2021届高考数学（文）二轮专题六 平面向量（文） 学案Word

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38177376752专题 6
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平面向量
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平面向量
命题趋势
命题趋势
平面向量的命题以客观题为主，以熟知的平面图形为背景，考查平面向量的基本定理及基本运算，另外向量作为工具进行考查，三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题的形式出现．
考点清单
考点清单
一、平面向量及其线性运算
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
一般用有向线段来表示向量
零向量
长度为的向量
记作，其方向是任意的
单位向量
长度等于个单位的向量
非零向量的单位向量为
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
的相反向量为
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则
(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则
（1）交换律：
；
（2）结合律：

减法
若，则向量x叫做与的差，求两个向量差的运算，叫做向量的减法

三角形法则

数乘
实数λ与向量相乘，叫做向量的数乘
（1）；
（2）当λ>0时，的方向与的方向相同；
当λ<0时，的方向与的方向相反；当λ=0时，
；
；

3．共线向量定理
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得．

二、平面向量基本定理和平面向量的坐标表示
1．平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使．
其中，不共线的非零向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设，，则，，，
．
3．平面向量共线的坐标表示
设，，其中．
．

三、平面向量的数量积
1．定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积，
记作a?b=|a||b|cosθ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
2．投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影．
3．数量积的坐标运算：设向量，，则
（1）a?b=x1x2+y1y2
（2）a⊥b?a?b=0?x1x2+y1y2=0
（3）
精题集训
（70分钟）
精题集训
（70分钟）
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．已知向量a=(m，-1)，，且|a|=1，则a?b=（ ）
A． B．1 C．4 D．7
2．已知单位向量a，b满足a?b=0，若向量c=7a+2b，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线(a>0，b>0)的左?右焦点分别为F1，F2，且以F1F2为直径的圆与双曲线C的渐近线在第四象限交点为P，PF1交双曲线左支于Q，若2F1Q=QP，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．设a，b为单位向量，且a-b=1，则a+2b=（ ）
A．3 B．7 C．3 D．7
5．若向量a，b满足a=2，a+2b?a=6，则b在a方向上的投影为（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE=（ ）

A． B． C． D．
高频易错题
高频易错题
一、选择题．
1．已知平面上三点A，B，C满足AB=6，AC=8，BC=10，则AB?BC+BC?CA+CA?AB=（ ）
A．48 B．-48 C．100 D．-100
二、填空题．
2．已知，，，的夹角为，当向量与的夹角为锐角时，求实数的取值
范围 ．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．如图，已知ΔABC与ΔAMN有一个公共顶点A，且MN与BC的交点O平分BC，若，，则的最小值为（ ）

A．4 B． C． D．6
2．若向量，BC=3，1，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．在平行四边形ABCD中，CD=7ED，且BE=λAD+μDE．则λ+μ=（ ）
A．-5 B．-6 C．5 D．6
4．已知抛物线x2=4y的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，．若PB⊥AB，
则AF=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题．
5．已知向量a=(1，-2)，b=4，若a与a-b垂直，则a在b方向上的投影为________．
6．已知a=-1，3，b=1，t，若a-2b⊥a，则a与b的夹角为________．
7．已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，，则的最大值为______．
参考答案
参考答案
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．【答案】C
【解析】因为|a|=1，所以m=0，所以a?b=0×3+(-1)×(-4)=4，故选C．
【点评】本题考点为向量的模长，以及向量的坐标运算，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】因为a，b是单位向量，所以a=b=1．
因为c=7a+2b，所以．
所以，
所以，故选B．
【点评】本题主要考查了向量数量积的定义及性质，考查了转化思想，属于基础题．
3．【答案】A
【解析】F1(-c，0)，F2(c，0)，圆方程为x2+y2=c2，
由，由a2+b2=c2，x>0，y<0，解得，即P(a，-b)，
设，由2F1Q=QP，(a-x0，-b-y0)=2(x0+c，y0)，
得，，
因为Q在双曲线上，∴，(1-2e)2=10，
解得或（舍去），故选A．
【点评】解题关键是找到关于a，b，c的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得P点坐标，由向量线性关系得Q点坐标，代入双曲线方程可得．
4．【答案】B
【解析】因为a，b为单位向量，且a-b=1，所以a-b2=1，
所以a2-2a?b+b2=1，解得，
所以a+2b=a+2b2=a2+4a?b+4b2=7，故选B．
【点评】本题考查平面向量的数量积的求法与应用，是基本知识的考查．
5．【答案】B
【解析】设a，b的夹角为θ，
则a+2b?a=a2+2a?b=a2+2a?b?cosθ=4+4bcosθ=6，
则，即b在a方向上的投影为，故选B．
【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
6．【答案】B
【解析】依题意，，
故选B．
【点评】本题考查了向量的加法法则以及向量的数乘运算，属于基础题．
高频易错题
高频易错题
一、选择题．
1．【答案】D
【解析】AB=6，AC=8，BC=10，∴|AB|2+|AC|2=|BC|2，
故ΔABC为直角三角形，且，AB?AC=0，
AB?BC+BC?CA+CA?AB=AB?BC+BC?CA
=BC?CA+AB=BC?CB=-BC2=-100，
故选D．
【点评】本题主要考查了向量的运算，解题关键是掌握向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，
属于基础题．
二、填空题．
2．【答案】
【解析】，
因为向量与的夹角为锐角，所以，
由，得，
当向量与方向相同时，，
即当时，虽然，但向量与夹角为，
所以的取值范围是．
【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算，考查数量积与夹角的关系，考查计算能力，是中档题．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．【答案】C
【解析】，
又AB=mAM，AC=nAN，，
又M，O，N三点共线，，即得m+n=2，易知m>0，n>0，，
当且仅当，即时，取等号，故选C．
【点评】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）．
2．【答案】A
【解析】因为，BC=3，1，
所以，BA=1，BC=2，
则，，所以，故选A．
【点评】本题考查了三角形面积的求法，考查向量的数量积公式、向量的夹角公式、三角形面积公式、平面向量的坐标运算，向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，是基础题．
3．【答案】A
【解析】因为CD=7ED，所以CE=-6DE，
则BE=BC+CE=AD-6DE，所以λ+μ=1-6=-5，故选A．

【点评】解答本题的关键是根据图形特点以及点的位置利用AD、DE表示出BE，从而完成求解．
4．【答案】D
【解析】由题意可知，F0，1，设，，
则，，
因为PB⊥AB，且A，B，F三点共线，则由，可得，
所以，即，
解得或（舍去），所以．
设直线AB的方程为y=kx+1，与抛物线方程联立，
得，消去y，得x2-4kx-4=0，则x1x2=-4，所以x1=±22，
则．
所以，故选D．
【点评】解题关键是求出x1的值，本题中设直线方程并代入抛物线方程，整理后应用韦达定理求出x1x2，
并结合向量，列出等式确定x2．
二、填空题．
5．【答案】
【解析】∵a?(a-b)=0，a=(1，-2)，∴a2=a?b=5，
又b=4，∴a在b方向上的投影为，故答案为．
【点评】本题主要考查向量垂直，以及向量投影的计算，属于基础题型．
6．【答案】
【解析】依题可得a-2b=-3，3-2t，
∵a-2b⊥a，∴-3×-1+33-2t=0，解得t=2，
即b=1，2，
，
又a与b的夹角的范围是0，π，则a与b的夹角为，故答案为．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积公式应用问题，也考查了夹角的计算问题，是基础题型．
7．【答案】
【解析】设Ax1，y1，Bx2，y2，OA=x1，y1，OB=x2，y2，
由x12+y12=1，x22+y22=1，，
可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且，
即有，即三角形为等边三角形，
，
的几何意义为点A，B两点到直线x+y-1=0的距离d1与d2之和，
显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，
可设，
由圆心O到直线AB的距离，可得，解得，
即有两平行线的距离为，
即的最大值为，
故答案为．
【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．