2021届高考数学（文）二轮专题十一 坐标系与参数方程（文） 学案Word

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坐标系与参数方程
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坐标系与参数方程
命题趋势
命题趋势
本部分内容主要考查极坐标方程与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化；已知直线或曲线的参数方程或极坐标方程，求距离、面积等综合问题，本部分考查难度一般不大．
考点清单
考点清单
1．平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，
点P(x，y)对应到点P'(x'，y')，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；
以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ．
有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任何实数．
注：极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点．极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
若ρ<0，则-ρ>0，规定点(-ρ，θ)与点(ρ，θ)关于极点对称，即(-ρ，θ)与(ρ，π+θ)表示同一点．
如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．
极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应唯一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P的极坐标不唯一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ，θ＋2kπ)或（-ρ，θ＋(2k+1)π），(k∈Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．
则除极点外，平面上点的极坐标就唯一了，如限定ρ>0，0≤θ<2π或ρ<0，-π<θ≤π等．
极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．
即一个点的极坐标是不唯一的．
3．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，从图中可以得出：

，，，．
4．常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
过极点，倾斜角为α的直线

（1）θ=αρ∈R和θ=π+αρ∈R
（2）θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)
过点a?，?0，与极轴垂直的直线

ρcosθ=a
过点，与极轴平行的直线

ρsinθ=a0<θ<π
过点a?，?0，倾斜角为α的直线

ρsinα-θ=asinα
圆心为极点，半径为a的圆

ρ=a0≤θ<2π
圆心为a?，?0，半径为a的圆


圆心为，半径为a的圆

ρ=2asinθ0≤θ<π
5．参数方程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
6．常见曲线的参数方程
（1）经过定点P(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程（t为参数）．
设P是直线上的任意一点，则t表示有向线段P0P的数量．参数的几何意义是有向线段P0P的数量．
（2）圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为（θ为参数）；
（3）椭圆的参数方程为（φ为参数）；
椭圆的参数方程为（φ为参数）；
（4）抛物线y2=2px参数方程为参数，）；
参数t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
7．参数方程与普通方程之间的互化
在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．在参数方程与普通方程的互化中，
必须使x，y的取值范围保持一致．
参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，
则一定要通过．根据t的取值范围导出x，y的取值范围．
精题集训
（70分钟）
精题集训
（70分钟）
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．极坐标系中，若等边△ABC的两个顶点、，那么顶点C的极坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题．
2．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）射线OP的极坐标方程为，若射线OP与曲线C的交点为A (异于点O)，与直线l的交点为B，求线段AB的长．













3．在直角坐标系xOy中，直线l过点P(0，2)，倾斜角为．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos 2θ-2sinθ=0．
（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l交曲线C于A，B两点，M为AB中点，且满足|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，求直线l的斜率．












4．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (α为参数)．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标．












5．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (m为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于点P，求圆心在极轴上，且经过极点和点P的圆的直角坐标方程．













6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2相交于A，B两点，设P-1，3，求PA?PB．













7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α<π），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C的交点为A，B．
（1）若，求AB；
（2）设点P1，1，求的最小值．












8．以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线，
M是C1上的动点，点N在射线OM上且满足2ON=OM，设点N的轨迹为C2．
（1）写出曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（2）已知直线l的参数方程为 (t为参数，)，曲线C2截直线l所得线段的中点
坐标为，求的值．












9．以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知在极坐标系中曲线C是以点为圆心，以1为半径的圆，以极点为坐标系原点O，极轴为x轴的非负半轴，且单位长度相同建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）写出l的普通方程及曲线C的极坐标方程；
（2）判断l与C是否相交，若相交，设交点为P，Q两点，求线段PQ的长，若不相交，说明理由．
高频易错题
高频易错题
一、解答题．
1．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数，0≤α<π)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A?B两点，求△OAB面积的最大值．
精准预测题
精准预测题
一、解答题．
1．在平面直角坐标系xOy中，直线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若l与C相交于A，B两点，且，求α．











2．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）写出点C的极坐标及圆C的极坐标方程；
（2）点AB分别是圆C和直线l上的点，且，求线段AB长的最小值．












3．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设点P0，2，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求PA-PB的值．












4．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）求曲线C1的普通方程以及曲线C2的直角坐标方程；
（2）若曲线C1、C2交于M、N两点，，求的值．











5．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其它民俗活动的民间艺术，蕴含了极致的数学美和丰富的文化信息，现有一幅剪纸的设计图（如图），其中的4个小圆均过边长为2的正方形的中心O，且内切于正方形的邻边，现以O为极点，OA为极轴建立极坐标系．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若射线和与图中阴影部分边界有交点，连接所有交点的线段围成了几何图形Ω，求该几何图形Ω的面积．











6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）在曲线C上取两点M，N与原点O构成ΔMON，且满足，求ΔMON面积的最大值．
参考答案
参考答案
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．【答案】A
【解析】由于等边△ABC的两个顶点、，
则线段AB的中点为极点O，
由等腰三角形三线合一的性质可得OC⊥AB，且，
，，因此，顶点C的极坐标可能是，
故选A．
【点评】本题考查顶点的极坐标的求法，考查对称、中点坐标公式等基础知识，考查推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题．
二、解答题．
2．【答案】（1）C：x2+y-12=1，l：x+3y-23=0；（2）1．
【解析】（1）由，可得，
所以曲线C的普通方程为x2+y-12=1，
由，所以，
所以直线l的直角坐标方程为x+3y-23=0．
（2）曲线C的方程可化为x2+y2-2y=0，所以曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，
由题意设，
将代入ρ=2sinθ，ρ1=1；
将代入，可得ρ2=2，
所以AB=ρ1-ρ2=1．
【点评】本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点：
1．直角坐标系下的弦长公式AB=1+k2x1+x22-4x1x2或；
2．利用直线参数方程t的几何意义可知AB=t1-t2；
3．极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长AB=ρ1-ρ2．
3．【答案】（1）l的参数方程为 (t为参数)，C的直角坐标方程为x2=2y；（2）斜率为±2．
【解析】（1）因为直线l过点P(0，2)，倾斜角为，
所以直线l的参数方程为 (t为参数)；
因为，所以，
所以曲线C的直角坐标方程为x2=2y．
（2）将直线l的参数方程为 (t为参数)代入x2=2y，
可得，
设A，B所对应的参数为t1，t2，所以，，
因为|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，
所以，即，
解得，，
故直线l的斜率为±2．
【点评】解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题．
4．【答案】（1）；C2：x+y-2=0；（2）22，．
【解析】（1）对于曲线C1有，所以C1的普通方程为．
对于曲线C2有，，
，即C2的直角坐标方程为x+y-2=0．
（2）联立，整理可得4x2-12x+9=0，
Δ=-122-4×4×9=0，所以椭圆C1与直线C2无公共点，
设，
点P到直线x+y-2=0的距离为，
当时，d取最大值为22，
此时点P的坐标为．
【点评】本题主要考查极坐标和参数方程的运算，以及点到直线距离公式的使用，属于中档题．
5．【答案】（1）l:x-y-2=0，x2-y2=8；（2）．
【解析】（1）曲线C的参数方程为 (m为参数)，
两式平方相减得曲线C的普通方程为x2-y2=8．
直线l的极坐标方程为，则，
转换为直角坐标方程为x-y-2=0．
（2）由，得，所以点P的直角坐标为(3，1)，
设圆心为，则a2=(a-3)2+1，解得，
所以，圆的直角坐标方程为．
【点评】（1）关键点：极坐标方程与普通方程的转换主要应用于ρcosθ=x，ρsinθ=y．
（2）求直线与曲线的交点坐标，列方程组、解方程组、可得交点坐标；
求圆的方程可根据圆心x0，y0和半径r，得出圆的方程．
6．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由，得，
由，得，
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+3y-2=0．
（2）经检验P-1，3在曲线C2上，
则曲线C2的参数方程可写为（t为参数），
代入曲线C1，得13t2+203t+12=0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得，
故．
【点评】本题解题的关键是理解直线参数方程中t的几何意义．
7．【答案】（1）3；（2）．
【解析】（1）由曲线C的极坐标方程得3ρ2+ρ2sin 2θ=12，
化为直角坐标方程为3x2+y2+y2=12，即3x2+4y2=12．
将直线l的参数方程代入其中，得．
当时，上述方程即4t2+8t-5=0，解得，，
所以AB=t1-t2=3．
（2）由根与系数的关系可知：，，
所以，
其中，当时取等号，
所以的最小值为．
【点评】直线参数方程的几何意义：
（1）直线参数方程中参数t的几何意义是这样的：如果点A在定点P的上方，则点A对应的参数tA就表示点A到点P的距离|PA|，即tA=|PA|．
如果点B在定点P的下方，则点B对应的参数tB就表示点B到点P的距离的相反数，
即tB=-|PB|．
（2）由直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上A，B两点间的距离|AB|，不管A，B两点在哪里，总有|AB|=|tA-tB|．
8．【答案】（1）ρ2=ρ(sinθ+3cosθ)，；（2）．
【解析】（1）设N(ρ，θ)，因为2ON=OM，可得M(2ρ，θ)，
代入满足C1的方程，可得，
即，两边同乘以ρ并展开整理得ρ2=ρ(sinθ+3cosθ)，
又由，，
所以C2的直角坐标方程为．
（2）将l的参数方程代入C2的直角坐标方程，整理得，
可得，
又由直线l的参数方程经过点，可得t1+t2=0，
即，即tanφ=-3，
因为，所以．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根与系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
9．【答案】（1）l的普通方程为y=x+1，曲线C的极坐标方程为；（2）相交，长度为2．
【解析】（1）l的普通方程为y=x+1，
由，，
曲线C圆心的直角坐标为，
曲线C的直角坐标方程为，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得，
所以曲线C的极坐标方程．
（2）曲线C圆心的直角坐标为，半径r=1，
所以圆心到直线y=x+1的距离为，
所以l与C是相交，PQ=2r2-d2=2．
【点评】本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于中档题．
高频易错题
高频易错题
一、解答题．
1．【答案】（1）l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4；（2）最大值是22．
【解析】（1）将直线l的参数方程 (t为参数，0≤α<π)中的参数消去，
得到直线l的普通方程，为，
由曲线C的极坐标方程，可得，
又ρ2=x2+y2，x=ρ?cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为，
即(x-2)2+y2=4．
（2）把直线l的参数方程代入到曲线C的直角坐标方程(x-2)2+y2=4，
得，
设A?B对应的参数分别为t1?t2，则，t1?t2=-2，
由参数t的几何意义知：
，
又点O到直线l的距离，
∴△OAB的面积：
，
当，即时等号成立，故△OAB的面积的最大值是22．
【点评】本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化，关键是能够根据参数t的几何意义将已知弦长用韦达定理的形式表示，再利用点O到直线l的距离表示三角形的高．
精准预测题
精准预测题
一、解答题．
1．【答案】（1）y2=4x；（2）．
【解析】（1）由，得．
又∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
的直角坐标方程为y2=4x．
（2）直线l的参数方程为（其中t为参数，），
将它代入y2=4x，得，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则，，
，
又，，，
即．
【点评】直角坐标方程与极坐标方程互化的关键是利用公式，求直线与圆锥曲线的弦长时，
利用直线参数方程的几何意义更简单．
2．【答案】（1）(1，0)，ρ2-2ρcosθ-8=0；（2）．
【解析】（1）由参数方程知：，
由知：圆C的方程为(x-1)2+y2=9，
∴点C的极坐标是(1，0)，
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴圆C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-8=0．
（2）在△ABC中，，
由题意知：直线l为y=x，点C到直线l的距离，
∴，故当时，线段AB的长取得最小值．
【点评】由参数方程结合同角三角函数的平方关系可得普通方程，应用x=ρcosθ，y=ρsinθ将方程转化为极坐标方程；由余弦定理得到|AB|关于|BC|的函数，根据点线距离求得|BC|的范围，应用函数性质即可求|AB|的最小值．
3．【答案】（1）C：x-12+y-22=2，l：x-y+2=0；（2）2．
【解析】（1）由曲线C的参数方程，
得．
∵，
∴曲线C的普通方程为x-12+y-22=2．
由，得ρsinθ-ρcosθ=2．
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴直线l的直角坐标方程为x-y+2=0．
（2）设直线l的参数方程为（t为参数，），设在直线l的参数方程中点A，B所对应的参数分别为t1，t2，
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得t2-2t-1=0，Δ>0，
则有t1+t2=2，t1t2=-1．
∴PA-PB=t1-t2=t1+t2=2．
【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查与弦长有关问题的求解．
（1）将参数方程化为普通方程式，只需要将原式合理变形，进行消参即可；将极坐标方程化为直角坐标方程为利用求解；
（2）过点Mx0，y0，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)，且t的几何意义为：t是直线上任一点px，y到Mx0，y0的距离，设A，B是直线l上任意两点，则有MA+MB=t1+t2，MA-MB=t1-t2，MA?MB=t1?t2．
4．【答案】（1）曲线C1的普通方程为，曲线C2的直角坐标方程为x-3y-6=0；（2）．
【解析】（1）曲线C1的参数方程为为参数），
转换为，
所以①，②，
②-①得．
曲线C2的极坐标方程为，
根据，转换为直角坐标方程为x-3y-6=0．
（2）点在直线x-3y-6=0上，
转换为参数方程为为参数），
代入，得到t2+82t+24=0(t1和t2为点M和N对应的参数），
所以t1+t2=-82，t1t2=24，
所以．
【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，
（1）公式可实现极坐标方程与直角坐标方程的互化；
（2）直线的标准参数方程中参数具有几何意义：过P0x0，y0的直线l的参数方程为（t为参数），则t=P0P．从P0向上的点对应t>0，向下的点对应参数．
5．【答案】（1）ρ=22-2sinθ；（2）3-22．
【解析】（1）依题意，AB=2，所以OB=2，
设圆O1的半径为r，则，即2r=2-2r，解得，

所以圆O1的直角坐标方程为x2+y-2+22=2-22，即x2+y2-22-2y=0，又，所以ρ2-22-2ρsinθ=0，所以ρ=22-2sinθ．
（2）圆O2的直角坐标方程为x+2-22+y2=2-22，
则圆O2的极坐方程为ρ=-22-2cosθ，
当时，；
当时，，
所以Ω的面积．
【点评】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化，以及极坐标下两点的距离公式的应用，属于中档题．
6．【答案】（1）；（2）4．
【解析】（1）可知曲线C的普通方程为x-32+y-12=4，
所以曲线C的极坐标方程为ρ2-23ρcosθ-2ρsinθ=0，
即．
（2）由（1）不妨设Mρ1，θ，，(ρ1>0，ρ2>0)，

，
所以ΔMON面积的最大值为4．
【点评】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和和极坐标方程相互转化，考查利用极坐标求解三角形面积的最大值问题．属于中档题．