2021届高考数学（文）二轮专题七 数列（文） 学案Word

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数列
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数列
命题趋势
命题趋势
数列的考查主要分为三种，第一种考的是等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差等比数列中项的性质、判断与证明；第二种数列求和的考查，主要以解答题的形式出现，一般求和方法有：分组求和、错位相减、裂项相消等；第三种是数列与其他知识的综合考查，例如数列与函数、不等式结合来探究数列中的最值和不等式的证明．
考点清单
考点清单
等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d
等差中项：2an=an-1+an+1，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N*)
等差数列的求和公式：，
等比数列的通项公式：an=a1qn-1
等比中项：an2=an-1?an+1，若m+n=p+q，则am?an=ap?aq(m，n，p，q∈N*)
等比数列的求和公式：
前n项和Sn与第n项an的关系：an=Sn-Snn-1
精题集训
（70分钟）
精题集训
（70分钟）
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列an的前n项和为Sn，若S9=54，a11+a12+a13=27，则S16=（ ）
A．120 B．60 C．160 D．80
3．已知等比数列的首项为，前n项和为Sn，若，则公比q=（ ）
A．2 B． C． D．
4．在数列an中，对任意n∈N*，都有an+1-2an=0，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．设等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，若，则t=（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列an满足a1=1，，则a6的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
二、解答题．
7．已知公比大于0的等比数列an的前n项和为Sn，a2=4，a1+5是和a3的等差中项．
（1）求数列an的通项公式；
（2）若，求数列bn的前n项和Tn．











8．已知数列an是公差为d的等差数列，且a1=2，a2是的等比中项．
（1）求数列an的通项公式；
（2）当d>0时，求数列的前n项和Tn．













9．已知等差数列an的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．
（1）求数列an通项公式；
（2）设bn=an+2n，求数列bn的前n项和Sn．
高频易错题
高频易错题
一、填空题．
1．设数列an的前n项和为Sn，若Sn=3-2an，则S5=_________．
2．数列an满足，若对任意λ>0，所有的正整数n都有λ2-kλ+2>an成立，则实数k的取值范围是_________．
精准预测题
精准预测题
一、填空题．
1．各项均为正数的等比数列，若a1a9+2a5a6+a3a9=4，则a6+a5=_________．
2．已知等比数列an的前n项和为Sn=3n+1+t，则数列的通项公式an=__________．
3．已知数列an和bn均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，且满足：?n∈N*，，
则_________．
4．在等差数列an中，Sn为其前n项的和，若S4=12，，则S16=________．
5．数列an中，a1=2，am+n=am?an，若ak+2+ak+3+…+ak+11=215-25，则k=________．
二、解答题．
6．等差数列an中，a7=4，a19=2a9．
（1）求an的通项公式；
（2）设，求数列bn的前n项和Sn．











7．已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程的根．
（1）求an的通项公式；
（2）求数列的前n项和．











8．等比数列的各项均为正数，且，a32=9a2?a6．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．




参考答案
参考答案
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．【答案】B
【解析】由S8=4S4，得8a1+28d=44a1+6d，解得，．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，是基础题．
2．【答案】A
【解析】因为等差数列an的前n项和为Sn，S9=54，a11+a12+a13=27，
所以S9=9a5=54，3a12=27，所以a5=6，a12=9，
所以，故选A．
【点评】本题的考查点为数列的前n项和公式，以及等差中项，属于基础题．
3．【答案】D
【解析】当公比q=1时，，不满足题意；
当q≠1时，，，
所以，解得，故选D．
【点评】本题主要考查了等比数列前n项和的计算、通项公式，属于基础题．
4．【答案】A
【解析】由an+1-2an=0，得，即数列an是以2为公比的等比数列，
，故选A．
【点评】本题考查了等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于基础题型．
5．【答案】A
【解析】由题意可得，，
则，解得t=5，故选A．
【点评】本题考查等差数列的前n项和，等差数列的前n项和性质：
{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则
（1）Sm，S2m-Sm，S3m-S2m是等差数列，
（2）S2n-1=(2n-1)an．
6．【答案】A
【解析】因为a1=1，，所以，，
，，，
故选A．
【点评】本题主要考查了等差数列定义及基本量的计算，属于基础题．
二、解答题．
7．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设数列an的公比为q(q>0)，
由题意知2a1+5=S2+a3，即，
化简得2q2-3q-2=0，
因为q>0，所以q=2．
所以．
（2）由（1）可知．
所以，① ，②
由，可得，
所以．
【点评】数列求和的方法技巧
（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
8．【答案】（1）当d=0时，an=2；当d=2时，an=2n；（2）．
【解析】（1）∵a2是的等比中项，
∴a1+d2=a1a1+3d，即2+d2=22+3d，
整理得d2-2d=0，解得d=0或d=2．
当d=0时，an=2；
当d=2时，an=2+2n-1=2n．
（2）由（1）知，当d>0时，an=2n，
，
．
【点评】本题主要考查等差数列通项公式和裂项相消法求前n项和，涉及到等比中项，属于中档题．
9．【答案】（1）或an=3n-5；（2）．
【解析】（1）设等差数列an的公差为d，
由题意，得，解得或，
所以或an=-2+3n-1=3n-5．
（2）当时，，
此时；
当an=3n-5时，bn=3n-5+2n，
此时．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了对数列通项公式和求和公式等基本知识的灵活运用．
高频易错题
高频易错题
一、填空题．
1．【答案】
【解析】由题意，数列an满足Sn=3-2an，
当n≥2时，Sn-1=3-2an-1，
两式相减可得Sn-Sn-1=2an-1-2an，即an=2an-1-2an，可得，
令n=1，可得S1=3-2a1，即a1=3-2a1，可得a1=1，
所以数列an是首项为1，公比为的等比数列，
所以，故答案为．
【点评】本题考查了通项与前n项和公式关系，但要注意在运算an=sn-sn-1时，前提为n≥2．
2．【答案】
【解析】记bn=2n-1an，设，
当n=1时，；
当n≥2时，．
当n=1时，b1=-3也满足上式，所以bn=n-4n∈N*，即．
显然当n≤3时，an<0，a4=0，
当n≥5时，an>0，因此an的最大值若存在，必为正值．
当n≥5时，，
因为，当且仅当n=5时取等号，
所以an的最大值为．
故，变形得，
而，当且仅当时取等号，所以．
故答案为．
【点评】本题主要考查Sn与an的关系应用，不等式恒成立问题的解法应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．解题关键是记bn=2n-1an，设，利用通项bn与前n项和Sn的关系，
求出通项bn，再利用数列的单调性进而求出数列中的最大值，由基本不等式解出．
精准预测题
精准预测题
一、填空题．
1．【答案】2
【解析】由各项均为正数的等比数列得a1a9+2a5a6+a3a9=a52+2a5a6+a62=a5+a62=4，
所以a5+a6=2．
故答案为2．
【点评】应用等比数列性质解题时的2个关注点：
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m+n=p+q，
则am?an=ap?aq”，可以减少运算量，提高解题速度；
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
2．【答案】2?3n
【解析】由Sn=3n+1+t得，
当n=1时，a1=S1=32+t=9+t，
当n=2时，a1+a2=S2=33+t=27+t，9+t+a2=27+t，所以a2=18，
当n=3时，a3=S3-S2=34-33=54，
因为数列an是等比数列，所以a22=a3a1，即18×18=54×9+t，所以t=-3，
a1=6，公比，
所以an=a1qn-1=6?3n-1=2?3n．
故答案为an=2?3n．
【点评】本题数列前n项和与通项的关系，属于基础题型．
3．【答案】
【解析】，故答案为．
【点评】本题考查了等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理应用．
4．【答案】144
【解析】设等差数列的公差为d，则，解得，，
，故答案为144．
【点评】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
5．【答案】3
【解析】因为a1=2，am+n=am?an，所以an+1=an?a1，
所以，{an}是等比数列，公比为2．
所以an=2n．
因为ak+2+ak+3+…+ak+11=2k+2+2k+3+?+2k+11=2k+13-2k+2=215-25，
所以k=3，故答案为3．
【点评】本题主要考查等比数列的定义，前n项和公式的应用，属于基础题．
二、解答题．
6．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等差数列an的公差为d，则an=a1+n-1d．
因为，所以，解得a1=1，，
所以an的通项公式为．
（2），
所以．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．【答案】（1）；（2）．
【解析】方程x2-5x+6=0的两根为2，3，
由题意得a2=2，a4=3．
设数列an的公差为d，则a4-a2=2d，故，从而得．
所以an的通项公式为．
（2）设的前n项和为，
由（1）知，
则，，
两式相减得，
所以．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程x2-5x+6=0的两根为2，3，由题意得a2=3，a3=2，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．
8．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）a32=9a2?a6，即a32=9a42，所以，
又因为an>0，q>0，所以，
又因为2a1+3a2=1，所以，所以，
所以．
（2）因为，所以，
，
设数列的前n项和为，
则，
所以的前n项和为．
【点评】裂项相消时注意前后的保留项
（1）前面保留的项数和后面保留的项数要一致；
（2）裂项相消时注意常数的提取，一般情况下分母的差是几，所提常数就是几．