(共24张PPT)
第八章 立体几何
第八章测试 立体几何
一、选择题
1.已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则
( )
A.m∥l
B.m∥n
C.n⊥l
D.m⊥n
【答案】
C
【解析】
A项,已知α⊥β,且α∩β=l,m∥α,若m⊥β,那么m⊥l,故A项错误;
B项,若m∥α∥l,且已知n⊥β,那么n⊥l,m⊥n,故B项错误;
C项,因为n⊥β,l?β,所以n⊥l,故C项正确;
D项,若m∥α,且m⊥l,那么m∥n,故D项错误.
故选C.
2.若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
B
【解析】
因为l⊥m,m⊥α,所以l∥α或l?α.故充分性不成立.
若l∥α,m⊥α,一定有l⊥m.故必要性成立.故选B.
3.如图,在三棱柱ABC
-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,
AA1=AC=2,直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为
( )
4.在长方体ABCD
-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为
( )
5.(2013新课标Ⅱ卷)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则
( )
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
【答案】
D
【解析】若α∥β,则m∥n,这与m,n为异面直线矛盾,所以A不正确.
将已知条件转化到正方体中,易知α与β不一定垂直,但α与β的交线一定平行于l,
从而排除B,C.故选D.
6.如图,在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,下列结论错误的是
( )
A.直线BD1与直线B1C所成的角为
B.直线B1C与直线A1C1所成的角为
C.线段BD1在平面AB1C内的射影是一个点
D.线段BD1恰被平面AB1C平分
【答案】
D
【解析】
连接DB1与D1B交点O,则点O为D1B中点,显然点O不在平面AB1C内,
所以线段BD1不可能被平面AB1C平分.故选D.
7.如图所示,已知三棱柱ABC
-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为
( )
8.如图,在棱长为1的正方体ABCD
-A1B1C1D1中,M,N分别是A1D1,A1B1的中点,过直线BD的平面α∥平面AMN,则平面α截该正方体所得截面的面积为
( )
【答案】
B
【解析】
如图①,取B1C1的中点E,C1D1的中点F,
连接EF,BE,DF,B1D1,
则EF∥B1D1,B1D1∥BD,所以EF∥BD,
故EF,BD在同一平面内,连接ME,
因为M,E分别为A1D1,B1C1的中点,所以ME∥AB,且ME=AB,
所以四边形ABEM是平行四边形,所以AM∥BE,
又因为BE?平面BDFE,AM?平面BDFE,
所以AM∥平面BDFE,同理AN∥平面BDFE.
因为AM∩AN=A,所以平面AMN∥平面BDFE,
即等腰梯形BDFE为平面α截正方体所得的截面.
图①
图②
9.(多选)如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论中正确结论的有
( )
A.直线BE与直线CF异面
B.直线BE与直线AF异面
C.直线EF∥平面PBC
D.平面BCE⊥平面PAD
【答案】
BC
【解析】
画出该几何体,如图所示,
选项A,因为E,F分别是PA,PD的中点,所以EF∥AD,
所以EF∥BC,直线BE与直线CF是共面直线,故A不正确;
选项B,直线BE与直线AF满足异面直线的定义,故B正确;
选项C,由E,F分别是PA,PD的中点,可知EF∥AD,所以EF∥BC,
因为EF?平面PBC,BC?平面PBC,所以直线EF∥平面PBC,
故C正确;
选项D,因为BE与PA的关系不能确定,
所以不能判定平面BCE⊥平面PAD,
故D不正确.
故选BC.
10.(多选)正方体ABCD
-A1B1C1D1的棱长为2,已知平面α⊥AC1,则关于平面α截此正方体所得截面的判断正确的是
( )
A.截面形状可能为正三角形
B.截面形状可能为正方形
C.截面形状可能为正六边形
D.截面面积最大值为3
二、填空题
11.(2016新课标Ⅱ卷)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m?α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)?
【答案】
②③④
【解析】若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α与β可能平行或相交,故①错误;
②显然成立;若α∥β,m?α,则m与β无公共点,因而m∥β,故③正确;
由线面角的定义、等角定理及面面平行的性质可知④正确.
12.(2016湖南联考)过三棱柱ABC
-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条.?
【答案】
6
【解析】
记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,
则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,
故符合题意的直线共有6条.
13.球O半径为R=13,球面上有三点A,B,C,AB=12,AC=BC=12
,则四面体OABC的体积是 .
?
14.如图,在正四棱柱ABCD
-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=
,点G为正方形ABCD的中心,点E为A1D1的中点,点F为AE的中点,则C,E,F,
G四点
(共面、不共面),线段EF,GC长度大小为________ (相等、不相等).?
【答案】
共面;不相等
【解析】
连接AC,FG,则有FG∥EC,所以C,E,F,G四点共面.
因为AE与AC长度不相等,所以EF与GC也不相等.
三、解答题
15.(2020新课标Ⅱ卷)如图,已知三棱柱ABC
-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.
(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;
【解析】
(1)证明:∵M,N分别为BC,B1C1的中点,∴MN∥BB1,
又AA1∥BB1,∴MN∥AA1.
在△ABC中,M为BC中点,则BC⊥AM,
又∵侧面BB1C1C为矩形,∴BC⊥BB1,
∵MN∥BB1,MN⊥BC,
由MN∩AM=M,MN,AM?平面A1AMN,
∴BC⊥平面A1AMN,
又∵B1C1∥BC,且B1C1?平面ABC,BC?平面ABC,
∴B1C1∥平面ABC,
又∵B1C1?平面EB1C1F,且平面EB1C1F∩平面ABC=EF,
∴B1C1∥EF,∴EF∥BC,又∵BC⊥平面A1AMN,∴EF⊥平面A1AMN,
∵EF?平面EB1C1F,∴平面EB1C1F⊥平面A1AMN.
【解析】
(2)连接NP,
∵AO∥平面EB1C1F,平面AONP∩平面EB1C1F=NP,∴AO∥NP,
根据三棱柱上下底面平行,
平面A1NMA∩平面ABC=AM,平面A1NMA∩平面A1B1C1=A1N,
∴ON∥AP,故四边形ONPA是平行四边形,
设△ABC边长是6m(m>0),
可得ON=AP,NP=AO=AB=6m,
∵O为△A1B1C1的中心,且△A1B1C1边长为6m,
16.(2018北京海淀区)如图,在三棱锥P
-ABC中,侧棱PA=2,底面三角形ABC为正三角形,边长为2,顶点P在平面ABC上的射影为D,
AD⊥DB,DB=1.
(1)求证:AC∥平面PDB;
【解析】
(1)证明:因为AD⊥DB,且DB=1,AB=2,
所以AD=
,所以∠DBA=60°.
因为△ABC为正三角形,
所以∠CAB=60°,所以DB∥AC.
因为AC?平面PDB,DB?平面PDB,
所以AC∥平面PDB.
(2)求二面角P
-AB
-C的余弦值;
(3)线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE,如果存在,求
的值;如果不存在,请说明理由.(共24张PPT)
第八章 立体几何
第1节 空间几何体的表面积与体积
知识梳理
1.空间几何体的表面积:
圆柱:S圆柱侧=2πrl,S圆柱表=2πr(r+l)(其中r为圆柱底面半径,l为母线长).
圆锥:S圆锥侧=πrl,S圆锥表=πr(r+l)(其中r为圆锥底面半径,l为母线长).
圆台:S圆台侧=π(r+R)l,S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2)(其
r,R为圆台上、下底面半径,l为母线长).
球的表面积:S=4πR2.
2.空间几何体的体积:
柱体体积:V=Sh;锥体体积:V=
Sh;球的体积:V=
πR3.
精选例题
【例1】 (2020江苏卷)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm,高为2
cm,内孔半轻为0.5
cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3.?
【例2】 (2015新课标Ⅱ卷)如图,长方体ABCD
-A1B1C1D1中,
AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
专题训练
1.(2012新课标Ⅱ卷)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为
,则此球的体积为
( )
2.(2014新课标Ⅱ卷)正三棱柱ABC
-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为
,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为
( )
3.(2014福建)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于
( )
A.2π
B.π
C.2
D.1
【答案】
A
【解析】
圆柱侧面积S=2πrl=2π×1×1=2π.故选A.
4.如图所示,圆锥的底面半径为1,高为
,则圆锥的表面积为(
)
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
5.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是
( )
A.4πS
B.2πS
C.πS
D.
πS
6.正三棱柱ABC
-A1B1C1的各棱长都是1,该棱柱的表面积为( )
7.正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为2
,则这个正三棱锥的体积是
( )
8.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
( )
A.26π
B.27π
C.24π
D.32π
【答案】
B
【解析】设球的直径为d,则d2=32+32+32=27.
S球=4πR2=πd2=27π.
故选B.
9.(2011新课标Ⅱ卷)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的
,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .?
10.(2020新课标Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
( )
11.(2019江苏)如图,长方体ABCD
-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E
-BCD的体积是 .?
12.(2020新课标Ⅰ卷)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为
( )
A.64π
B.48π
C.36π
D.32π
13.(2015新课标Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有
( )
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
14.(2018新课标Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为
( )
A.12
π
B.12π
C.8
π
D.10π
15.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,
CD=2,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
(圆台体积:V=
π(r12+r1r2+r22)h,其中r1,r2分别为圆台上、下底面半径,h是圆台的高.)
16.(2019新课标Ⅲ卷,理)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD
-A1B1C1D1挖去四棱锥
O
-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6
cm,AA1=4
cm,3D打印所用原料密度为0.9
g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为
g.?(共27张PPT)
第八章 立体几何
第2节 球的内接多面体
知识梳理
1.球的表面积公式:S球=4πR2.
2.球的体积公式:V球=
πR3.
3.求多面体外接球相关问题的常见类型、方法:
类型
对应图形
对应外接球半径R
备注
1.内接多面体为长方体
2R=
a,b,c为长方体同一顶点的三边长
2.有两个面互相垂直的
R2=d2+r2
d=OO1(或d=OO2)
(r1,r2为两圆的半径,MN为两圆公共棱)
类型
对应图形
对应外接球半径R
备注
3.有一条棱与底面垂直的椎体(或内接正棱柱)
R2=d2+r2
r为底面多边形的外接圆半径
4.直棱柱的外接球、圆柱的外接球
R2=
+r2
r为底面多边形的外接圆半径
h为棱柱的侧棱长
类型
对应图形
对应外接球半径R
备注
5.侧棱相等棱锥的外接球
(球的直径过底面多边形外接圆的圆心)
2R=
l为侧棱,r为底面外接圆半径
6.折叠类型问题
O+C=OC2
(即d2+r2=R2)
R2=r2+
h为底面三角形的高,r为底面三角形外接圆半径,α为折叠后的二面角
类型
对应图形
对应外接球半径R
备注
7.空间直角坐标系法
(x,y,z)为球心坐标,(a,b,c)为内接多面体任一顶点的坐标
8.多面体的内切球
V=
S表面积·r
r为内切球的半径
S为多面体的表面积
V为多面体的体积
9.对棱相等的三棱锥
R=
x,y,z分别为三对对棱的长
精选例题
【例1】 (2017新课标Ⅱ卷,文)已知三棱锥S
-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,
SB=BC,三棱锥S
-ABC的体积为9,则球O的表面积为 .?
【例2】 已知三棱锥P
-ABC,在底面△ABC中,A=60°,BC=
,
PA⊥平面ABC,PA=2,则此三棱锥的外接球的体积为
( )
专题训练
1.(2017新课标Ⅱ卷,文)长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 .?
2.三棱锥P
-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形,则三棱锥P
-ABC外接球的半径为
.?
3.(2020新课标Ⅱ卷)已知△ABC是面积为
的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为
( )
4.(2020新课标Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 .?
5.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为
( )
6.(2016惠州)已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,EA=EB=3,AD=2,∠AEB=60°,则多面体E
-ABCD的外接球的表面积为 .?
7.(2013新课标Ⅱ卷)已知正四棱锥O
-ABCD的体积为
,底面边长为
,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为 .?
8.(2017新课标Ⅲ卷,文)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为
( )
9.(2016广州二模)已知球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为
R,AB=AC=2,∠BAC=120°,则球O的表面积为
( )
10.在三棱锥P
-ABC中,PA=PB=PC=
,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为
( )
11.(2012新课标卷,理)已知三棱锥S
-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2.则此三棱锥的体积为
( )
12.(2015新课标Ⅱ卷,理)已知A,B是球O的球面上两点,
∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O
-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为
( )
A.36π
B.64π
C.144π
D.256π
13.(2017广州一模)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P
-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,
PA=AB=2,AC=4,三棱锥P
-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为
( )
A.8π
B.12π
C.20π
D.24π
14.在边长为2
的菱形ABCD中,∠BAD=60°,沿对角线BD折成二面角A1-BD
-C为120°的四面体A1BCD,则此四面体的外接球表面积为 .?
15.已知三棱锥P
-ABC的所有棱长都等于1,则三棱锥P
-ABC的内切球的表面积为 .?
16.(2018新课标Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9
,则三棱锥D
-ABC体积的最大值为
( )
A.12
B.18
C.24
D.54
17.(2019新课标Ⅰ卷)已知三棱锥P
-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为
( )
A.8
π
B.4
π
C.2
π
D.
π(共25张PPT)
第八章 立体几何
第3节 空间中的平行关系
知识梳理
1.线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
数学符号表示:a∥b,a?α,b?α?a∥α.
(证明线面平行的常用方法:
①三角形中位线;②平行四边形;③面面平行.)
2.线面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
数学符号表示:a∥α,a?β,α∩β=c?a∥c.
3.面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
数学符号表示:
?α∥β.
4.面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
数学符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.
精选例题
【例1】 如图,在直三棱柱ABC
-A1B1C1中,设AB1的中点为D,
B1C∩BC1=E.
求证:DE∥平面AA1C1C.
【证明】 在直三棱柱ABC
-A1B1C1中,
侧面BB1C1C为矩形,
∵B1C∩BC1=E,∴E为B1C的中点.
又∵D为AB1的中点,
∴在△ACB1中,有DE∥AC.
∵DE?平面AA1C1C,AC?平面AA1C1C,
∴DE∥平面AA1C1C.
【例2】 (2014湛江一模)如图,在三棱锥P
-ABC中,D,E,F分别是PC,AC,BC的中点.
求证:平面DEF∥平面PAB.
【证明】 ∵
E,F分别是AC,BC的中点,
∴EF∥AB.
∵AB?平面PAB,EF?平面PAB,
∴EF∥平面PAB.
同理:DF∥平面PAB,EF?平面DEF,
DF?平面DEF,
∵EF∩DF=F,
∴平面DEF∥平面PAB.
专题训练
1.已知m,n,l是不同的直线,α,β是不同的平面,以下命题正确的是
( )
①若m∥n,m?α,n?β,则α∥β;
②若m?α,n?β,α∥β,l⊥m,则l⊥n;
③若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥n;
④若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n.
A.①③
B.③④
C.②④
D.③
【答案】
D
【解析】
①若m∥n,m?α,n?β,则α∥β或α,β相交;
②若m?α,n?β,α∥β,l⊥m,则l⊥n或l∥n或l,n异面;
③正确;
④若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n或m∥n或m,n异面.故选D.
2.“平面α内有无数条直线都和直线l平行”是“l∥α”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
B
【解析】
如果直线在平面内,直线可能与平面内的无穷条直线都平行,但直线不与平面平行.故选B.
3.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则( )
A.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形
【答案】
B
【解析】
由AE∶EB=AF∶FD=1∶4
知EF
BD,所以EF∥平面BCD.
又H,G分别为BC,CD的中点,
所以HG?BD,所以EF∥HG且EF≠HG.
所以四边形EFGH是梯形.故选B.
4.(2019新课标Ⅱ卷,文)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是
( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
【答案】
B
【解析】
对于A选项,α内有无数条直线与β平行,则α与β相交或α∥β,排除;
对于B选项,α内有两条相交直线与β平行,则α∥β;
对于C选项,α,β平行于同一条直线,则α与β相交或α∥β,排除;
对于D选项,α,β垂直于同一平面,则α与β相交或α∥β,排除.
故选B.
5.在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列结论中,错误的是
( )
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC=BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
【答案】
C
【解析】
因为截面PQMN是正方形,所以MN∥QP,则MN∥平面ABC,由线面平行的性质知MN∥AC,则AC∥截面PQMN,
同理可得MQ∥BD,又MN⊥QM,则AC⊥BD,故A,B正确.
又因为BD∥MQ,
所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角,
即为45°,故D正确.故选C.
6.(2018合肥模拟)在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.在平面内
D.不能确定
【答案】
A
【解析】
如图,由
得AC∥EF.
又因为EF?平面DEF,AC?平面DEF,
所以AC∥平面DEF.故选A.
7.在三棱锥P
-ABC中,PB=6,AC=3,G为△PAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB和AC,则截面的周长为 .?
【答案】
8
【解析】
过点G作EF∥AC,分别交PA,PC于点E,F,
过点E作EN∥PB交AB于点N,
过点F作FM∥PB交BC于点M,连接MN,
则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面),
且EF=MN=
AC=2,FM=EN=
PB=2,所以截面的周长为2×4=8.
8.棱长为2的正方体ABCD
-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,
D1作正方体的截面,则截面的面积是 .?
【答案】
【解析】
由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线,
所以截面是梯形CD1MN,易求其面积为
.
9.(2019新课标Ⅲ卷)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则
( )
A.BM=EN,且直线BM、EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM、EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
10.(2017新课标Ⅰ卷,文)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
选项B,由AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ;
选项C,由AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ;
选项D,由AB∥NQ,则直线AB∥平面MNQ.故选A.
11.如图,在三棱柱ABC
-A1B1C1中,各个侧面均是边长为2的正方形,D为线段AC的中点.
求证:直线AB1∥平面BC1D.
【证明】 如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD.
显然点O为B1C的中点.
因为D是AC中点,所以AB1∥OD.
又因为OD?平面BC1D,AB1?平面BC1D,
所以直线AB1∥平面BC1D.
12.如图,四棱锥P
-ABCD的底面是边长为1的正方形,E为PC的中点.
证明:PA∥平面EDB.
【证明】 连接AC交BD于点G,连接EG.
因为四边形ABCD是正方形,
所以点G是AC的中点,
又因为E为PC的中点,
因此EG∥PA.
而EG?平面EDB,PA?平面EDB,
所以PA∥平面EDB.
13.如图,四棱锥P
-ABCD中,ABCD为平行四边形,E,F分别是PC,
AB的中点.
求证:EF∥平面PAD.
【证明】 取PD中点G,连接GE,GA.
∵E,F分别是PC,AB的中点.
在△PDC中,GE∥DC,GE=
DC.
∵ABCD为平行四边形,F为AB中点.
∴AF∥DC,AF=
DC.
∴AF=GE,AF∥GE,∴AFEG为平行四边形.
∴EF∥GA.
∵EF?平面PAD,AG?平面PAD,
∴EF∥平面PAD.
14.如图所示,在所有棱长都为2a的三棱柱ABC
-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,D点为棱AB的中点.
求证:AC1∥平面CDB1.
【证明】 如图,
连接B1C交BC1于点O,连接OD.
显然点O为B1C的中点.
因为D是AC中点,所以AB1∥OD.
又因为OD?平面BC1D,AB1?平面BC1D,
所以直线AB1∥平面BC1D.
15.如图,在四棱锥P
-ABCD中,底面ABCD是菱形,点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.
求证:AB∥EF.
【证明】
∵底面ABCD是菱形,
∴AB∥CD,
又∵AB?平面PCD,CD?平面PCD,
∴AB∥平面PCD,
又∵A,B,E,F四点共面,
且平面ABEF∩平面PCD=EF,
∴AB∥EF.
16.(2020佛山)如图,在四棱锥P
-ABCD中,底面ABCD是矩形,点M,
N分别是棱BC,PD的中点.
求证:MN∥平面PAB.
【证明】 取PA的中点为Q,连接NQ,BQ,
如图:
又点N是PD的中点,则NQ∥AD且NQ=
AD,
又点M是BC的中点,底面ABCD是矩形,
则BM=
AD且BM∥AD,
∴NQ∥BM且NQ=BM,
∴四边形MNQB是平行四边形,∴MN∥BQ,
又MN?平面PAB,BQ?平面PAB,
∴MN∥平面PAB.
(也可以用面面平行证明)
17.(2019肇庆)如图,在三棱柱ABC
-A1B1C1中,侧面ABB1A1是菱形,
E是棱BB1的中点,F在线段AC上,且AF=2FC.
证明:CB1∥平面A1EF.
18.如图,多面体ABCDEF中,底面ABCD是菱形,四边形BDEF是正方形.求证:CF∥平面AED.
【证明】
∵ABCD是菱形,
∴BC∥AD,又BC?平面ADE,AD?平面ADE,
∴BC∥平面ADE.
又BDEF是正方形,∴BF∥DE.
∵BF?平面ADE,DE?平面ADE,
∴BF∥平面ADE,
∵BC?平面BCF,BF?平面BCF,BC∩BF=B,
∴平面BCF∥平面AED,∵CF?平面BCF,∴CF∥平面AED.
19.如图,四棱锥O
-ABCD的底面是边长为1的菱形,OA=2,
∠ABC=60°,OA⊥平面ABCD,M,N分别是OA,BC的中点.
求证:直线MN∥平面OCD.
【证明】
取OD的中点P,连接PC,PM,
∵M,N分别是OA,BC的中点,
∴PM∥AD,且PM=
AD,NC∥AD,且NC=
AD,
∴PM∥NC,且PM=NC,
则PMNC是平行四边形,得MN∥PC,
∵PC?平面OCD,MN?平面OCD,
∴直线MN∥平面OCD.(共17张PPT)
第八章 立体几何
第4节 空间中的垂直关系
知识梳理
1.线面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
数学符号表示:
?c⊥α.
2.线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
数学符号表示:
?a∥b.
3.面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
数学符号表示:
?α⊥β.
4.面面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
数学符号表示:
?a⊥β.
精选例题
【例1】 如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO.
【证明】 ∵O为圆心,∴OA=OC.
∵D为线段AC的中点,∴OD⊥AC.
∵PO垂直于圆O所在的平面,
∴AC⊥PO.
∵OD∩PO=O,OD,PO?平面PDO,
∴AC⊥平面PDO.
【例2】 (2010新课标卷)如图,已知四棱锥P
-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.
证明:平面PAC⊥平面PBD.
【证明】 ∵PH是四棱锥P-ABCD的高.
∴AC⊥PH,
又∵AC⊥BD,PH?平面PBD,
BD?平面PBD,且PH∩BD=H.
∴AC⊥平面PBD.
∵AC?平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD.
专题训练
1.(2015汕头)正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD,AE⊥平面CDE.
求证:AB⊥平面ADE.
【证明】
∵AE⊥平面CDE,CD?平面CDE,
∴AE⊥CD.
在正方形ABCD中,CD⊥AD,
∵AD∩AE=A,
∴CD⊥平面ADE.
∵AB∥CD,∴AB⊥平面ADE.
2.(2019北京,文)如图,在四棱锥P
-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底部ABCD为菱形,E为CD的中点.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
【证明】 (1)因为PA⊥平面ABCD,
且BD?平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC.
又PA?平面PAC,AC?平面PAC,PA∩AC=A,
所以BD⊥平面PAC.
(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE.
【证明】 (2)因为PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,且E为CD的中点,
所以AE⊥CD.
又AB∥CD,所以AB⊥AE.
又PA?平面PAB,AB?平面PAB,PA∩AB=A,所以AE⊥平面PAB.
又AE?平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.
3.(2019新课标Ⅲ卷,文)图(1)是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图(2).
证明:图(2)中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE.
【证明】 由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,
故AD,CG确定一个平面,所以A,C,G,D四点共面.
由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,BE∩BC=B,故AB⊥平面BCGE.
又因为AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.
图(1)
图(2)
4.(2015湖南,文)如图,直三棱柱ABC
-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.
证明:平面AEF⊥平面B1BCC1
;
【证明】 ∵△ABC为正三角形,E为BC中点,
∴AE⊥BC,
又∵三棱柱ABC
-A1B1C1为直三棱柱,
∴CC1⊥平面ABC,
而AE?平面ABC,∴AE⊥CC1,
而CC1∩BC=C,∴AE⊥平面B1BCC1.
∵AE?平面AEF,∴平面AEF⊥平面B1BCC1.
5.(2015桂城中学七校联考)如图,在三棱柱ABC
-A1B1C1中,各个侧面均是边长为2的正方形,D为线段AC的中点.求证:
(1)直线BD⊥平面ACC1A1;
【证明】
(1)∵三棱柱的侧面是正方形,
∴CC1⊥BC,CC1⊥AC,BC∩AC=C.
∴CC1⊥底面ABC.
∵BD?底面ABC,∴CC1⊥BD.
由已知可得,底面ABC为正三角形.
∵D是AC中点,∴BD⊥AC.
∵AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1A1.
(2)直线AB1∥平面BC1D.
【证明】
(2)如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD.
显然点O为B1C的中点.
又D是AC中点,∴AB1∥OD.
又∵OD?平面BC1D,AB1?平面BC1D,
∴直线AB1∥平面BC1D.
6.(2015陕西,文)如图(1),在直角梯形ABCD中,AD∥BC,
∠BAD=
,AB=BC=
AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE的位置,得到四棱锥
A1-BCDE.
证明:CD⊥平面A1OC.
【证明】在图(1)中,∵AB=BC=
AD=a,
E是AD的中点,∠BAD=
,
∴四边形ABCE为正方形,∴BE⊥AC.
在图(2)中,BE⊥A1O,BE⊥OC,A1O∩OC=O,∴BE⊥平面A1OC,
又∵DE∥BC,DE=BC,∴四边形BCDE
为平行四边形,BE∥CD.∴CD⊥平面A1OC.
7.(2018北京)如图,在四棱锥P
-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:
(1)PE⊥BC;
(2)平面PAB⊥平面PCD;
【证明】
(1)∵PA=PD,且E为AD的中点,
∴PE⊥AD.
∵底面ABCD为矩形,
∴BC∥AD,∴PE⊥BC.
【证明】
(2)∵底面ABCD为矩形,
∴AB⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.
又PA⊥PD,∵PD⊥平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PCD.
(3)EF∥平面PCD.
【证明】
(3)如图,取PC中点G,连接FG,GD.
∵F,G分别为PB和PC的中点,
∴FG∥BC,且FG=
BC.
∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,
∴ED∥BC,DE=
BC,
∴ED∥FG,且ED=FG,
∴四边形EFGD为平行四边形,∴EF∥GD.
又EF?平面PCD,GD?平面PCD,
∴EF∥平面PCD.
8.(2020新课标Ⅰ卷,山东)如图,四棱锥P
-ABCD的底面为正方形,
PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
证明:l⊥平面PDC.
【证明】
过P在平面PAD内作直线l∥AD,
由AD∥BC,可得l∥BC,即l为平面PAD和平面PBC的交线,
∵PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,
∴PD⊥BC,
又BC⊥CD,CD∩PD=D,
∴BC⊥平面PCD,
∵l∥BC,∴l⊥平面PCD.
9.(2020新课标Ⅲ卷,文)如图,在长方体ABCD
-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.
求证:当AB=BC时,EF⊥AC.
【证明】
因为长方体ABCD
-A1B1C1D1,
所以BB1⊥平面ABCD,∴AC⊥BB1,
因为长方体ABCD
-A1B1C1D1中,AB=BC,
所以四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD,
因为BB1∩BD=B,BB1,BD?平面BB1D1D,
因此AC⊥平面BB1D1D,
因为EF?平面BB1D1D,
所以AC⊥EF.(共21张PPT)
第八章 立体几何
第5节 异面直线所成的角、二面角
知识梳理
1.异面直线所成的角:过空间任一点作两条异面直线a,b的平行线a',b',则a'和b'所成的锐角或直角就是异面直线a,b所成的角θ.
(其中0<θ≤
)
2.二面角定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图).直线AB叫做二面角的棱,半平面α和β叫做二面角的面.
记法:α
-AB
-β,在α,β内,分别取点P,Q时,可记作P
-AB
-Q;当棱记为l时,可记作α
-l
-β或P
-l
-Q.?
3.二面角的平面角:
(1)定义:在二面角α
-l
-β的棱l上任取一点O,如图所示,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(2)直二面角:平面角是直角的二面角.
(3)二面角的平面角的定义是两条
“射线”的夹角,不是两条直线的夹角,
因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.
4.解决二面角问题的策略
清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为:一作:即先作出二面角的平面角;二证:即证明所作角是二面角的平面角;三求:即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值,其中关键是“作”.
精选例题
【例1】 如图,E,F分别是三棱锥P
-ABC的棱AP,BC的中点,
PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为 .?
【答案】
60°
【解析】
取AC的中点D,连接DE,DF,
则DE∥PC,DF∥AB,
∠EDF或其补角为异面直线AB与PC所成的角,
利用余弦定理可求得∠EDF=120°,
所以异面直线AB与PC所成的角为60°.
【例2】 过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA=AB
=a,求二面角B
-PC
-D的大小.
【解析】
过B作BE⊥PC交PC于E,连结DE,BD,
由BD⊥AC,BD⊥PA,AC∩PA=A,
可证BD⊥平面PAC,故BD⊥PC,BE∩BC=B,
故PC⊥平面BED,
由BE⊥PC,DE⊥PC,
得到二面角B
-PC
-D的平面角为∠BED,
专题训练
1.在棱长为1的正方体ABCD
-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值等于
( )
2.过点P作二面角α-l-β的两个半平面所在的平面的垂线PA,PB.若PA和PB成60°,则该二面角的平面角为
( )
A.60°
B.120°
C.60°或120°
D.150°
【答案】
C
【解析】
二面角α
-l
-β可以是锐角或钝角.故选C.
3.(2018新课标Ⅱ卷)在长方体ABCD
-A1B1C1D1中,AB=BC=1,
AA1=
,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为
( )
4.正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC
-B(如图(2)),在图形(2)中,二面角E-DF-C的余弦值为 .?
图(1)
图(2)
5.(2017新课标Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC
-A1B1C1中,∠ABC=120°,
AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
图①
图②
6.(多选)如图,在直三棱柱ABC
-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,
∠ACB=90°,D,E,F分别为AC,AA1,AB的中点.则下列结论正确的是
( )
A.AC1与EF相交
B.B1C1∥平面DEF
C.EF与AC1所成的角为90°
D.点B1到平面DEF的距离为
【答案】
BCD
【解析】
对于选项A,由图知AC1?平面ACC1A1,
EF∩平面ACC1A1=E,且E?AC1.
由异面直线的定义可知AC1与EF异面,故A错误;
对于选项B,
在直三棱柱ABC
-A1B1C1中,B1C1∥BC.
∵D,F分别是AC,AB的中点,
∴FD∥BC,∴B1C1∥FD.
又∵B1C1?平面DEF,DF?平面DEF,
∴B1C1∥平面DEF.故B正确;
对于选项C,由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,0),
E(2,0,1),F(1,1,0).
7.如图,在四棱锥P
-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)证明:BD⊥平面PAC;
【解析】
(1)证明:∵PC⊥平面BDE,BD?平面BDE,
∴BD⊥PC,
∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴BD⊥PA,
∵PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC.
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B
-PC
-A的正切值.
8.(2012新课标卷)如图,直三棱柱ABC
-A1B1C1中,AC=BC=
AA1,
D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.
(1)证明:DC1⊥BC;
【解析】
(1)证明:
∵在Rt△DAC中,AD=AC,
∴∠ADC=45°,
同理∠A1DC1=45°,
∴∠CDC1=90°,
∵DC1⊥DC,DC1⊥BD,BD∩DC=D,
∴DC1⊥平面BCD,
∴DC1⊥BC.
(2)求二面角A1-BD
-C1的大小.
【解析】
(2)DC1⊥BC,CC1⊥BC?BC⊥平面ACC1A1?BC⊥AC,
取A1B1的中点O,过点O作OH⊥BD于点H,连接C1O,C1H,
A1C1=B1C1?C1O⊥A1B1,
平面A1B1C1⊥平面A1BD?C1O⊥平面A1BD,
OH⊥BD?C1H⊥BD得点H与点D重合,
且∠C1DO是二面角A1-BD
-C1的平面角,
设AC=a,则C1O=
,
C1D=
a=2C1O?∠C1DO=30°,
即二面角A1-BD-C1的大小为30°.
9.(2016新课标Ⅱ卷,19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=
,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=
.
(1)证明:D'H⊥平面ABCD;
【解析】
(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.
又由AE=CF得
,故AC∥EF.
因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.
由AB=5,AC=6得DO=BO=
=4.
由EF∥AC得
所以OH=1,D'H=DH=3.
于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.
又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D'H⊥平面ABCD.
(2)求二面角B
-D'A
-C的正弦值.(共19张PPT)
第八章 立体几何
第6节 空间向量基本概念
知识梳理
1.空间向量的有关概念
(1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量.
(2)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相重合或平行.
(3)共面向量:平行于同一个平面的向量.
(4)相等向量:方向相同且模相等的向量.
2.共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,向量p与向量a,b共面,存在唯一的有序实数对(x,y),使得p=xa+yb.
(2)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使得p=xa+yb+zc.
3.空间向量的坐标运算
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3).
(2)a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3).
(3)a·b=a1b1+a2b2+a3b3.
(4)a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3.(λ∈R)
(5)a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0.
(6)cos
=
(7)|a|=
精选例题
专题训练
1.与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是
( )
【答案】
D
【解析】
因为a∥b,所以a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3.故选D.
2.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是
( )
A.(-1,1,0)
B.(1,-1,0)
C.(0,-1,1)
D.(-1,0,1)
【答案】
B
【解析】
设选项中的向量与a的夹角为θ,
对于选项A,由于cos
θ=
此时夹角θ为120°,不满足题意;
对于选项B,由于cos
θ=
此时夹角θ为60°,满足题意.故选B.
4.如图,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别为AB,AD,DC的中点,则a2等于
( )
5.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是
( )
7.(2017佛山模拟)已知向量a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,且a与b反向,则λ+μ= .?
8.已知向量a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三个向量共面,则λ=
( )
A.9
B.-9
C.-3
D.3
【答案】
B
【解析】由题意知c=xa+yb,
即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),
即
解得λ=-9.故选B.
9.已知向量a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则a,b夹角的余弦值为 .?
10.在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin<
>的值为
( )
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值;
(3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.
【解析】(3)ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),
∵ka+b与ka-2b互相垂直,
∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,∴k=2或k=
,
∴当ka+b与ka-2b互相垂直时,k=2或k=
.(共24张PPT)
第八章 立体几何
第7节 空间向量在立体几何中的应用
知识梳理
1.平面的法向量
直线l⊥α,取直线的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.
2.空间角和距离的计算
条件
向量法
线线角
直线m,n的方向向量分别是m,n,直线m,n的夹角是θ.
cos
θ=
线面角
l是斜线l的方向向量,n是平面α的法向量,斜线l与平面α所成的角为θ.
sin
θ=
面面角
设向量m与n分别是二面角中的两个半平面的法向量,二面角的平面角为α.
cos
α=±
(通过观察选择“±”号)
点到面
的距离
向量n是平面α的法向量,点A是平面α外一定点,点B是平面α内任意一点,点A到平面α的距离为d.
d=
精选例题
【例1】
如图,在四棱锥P
-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
∵PA⊥平面ABCD,
BD?平面ABCD,
∴PA⊥BD,
∵PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC.
(2)若PA=AB=2,求PB与AC所成角的余弦值.
【例2】(2018新课标Ⅱ卷)如图,在三棱锥P
-ABC中,AB=BC=2
,
PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M
-PA
-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
专题训练
1.直三棱柱ABC
-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【答案】
C
【解析】延长CA到D,使得AD=AC,则ADA1C1为平行四边形,
∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,
又三角形A1DB为等边三角形,则∠DA1B=60°.
故选C.(建立坐标系求解也可以)
2.如图,已知正方体ABCD
-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为
( )
3.(2013新课标卷)已知正四棱柱ABCD
-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于
( )
4.(2014新课标Ⅱ卷)直三棱柱ABC
-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为
( )
5.(2015泰安模拟)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α法向量,若cos=
,则l与α所成的角为
( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【答案】
A
【解析】设l与α所成角为θ,∵cos=
,
又直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°,∴sin
θ=|
|.
∴θ=30°.
故选A.
6.(2014宁夏银川调研考试)已知正三棱柱ABC
-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(
)
7.(2016江西抚州模拟)已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,则点C到平面GEF的距离为 .?
8.(2016新课标Ⅰ卷)平面α过正方体ABCD
-A1B1C1D1的顶点A,
α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为
( )
【答案】
A
【解析】
因为过点A的平面α与平面CB1D1平行,
平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以m∥B1D1∥BD,
又A1B∥平面CB1D1,
所以n∥A1B,则BD与A1B所成的角为所求角,
所以m,n所成角的正弦值为
.故选A.
9.(2018新课标Ⅱ卷)在长方体ABCD
-A1B1C1D1中,AB=BC=1,
AA1=
,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为
( )
10.(2011新课标卷)如图,四棱锥P
-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(1)证明:PA⊥BD;
【解析】 (1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,
由余弦定理得BD=
AD,
从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD;
又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,
所以BD⊥平面PAD,PA?平面PAD.
故
PA⊥BD.
(2)若PD=AD,求二面角A
-PB
-C的余弦值.
11.(2013辽宁)如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上的点.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
【解析】
(1)证明:∵AB是圆的直径,
∴AC⊥BC,
∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴PA⊥BC,
∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
∵BC?平面PBC,
∴平面PAC⊥平面PBC.
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C
-PB
-A的余弦值.
12.(2018新课标Ⅲ卷)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧
所在平面垂直,
M是
上异于C,D的点.
(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;
【解析】
(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.
因为BC⊥CD,BC?平面ABCD,
所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.
因为M为
上异于C,D的点,
且DC为直径,
所以
DM⊥CM.
又BC∩CM=C,
所以DM⊥平面BMC.而DM?平面AMD,
故平面AMD⊥平面BMC.
(2)当三棱锥M
-ABC体积最大时,求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.(共55张PPT)
第八章 立体几何
第8节 立体几何解答题综合训练
1.(2020新课标Ⅲ卷)如图,在长方体ABCD
-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.
(1)证明:点C1在平面AEF内;
(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A
-EF
-A1的正弦值.
2.如图,在四棱锥P
-ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠ABC=120°.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:AB∥EF;
【解析】
(1)证明:
∵底面ABCD是菱形,
∴AB∥CD,
又∵AB?平面PCD,CD?平面PCD,
∴AB∥平面PCD,
又∵A,B,E,F四点共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,
∴AB∥EF.
(2)若PA=PD=AD=2,且平面PAD⊥平面ABCD,求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值.
【解析】
(2)取AD中点G,连接PG,GB,
∵PA=PD,∴PG⊥AD,
又∵平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PG⊥平面ABCD,∴PG⊥GB,
在菱形ABCD中,
∵AB=AD,∠DAB=60°,G是AD中点,
∴AD⊥GB,
如图,建立空间直角坐标系G
-xyz,设PA=PD=AD=2,
3.(2019新课标Ⅰ卷,理)如图,直四棱柱ABCD
-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE;
(2)求二面角A
-MA1-N的正弦值.
4.(2020新课标Ⅰ卷)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,
AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=
DO.
(1)证明:PA⊥平面PBC;
(2)求二面角B
-PC
-E的余弦值.
【解析】
(1)证明:连接BD,交AC于点O,设PC中点为F,连接OF,EF.
因为O,F分别为AC,PC的中点,
所以OF∥PA,且OF=
PA,因为DE∥PA,且DE=
PA,
所以OF∥DE,且OF=DE.
所以四边形OFED为平行四边形,
所以OD∥EF,即BD∥EF.
因为PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以PA⊥BD.
因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.
因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.
因为BD∥EF,所以EF⊥平面PAC.
因为FE?平面PCE,所以平面PAC⊥平面PCE.
5.(2018广州)如图,已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形,PA⊥底面ABCD,ED∥PA,且PA=2ED=2.
(1)证明:平面PAC⊥平面PCE;
(2)若直线PC与平面ABCD所成的角为45°,求二面角P
-CE
-D的余弦值.
【解析】
(2)解法一:因为直线PC与平面ABCD所成角为45°,
所以∠PCA=45°,所以AC=PA=2.
所以AC=AB,故△ABC为等边三角形.
设BC的中点为M,连接AM,则AM⊥BC.
以A为原点,AM,AD,AP分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系A-xyz(如图).
【解析】
(2)解法二:因为直线PC与平面ABCD所成角为45°,且PA⊥平面ABCD,所以∠PCA=45°,所以AC=PA=2.
因为AB=BC=2,所以△ABC为等边三角形.
因为PA⊥平面ABCD,由(1)知PA∥OF,
所以OF⊥平面ABCD.
因为OB?平面ABCD,OC?平面ABCD,
所以OF⊥OB且OF⊥OC.
在菱形ABCD中,OB⊥OC.
以点O为原点,OB,OC,OF分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系O
-xyz(如图).
6.(2014新课标Ⅰ卷,理)如图三棱柱ABC
-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.
(1)证明:AC=AB1;
【解析】
(1)证明:连接BC1,
交B1C于点O,连接AO.
因为侧面BB1C1C为菱形,
所以B1C⊥BC1,
且O为B1C及BC1的中点.
又因为AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO.
因为AO?平面ABO,所以B1C⊥AO.
又因为B1O=CO,所以AC=AB1.
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A
-A1B1
-C1的余弦值.
7.(2013新课标Ⅱ卷,理)如图,直棱柱ABC
-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=
AB.
(1)证明:BC1∥平面A1CD;
【解析】 (1)证明:连结AC1交A1C于点F,
则F为AC1中点.
又D是AB中点,连结DF,
则BC1∥DF,
因为DF?平面A1CD,BC1?平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.
(2)求二面角D
-A1C
-E的正弦值.
8.(2014新课标Ⅰ卷)在三棱柱ABC
-A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=1,AA1=
,D为AA1的中点,BD与AB1交于点O,CO⊥侧面ABB1A1.
(1)证明:BC⊥AB1;
(2)若OC=OA,求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值.
9.(2015新课标Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD交点,
BE⊥平面ABCD,
(1)证明:平面AEC⊥平面BED;
【解析】
(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,
∵BE⊥平面ABCD,
∴AC⊥BE.
又BE∩BD=B,
∴AC⊥平面DBE
∵AC?平面ACE,
∴平面AEC⊥平面BED.
(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E
-ACD的体积为
,求该三棱锥的侧面积.
10.(2018新课标Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,
BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;
【解析】
(1)证明:由已知可得,
BF⊥PF,BF⊥EF,
所以BF⊥平面PEF.
又BF?平面ABFD,
所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
11.(2016新课标Ⅲ卷)如图,四棱锥P
-ABCD中,PA⊥底面ABCD,
AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,
N为PC的中点.
(1)证明:MN∥平面PAB;
【解析】
(1)证明:由已知得AM=
AD=2.
取BP的中点T,连接AT,TN.
又N为PC的中点,
∴TN∥BC,TN=
BC=2.
又AD∥BC,故TN
AM,
四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.
因为AT?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN∥平面PAB.
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
12.(2019新课标Ⅱ卷,理)如图,长方体ABCD
-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)证明:BE⊥平面EB1C1;
【解析】
(1)证明:由已知得,
B1C1⊥平面ABB1A1,BE?平面ABB1A1,
故B1C1⊥BE,
又BE⊥EC1,
所以BE⊥平面EB1C1
(2)若AE=A1E,求二面角B
-EC
-C1的正弦值.
13.(2017新课标Ⅰ卷,理)如图,在四棱锥P
-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
【解析】
(1)证明:
∵∠BAP=∠CDP=90°,
∴PA⊥AB,PD⊥CD,
又∵AB∥CD,∴PD⊥AB,
又∵PD∩PA=P,PD,PA?平面PAD,
∴AB⊥平面PAD,
又AB?平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD.
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A
-PB
-C的余弦值.
14.已知几何体ABCDEF中,AB∥CD,FC∥EA,AD⊥AB,AE⊥平面ABCD,AB=AD=EA=2,CD=CF=4.
(1)求证:平面BDF⊥平面BCF;
【解析】
(1)证明:由已知可得∠BDC=
,
∵BC2=BD2+DC2-2DB·DC·cos
=8,
∴BD=BC=2
.∴BD2+BC2=CD2,
∴BD⊥BC.
∵FC∥EA,且AE⊥平面ABCD,
∴FC⊥平面ABCD,而BC?平面ABCD,
∴BD⊥FC,
FC∩BC=C,BC?平面BCF,FC?平面BCF,
∴BD⊥平面BCF,且BD?平面BDF,
所以平面BDF⊥平面BCF.
(2)求二面角E
-BD
-F的余弦值.
15.如图,四棱锥P
-ABCD中,△PAD为正三角形,AB∥CD,AB=2CD,
∠BAD=90°,PA⊥CD,E为棱PB的中点.
(1)求证:平面PAB⊥平面CDE;
【解析】
(1)证明:取AP的中点F,连结EF,DF,
∵E是PB中点,∴EF?AB,
∴CD
EF,
∴四边形CDFE为平行四边形,
∴DF∥CE,
又△PAD
为正三角形,
∴PA⊥DF,从而PA⊥CE,
又PA⊥CD,CD∩CE=C,∴PA⊥平面CDE,
又PA?平面PAB,∴平面PAB⊥平面CDE.
(2)若直线PC与平面PAD所成角为45°,求二面角A
-DE
-C的余弦值.
16.(2017新课标Ⅱ卷,理)如图,四棱锥P
-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=
AD,∠BAD=∠ABC=90°,
E是PD的中点.
(1)证明:直线CE∥平面PAB;
【解析】
(1)证明:令PA中点为F,连接EF,BF,CE.
∵E,F为PD,PA中点,∴EF为△PAD的中位线,
∴EF?AD.
又∵∠BAD=∠ABC=90°,∴BC∥AD.
∴四边形BCEF为平行四边形,∴CE∥BF.
又∵BF?平面PAB,CE?平面PAB,
∴CE∥平面PAB.
(2)点M在棱PC
上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M
-AB
-D的余弦值.
17.(2017新课标Ⅲ卷,理)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,
△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D
-AE
-C的余弦值.