大题专练训练28：圆锥曲线（切线问题）-2021届高三数学二轮复习Word含解析

二轮大题专练28—圆锥曲线（切线问题）
2．如图，以原点为顶点，以轴为对称轴的抛物线的焦点为，点是直线上任意一点，过点引抛物线的两条切线分别交轴于点，，切点分别为，．
求抛物线的方程；
（Ⅱ）求证：点，在以为直径的圆上；
（Ⅲ）当点在直线上移动时，直线恒过焦点，求的值．
【解答】解：设抛物线的方程为，
依题意，
所以抛物线的方程为．
（Ⅱ）设点，，，．，否则切线不过点
，切线的斜率，
方程为，其中．
令，得，点的坐标为，
直线的斜率，
，
，即点在以为直径的圆上；
同理可证点在以为直径的圆上，
所以，在以为直径的圆上．
（Ⅲ）抛物线焦点，可设直线．
由，
则．
由（Ⅱ）切线的方程为过点，，
得，
同理．
消去，得
，由上
，即的值为．
1．已知三点，，，曲线上任意一点满足
（1）求曲线的方程；
（2）点，是曲线上动点，曲线在点处的切线为，点的坐标是，与，分别交于点，，求与的面积之比．
【解答】解：（1）由，可得，
，，，．
由题意可得，化简可得．
（2）由题意可得直线，的方程分别为、，且，
曲线在点，处的切线斜率为，
曲线在点，处的切线方程为，
且与轴的交点．
由求得，由求得．
故，故．
故，
而，
，即与的面积之比等于2．
3．已知，点是圆上一动点，动点满足，点在直线上，且．
（1）求点的轨迹的标准方程；
（2）已知点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，记点，到直线的距离分别为，，求的最大值，并求出此时点的坐标．
【解答】解：（1）由可知，为线段的中点，
又，故是线段的垂直平分线，则，
点在直线上，
，
由椭圆定义可知，点的轨迹是以，为焦点，以4为长轴长的椭圆，即，，
，
另当点坐标为时，与重合，不符合题意，
轨迹的标准方程为；
（2）设，，，，，则曲线上点，处的切线的方程为，
又切线过点，所以，
同理可得，故直线的方程为，
由弦长公式可得，
直线的方程为，
，
又，在直线两侧，
，
，
令，则，
当，即时，有最大值，此时点的坐标为．
4．给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”．若椭圆的离心率，点在上．
求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
（Ⅱ）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点，且，，分别交其“卫星圆”于点，，证明：弦长为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由条件可得：
解得
所以椭圆的方程为，（3分）
卫星圆的方程为（4分）
证明：①当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，
当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，
此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或，
所以，
所以线段应为“卫星圆”的直径，所以（7分）
②当，都有斜率时，设点，，其中，
设经过点，与椭圆只有一个公共点的直线为，
则，联立方程组，消去，整理得，（9分）
所以（10分）
所以（11分）
所以，满足条件的两直线，垂直．
所以线段应为“卫星圆”的直径，
所以
综合①②知：因为，经过点，，又分别交其“卫星圆”于点，且，垂直，
所以线段为“卫星圆” 的直径，
所以为定值（12分）
5．已知抛物线，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
证明：抛物线在点处的切线与平行；
当时，是否存在实数，使得以为直径的圆经过点，若存在，求的值：若不存在，说明理由．
【解答】证明：设，，，，
把代入，得，
．
，
点的坐标为，．
，．
即抛物线在点处的切线的斜率为．
直线的斜率为．
；
解：当时，抛物线，
联立，得．
假设存在实数，使得以为直径的圆经过点，且．
由于是线段的中点，．
由知：
．又．
由轴，则．
．
由，
．
则存在实数，使得以为直径的圆经过点．
6．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为，一个焦点是，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是、．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上的点，处的切线方程是．求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅲ）求证：（点为直线恒过的定点）．
【解答】解：椭圆方程的焦点是，故，
又，所以，，
所以所求的椭圆方程为．（4分）
证明：设切点坐标为，，，，直线上一点的坐标，
则切线方程分别为，，
又两切线均过点，可得点，的坐标都适合方程，故直线的方程是，显然直线恒过点，故直线恒过定点．（9分）
证明：将直线的方程，代入椭圆方程，整理得，
所以韦达定理可得：，，
不妨设，，
，
同理，（12分）
所以，
即：，（14分）