2021届高考数学（文）二轮专题三 不等式、复数、算法（文） 学案 Word

313690229235
38177376752专题 3
××
不等式、复数、算法
00专题 3
××
不等式、复数、算法
命题趋势
命题趋势
1．不等式
高考中，不等式部分主要考查利用基本不等式求最值及线性规划问题，还有利用不等式的性质比较大小也是高考的热点，另外一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围．
2．复数
复数主要考查复数的概念及四则运算．
3．算法
算法主要考查程序框图的循环结构，以输出结果为主，且常与函数、数列等知识综合命题．
考点清单
考点清单
一、不等式
1．不等式的基本性质
（1）a>b?b （2）a>b，b>c?a>c（传递a）
（3）a>b?a+c>b+c（加法单调性）
（4）a>b，c>d?a+c>b+d（同向不等式相加）
（5）a>b，cb-d（异向不等式相减）
（6）a>b，c>0?ac>bc
（7）a>b，c<0?ac （8）a>b>0，c>d>0?ac>bd（同向不等式相乘）
（9）a>b>0，（同向不等式相除）
（10）a>b，（倒数关系）
（11）a>b>0?an>bn(n∈Z，且n>1)（乘方法则）
（12）a>b>0?na>nb(n∈Z，且n>1)（开方法则）
（13）a-b>0?a>b；a-b=0?a=b；a-b<0?a 2．一元二次不等式
（1）一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一般先将二次项系数化为正数，再判断的符号，然后解对应的一元二次方程，最后写出不等式的解．
（2）一元不等式的恒成立问题
对于ax2+bx+c>0
对于ax2+bx+c>0a≠0恒成立的条件为：二次项系数a>0，Δ<0；
对于ax2+bx+c<0a≠0恒成立的条件为：a<0，Δ<0．
3．分式不等式
对于分式不等式：先移项通分标准化，则；．
4．基本不等式
a>0，b>0，当且仅当a=b时等号成立．
二、复数
1．形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示．
全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母C表示．其中a，b分别叫做复数a+bi的实部与虚部．
2．复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c且b=d．
特别地，a+bi=0?a=0，b=0．
两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小．
3．复数的分类
复数a+bi(a，b∈R)，b=0时为实数；b≠0时为虚数，a=0，b≠0时为纯虚数，
即复数（a+bi，a，b∈R）．
4．复平面
直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z=a+b?对应复平面内的点za，b．
5．共轭复数
（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z的共轭复数用z表示，即如果z=a+bi，那么z=a-bi(a，b∈R)．
（2）共轭复数的性质
①z∈R?z=z；②非零复数z是纯虚数?z+z=0；③z+z=2a，z-z=2bi；④z1±z2=z1±z2；z1?z2=z1?z2；．
（3）两个共轭复数的积
两个共轭复数z，z的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z?z=|z|2=|z|2．
6．复数的模
向量OZ的模r叫做复数z=a+bi(a，b∈R)的模(或长度)，记作|z|或|a+bi|．
由模的定义可知|z|=|a+bi|=r=a2+b2（显然r≥0，r∈R）．
当b=0时，复数a+bi表示实数a，此时r=a2=|a|．
7．复数的加法与减法
两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，
即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a，b，c，d∈R)．
8．复数的乘法
（1）复数的乘法法则
复数乘法按多项式乘法法则进行，设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，
则它们的积z1?z2=(a+bi)?(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i．
（2）复数乘法的运算律
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．对任何z1，z2，z3∈C，
有①z1?z2=z2?z1 (交换律)；
②(z1?z2)?z3=z1?(z2?z3) (结合律)；
③z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (分配律)．
9．复数的除法
复数除法的实质是分母实数化，
即．

三、算法
程序框图（也叫流程图、算法框图）是由一些框图和带箭头的流线组成的，其中框图表示各种操作的类型，框图中的文字和符合表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序．流程图通常由输入、输出框、
流程线、处理框、判断框、起止框等构成．
精题集训
（70分钟）
精题集训
（70分钟）
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．已知，且，．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．已知实数x，y满足ax A． B．
C． D．
4．若正实数x，y满足x+3y=xy，则3x+4y的最小值是（ ）
A．12 B．15 C．25 D．27
5．设复数z满足，则z=（ ）
A． B． C．1 D．2
6．执行右面的程序框图，若输入的分别为1，2，3，则输出的M=（ ）

A． B． C． D．
7．关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且：x2-x1=15，则a=（ ）
A． B． C． D．
8．若正实数x，y满足x+y=1，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．若，则 a+b的最小值是（ ）
A．6+23 B．7+23 C．6+43 D．7+43
10．复数 (为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（多选）设为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（ ）
A．若z2=z3，则z2=±z3 B．若z1z2=z1z3，则z2=z3
C．若z2=z3，则z1z2=z1z3 D．若z1z2=z12，则z1=z2
12．若复数z为纯虚数，且，则m=（ ）
A． B． C． D．2
13．执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（ ）

A． B． C． D．
14．运行如图所示的程序框图，若输入的a值为2时，输出的S的值为12，则判断框中可以填（ ）

A．k<3? B．k<4? C．k<5? D．k<6?
二、填空题．
15．已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_______．
16．若函数的定义域为R，则a的取值范围为_______．
17．已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是__________．
18．若x，y满足约束条件，则的最大值 ．
19．已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为____________．
20．在△ABC中，B=60?，AC=3，则AB+BC的最大值为_________．
21．已知函数f(x)=x2+mx-1，若对于任意的x∈m，m+1都有f(x)<0，则实数m的取值范围为 ．
22．已知复数z满足1+iz=1-7i（是虚数单位），则z=________．
高频易错题
高频易错题
一、选择题．
1．（多选）已知x>1，则的值可以为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．复数，则复数z在复平面内所对应的点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四

二、填空题．
2．已知a∈R，函数，若对任意x∈-3，+∞，fx≤x恒成立，
则a的取值范围是__________．
3．已知a，b∈R，且a-3b+6=0，则的最小值为_________．
4．不等式的解集为________．
5．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为__________．
6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的值为________．

参考答案
参考答案
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．【答案】D
【解析】，
当a>1时，b>a>1，∴a-1>0，b-a>0，b-1>0，a-b<0，
，a-1a-b<0，(b-1)(b-a)>0；
当00，
∴(a-1)(b-1)>0，a-1a-b<0，b-1b-a>0，
观察各选项可知选D．
【点评】在解不等式时，一定要注意对a分为a>1和0 否则很容易出现错误．
2．【答案】D
【解析】如图，先画出可行域，由于z=x+2y，则，令Z=0，作直线，
在可行域中作平行线，得最优解(0，1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2，
故选D．

【点评】本题考点为线性规划的基本方法．
3．【答案】A
【解析】由axy，所以，x3>y3，选A．
【点评】本题将函数不等式结合，利用函数的性质即可解题，属于基础题型．
4．【答案】C
【解析】x+3y=xy变形得，因为x，y是正实数，
则，
当且仅当时，取最小值25，故选C．
【点评】在基本不等式中，遇到已知条件为ax+by=xy时，需要先变形为，
然后利用乘“1”法展开计算，再根据“一正二定三相等”的步骤计算最值．
5．【答案】C
【解析】，z+1=iz-1，z+1=iz-i，i-1z=i+1，
，故z=i，z=1，故选C．
【点评】此题主要考了复数的运算以及复数的概念，属于基础题．
6．【答案】D
【解析】根据题意由1≤3成立，则循环，即；
又由2≤3成立，则循环，即；
又由3≤3成立，则循环，即；
又由4≤3不成立，则出循环，输出．
【点评】此题主要考查框图中循环结构的运行，过程当中，要注意计算不要出错．
7．【答案】A
【解析】因为关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，
所以x1+x2=2a，x1x2=-8a2，
又x2-x1=15，所以(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x2x1=36a2=152，解得，
因为a>0，所以，故选A．
【点评】本题考查了二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力．
8．【答案】D
【解析】∵x>0，y>0，x+y=1，∴x+1+y=2，
，
（当且仅当，取等号），故选D．
【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）．
9．【答案】D
【解析】由题意，ab>0，且3a+4b>0，所以a>0，b>0，
又，所以，3a+4b=ab，所以，，
所以，，
当且仅当，即a=2+23，b=3+23时，等号成立．
故选D．
【点评】本题考查了对数的运算法则，基本不等式性质，属于中档题．
10．【答案】B
【解析】z=i(1+i)=i+i2=-1+i，故对应的点在第二象限．
【点评】本题考查了复数的运算，复数平面的概念．
11．【答案】BC
【解析】由复数模的概念可知，z2=z3不能得到z2=±z3，例如z2=1+i，z3=1-i，A错误；
由z1z2=z1z3，可得z1(z2-z3)=0，
因为z1≠0，所以z2-z3=0，即z2=z3，B正确；
因为z1z2=|z1||z2|，z1z3=|z1||z3|，
而z2=z3，所以|z2|=|z3|=|z2|，所以z1z2=z1z3，C正确；
取，显然满足z1z2=z12，但，D错误，
故选BC．
【点评】本题考点为复数的概念以及复数的运算，属于中档题．
12．【答案】D
【解析】由题意，复数，
因为复数为纯虚数，所以m-2=0，解得m=2，故选D．
【点评】本题考点为复数的概念以及复数的运算，属于基础题．
13．【答案】B
【解析】初始值a=2，i=1，
第一步：，i=1+1=2<2021，进入循环；
第二步：，i=2+1=3<2021，进入循环；
第三步：，i=3+1=4<2021，进入循环；
第四步：，i=4+1=5<2021，进入循环；
因此a的取值情况以4为周期，
又2022除以4余2，当i=2022时，结束循环，此时对应的a的值为a=-3，
即输出a的值为-3，
故选B．
【点评】考点：框图的循环结构流程图，属于基础题型．
14．【答案】B
【解析】运行该程序：输入a=2，
第一次循环：S=0+2×12=2，a=-2，k=1+1=2；
第二次循环：S=2-2×22=-6，a=2，k=2+1=3；
第三次循环：S=-6+2×32=12，a=-2，k=3+1=4，
因为输出的S的值为12，所以判断框中可以填k<4?，故选B．
【点评】本题考查了循环结构，对于循环次数不大的，一般是逐个循环，计算求解．注意计算的准确性，
属基础题．
二、填空题．
15．【答案】0，8
【解析】因为不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立．
∴Δ=-a2-8a<0，解得0 故答案为0，8．
【点评】本题为一元二次不等式恒成立问题，属于基础题型．
16．【答案】-1，0
【解析】恒成立?x2-2ax-a≥0恒成立，
?Δ=(2a)2+4a≤0?a(a+1)≤0，∴-1≤a≤0．
【点评】此题主要考查了函数的定义域和根式有意义的条件，属于中档题．
17．【答案】
【解析】画出不等式组表示的平面区域，

由图可知原点到直线2x+y-2=0距离的平方为x2+y2的最小值，为，
原点到直线x-2y+4=0与3x-y-3=0的交点2，3距离的平方为x2+y2的最大值为13，
因此x2+y2的取值范围为．
【点评】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围．
18．【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，
由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，
由图可知，点A1，3与原点连线的斜率最大，故的最大值为3．

【点评】此题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
19．【答案】3
【解析】本题考查了基本不等式求最值，考查了同学们的转化能力．
因为，所以xy≤3，
当且仅当，即，时取等号，所以xy的最大值为3．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，不等式的解法，属于基础题．
20．【答案】23
【解析】由余弦定理：，即，
整理可得：，解得：a+c≤23，
当且仅当a=c=3时等号成立，
则AB+BC，即a+c的最大值为23．
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，基本不等式等知识点．在运用基本不等式时，一定要注意在使用不等式时，判断符号能否成立．
21．【答案】
【解析】因为函数f(x)=x2+mx-1的图象开口向上的抛物线，
所以要使对于任意的x∈m，m+1都有f(x)<0成立，
，解得，
所以实数m的取值范围为．
【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了利用“三个二次”的结合求解参数的取值范围，是中档题．
22．【答案】5
【解析】由1+iz=1-7i，得，
则|z|=(-3)2+(-4)2=5．
故答案为5．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
高频易错题
高频易错题
一、选择题．
1．【答案】CD
【解析】因为x>1，所以x-1>0，所以，
当且仅当，即x=6时，等号成立，故．
故选CD．
【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
2．【答案】ABD
【解析】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，a-b=2a-1>-1，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，所以a+b≤2，
当且仅当时，等号成立，故D正确，
故选ABD．
【点评】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．【答案】A
【解析】z=1+i+-1+-i+1+i+-1+-i+1+i=1+i，
对应的点为1，1，在第一象限，故选A．
【点评】本题考查了复数的代数形式以及几何意义，关键是利用?2=-1进行化简．
二、填空题．
2．【答案】
【解析】分类讨论：①当x>0时，fx≤x，即-x2+2x-2a≤x，
整理可得，
由恒成立的条件可知：a≥(-12x2+12x)max，x>0
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当-3≤x≤0时，fx≤x，即x2+2x+a-2≤-x，整理可得a≤-x2-3x+2，
由恒成立的条件可知a≤-x2-3x+2min，-3≤x≤0，
结合二次函数的性质可知：
当x=-3或x=0时，，则a≤2；
综合①②可得a的取值范围是，故答案为．
【点评】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）a≥fx恒成立?；
（2）a≤fx恒成立?．有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
3．【答案】
【解析】由a-3b+6=0可知a-3b=-6，且，
因为对于任意x，2x>0恒成立，
结合均值不等式的结论可得：．
当且仅当，即时等号成立．
综上可得的最小值为．
【点评】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；
二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
4．【答案】(-1，2)
【解析】本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，
根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围．
∵2x2-x<4，∴2x2-x<22，
∵y=2x是一个递增函数，∴x2-x<2?-1 故答案为x-1 【点评】本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．
5．【答案】-1，-2，-3
【解析】-1>-2>-3，-1+-2=-3>-3，矛盾，
所以?1，?2，?3可验证该命题是假命题．
【点评】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．
6．【答案】4
【解析】由程序框图知，当n=3时，
第一次循环：“n=1”否，“n是奇数”是，则n=3+1=4，i=1+1=2；
第二次循环：“n=1”否，“n是奇数”否，则，i=2+1=3；
第三次循环：“n=1”否，“n是奇数”否，则，i=3+1=4；
满足条件“n=1”，结束循环，
输出的值为4，故答案为4．
【点评】含有循环结构的程序框图问题，根据框图的结构，逐次循环，注意条件的检验是关键．