(共36张PPT)
第6讲 填空题的解题方法
第一编 讲方法
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答案
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本课结束第6讲 填空题的解题方法
「题型特点解读」 填空题不像解答题能分步得分，因此要保证填写的结果正确，否则前功尽弃．解题时，要合理地分析和判断，要求推理、运算的每个步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确解答填空题的基本要求．
方法1 巧妙计算法
对于计算型的试题，多通过直接计算求解结果，这是解决填空题的基本方法，即直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙的变形，简化计算过程，直接得到结果．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法．
例1 (1)(2020·山东省滨州市高三三模)已知α，β，γ∈，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则cos(α－β)＝________，α－β＝________.
答案 －
解析 由已知得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.以上两式平方相加，得1＝2－2(sinαsinβ＋cosαcosβ)，所以2cos(α－β)＝1，cos(α－β)＝.由α，β，γ∈，sinβ－sinα＝sinγ>0，可知0<α<β<，所以－<α－β<0，所以α－β＝－.
(2)(2020·山东省泰安市高三一模)CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020年1月7～10日在美国拉斯维加斯举办．在这次CES消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场．若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方法共有________种．
答案 360
解析 根据题意，不考虑甲、乙的限制条件，从7名员工中选出3名员工负责接待工作，有C＝35种选法，在剩下的4人中任选2人，安排在上午、下午讲解该款手机性能，有A＝12种选法，则不考虑甲、乙的限制条件时，有35×12＝420种安排方法；若甲、乙都安排负责接待工作，有C×A＝60种安排方法，则有420－60＝360种安排方法．
对于计算型的试题，我们在计算过程中要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活运用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速、准确地解决数学填空题的关键．
1．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________.
答案 1
解析 f′(x)＝＝，则f′(1)＝＝，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
2．(2020·河南省开封市高三三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，tanA＝2tanB，则cosA＝________，△ABC的面积为________.
答案
解析 由正弦定理得＝＝
＝＝＝.
将tanB＝tanA代入上式得，cosA＝，
故sinA＝.所以S△ABC＝bcsinA＝×2×3×＝.
方法2 特殊值代入法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．
例2 (1)已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，且对任意的x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________.
答案 (－1，＋∞)
解析 解法一：(特殊函数法)令f(x)＝3x＋5，
则由3x＋5＞2x＋4，得x＞－1.
解法二：令函数g(x)＝f(x)－2x－4，
则g′(x)＝f′(x)－2＞0，
因此g(x)在R上为增函数．
又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0，
所以原不等式可化为g(x)＞g(－1)，
由g(x)的单调性可得x＞－1.
(2)如图所示，在△ABC中，AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且＝2，经过K的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.若＝m，＝n，则m＋n＝________.
答案 4
解析 解法一：(特殊位置法)当过点K的直线与BC平行时，MN就是△ABC的一条中位线(∵＝2，∴K是AO的中点)，这时由于有＝m，＝n，因此m＝n＝2，故m＋n＝4.
解法二：由题意，得＝＝＝m＋n，又K，M，N三点共线，
∴m＋n＝1，∴m＋n＝4.
求值或比较大小关系等问题均可利用取特殊值代入求解，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，不能使用该种方法求解．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．
1．(2020·山东省青岛市高三三模)若(2－x)17＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a16(1＋x)16＋a17(1＋x)17，则
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a16＝________；
(2)a1＋2a2＋3a3＋…＋16a16＝________.
答案 (1)217＋1 (2)17×(1－216)
解析 (1)由题意，可化为(2－x)17＝[3－(1＋x)]17，由T18＝C[－(1＋x)]17＝－(1＋x)17，可得a17＝－1，令x＝0，可得a0＋a1＋a2＋…＋a16＋a17＝217，所以a0＋a1＋a2＋…＋a16＝217－a17＝217＋1.
(2)令g(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a16(1＋x)16＋a17(1＋x)17＝(2－x)17，则g′(x)＝a1＋2a2(1＋x)＋…＋16a16(1＋x)15＋17a17(1＋x)16＝－17(2－x)16，则g′(0)＝a1＋2a2＋…＋16a16＋17a17＝－17×216，由(1)可得17a17＝－17，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋16a16＝－17×216＋17＝17×(1－216)．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________.
答案
解析 解法一：(取特殊值)a＝3，b＝4，c＝5，则
cosA＝，cosC＝0，＝.
解法二：(取特殊角)A＝B＝C＝，cosA＝cosC＝，＝.
方法3 图象分析法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题．韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．
例3 (1)若函数f(x)＝xln
x－a有两个零点，则实数a的取值范围为________.
答案
解析 令g(x)＝xln
x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点．
由g′(x)＝ln
x＋1，令g′(x)＜0，即ln
x＜－1，
可解得0＜x<；
令g′(x)＞0，即ln
x＞－1，
可解得x＞，
所以当0＜x＜时，函数g(x)单调递减；
当x＞时，函数g(x)单调递增．
由此可知当x＝时，g(x)min＝－.作出函数g(x)和h(x)的简图，如图，据图可得－＜a＜0.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝10.P为双曲线右支上的一点，直线PF1交y轴于点M，交双曲线C的一条渐近线于点N，且M是PF1的中点，＝2，则双曲线C的标准方程为________.
答案 －＝1
解析 如图，不妨设点P在第一象限，
过点N作NA⊥x轴于点A，设点N(x0，y0)，
∵|F1F2|＝10，∴c＝5.∵点M是PF1的中点，O为F1F2的中点，∴OM綊PF2，
∴PF2⊥x轴，∴|PF2|＝.∵＝2，∴＝＝，
∴＝，∴x0＝c，y0＝·.
∵双曲线C的一条渐近线为y＝x，
∴·＝·c，∴b＝c＝4，a＝3，
∴双曲线C的标准方程为－＝1.
图象分析法的实质就是数形结合思想方法在解决填空题中的应用，利用形的直观性结合所学知识便可得到相应的结论，这也是高考命题的热点．运用这种方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中变量之间的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
1．若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________.
答案
解析 作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，
依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.
2．设f(x)是定义在R上，周期为2的函数，且f(x)＝记g(x)＝f(x)－a，若
答案 8
解析 ∵f(x)是定义在R上，周期为2的函数，
且f(x)＝
∴作出f(x)在区间[－2,3]上的图象如图所示．
由g(x)＝f(x)－a，
令g(x)＝0，得f(x)＝a，∵∴作出y＝和y＝1的图象，由图象知，当方法4 构造法
构造法解填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷地解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．
例4 (1)(2020·河南省六市高三一模)若方程ax＝x(a>0且a≠1)有两个不等实根，则实数a的取值范围为________.
答案 (1，e)
解析 由a>0且a≠1，可得ax＝x>0，两边取自然对数，可得xln
a＝ln
x，即ln
a＝，设f(x)＝，可得f′(x)＝，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．可得f(x)在x＝e处取得极大值，且为最大值，当x→＋∞，f(x)→0，作出函数f(x)的图象，当0a<，即1a与y＝f(x)的图象有两个交点，即方程ln
a＝有两个不等的实根．
(2)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为________.
答案 π
解析 ∵PA＝PB＝PC，△ABC为边长为2的等边三角形，∴三棱锥P－ABC为正三棱锥，
∴PB⊥AC，又E，F分别为PA，AB的中点，
∴EF∥PB，∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，
∴EF⊥平面PAC，PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，
∴PA＝PB＝PC＝，∴以P为一个顶点，PA，PB，PC为三条棱可构造出一个正方体，且正三棱锥P－ABC为正方体的一部分，球O的直径长即为正方体体对角线的长，设球O的半径为R，
则2R＝＝，即R＝，∴V＝πR3＝π×＝π.
构造法实质上是一种化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列将问题转化为自己熟悉的问题．
1．已知奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，若a＝f(1)，b＝f，c＝－ef(－e)，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)．
答案 b解析 令g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以g(x)为(0，＋∞)上的递增函数，又g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数．因为<12．(2020·重庆市名校联盟高三二模)已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，AB＝1，若将△DEF沿直线FD翻折，使得点E落在边BC上(即点P)，则当AD取最小值时，边AF的长是________；此时四面体F－ADP的外接球的半径是________.
答案
解析 设AF＝x(x＞1)，AD＝y，∵矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，AB＝1，AF＝x(x＞1)，AD＝y，∴FE＝FP＝AD＝BC＝y，AB＝DC＝1，AF＝DE＝DP＝x.
在Rt△DCP中，PC＝，
在Rt△FAP中，AP＝，
在Rt△ABP中，BP＝，
∵BC＝BP＋PC＝＋＝y，整理得y2＝，令x2＝，则y2＝，则当t＝，
即x＝时，y取最小值2.
四面体F－ADP的外接球的球心为DF的中点，DF＝＝，四面体F－ADP的外接球的半径是.