大题专练训练25：圆锥曲线（抛物线：最值范围问题2）-2021届高三数学二轮复习Word含解析

二轮大题专练25—圆锥曲线（抛物线：最值范围问题）
1．如图，已知点，，是抛物线上的三个不同的点，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）若直线的斜率为1，求顶点的坐标；
（Ⅱ）求三角形的面积的最小值．
解：（1）直线的斜率为1，
直线的倾斜角为，即，
又是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
，
直线与轴平行，
由抛物线的对称性知，点为原点，
．
（2）由对称性知，不妨设点在轴的右侧（包括轴），且，，，，，
则，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为，
联立，得，
，，
，
同理可得，，
，
，
化简可得，，
的面积
，
当且仅当时，等号成立，
故三角形的面积的最小值为1．
2．已知抛物线，为抛物线上的一点，为其焦点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线过焦点，若直线、分别交直线于、两点，求的最小值．
解：（1）由抛物线的准线方程为，焦点为，
且，解得，
故抛物线的方程为；
（2）由，设，，，，直线的方程为，
由消去，整理得，
所以，，从而有，
由解得点的横坐标为，
同理可得点的横坐标为，
所以，
令，，则，
当时，；
当时，
综上所述，当，即时，的最小值是．
3．设抛物线的焦点为，其准线与轴交于．抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点的距离为5．
（1）求抛物线的方程；
（2）自引直线交抛物线于、两个不同的点，设．若，求实数的取值范围．
解：（1）由抛物线的方程可得准线的方程为，
由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，
所以，解得：，
所以抛物线的方程为：；
（2）由（1）可得点，由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为：，
设，，，，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，
可得：△，即或，
①，，②
因为．即，，，
所以，③
，
由若，可得：，
解得：，
所以：，
由①②③，
所以，且，
实数的取值范围，，．
4．已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长．
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）已知直线的方程为，过直线上一点作（Ⅰ）中轨迹的两条切线，切点分别是，两点，求面积的最小值．
解：（Ⅰ）设点的坐标为，，则点到直线的距离，
经过点作圆的切线，切线长为，
因此，整理可得，
即点的轨迹方程为：；
（Ⅱ）对抛物线，求导可得，
故在，处的切线方程为：，整理可得：，
同理在，处的切线方程为：，
设直线上一点，
，故，在直线上，
即直线的方程为．
联立可得．
，，
点到直线的距离，
面积，
当且仅当时取等号，故面积的最小值为4．
5．已知斜率为1的直线与圆切于点，且点在抛物线上．
（1）求的值；
（2）若不过点的动直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，求的最小值及此时的值．
解：（1）设切线方程为，
由题意可知到切线的距离，
解得或舍，
得切线方程为．
设，则，可得，，
由在抛物线上，可得，
解得；
（2）设，，，，
由可得，
所以，，
，
因为圆心到直线的距离为，
所以，
所以，
由于不过点的动直线与抛物线和圆均有两个不同的交点，
则，解得或．
令，则，，，，
则
，
当且仅当，即，即时取得等号，
所以当时，取得最小值，且为．
6．如图，已知抛物线，过点的直线交抛物线于，两点，点是直线上的动点，且（其中为坐标原点）．
（1）若直线的倾斜角为，求点到直线的距离；
（2）求面积的最小值及取得最小值时直线的方程．
解：（1）因为直线的倾斜角为，且过点，
所以直线的方程为，
又，所以直线的方程为，
因为是直线上的动点，所以，，
所以到直线的距离为；
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，，
所以的面积为；
②当直线的斜率存在时，易得直线的斜率不为0，可设直线的方程为，
与抛物线的方程联立，可得，
则△，设，，，，
则，，
所以
，
因为，所以直线的方程为，
因为是直线上的动点，所以，，
所以到直线的距离，
所以，
综上可得，，
故的面积的最小值为，此时直线的方程为．