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第2讲 数形结合思想
第一编 讲方法
1
热点题型探究
PART
ONE
答案
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本课结束第2讲 数形结合思想
「思想方法解读」 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化．
数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题．
热点题型探究
热点1 数形结合化解方程问题
例1 已知函数f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0]
B．[0,1)
C．(－∞，1)
D．[0，＋∞)
答案 C
解析 函数f(x)＝的图象如图所示，当a<1时，函数y＝f(x)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根．
用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．
(多选)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4满足x1A．x1x2＝1
B．＋＝1
C．x3＋x4＝12
D．x3x4∈(27,29)
答案 BCD
解析 作出函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示．由图可知，|log2(x1－1)|＝|log2(x2－1)|且1热点2 数形结合化解不等式问题
例2 (1)(2020·河北省衡水中学高三第一次教学质量检测)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1D．{x|－1答案 C
解析 如图所示，画出g(x)＝log2(x＋1)的函数图象，从而可知交点D(1，1)，∴不等式f(x)≥g(x)的解集为{x|－1(2)已知关于x的不等式＞ax＋的解集为{x|4＜x＜b}，则ab＝________.
答案
解析 设f(x)＝，g(x)＝ax＋(x≥0)．因为＞ax＋的解集为{x|4＜x＜b}，所以两函数图象在4＜x＜b上有f(x)＞g(x)，如图所示．当x＝4，x＝b时，
由f(x)＝g(x)，可得解得所以ab＝×36＝.
数形结合思想处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题思路．因此，往往构造熟知的函数，作出函数图象，利用图象的交点和图象的位置求解不等式．
1．若存在实数a，对任意的x∈[0，m]，都有(sinx－a)·(cosx－a)≤0恒成立，则实数m的最大值为( )
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 在同一坐标系中，作出y＝sinx和y＝cosx的图象，
当m＝时，要使不等式恒成立，只有a＝，当m＞时，在x∈[0，m]上，必须要求y＝sinx和y＝cosx的图象不在y＝a＝的同一侧．所以m的最大值是.故选C．
2．(多选)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(x)>0，且?x1，x2∈R(x1≠x2)，f(x1)＋f(x2)<2f，则下列选项中一定正确的是( )
A．f(2)B．f′(π)C．f(2)D．f′(3)答案 ABD
解析 因为f′(x)>0，所以f(x)在R上单调递增，所以f(2)热点3 数形结合化解平面向量问题
例3 (1)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[－1，＋1]
B．[－1，＋2]
C．[1，＋1]
D．[1，＋2]
答案 A
解析 如图，令＝a，＝b，＝a＋b，＝c，
∵a，b是单位向量，a·b＝0，∴四边形AOBD是边长为1的正方形，||＝.又|c－a－b|＝1，∴点C在以点D为圆心、半径为1的圆上．
易知点C与O，D共线时，||达到最值，最大值为＋1，最小值为－1.∴|c|的取值范围是[－1，＋1]．
(2)(2020·山东省济宁市高三二模)如图，在△ABC中，∠BAC＝，
＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则||的最小值为( )
A．
B．
C．3
D．
答案 B
解析 设||＝3a，||＝b，则△ABC的面积为×3absin＝2，解得ab＝，由＝m＋＝m＋，且C，P，D三点共线，可知m＋＝1，即m＝，故＝＋.以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点，过A作AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，D(2a,0)，B(3a,0)，C，
则＝，＝(2a,0)，＝，
则||2＝2＋2＝b2＋a2＋ab＋b2
＝b2＋a2＋1≥2＋1＝ab＋1
＝3.
故||的最小值为.
建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁为简，轻松破解．
给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________，此时∠AOC＝________.
答案 2
解析 由图示和题意可知，A(1,0)，B.
设∠AOC＝α，则C(cosα，sinα)．
由＝x＋y，得
解得
所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin.
又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.
热点4 数形结合化解圆锥曲线问题
例4 (2020·山东省临沂市高三一模)点M为抛物线y＝x2上任意一点，点N为圆x2＋y2－2y＋＝0上任意一点，若函数f(x)＝loga(x＋2)＋2(a>1)的图象恒过定点P，则|MP|＋|MN|的最小值为( )
A．
B．
C．3
D．
答案 A
解析 如图所示，函数f(x)＝loga(x＋2)＋2(a>1)的图象恒过定点(－1,2)，故P(－1,2)．
y＝x2，即x2＝4y，焦点为F(0,1)，准线为y＝－1，x2＋y2－2y＋＝0，即x2＋(y－1)2＝.|MP|＋|MN|≥|MP|＋|MF|－≥|PD|－＝3－＝，当P，M，D共线时等号成立．故选A．
与圆锥曲线有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解．但一味的强调函数观点，有时会使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单．
椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．此时|MN|＝＝，又c＝＝＝1，所以此时△FMN的面积S＝×2×＝.故选C．
