2021届高考数学（理）二轮专题四 平面向量（理） 学案Word

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38177376752专题 4
××
平面向量
00专题 4
××
平面向量
命题趋势
命题趋势
平面向量主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，难度一般偏简单，有时也会与三角函数、圆锥曲线结合考查，难度中等．
考点清单
考点清单
一、平面向量及其线性运算
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
一般用有向线段来表示向量
零向量
长度为0的向量
记作，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
的相反向量为
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则
(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则
（1）交换律：
a+b=b+a；
（2）结合律：
(a+b)+c=a+(b+c)
减法
若b+x=a，则向量x叫做a与b的差，求两个向量差的运算，叫做向量的减法

三角形法则
a-b=a+(-b)
数乘
实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0
λ(μa)=(λμ)a；
(λ+μ)a=λa+μa；
λ(a+b)=λa+λb
3．共线向量定理
向量与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得．

二、平面向量基本定理和平面向量的坐标表示
1．平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使．
其中，不共线的非零向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设，，则，，
，．
3．平面向量共线的坐标表示
设，，其中b≠0．
．

三、平面向量的数量积
1．定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积，
记作a?b=|a||b|cosθ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
2．投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影．
3．数量积的坐标运算：设向量，，则
（1）a?b=x1x2+y1y2
（2）a⊥b?a?b=0?x1x2+y1y2=0
（3）

四、平面向量的相关结论
1．“三点”共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是OP=λ1OA+λ2OB (其中λ1+λ2=1）．
2．三角形中线向量公式：若P为ΔOAB的边AB的中点，则．
精题集训
（70分钟）
精题集训
（70分钟）
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．已知平面向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a⊥(a+2b)，则向量a，b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．在等腰梯形ABCD中，AB=2CD，若AD=a，AB=b，则（ ）
A． B． C． D．
3．若平面向量a与b的夹角为，a=1，b=2，则2a+b=（ ）
A．32 B．23 C．18 D．12
4．已知向量，b=(3，-2)，c=(1，m)，若(a-b)⊥c，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2
5．若向量，BC=3，1，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点D，E满足BD=DC，，AD与交于点P，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．若向量a，b满足a=2，a+2b?a=6，则b在a方向上的投影为（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知向量a，b为平面内的单位向量，且，向量c与a+b共线，则|a+c|的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE=CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（ ）

A．满足的点P必为BC的中点 B．满足的点P有且只有一个
C．满足的点P有且只有一个 D．的点P有且只有一个
10．在△ABC中，点M是AB的中点，，线段CM与BN交于点O，动点P在△BOC内部活动（不含边界），且AP=λAB+μAN，其中λ、μ∈R，则λ+μ的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题．
11．已如|AB|=1，|BC|=2，且AB?BC=1，AD?DC=0，则BD的最大值为__________．
12．如图梯形ABCD，且AB=5，AD=2DC=4，E在线段BC上，AC?BD=0，则AE?DE的最小值为_______．

13．已知向量的模长为1，平面向量m，n满足：|m-2e|=2，|n-e|=1，则m?n的取值范围是_________．
14．已知，，是平面向量，且，是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R均有的最小值为，则的最小值为___________．
三、解答题．
15．已知向量，，函数fx=m?n．
（1）若，求函数fx的最值；
（2）若，且fθ=1，，求的值．
高频易错题
高频易错题
一、解答题．
1．已知a=2，b=1，向量a与向量b的夹角为，设向量，向量．
（1）求a?b的值；
（2）设ft=m?n，求ft的表达式；若m与n的夹角θ为锐角，求实数t的取值范围．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE=（ ）

A． B． C． D．
2．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设OP=αOC+βODα，β∈R，则的最大值是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，B是AC的中点，BE=2OB，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且OP=xOA+yOBx，y∈R，则下列结论正确的个数为（ ）

①当x=0时，y∈2，3；
②当P是线段CE的中点时，，；
③若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段；
④x-y的最大值为-1．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题．
4．已知a=2，a?b=-8，b=-3，4，则向量a与b的夹角的正切值为_________．
5．已知单位向量，满足：，则向量与向量的夹角θ=___________．
6．已知向量，若，且，则x+y的最大值为______．
7．如图，在直角梯形ABCD中，已知，∠DAB=90°，AB=2，AD=CD=1，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OM⊥BD，则AM?BD的值为___________．

8．已知平面内非零向量a，b，c，满足a=2，b=3，a?b=3，若c2-2b?c+8=0，则c-a的取值范围是______．
9．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=c=5，且，G为△ABC的重心，则GA=________．
参考答案
参考答案
经典训练题
经典训练题
一、选择题．
1．【答案】D
【解析】∵a⊥(a+2b)，∴a?(a+2b)=0，即a2+2a?b=0，∴a?b=-1，
．
，，故选D．
【点评】本题考查了向量的数量积，向量的夹角，以及向量垂直的条件，属于基础题．
2．【答案】A
【解析】解法一：如图，取AB的中点E，连结DE，因为四边形ABCD为等腰梯形，AB=2CD，
所以，所以四边形BCDE为平行四边形，
所以，故选A．

解法二：如图，取AB的中点E，连结DE，
因为四边形ABCD为等腰梯形，AB=2CD，所以，
所以四边形BCDE为平行四边形，所以，故选A．
【点评】在几何图形中进行向量运算：
（1）构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
（2）树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算．
3．【答案】B
【解析】2a+b2=4a2+4a?b+b2=12，2a+b=23，故选B．
【点评】本题主要考了向量的运算以及向量的模长，属于基础题．
4．【答案】B
【解析】由题设可得a-b=-1，1，
因为(a-b)⊥c，故-1×1+1×m=0，解得m=1，
所以c=1，1，故c=2，故选B．
【点评】本题考了向量的坐标运算以及向量的垂直的条件，模长的计算，属于基础题．
5．【答案】A
【解析】因为，BC=3，1，
所以，BA=1，BC=2，
则，，所以，故选A．
【点评】本题考点为向量夹角的计算，以及三角形面积的计算，属于基础题．
6．【答案】D
【解析】因为，所以，
所以EC=2AE，所以E为AC的一个靠近A的三等分点，
又因为BD=DC，所以D为BC的中点，
过E作EF⊥AD交AD于F点，如下图所示：

因为且BD=CD，所以，所以，
所以，
所以，故选D．
【点评】解答本题的关键是确定点E，D，P的位置，通过将待求的向量都转化为BA，BC，
即可直接根据数量积的计算公式完成求解．
7．【答案】B
【解析】设a，b的夹角为θ，
则，
则，即b在a方向上的投影为，故选B．
【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
8．【答案】D
【解析】因为向量c与a+b共线，所以存在唯一的实数t，使得c=t(a+b)，
所以a+c=(t+1)a+tb，
所以(a+c)2=(t+1)2a2+2t(t+1)a?b+t2b2，
又向量a，b为平面内的单位向量，所以|a|=1，，
又，所以，
所以，所以|a+c|的最小值为，故选D．
【点评】本题主要考查共线定理的应用及平面向量数量积，关键是根据共线，利用共线定理将c用向量a，b表示，再通过平方转化为二次函数最值问题．
9．【答案】C
【解析】如图建系，取AB=1，

∵AE=AD+DE=AD-AB，
∴，
动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，
当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1且μ=0，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ-μ=1且0≤μ≤1，则λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1且μ=1，则μ≤λ≤μ+1，∴1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ-μ=0且0≤μ≤1，则λ=μ，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
综上，0≤λ+μ≤3．
选项A，取λ=μ=1，满足λ+μ=2，此时AP=AB+AE=AD，因此点P不一定是BC的中点，
故A错误；
选项B，当点P取B点或AD的中点时，均满足λ+μ=1，此时点P不唯一，故B错误；
选项C，当点P取C点时，λ-μ=1且μ=1，解得λ=2，λ+μ为3，故C正确；
选项D，当点P取BC的中点或DE的中点时，均满足，此时点P不唯一，故D错误，
故选C．
【点评】求解本题的关键在于根据题中所给条件，利用建系的方法，讨论P的位置，根据，确定λ+μ的范围，即可求解．（向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化）
10．【答案】D
【解析】如下图所示，连接BP并延长交AC于点G，

设NG=mAN，PG=nBG，则，0 AG=m+1AN，

，
又∵AP=λAB+μAN，∴λ=n，μ=m+1-mn-n，
∴λ+μ=m+1-mn=m1-n+1，
，0<1-n<1，则，
即，即，
因此，λ+μ的取值范围是，故选D．
【点评】本题考查利用平面向量的基本定理求与参数有关的代数式的取值范围，解题的关键在于引入参数表示λ、μ，并结合不等式的基本性质求出λ+μ的取值范围．
二、填空题．
11．【答案】
【解析】因为|AB|=1，|BC|=2，AB?BC=1，且AB?BC=AB?BCcos，
所以，
因为∈[0，π]，所以AB与BC的夹角为，即，
因为AD?DC=0，所以AD⊥DC，即点D是以AC为直径的圆上的点，
以B为原点，BC为x轴正方向建系，如图所示：

所以，，，
设以AC为直径的圆的圆心为P，所以，且，
所以D的轨迹的方程为，
BD的最大值为，
故答案为．
【点评】解题的关键是根据题意，分析可得D点的轨迹为圆，进而求得圆的方程，根据圆的几何性质求解，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题．
12．【答案】
【解析】因为，所以向量AD与AB的夹角和向量AD与DC的夹角相等，
设向量AD与AB的夹角为θ，
因为AC?BD=0，所以AD+DC?AD-AB=0，
即AD2+DC?AD-AD?AB-DC?AB=0，
整理得16+8cosθ-20cosθ-10=0，解得，θ=60?，
如图，过点D作AB垂线，垂足为O，建立如图所示的直角坐标系，

易知A-2，0，B3，0，D0，23，C2，23，
则BC=-1，23，BE=λBC=-λ，23λ，0≤λ≤1，
E=3-λ，23λ，AE=5-λ，23λ，DE=3-λ，23λ-23，
AE?DE=5-λ3-λ+23λ23λ-23=13λ2-20λ+15，
因为0≤λ≤1，所以当时，取最小值，最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查向量的数量积的求法，可通过建立直角坐标系的方式进行求解，考查向量的运算法则，
考查向量的数量积的坐标表示，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题．
13．【答案】-1，8
【解析】由题意知：不妨设e=1，0，m=x，y，n=a，b，
则根据条件可得x-22+y2=4，a-12+b2=1，
根据柯西不等式得m?n=ax+by=a-1x+by+x，
因为a-1x+by≤a-12+b2?x2+y2=4x，
a-1x+by+x≤4x+x，x-4x≤a-1x+by+x，
当且仅当bx=a-1y时取等号；
令t=4x，则，
又x-22+y2=4，则，
所以t∈0，4，当t=4时，，即m?n≤8；
，而t∈0，4，所以当t=2时，，即m?n≥-1，
故m?n的取值范围是-1，8．
【点评】设e=1，0，m=x，y，n=a，b，则根据条件可得：x-22+y2=4，
a-12+b2=1，利用柯西不等式和换元法把问题转化为求二次函数的最值问题是解决本题的关键．
14．【答案】3
【解析】，
即，所以，
即，
设为x轴的方向向量，为y轴方向向量，所以，对应的坐标为，
所以x2-2y+1=0，得，
，
因为为抛物线x2=2y向上平移个单位，
所以焦点坐标为(0，1)，准线为y=0，所以点到(0，1)的距离与到y=0的距离相等，
(1，3)-(x，y)+(x，y)-(0，1)=1-x，3-y+y≥3-y+y=3，
当且仅当x=y=1时，取最小值．
故答案为3．
【点评】关于向量模长的问题，一般没有坐标时，利用平方公式展开计算；有坐标时，代入坐标公式求解，
涉及模长的最值问题，一般需要转化为点与点之间的距离，或者点到线的距离等问题，利用几何方法求解．
三、解答题．
15．【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）．
【解析】（1）因为，，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，最小，最小值为0，此时fx最大，最大值为；
所以当，即时，最大，最大值为1，此时fx最小，最小值为．
即fx的最大值为，最小值为．
（2）由（1）得，
又fθ=1，所以，所以，
因为，所以，所以．
因为，，所以，
所以
．
【点评】本题主要考查数量积的坐标表示，三角函数在闭区间上的最值求法，以及两角和的余弦公式的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于基础题．解题关键是：整体思想的应用，一是将看成整体，利用三角函数图象求出最值；二是将看成整体，利用两角和的余弦公式展开求出．
高频易错题
高频易错题
一、解答题．
1．【答案】（1）1；（2）f(t)=t2+6t+2，t<-3-7或t>-3+7且t≠2．
【解析】（1）．
（2）
=4t+2t+t2+2=t2+6t+2，
因为m与n的夹角θ为锐角，所以m?n>0，
即t2+6t+2>0，解得t<-3-7或t>-3+7．
又由m和n共线，解得t=2，
所以实数t的取值范围是t<-3-7或t>-3+7且t≠2．
【点评】本题考查向量的数量积．向量m，n夹角为锐角是m?n>0的充分不必要条件，m，n夹角为0（即同向时）也有m?n>0，同样向量m，n夹角为钝角是m?n<0的充分不必要条件．
精准预测题
精准预测题
一、选择题．
1．【答案】B
【解析】依题意，，故选B．
【点评】本题主要考了向量的线性运算，属于基础题．
2．【答案】D
【解析】以O为原点，OD，OC为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系：

因为四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，
所以D(3，0)，，B(1，1)，OD=(3，0)，OC=(0，1)，
所以OP=αOC+βOD=(0，α)+(3β，0)=(3β，α)，
设P(x，y)，则，所以，
所以，即求的最大值，
因为点P为△BCD内（含边界）的动点，
所以由图可知，平移直线到经过点B(1，1)时，取得最大值，
所以的最大值是，故选D．
【点评】建立平面直角坐标系，转化为线性规划求解是解题关键．
3．【答案】C
【解析】当x=0时，OP=yOB，则P在线段上，故1≤y≤3，故①错；
当P是线段CE的中点时，
，故②对；
x+y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，
故③对；

如图，过P作，交OE于M，作，交AO的延长线于N，
则：OP=ON+OM，
又OP=xOA+yOB；∴x≤0，y≥1；
由图形看出，当P与B重合时：OP=0?OA+1?OB；
此时x取最大值0，y取最小值1；所以x-y取最大值-1，故④正确，
所以选项②③④正确，故选C．
【点评】若OC=xOA+yOB，则三点共线?x+y=1．
二、填空题．
4．【答案】
【解析】设向量a与b的夹角为θ，因为b=-3，4，所以，
又因为a=2，a?b=-8，所以，即，
又θ∈0，π，所以，即有，
所以向量a与b的夹角的正切值为，故答案为．
【点评】本题考查了利用向量的数量积求夹角的应用问题，属于基础题．
5．【答案】
【解析】因为单位向量，，，
所以，即，
θ∈0，π，所以．
故答案为．
【点评】本题考查了向量垂直的条件，以及向量夹角的计算，属于基础题．
6．【答案】
【解析】∵，且，∴与的夹角为，
设，则，
∵，∴，
又，∴，化简得x2+xy+y2=1，
∴，当且仅当时，等号成立，
∴，故答案为．
【点评】本题考查了平面向量的混合运算，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．
7．【答案】
【解析】如图以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)，则，
因为△AOB∽△COD，所以，
所以O是AC的一个三等分点，且，所以．
设，则，
因为OM⊥BD，所以，解得，
则，
所以，故答案为．

【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的坐标表示，考查计算能力．
8．【答案】
【解析】∵a=2，b=3，a?b=3，，
又∈[0，π]，a，b的夹角为，
建立如图所示直角坐标系，

设，，，则A2，0，，
设Cx，y，
，，
则点C在以为圆心，1为半径的圆上，
c-a的取值范围转化为圆上的点到定点2，0的距离的范围，
∵圆心到点2，0的距离为，
c-a的取值范围为，故答案为．
【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，向量的坐标运算，考查了数形结合的思想方法以及圆上的点到定点距离的最大最小值，属于中档题．
9．【答案】
【解析】由余弦定理得b2+c2-a2=2bccosA，∴，
∵，∴，
将代入得，
所以，
设以AB，AC为邻边的平行四边形的另一个顶点为D，则，
，
故答案为17．

【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，要熟练使用上弦定理角化边，并结合向量的数量积运算可更快的求解．