代入得，
即，所以，
由，得，，，，
因此椭圆方程为，抛物线的方程为．（5分）
（2）设直线的方程为，，，，，
由，得，
故，，
，
当时，直线的方程为，
令，得，
，
，
令，
，
在上是增函数，，
即，当时，，，
，，，
综上的取值范围是，．（12分）
6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知圆交抛物线与，两点，过劣弧上一点作圆的切线交抛物线与，两点，求的取值范围．
解：（1）设抛物线的方程为，将坐标代入方程得，①
又，②
由①，②解得，所以抛物线的方程为．
（2）由题意可得、两点坐标分别为，
当直线斜率不存在时，，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，，，
由直线与圆相切，得，即，且，
所以，
在劣弧上，所以，由图象的对称性不妨研究，
联立，化简得，
有韦达定理得，
由抛物线的定义可得
，
设，，，
，
所以，
所以．（15分）