2021届高考数学（理）二轮专题八 排列组合、二项式定理（理） 学案Word

313690229235
38177376752专题 8
××
排列组合、二项式定理
00专题 8
××
排列组合、二项式定理
命题趋势
命题趋势
1．排列组合的考查主要以实际生活为背景，以选择题或填空题的形式出现，在解答题中，通常还会与概率结合进行考查，难度中等．
2．二项式定理主要以选择题或者填空题的形式进行考查，常考的内容为，求展开式中特定项的系数，或者已知特定项的系数求参数，以及运用赋值法求特定项系数和的问题．
考点清单
考点清单
1．排列、组合的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义

合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2．排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数
组合数
定
义
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公
式



性
质
Ann=n!，0!=1
Cn0=1，Cnm=Cnn-m，Cnm+Cnm-1=Cn+1m
正确理解组合数的性质
（1）Cnm=Cnn-m：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n-m个元素的方法数．
（2）Cnm+Cnm-1=Cn+1m：从n+1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有Cnm种方法；②含特殊元素A有Cnm-1种方法．
3．二项式定理
（1）二项式定理：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+?+Cnkan-kbk+?+Cnnbn(n∈N*) ?；
（2）通项公式：Tk+1=Cnkan-kbk，它表示第k+1项；
（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为Cn0，Cn1，?，Cnn?．
4．二项式系数的性质

（1）①项数为n+1．
②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n．
③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．
（2）二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a+bx)n的二项展开式中，第k+1项的二项式系数是Cnk，而该项的系数是Cnkan-kbk．当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．
精题集训
（70分钟）
精题集训
（70分钟）
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．在的展开式中，x3的系数为（ ）
A．-15 B．15 C．-20 D．20
2．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ）
A．63 B． C． D．
3．为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有（ ）
A．540 B．240 C．150 D．120
4．高三毕业时，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排合影留念，其中戊站在正中间，则甲不与戊相邻，
乙与戊相邻的站法种数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．24
5．甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲、乙两人
不能同去一个地方，则不同分法的种数（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
6．2020年我国实现全面建设成小康社会的目标之年，也是全面打赢脱贫攻坚战之年．某乡镇为了了解本镇脱贫攻坚情况，现派出甲、乙、丙3个调研组到A、B、C、D、E等5个村去，每个村一个调研组，每个调研组至多去两个村，则甲调研组到A村去的派法有（ ）
A．48种 B．42种 C．36种 D．30种
7．如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）

A．56 B．72 C．64 D．84
8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆．将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ）
A．72 B．84 C．96 D．120
9．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）已知的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A． B．展开式中偶数项的二项式系数和为512
C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中的常数项为45
二、填空题．
11．记为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则a+bc+de+f为偶数的排列的个数共有________．
12．现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是_______．
13．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种．（结果用数字表示）
14．在二项式的展开式中，含的项的系数为______；各项系数的最小值为______．（结果均用数值表示）
高频易错题
高频易错题
一、填空题．
1．12本相同的资料书分配给三个班级，要求每班至少一本且至多六本，则不同的分配方法共有_____种．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．展开式中x-2y3项的系数为160，则a=（ ）
A．2 B．4 C． D．-22
2．已知随机变量X服从二项分布，其期望EX=2，当时，目标函数z=x-y的最小值为b，则a+bx5的展开式中各项系数之和为（ ）
A．1 B．25 C．35 D．
3．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（ ）
A．96种 B．84种 C．78种 D．16种
5．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，
则不同的站法总数是（ ）
A．90 B．120 C．210 D．216
6．2020年5月22日，国务院总理李克强在发布的2020年国务院政府工作报告中提出，2020年要优先稳就业保民生，坚决打赢脱贫攻坚战，努力实现全面建成小康社会目标任务．为响应党中央号召，某单位决定再加派五名工作人员甲、乙、丙、丁、戊去所负责的A，B，C，D四个村小组帮助指导贫困户脱贫，每个村小组至少派一人，为工作方便，甲不去A小组，乙去B小组，则不同的安排方法有（ ）
A．24 B．42 C．120 D．240
二、填空题．
7．的展开式中常数项为________．
8．数列an中，a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），则________．
9．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有______种不同的选法．（用数字作答）
10．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3中的一个．
（i）当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有______种；
（ii）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．

11．如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC-A'B'C'的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．

参考答案
参考答案
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．【答案】C
【解析】由二项式定理得的展开式的通项
，
令12-3r=3，得r=3，
所以T4=C63x3(-1)3=-20x3，所以x3的系数为-20，故选C．
【点评】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．
2．【答案】B
【解析】常数项是，
令x=1求各项系数和，1+2-16=64，
则除常数项外，其余各项系数的和为64-581=-517，故选B．
【点评】本题主要考查了二项式定理及其通项公式的应用．
3．【答案】C
【解析】根据题意分派到3个贫困村得人数为3，1，1或2，2，1，
当分派到3个贫困村得人数为3，1，1时，有C53A33=60种；
当分派到3个贫困村得人数为2，2，1时，有种，
所以共有60+90=150种，故选C．
【点评】本题考查了两个计数原理和简单的排列组合问题，属于基础题．
4．【答案】B
【解析】由题可知，戊站在正中间，位置确定，则只需排其余四人即可，
则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法有C21×C21×A22=8（种），故选B．
【点评】本题主要考查了分布分类计数原理，属于基础题．
5．【答案】C
【解析】先计算4人中有两名分在一个地方的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全排列共有C42A33种，再排除甲乙被分在同一地方的情况共有A33种，
所以不同的安排方法种数是C42A33-A33=36-6=30，故选C．
【点评】本题考查了排列组合的综合运用，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于中档题．
6．【答案】D
【解析】甲只去1村，则方法为C42C22，甲去2个村调查，则方法数有C41C32A22，
∴总方法数为C42C22C41C32A22=30，故选D．
【点评】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成事件的过程方法，
根据完成事件的方法选择分类计数原理和分步计数原理．
7．【答案】D
【解析】分两种情况：
（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，
所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有种；
（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，
所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色）：有种，
共有84种，故答案为D．
【点评】（1）本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．
（2）排列组合常用方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法．
8．【答案】B
【解析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有C41?A44=96种，
其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，
考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有种排法，
其中一半是重复的，故此时有12种重复．
故共有96-12=84种，故选B．
【点评】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力．
9．【答案】B
【解析】皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务， 基本事件总数n=C52C33A22=20，
大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数m= C22C33A22+ C22C31C22A22=8，
所以大夫、不更恰好在同一组的概率为，故选B．
【点评】本题考查了概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．【答案】BCD
【解析】由题意，，所以n=10（负值舍去），
又展开式中各项系数之和为1024，所以1-a10=1024，所以a=-1，故A错误；
偶数项的二项式系数和为，故B正确；
展开式的二项式系数与对应项的系数相同，
所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；
的展开式的通项，
令，解得r=2，所以常数项为，故D正确，
故选BCD．
【点评】本题主要考查了二项式基本定理及其通项，属于基础题．
二、填空题．
11．【答案】432
【解析】根据题意，a，b，c，d，e，f为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，
则共有A66=720个排列，
若为偶数的对立事件为“为奇数”，
(a+b)、、全部为奇数，有，
故为偶数的排列的个数共有，
故答案为432．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．
12．【答案】
【解析】现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．
现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，
基本事件总数，
最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：
优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有种，
4只次品必有一只排在第五次测试，有种，
那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有种．
于是根据分步计数原理有种．
∴最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率p，
故答案为．
【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．
13．【答案】336
【解析】先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有A44种排法，再安排空盒，有C52A22种方法；
再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有A33A22种排法，再安排空盒，有C42A22种方法，
因此所求放法种数为．
【点评】本题考查排列组合应用，考查综合分析与求解能力，属中档题．
14．【答案】15，-20
【解析】因为二项式，所以，
当r=2时，则T3=153x，含3x的项的系数为15；
当r=3时，则，此时系数最小，最小值为-20，
故答案为15，-20．
【点评】本题考查二项式定理展开式的系数问题，是基础题．
高频易错题
高频易错题
一、填空题．
1．【答案】25
【解析】先分组，再排序，12本书分三个班级，且每班至少一本且至多六本，
可能有1、5、6；2、4、6；2、5、5；3、3、6；3、4、5；4、4、4共6中情况，
当一个班分1本，一个班分5本，一个班分6本，不同的方法有种；
当一个班分2本，一个班分4本，一个班分6本，不同的方法有种；
当一个班分2本，一个班分5本，一个班分5本，不同的方法有种；
当一个班分3本，一个班分3本，一个班分6本，不同的方法有种；
当一个班分3本，一个班分4本，一个班分5本，不同的方法有种；
当一个班分4本，一个班分4本，一个班分4本，不同的方法有种；
所以一共有6+6+3+3+6+1=25，故答案为25．
【点评】本题考查了排列组合，此种情况解题的关键是先分组，再排序，属于中档题．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．【答案】C
【解析】二项式1+ay6展开式的通项为Tr+1=C6r×16-rayr=C6raryr，
令r=3可得二项式1+ay6展开式中的系数为C63a3，
∴展开式中x-2y3的系数为-1C63a3=160，
可得a3=-8，解得a=-2，故选C．
【点评】本题主要考查了二项式定理及其通项，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】根据二项分布期望的定义，可知，得a=4，
画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，

其中A2，2，B1，2，C1，3，
平移直线z=x-y，当直线经过点C1，3时，z取最小值，即b=zmin，
于是a+bx5=4-2x5，
令x=1，可得展开式的各项系数之和为25，故选B．
【点评】本题把二项式定理与线性划结合以及二项分布考查，属于中档题．
3．【答案】D
【解析】由题可得基本事件总数n=C63C33=20，
第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数m=C22C41C33=4，
所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是，故选D．
【点评】本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数．
4．【答案】B
【解析】先确定选的两门，再确定学生选42-2=14，
所以不同的选课方案有6×14=84，故选B．
【点评】本题主要考了分步分类计数原理，属于基础题．
5．【答案】C
【解析】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，
所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：C63A33=120种站法；
第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：C32C62A22=90种站法；
所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是120+90=210，
故选C．
【点评】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题．
6．【答案】B
【解析】当甲、乙在同一小组时，即都在B小组时，则不同的安排方法有：；
当甲、乙不在同一小组时，根据题意可以分成C52-1=9组，乙所在的小组去B小组，甲有2种方法，剩下的两人有2种方法，
因此有不同的安排方法有：，
因此符合题意的不同的安排方法有6+36=42种方法，故选B．
【点评】本题考查了排列组合的应用，考查了数学分析问题能力，属于中档题．
二、填空题．
7．【答案】-3
【解析】，
展开式中常数项为，故答案为-3．
【点评】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
8．【答案】454
【解析】因为an+1+1=2an+2=2an+1，
所以an+1以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1，
则C50a1+C51a2+C52a3+C53a4+C54a5+C55a6
，
又C50×2+C51×22+C52×23+C53×24+C54×25+C55×26
=2×C50×20+C51×21+C52×22+C53×23+C54×24+C55×25=2×1+25=486，
C50+C51+C52+C53+C54+C55=25=32，
所以原式=486-32=454，故答案为454．
【点评】本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量．
9．【答案】360
【解析】分两类：
①只有1名护士，共有：C21C53A42=240种选法；
②有2名护士，共有：C52A42=120种，
故共有种选法，故答案为360．
【点评】此题考查排列组合的应用，分类讨论方法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
10．【答案】4，6
【解析】（i）每条边上的三个数字之和为4，填法如图1，共4种；

（ii）同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法如图2，共6种．

故答案为4，6．
【点评】本题考查了简单的排列组合问题，关键是分步和分类，属于基础题．
11．【答案】576，264
【解析】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有A43A43=576．
（2）若B'，A'，A，C用四种颜色，则有A44=24；
若B'，A'，A，C用三种颜色，则有A43×2×2+A43×2×2=192；
若B'，A'，A，C用两种颜色，则有A42×2×2=48，
所以共有24+192+48=264种．
故答案为①576；②264．
【点评】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．