（北师大版2019课标）高中数学必修第一册 第四章综合测试（Word含答案解析）

第四章综合测试
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数false的定义域是（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.计算false的结果为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3.设false，则false是false的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数false若false，则false的值是（ ）
A.2 B.1 C.1或2 D.1或false
5.若false，则false的值是（ ）
A.15 B.75 C.45 D.225
6.函数false，若实数false满足false，则false （ ）
A.1 B.false C.false D.9
7.函数false与false在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）

8.阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字false的素数个数大约可以表示为false的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10 000以内的素数个数为（false，计算结果取整数）（ ）
A.1 089 B.1 086 C.434 D.145
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9.已知false，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.false B.false C.false D.false
10.已知函数false，且false，则下列结论可能成立的是（ ）
A.false B.false C.false D.false
11.当false时，使不等式false成立的正数false的值可以为（ ）
A.false B.false C.2 D.4
12.已知函数false，则（ ）
A.false在false单调递增
B.false在false单调递减
C.false的图象关于直线false对称
D.false的图象关于点false对称
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）
13.已知函数false的图象恒过定点false，且幂函数false的图象经过点false，则false的值为________.
14.若false，则false________.
15.已知函数false，若false的定义域为R，则实数false的取值范围是________；若false的值域为R，则实数false的取值范围是________.
16.给出下列四个结论：
①函数false的最大值为false；
②已知函数false在false上是减函数，则false的取值范围是false；
③在同一平面直角坐标系中，函数false与false的图象关于false轴对称；
④在同一平面直角坐标系中，函数false与false的图象关于直线false对称.
其中正确结论的序号是________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）设false为奇函数，且当false时，false.
（1）求当false时，false的解析式；
（2）解不等式false.
18.（本小题满分12分）已知false.
（1）设false，求false的最大值与最小值；
（2）求false的值域.
19.（本小题满分12分）函数false且false.
（1）求该函数的定义域；
（2）若该函数的图象经过点false，讨论false的单调性并证明.
20.（本小题满分12分）已知函数false.
（1）求false的解析式，并判断false的奇偶性；
（2）解关于false的方程false.
21.（本小题满分12分）已知函数false.
（1）若false，求false的单调区间；
（2）是否存在实数false，使得false的最小值为0？若存在，求出false的值；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）已知函数false在false上有最大值1和最小值0，设false.
（1）求false的值；
（2）若不等式false在false上有解，求实数false的取值范围.
第四章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】B
【解析】若使函数有意义，则false，解得false且false.选B.
答案：B
2.【答案】D
【解析】利用换底公式，则原式false.
答案：D
3.【答案】A
【解析】false，即false，即false是false的充分不必要条件，故选A.
答案：A
4.【答案】A
【解析】若false，则false或false，解得false，故选A.
答案：A
5.【答案】C
【解析】false，选C.
答案：C
6.【答案】C
【解析】由题意，false，所以false为奇函数，故由false得false，则false，故选C.
答案：C
7.【答案】C
【解析】false为false上的单调递增函数，且false，排除B；false为false上的单调递减函数，且false，排除A，D.故选C.
答案：C
8.【答案】B
【解析】由题意知10 000以内的素数个数
false，故选B.
答案：B
二、
9.【答案】ACD
【解析】由false得false，即false，所以false，故A正确；false的符号不能确定，故B错误；false.故C、D正确.
答案：ACD
10.【答案】ABC
【解析】由题意得false或false.当false时，显然false；当false时，有false，false.综上可知，false，故选A、B、C.
答案：ABC
11.【答案】BC
【解析】由题可得false，则false，在同一坐标系中作出函数false与false的大致图象如下：
因为false，所以第一象限内最上面的曲线表示函数false的图象，作出直线false，它与两函数图象的交点分别为false，由false得false，即点false的横坐标为false，由false得false，即点false的横坐标为3，则false，故选BC.
答案：BC
12.【答案】ABC
【解析】由题知false.令false，则函数false在false时单调递增，在false时单调递减.又false单调递增，由复合函数单调性判定方法——同增异减，可知false在false上单调递增，在false上单调递减，因此A，B正确.又因为false，所以C正确，D不正确，因此选ABC.
答案：ABC
三、
13.【答案】false
【解析】令false，则false恒成立，故函数false恒过点false，即false，则false，解得false，故false.
14.【答案】false
【解析】由false，得false.
15.【答案】false false
【解析】要使false的定义域为R，则对任意的实数false都有false恒成立，故有false，解得false或false，即false的取值范围为false.要使false的值域为R，则false，且false能取得所有正实数，故有false，
解得false，即false的取值范围是false.
16.【答案】④
【解析】函数false的最大值为1，
false的最小值为false，false①错误；
函数false在false上是减函数，
false，解得false的取值范围是false，②错误；在同一平面直角坐标系中，函数false与false的图象关于false轴对称，③错误；在同一平面直角坐标系中，函数false与false的图象关于直线false对称，④正确.综上，正确结论的序号是④.
四、
17.【答案】（1）当false时，false，则false，又因为false为奇函数，所以false.
（2）由题意及（1）知，原不等式等价于false或false，解得false或false.false解集是false.
18.【答案】（1）因为函数false在false上是单调递减函数，所以false.
（2）令false，则false，由（1）得false，因此当false，即false时，false；当false，即false时，false.
因此，函数false的值域为false.
19.【答案】（1）要使函数式有意义，需false，即false.
当false时，可得false，所以false时，false；
当false时，可得false，所以false时，false.
（2）因为函数的图象经过点false，所以false，所以false，即false，又false，所以false，所以false.显然false在false上是增函数.证明如下：
任取false，则false，所以false，又false在false上单调递增，所以false，即false，所以false在false上是增函数.
20.【答案】（1）令false，则false.
所以false.
由false，解得false.
所以false，即false.
所以false.
所以false，
所以false为奇函数.
（2）由（1），知false，
即false，解得false.
21.【答案】（1）因为false，所以false，解得false，
由false，解得false，
即函数false的定义域为false，
令false，
则false在false上单调递增，在false上单调递减，
又false在false上单调递增，
所以false的单调递增区间为false，单调递减区间为false.
（2）若满足条件，则false有最小值1，
当false时显然不成立，即false为二次函数，对称轴为false，
所以false，
解得false，故存在实数false使false的最小值为1，false的最小值为0.
22.【答案】（1）false，
当false在false上是增函数，
由题意可得false，即false，
解得false，当false时，false，无最大值和最小值，不符合题意；
当false时，false在false上是减函数，由题意可得
false，即false，解得false，
false，故应舍去.
综上可得false的值分别为1，0.
（2）由（1）知false，
false在false上有解等价于false在false上有解，
即false在false上有解，
令false，
则false，
记false，
false.