2021届高考数学（理）二轮专题二 函数与导数（理） 学案 Word

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函数与导数
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函数与导数
命题趋势
命题趋势
1．函数的考查主要为函数性质，基本初等函数，函数的应用为主．函数性质主要为函数的奇偶性、单调性、周期性和值域（最值）的考查，常以选择题、填空题的形式出现；基本初等函数的考查一般单独或与不等式结合命题考查，考查的形式主要为填空题和选择题；函数的应用主要为函数零点问题的考查，难度相对较难．
2．导数的考查一般是一道大题一道小题的形式出现，小题即为选择题、填空题，主要对导数的几何意义以及导数在研究函数问题中的直接运用；大题即解答题一般以压轴题的形式出现，主要考查导数、不等式、方程等方面的综合运用，难度较大．
考点清单
考点清单
一、函数
1．函数的单调性
单调性是函数下定义域上的局部性质，函数单调性常考的等价形式有：
若x1≠x2，且x1，x2∈a，b，
fx在a，b上单调递增x1-x2fx1-fx2>0；
fx在a，b上单调递减x1-x2fx1-fx2<0．
2．函数的奇偶性
①若f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)；
②若f(x)是奇函数，则f-x=-fx，0在其定义域内，则f(0)=0；
③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性．
3．函数的周期性
①若y=f(x)对x∈R，f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)(a>0)恒成立，
则y=f(x)是周期为2a的周期函数；
②若y=f(x)是偶函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；
③若y=f(x)是奇函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；
④若f(x+a)=-f(x)或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数．
4．函数的对称性
①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称；
②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x)，即f(x)=-f(2a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)对称；
③若函数y=f(x)满足fa+x=fb-x，则函数fx的图象关于直线对称；
④若函数y=f(x)满足fa+x=-fb-x，则函数fx的图象关于直线对称．
5．函数的零点问题
（1）函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根，即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标．
（2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．

二、导数
1．导数的几何意义
函数y=fx在x=x0处的导数f'x0就是曲线y=fx在点x0，fx0处的切线的斜率，即k=f'x0．
（1）曲线y=fx在点x0，y0的切线的方程为y-y0=f'x0x-x0．
（2）过点x0，y0作曲线y=fx的切线，点x0，y0不一定是切点，于是对应切线的斜率也不一定是f'x0．
切点不确定时，一般先设切点坐标，由导数得到切线斜率，写出切线方程后，再利用条件来确定切点坐标，
从而得到切线的方程．
2．单调性与导数的关系
设函数y=fx在区间a，b内可导．
（1）如果在a，b内，恒有f'x>0，则y=fx在此区间是增函数；
（2）如果在a，b内，恒有f'x<0，则y=fx在此区间是减函数；
（3）如果在a，b内，恒有f'x=0，那么函数y=fx在这个区间内是常函数．
3．利用导数判断函数单调性的步骤
（1）确定定义域（易错点：漏写定义域）；
（2）求导函数f'x；
（3）解f'x>0（或f'x<0），得到单调递增（减）区间；
（4）在定义域范围内取补集，得到减（增）区间．
4．极值的定义
（1）函数y=fx在点x=a的函数值比它在点x=a附近的函数值都小，则把a叫做fx的极小值点，fa叫做fx的极小值．若y=fx在点x=a处可导，f'x是其导数，就可以用导数描述函数在极小值点附近的特征：f'a=0；而且在点x=a附近的左侧f'x<0，右侧f'x>0．
（2）函数y=fx在点x=b的函数值比它在点x=b附近的函数值都大，则把b叫做fx的极大值点，fb叫做fx的极大值．若y=fx在点x=b处可导，f'x是其导数，就可以用导数描述函数在极大值点附近的特征：f'b=0；而且在点x=b附近的左侧f'x>0，右侧f'x<0．
注意：极值点指x的取值，极值指相应的fx的取值．
5．求可导函数极值的步骤
（1）求函数的定义域；
（2）求导数，并判断函数的单调性；
（3）画表判断函数的极值．
6．求函数fx在区间a，b上的最值得一般步骤
（1）求函数y=fx在a，b内的极值；
（2）比较函数y=fx的各极值与端点处的函数值fa，fb的大小，
最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
7．定积分的性质
（1）；
（2）；
（3）．
8．常用定积分公式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）．
9．的几何意义
（1）当fx在区间a，b上大于0时，表示直线x=a，a≠b，y=0和曲线y=fx所围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义；
（2）当fx在区间a，b上小于0时，表示直线x=a，a≠b，y=0和曲线y=fx所围成的曲边梯形的面积的相反数；
（3）当fx在区间a，b上有正有负时，等于位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方曲边梯形的面积．
精题集训
（70分钟）
精题集训
（70分钟）
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数，若fa≤5，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知fx是定义在R上的函数，f1+x=f(1-x)，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，其中f'x为函数fx的导数，则（ ）
A．0 B．2 C．2020 D．2021
5．已知函数，且，则实数x的取值范围是（ ）
A．(2，+∞) B． C． D．(-∞，1)
6．已知定义在0，+∞上的函数fx满足xf'x-fx<0，其中f'x是函数fx的导函数，
若fm-2021>m-2021f1，则实数m的取值范围是（ ）
A．0，2021 B．0，2022 C．2021，+∞ D．2021，2022
7．a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为 (a>b>0，m>0)．若x1=log 32，x2=log 1510，x3=log 4520，则（ ）
A．x1 8．已知，，，若函数gx有且只有两个零点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当时，函数f(x)=xe x+2，若关于x的函数F(x)=[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．曲线fx=2xlnx在x=e处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数fx=ex-asinx在区间上有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数f(x)=ex-x，直线是曲线y=f(x)的切线，则a+b的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题．
13．已知函数fx=sinx?sin2x，x∈0，2π．下列有关fx的说法中，正确的是______(填写你认为正确的序号)．
①不等式fx>0的解集为或；
②fx在区间0，2π上有四个零点；
③fx的图象关于直线x=π对称；
④fx的最大值为；
⑤fx的最小值为．
14．已知函数f(x)是定义域为R上的奇函数，且对任意，都有f(2-x)=f(x)成立，当x∈[-1，1]时，，则a=_______．当x∈[1，3]时，f(x)=_______．
15．设b、c均为实数，若函数在区间上有零点，则b2+c2的取值范围是___________．
三、解答题．
16．已知函数．
（1）若，求fx的极值；
（2）若fx>0恒成立，求实数a的取值范围．












17．已知函数f(x)=aex-1-x-1．
（1）当a∈R时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a>0时，若g(x)=lnx-x-lna，且f(x)≥g(x)在x>0时恒成立，求实数a的取值范围．













18．已知函数．
（1）求函数fx的单调区间；
（2）若函数gx=fx-ax2+a+2x-1a>0有且只有一个零点，求实数a的取值范围．














19．已知函数．
（1）当时，判断函数y=f(x)的单调性；
（2）若关于x的方程有两个不同实根x1，x2，求实数a的取值范围，并证明x1?x2>e2．
高频易错题
高频易错题
一、解答题．
1．已知函数fx=ex，gx=x2+ax-x+1．
（1）令，讨论函数hx的单调性；
（2）令φx=fxgx，当a≥1时，若恒成立，求实数a的取值范围．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(x)，且f(x)在(-1，0)上递减．若，
b=f(-ln2)，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．已知a=log56，b=log35，c=log23，，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．b 3．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能．因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次运算．现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（ ）（参考数据：）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
4．已知函数fx=ax-ex与函数gx=xlnx+1的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数fx=x2+mxex-me2x（其中e为自然对数的底数）有三个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以xt表示，被捕食者的数量以yt表示．下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法不正确的是（ ）

A．若在t1、t2时刻满足：yt1=yt2，则xt1=xt2
B．如果yt数量是先上升后下降的，那么xt的数量一定也是先上升后下降
C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值
D．被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值
二、填空题．
7．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．
8．设曲线y=alnx+x2a>0上任意一点的切线为l，若l的倾斜角的取值范围是，则实数______．
三、解答题．
9．已知函数fx=xlnx-ax-1，
（1）讨论函数fx在区间1，+∞内的零点个数；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．












10．己知函数．
（1）若fx在R上是减函数，求m的取值范围；
（2）如果fx有一个极小值点x1和一个极大值点x2，求证：fx有三个零点．














11．已知函数．
（1）若，求fx的单调区间；
（2）若fx在0，2上有两个极值点x1，x2 x1 （i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：x1x2<1．




参考答案
参考答案
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．【答案】D
【解析】由题意可得函数的定义域为-∞，0∪0，+∞，
设，∴，
即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B、C选项，
当x→+∞时，有，故排除A选项，
（取x1=e2，x2=e10，x3=e100，
则，，，
因为x1=e2y2>y3，故A选项不符合题意）．
综上所得D选项符合题意，故选D．
【点评】本题考查函数的图象，由函数的性质入手是解决问题的关键，属于基础题．
2．【答案】A
【解析】fa≤5可化为或，解得a≤-1或，故选A．
【点评】常见解不等式的类型：
（1）解一元二次不等式用图象法或因式分解法；
（2）分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；
（3）指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；
（4）含参数的不等式需要分类讨论．
3．【答案】C
【解析】因为f1+x=f1-x，所以函数fx的图象关于直线x=1对称，
又，，，
所以，，．
因为，，所以，
又当x≥1时，为减函数，所以，
即b>a>c，故选C．
【点评】比较函数值的大小，利用函数的单调性，通过自变量的大小关系转化为函数值的大小．
4．【答案】B
【解析】
，
所以，
，
，
所以，所以f'2021-f'-2021=0，
所以，故选B．
【点评】本题考查函数的对称性和求导函数以及求导函数的奇偶性，解答本题的关键是由解析式求得fx+f-x=2，从而得到，求出，得到，得到f'2021-f'-2021=0，考查计算能力，属于中档题．
5．【答案】D
【解析】因为，所以函数在R上单调递减，
由于，所以4x-1<3，得x<1，故选D．
【点评】判断函数fx的单调性是解题的关键．
6．【答案】D
【解析】构造函数，其中x>0，则，
所以，函数为0，+∞上的减函数，
由fm-2021>m-2021f1，可得，即gm-2021>g1，
所以，0 因此，实数m的取值范围是2021，2022，故选D．
【点评】四种常用的导数构造法：
（1）对于不等式f'x+g'x>0（或），构造函数Fx=fx+gx；
（2）对于不等式f'x-g'x>0（或），构造函数Fx=fx-gx；
（3）对于不等式xf'x+cfx>0（或）（其中c为常数且c≠0），构造函数Fx=xcfx；
（4）对于不等式f'x+cfx>0（或c<0）（其中c为常数），构造函数Fx=ecxfx．
7．【答案】B
【解析】因为x1=log 32，x2=log 1510，x3=log 4520，
所以，，，
根据题意当a>b>0，m>0时，成立，
又lg3>lg2>0，lg5>0，所以，，
即x2>x1，x3>x1，
又，
所以x2>x3，所以，故选B．
【点评】对数运算的一般思路：
（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；
（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
8．【答案】A
【解析】因为，所以，
因为，所以，所以a=0，
所以，
令，则．
令，得-22，
所以f'x在-2，2上单调递增，在-∞，-2，2，+∞上单调递减，
所以f'x的极大值为，极小值为．
因为函数gx有且只有两个零点，所以方程有且只有两个实数根，
即方程和共有两个实数根．
又，所以或或，
解得或，故选A．

【点评】在考查函数的零点的个数判定及应用时，把函数的零点个数的问题转化为两个函数的图象的交点个数，正确作出函数的图象是解答问题的关键．
9．【答案】C
【解析】F(x)=f(x)-2f(x)+a=0，f(x)=2或，
时，f(x)=xex+2<2，，
x<-1时，f'(x)<0，f(x)递减；-10，f(x)递增，
∴f(x)的极小值为，
又f(x)<2，因此f(x)=2无解．
此时要有两解，则，
又f(x)是奇函数，∴x>0时，f(x)=2仍然无解，
要有两解，则．
综上有，故选C．
【点评】本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用．首先方程化为f(x)=2或，
然后用导数研究时，f(x)的性质，同理，由奇函数性质得出x>0时，f(x)的性质，从而得出f(x)=2无解，有两解时a的取值范围．
10．【答案】D
【解析】由fx=2xlnx，得，则fe=2e，，
所以曲线fx在x=e处的切线l的方程为y-2e=4x-e，即．
令x=0，得y=-2e；令y=0，得．
所以直线l与两坐标轴的交点坐标分别为，，
所以切线l与坐标轴围成的三角形的面积为，故选D．
【点评】本题的考点为导数的几何意义，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】f'(x)=ex-acosx，由题意ex-acosx=0在上有解，
即在上有解，记，，
当时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
g(0)=1，，所以，故选D．
【点评】本题考查导数与极值．函数在某个区间上有极值，则在这个区间上有零点，f'(x)=0有解，又可转化为函数图象与直线有交点，从而再次转化为利用导数判断函数的单调性，求函数的值域．解题关键在于转化．
12．【答案】C
【解析】由题得f'(x)=ex-1，设切点(t，f(t))，则f(t)=et-t，f'(t)=et-1，
则切线方程为：y-(et-t)=(et-1)(x-t)，即y=(et-1)x+et(1-t)，
又因为，所以，b=et(1-t)，
则a+b=-1+2et-tet，
令g(t)=-1+2et-tet，则g'(t)=(1-t)et，
则有t>1，g'(t)<0；t<1，g'(t)>0，
即g(t)在-∞，1上递增，在1，+∞上递减，
所以t=1时，g(t)取最大值，
即a+b的最大值为e-1，故选C．
【点评】本题考查了利用导数求曲线的切线方程和研究函数的最值，属于中档题．
二、填空题．
13．【答案】③④
【解析】由，
①fx>0，即，
又x∈0，2π，则或，故①不正确；
②fx=0，则sinx=0或cosx=0，
又x∈0，2π，所以，，，，，共有5个零点，故②不正确；
③
所以，则fx的图象关于直线x=π对称，故③正确；
④，
设cosx=t∈-1，1，则，则，
由，解得；
由，解得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当时，；当时，，
当t=1时，y=0；当t=-1时，y=0，
所以当时，函数有最大值，
所以当时，函数有最小值，
所以④正确，⑤不正确，
故答案为③④．
【点评】本题考查三角函数的对称性、零点、最值等基础知识，解答本题的关键是将，由条件可得，sinx=0或cosx=0，以及，得出函数在-1，1上的单调性，属于中档题．
14．【答案】，
【解析】（1）∵f(x)是定义域为R上的奇函数，当x∈[-1，1]时，，
，∴a=1．
（2）当x∈[1，3]时，2-x∈[-1，1]，，
故答案为，．
【点评】利用给定性质求函数在某一段的解析式，此类问题的一般做法是：
①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设定在哪个区间．
②利用给定的性质，将要求的区间转化到给定解析式的区间上．
③利用已知区间的解析式进行代入，解出f(x)．
15．【答案】
【解析】因为函数在区间上有零点，
所以方程在区间上有实数解，
即x2+cx+b=0在区间上有实数解，
设g(x)=x2+cx+b，要想x2+cx+b=0在区间上有实数解，
当x2+cx+b=0在区间上有唯一实数解时，
只需，
而，
当x2+cx+b=0在区间上有二个不相等实数根时，设为x1，x2，
则有，
由，而c<-2，所以不等式(c+2)2>0显然成立，
因此有b2+c2>5，
综上所述：，故答案为．
【点评】解决函数零点问题往往转化为方程的根的问题，通过方程实数根的分布进行求解．
三、解答题．
16．【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）．
【解析】（1）∵当时，，
∴，
令x>0，，
由于x>0，所以t'(x)>0，
所以t(x)在x>0上单调递增，且x=1时，f'x=0，
∴当x∈0，1，f'x<0；当x∈1，+∞时，f'x>0，
故fx在上单调递减，在1，+∞上单调递增，
∴x=1时，fx取极小值，f1=0，无极大值．
（2）∵，∴，
令，，
令，
∵，在x>0上是单调递减函数，且，
所以当00，g(x)的单调递增函数；
当x>1时，，即g'(x)<0，g(x)的单调递减函数，
所以，
可得a>1，即a∈1，+∞．
【点评】恒（能）成立问题的解法：
若f(x)在区间D上有最值，则
（1）恒成立：?x∈D，fx>0?fxmin；?x∈D，fx<0?fxmax；
（2）能成立：?x∈D，fx>0?fxmax；?x∈D，fx<0?fxmin．
若能分离常数，即将问题转化为：a>fx（或a （1）恒成立：a>fx?a>fxmax；a （2）能成立：a>fx?a>fxmin；a 17．【答案】（1）答案见解析；（2）a≥1．
【解析】（1）f'(x)=aex-1-1，
①当a≤0时，f'(x)<0恒成立，即函数f(x)在(-∞，+∞)递减；
②当a>0时，令f'(x)>0，解得x>1-lna；令f'(x)<0，解得x<1-lna，
即函数f(x)在(1-lna，+∞)上单调递增，在(-∞，1-lna)上单调递减．
综上，当a≤0时，函数f(x)在(-∞，+∞)递减；
当a>0时，函数f(x)在(1-lna，+∞)上单调递增，在-∞，1-lna上单调递减．
（2）由题意，即当a>0时，f(x)-g(x)≥0在x>0时恒成立，
即aex-1-lnx+lna-1≥0在x>0时恒成立．
记，则，
记φ(a)=a+lna-1，在a∈(0，+∞)递增，
又，
当时，得a≥1．
下面证明：当a≥1时，在x>0时恒成立．
因为．
所以只需证在x>0时恒成立．
记，所以，
又，所以T'(x)在(0，+∞)单调递增，
又，
所以x∈(0，1)，T'(x)<0，T(x)单调递减；
x∈(1，+∞)，T'(x)>0，T(x)单调递增，
所以，
∴T(x)≥0在(0，+∞)恒成立．
即在x>0时恒成立．
综上可知，当f(x)≥g(x)在x>0时恒成立时，实数a的取值范围为a≥1．
【点评】由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，
根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果．
18．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．
【解析】（1）因为，所以x>0，且．
令f'x>0，得；令f'x<0，得，
所以函数fx的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由题意，，
因为函数gx有且只有一个零点，
所以方程有且只有一个实数根．
两边同时除以，得．
令，则，即，
设，则G1=0，
，
由题意，函数Gt有且只有t=1这一个零点．
令，t∈0，+∞．
（i）当Δ=a+22-8=a2+4a-4≤0，
即时，ht≥0，，此时Gt单调递增，符合题意；
（ii）当a>22-2时，方程ht=0有两根，设为t1，t2t1 则，，所以，
所以当时，G't>0；当时，G't<0；当时，G't>0，
所以Gt在0，t1上单调递增，在t1，t2上单调递减，在t2，+∞上单调递增．
①当a>1时，，所以，即．
又因为t→+∞时，，所以Gt在t2，+∞上存在零点，所以此时不符合题意；
②当22-2 因为，，所以，所以，
由，当t→+∞时，，
可得Gt在t2，+∞上存在零点，所以此时不符合题意；
③当时，易得，t2=1，
由，当t>0且无限接近于0时，，可得Gt在0，t1上存在零点，所以此时不符合题意，
综上，实数a的取值范围是0，22-2．
【点评】高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值与零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题．
19．【答案】（1）f(x)在(0，+∞)上单调递增；（2），证明见解析．
【解析】（1）时，，
故，
∴f(x)在(0，+∞)上单调递增．
（2）由题意可知lnx=(a+1)x有两解，
设直线与y=lnx相切，切点坐标为x0，y0，
则，解得，，，
，即，
∴实数a的取值范围是．
不妨设x2>x1>0，则lnx1=(a+1)x1，lnx2=(a+1)x2，
两式相加得：lnx1x2=(a+1)x1+x2，
两式相减得：，
，故，
要证x1x2>e2，只需证，
即证，
令，故只需证在恒成立即可．
令，则，
∴g(x)在上单调递增，，
即在恒成立，．
【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与不等式的关系，构造关于t的不等式，还考查了转化化归的思想、分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题．
高频易错题
高频易错题
一、解答题．
1．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）1，4．
【解析】（1）∵fx=ex，gx=x2+ax-x+1，
∴，
则
，x∈R，
令，则x=1或x=2-a．
①当a<1时，1<2-a，
当x∈-∞，1或x∈2-a，+∞时，，
∴函数在-∞，1和2-a，+∞上单调递减；
当x∈1，2-a时，，
∴函数在1，2-a上单调递增；
②当时，1=2-a，在R上恒成立，∴函数在R上单调递减；
③当a>1时，1>2-a，
当x∈-∞，2-a或x∈1，+∞时，，
∴函数hx在-∞，2-a和1，+∞上单调递减；
当x∈2-a，1时，，
∴函数hx在2-a，1上单调递增；
综上：①当a<1时，函数hx在-∞，1和2-a，+∞上单调递减，函数hx在1，2-a上单调递增；
②当时，函数hx在R上单调递减；
③当a>1时，函数hx在-∞，2-a和1，+∞上单调递减，函数hx在2-a，1上单调递增．
（2）由题设知，φx=x2+a-1x+1ex，
∴φ'x=2x+a-1ex+x2+a-1x+1ex=x+1x+aex，x∈R，
当时，φ'x≥0，∴函数φx单调递增，
且φx=x2+1ex>0恒成立，
故恒成立，符合题意；
当a>1时，令φx=0，
则x=-1或x=-a，且-a<-1，列表如下：
x
-∞，-a

-a，-1
-1
-1，+∞
φ'x
+
0
-
0
+
φx
递增
极大值
递减
极小值
递增
当x≤-a时，
∵x2+a-1x+1=xx+a+1-x>0恒成立，
∴φx>0，则恒成立，符合题意；
当x>-a时，，
则恒成立，∴a≤4，
综上，实数a的取值范围是1，4．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立，解题的关键是讨论a的取值范围，求出函数φx的最小值，考查了分析能力、计算能力以及分类讨论的思想．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．【答案】A
【解析】因为定义在R上的偶函数，所以f(-x)=f(x)，
因为f(2-x)=f(x)，所以f(2-x-2)=f(x+2)，即f(-x)=f(2+x)=f(x)，
所以f(x)是以2为周期的周期函数，
又f(x)在(-1，0)上递减，所以在(0，1)递增，
，b=f(-ln2)=f(ln2)，，
因为，f(x)在(0，1)上递增，
所以，，
即a 【点评】本题考查了函数的基本性质，对于抽象函数，要灵活掌握并运用图象与奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，要注意定义域，还应该学会解决的基本方法与技巧，如对于选择题，可选用特殊值法、赋值法、数形结合等，应用分析、逻辑推理、联想类比等数学思想方法．
2．【答案】D
【解析】，，
，
∵64=1296<55=3125，，则，
∵54=625>35=243，，则，
因此，a 【点评】解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答．
3．【答案】B
【解析】设这台机器破译所需时间大约为x秒，则，
两边同时取底数为10的对数，得，
所以，所以，
所以，所以，
而，所以，，故选B．
【点评】对数运算的一般思路：
（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；
（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
4．【答案】A
【解析】因为函数fx与gx的图象上恰有两对关于x轴对称的点，所以-fx=g(x)，
即ex-ax=xlnx+1有两解，则有两解，
令，则，
所以当x∈0，1时，h'(x)<0；当x∈1，+∞时，h'(x)>0，
所以函数在上单调递减，在1，+∞上单调递增，
所以在x=1处取得极小值，所以，所以a>e-1，
a的取值范围为，故选A．
【点评】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．
5．【答案】C
【解析】令fx=0，可得，
令，则．令g'x=0，解得x=1．
当x>1时，g'x<0；当x<1时，g'x>0，
所以gx在-∞，1上单调递增，在1，+∞上单调递减，g(x)图象如下图所示：

所以，令φt=t2+mt-m，，
因为函数有三个零点，设φt=t2+mt-m的两根分别为t1，t2，
Δ=m2-4(-m)>0，解得m>0或m<-4，
则t1，t2有下列三种情况，
（1）当，时，将带入方程，即，
解得，代入方程，即，
解得，故舍去；
（2）当，t2=0时，将t2=0带入方程，则m=0，φt=t2，不满足，故舍去；
（3）当，t2<0时，，解得，
所以，故选C．
【点评】解题的关键令，求得g(x)的单调性，画出图象，可得t的范围，再利用二次函数的性质，结合t的范围求解，考查分析理解，分类讨论的能力，综合性较强，属中档题．
6．【答案】ABD
【解析】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；
在曲线上半段中观察到yt是先上升后下降，而xt是不断变小的，故B不正确；
捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，
同样当被捕食者的数量最大，即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，
所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；
当捕食者数量最大时在图象最右端，xt∈25，30，yt∈0，50，
此时二者总和xt+yt∈25，80，
由图象可知存在点xt=10，yt=100，xt+yt=110，
所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，
被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，
故选ABD．
【点评】解决本题的关键在于结合图象分析xt与yt变化的关系，着重分析xt、yt的增减性、最值，必要时可寻找特殊点进行排除．
二、填空题．
7．【答案】
【解析】函数的图象如图所示：

若函数有两个不同的零点，等价于，的图象又两个不同的交点，
由图知：，故答案为．
【点评】由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
8．【答案】
【解析】∵y=alnx+x2a>0，x>0，
，当且仅当时等号成立，
∵l的倾斜角的取值范围是，
，解得．
故答案为．
【点评】本题考查导数与切线的关系，解题的关系是求出导数的最小值，得出最小值为1，即可求解．
三、解答题．
9．【答案】（1）答案见解析；（2）a≥1．
【解析】（1）函数fx定义域1，+∞，，
当a≤1时，f'x>0，fx在1，+∞内单调递增，
所以fx>f1=0，fx在1，+∞内无零点；
当a>1时，f'x=0的解为，
又因为f'x在1，+∞内单调递增，
所以当1 fx 当x>x0，f'x>0，fx在内单调递增；
fx0 以fx在有且仅有一个零点，
综上所述：当a≤1，函数fx在1，+∞无零点；
当a>1，函数fx在1，+∞有1个零点．
（2）由题意知在区间0，+∞上恒成立，
设，则，，
设，，
所以hx在0，+∞单调递减，
又因为，
列表如下：


1，+∞

+
-
g'x
+
-
gx
增
减
所以当时x=1，gxmax=1，所以a≥1．
【点评】判断函数零点个数的方法：
（1）直接法：令fx=0，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；
（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间a，b上是连续不断的曲线，并且fa?fb<0，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；
（3）图象法：画出函数fx的图象，函数fx的图象与x轴交点的个数就是函数fx的零点个数；将函数fx拆成两个函数，hx和gx的形式，根据fx=0?hx=gx，则函数fx的零点个数就是函数y=hx和y=gx的图象交点个数；
（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数．
10．【答案】（1）-∞，1；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，得f'(x)=x+m-ex，
fx在R上是减函数，则恒成立．
设g(x)=f'(x)=x+m-ex，则g'(x)=1-ex．
当x>0时，g'x<0，gx单调递减；当时，g'x>0，gx单调递增，
于是gxmax=m-1．
由题意gx=m-1≤0，所以m≤1，故m的取值范围是-∞，1．
（2）设g(x)=f'(x)=x+m-ex，则g'(x)=1-ex．
当x>0时，g'x<0，gx单调递减；当时，g'x>0，gx单调递增．
若，则g(x)≤0，则fx在定义域内单调递减，所以不满足条件，
故g(0)>0，所以m>1，
又∵g(-m)=-e-m<0，g(0)=m-1>0，，
设，则，
所以y=2x-ex在1，+∞上单调递减，所以当x>1时，，
所以，
∴?x1∈(-m，0)，x2∈(0，m)使gx1=gx2=0，
∴x∈-∞，x1，g(x)<0，即f'(x)<0，fx单调递减，
，gx>0，即f'(x)>0，fx单调递增．
x∈x2，+∞，gx<0，即f'(x)<0，fx单调递减，
∵x1<0 又∵f(-2m)=1-e-2m>0，
设，则y'=ex-2x，所以，
由，得x>ln2，，得0 所以y'=ex-2x在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以y=ex-x2在0，+∞上单调递增，则，
即x>0，ex>x2成立，
所以
，
∴由零点存在定理，得fx在-2m，x1和x2，2m+2各有一个零点，
又f0=0，结合函数fx的单调性可知fx有三个零点．
【点评】本题考查由函数单调性求参数和证明函数的零点个数，解答本题的关键是fx在R上是减函数，
则恒成立，根据条件得出g(-m)=-e-m<0，g(0)=m-1>0，，所以?x1∈(-m，0)，x2∈(0，m)使gx1=gx2=0，属于难题．
11．【答案】（1）递减区间为0，2，递增区间为2，+∞；（2）（i），（ii）证明见解析．
【解析】（1），
令gx=ex-1-xx>0，，
因为x>0，，
所以当x∈0，1时，g'x<0，gx单调递减；
所以当x∈1，+∞时，g'x>0，gx单调递增，
所以gx≥g1=e0-1=0，
所以当x∈0，2时，f'x<0；当x∈2，+∞时，f'x<0，
fx的单调递减区间为0，2，单调递增区间为2，+∞．
（2）（i），
要使fx在0，2上有两个极值点x1，x2，
则gx=ex-1-ax在0，2上有两个不同的零点，
①a≤1时，由（1）知，gx=ex-1-ax≥ex-1-x，
令Sx=ex-1-x，故S'x=ex-1-1>0，所以Sx在0，2上为增函数，
所以Sx>S0=0，故gx>0，故gx在0，2上无零点，舍去；
②当a≥e时，∵x∈0，2，，g'x=ex-1-a<0，
则gx在0，2上单调递减 ，故gx最多只有一个零点，不合题意，舍去；
③当1 所以gxmin=-alna，
即要使，解得，
综上所述，a的取值范围为．
（ii）由（i）知，gx1=gx2=0，0 即，故，
所以x1+x2-2-2lna=lnx1x2，
要证x1x2<1，只要证x1+x2-2-2lna<0，
就要证x2<2+2lna-x1，
由上可知gx在lna+1，+∞上单调递增，
所以只要证gx2 所以只要证gx1 令，
即，
所以，
故hx在0，lna+1上单调递增，
所以当x∈0，lna+1时，hx gx1-g2+2lna-x1<0，
即（*）式成立，所以x1x2<1得证．
【点评】函数极值点的个数问题可转化为导函数的零点问题，后者再结合新函数的导数的符号得到单调性，结合零点存在定理及零点的个数得到参数满足的不等式组．处理极值点偏移问题的基本策略是利用极值点满足的等式构建不等式，再利用导数讨论不等式对应的函数的单调性即可．