第1讲 集合与常用逻辑用语
【p1】
【p1】
2020年高考全国Ⅰ、Ⅱ卷考查了集合的交集和并集运算，从近几年高考题来看，涉及本节知识点的高考题型是选择题或填空题．有时在大题的条件或结论中出现，所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型就可以了．
要掌握以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算；要能够利用集合之间的关系，利用充要性求解参数的值或取值范围；要掌握命题的四种形式及命题真假的判断；还得注意以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算．要活用“定义法”解题，重视“数形结合”，定义是一切法则和性质的基础，是解题的基本出发点，注意方法的选择，抽象到直观的转化．要体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力．体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用．
【p1】
探究一 集合的含义与表示、集合的运算
例1(1)已知R是实数集，集合A＝，B＝，则A∩＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.
由题意，集合A＝＝，B＝＝，
所以?RB＝，所以A∩＝.故选：C.
(2)若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，A∩B＝B，则实数m的取值范围是________．
【解析】[－1，＋∞)
∵A∩B＝B，∴B?A.
当B＝?时，由2m－1＞m＋1，解得m>2；
当B≠?时，则解得－1≤m≤2.
综上可知，m∈[－1，＋∞)．
【点评】在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，若A?B，则有A＝?和A≠?两种可能，此时应分类讨论．
探究二 常用逻辑用语
例2
(1)命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N
，使得n
B．?x∈R，?n∈N
，使得nC．?x∈R，?n∈N
，使得nD．?x∈R，?n∈N
，使得n【解析】选D.
由全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题得，命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是“?x∈R，?n∈N
，使得n(2)已知命题p：?x∈R，2x<3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q
B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q)
D．(綈p)∧(綈q)
【解析】选B.
x＝0可知：命题p：?x∈R，2x<3x为假命题，由函数图象可知命题q：?x∈R，x3＝1－x2为真命题，所以(綈p)∧q为真命题．
探究三 充要条件
例3
(1)已知p：≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0，若p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__________．
【解析】(0，2]
∵≤2，∴－1≤x≤3，即p：－1≤x≤3；
∵x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，∴x≤1－a或x≥1＋a，
∴綈q：1－a∵p是綈q的必要不充分条件，
∴解得0∴所求实数a的取值范围是(0，2]．
故答案为：(0，2]．
(2)(多选题)设a、b是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ
D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
【解析】选CD.
对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．
若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，
所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；
对于选项B，存在一条直线a，a?α，a∥β，则α∥β或α与β相交．
若α∥β，则存在一条直线a，a?α，a∥β，
所以选项B的内容是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；
对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；
对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面γ中，成为相交直线，由面面平行的判定定理可知γ∥α，γ∥β，则α∥β，
所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选：CD.
【p2】
1．解答集合问题的策略：
(1)集合的化简是实施运算的前提，等价转换是顺利解题的关键．解决集合问题，要弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；抓住集合中元素的三个性质，对互异性要注意检验；
(2)求交集、并集、补集要充分发挥数轴或韦恩图的作用；
(3)含参数的问题，要有分类讨论的意识．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性．
2．命题真假的判定方法：
(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别；
(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；
(3)p∨q、p∧q、綈p命题的真假根据p，q的真假与逻辑联结词的含义判定；
(4)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(也就是通常所说的“举一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题是假命题．
3．充分条件、必要条件的判定方法：
(1)定义法：分清条件和结论；找推式，判断“p?q”及“q?p”的真假；下结论，根据推式及定义下结论；
(2)等价转化法：条件和结论带有否定词语的命题，常转化为其逆否命题来判断；
(3)集合法：小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围．
4．解决创新题的问题常分三步：
①信息提取，确定化归方向；
②对所提取的信息进行加工，探求解决方法；
③将涉及的知识进行转换，有效地输出，其中信息的提取与化归是解题的关键，也是解题的难点．
【p2】
考题1[2020·新高考卷Ⅰ]设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4}
D．{x|1【解析】选C.
A∪B＝[1，3]∪(2，4)＝[1，4)，故选C.
【命题意图】本题考查集合并集，考查学生的计算能力．
考题2[2020·新高考卷Ⅱ]设集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，则A∩B＝( )
A．{1，3，5，7}
B．{2，3}
C．{2，3，5}
D．{1，2，3，5，7，8}
【解析】选C.
因为A
?Symbol}@@{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，
所以A∩B＝，故选：C.
【命题意图】本题考查集合交集，考查学生的计算能力．
考题3[2020·全国卷Ⅱ]设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l?平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
①p1∧p4；②p1∧p2；③(綈p2)∨p3；④(綈p3)∨(綈p4)
【解析】①③④
对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；
若l3与l1相交，则交点A在平面α内，
同理，l3与l2的交点B也在平面α内，
所以，AB?α，即l3?α，命题p1为真命题；
对于命题p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p2为假命题；
对于命题p3，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题p3为假命题；
对于命题p4，若直线m⊥平面α，
则m垂直于平面α内所有直线，
∵直线l?平面α，∴直线m⊥直线l，
命题p4为真命题．
综上可知，p1，p4为真命题，p2，p3为假命题，
p1∧p4为真命题，p1∧p2为假命题，
(綈p2)∨p3为真命题，(綈p3)∨(綈p4)为真命题．
故答案为：①③④.
【命题意图】本题考查复合命题的真假，同时考查空间中线面关系有关命题真假的判断，考查学生逻辑推理能力．【p83】
A组 基础演练
1．符合?A?关系的集合A的个数为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】选C.
由题意知：符合?A?关系的集合A可能为，，，，，，，共7个．故选：C.
2．已知命题p：?x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a＞b，则a2>b2，下列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q
D．(綈p)∧(綈q)
【解析】选B.
由x>0时x＋1>1，ln(x＋1)>0，知p是真命题；由－1>－2，(－1)2<(－2)2可知q是假命题，即p，綈q均是真命题，故选B.
3．已知集合A＝，B＝，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
B．[－1，2]
C．[－2，1]
D．[2，＋∞)
【解析】选C.
由题得A＝＝，
∵A∪B＝A，∴
∴－2≤a≤1，选C.
4．命题“?a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为( )
A．?a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B．?a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C．?a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
D．?a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
【解析】选D.
“?a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为：“?a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立”．
故选：D.
5．设锐角△ABC的三个内角分别为角A、B、C，那么“A＋B>”是“sin
B>cos
A”成立的( )
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选A.
设锐角△ABC的三个内角分别为角A，B，C，
“A＋B>”?“B>－A”?“sin
B>sin”?“sin
B>cos
A”，
“sin
B>cos
A”?“sin
B>sin”?“B>－A”?“A＋B>”，
∴“A＋B>”是“sin
B>cos
A”成立的充分必要条件．
故选：A.
6．(多选题)下列说法正确的有( )
A．命题“?x∈R，x2＋x＋1>0”的否定为“?x∈R，x2＋x＋1≤0”
B．对于命题p：?x≤1，x2－3x＋2≥0，则綈p：?x>1，x2－3x＋2<0
C．“aD．“m<2”是“sin
x＋>m对x∈成立”的充分不必要条件
【解析】选ACD.
对A项，命题“?x∈R，x2＋x＋1>0”的否定为“?x∈R，x2＋x＋1≤0”，满足命题的否定形式，故A正确；
对B项，命题p：?x≤1，x2－3x＋2≥0，则綈p为：?x≤1，x2－3x＋2<0，不是：?x>1，x2－3x＋2<0，所以不满足命题的否定形式，故B错误；
对C项，“a对D项，“m<2”可得“sin
x＋>m对x∈成立”，反之“sin
x＋>m对x∈恒成立”可得“m≤2”；所以“m<2”是“sin
x＋>m对x∈恒成立”的充分不必要条件，故D正确．
故选：ACD.
B组 能力提升
7．已知命题p：?x∈(－∞，0)，2x>3x；命题q：?x∈，sin
x>x，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．(綈p)∨q
C．(綈p)∧q
D．p∧(綈q)
【解析】选D.
命题p：?x∈(－∞，0)，>1，即2x>3x，因此p是真命题，
命题q：x∈，令f(x)＝x－sin
x，f′(x)＝1－cos
x>0，因此函数f(x)在x∈上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0，∴?x∈，sin
x8．命题“?x0∈R，asin
x0＋cos
x0≥2”为假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】(－，)
由题意，命题“?x∈R，asin
x＋cos
x<2”为真命题，
则<2，∴－则实数a的取值范围是(－，)．
9．已知集合A＝{(x，y)|y－x≤0}，B＝{(x，y)|x2＋(y－a)2≤1}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．
【解析】a≤－2
因为A∩B＝B，所以x2＋(y－a)2≤1表示的圆面在不等式y－x≤0表示的平面区域内，
所以圆心(0，a)一定在y轴负半轴上，
当直线y－x＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切时，
d＝＝1，所以a＝±2，因为a<0，
所以a＝－2，那么由题意及数形结合可知a≤－2.
10．函数f(x)的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间?D，使得函数f(x)满足：①f(x)在内是单调函数；②f(x)在上的值域为，则称区间为y＝f(x)的k级“理想区间”．下列结论错误的是( )
A．函数f(x)＝x2(x∈R)存在1级“理想区间”
B．函数f(x)＝ex不存在2级“理想区间”
C．函数f(x)＝存在3级“理想区间”
D．函数f(x)＝tan
x，x∈不存在4级“理想区间”
【解析】选D.
易知是f(x)＝x2的1级“理想区间”，A正确；
设g(x)＝ex－2x，g′(x)＝ex－2，当x2时，g′(x)<0，当x>ln
2时，g′(x)>0，因此g(x)min＝g＝2－2ln
2>0，即g(x)＝0无零点，因此f(x)＝ex不存在2级“理想区间”，B正确；
由h(x)＝－3x＝0，得x＝0或x＝，则是f(x)＝的一个3级“理想区间”，C正确；
借助正切函数图象知y＝tan
x与y＝4x在内有三个交点，因此f(x)＝tan
x有4级“理想区间”，D错误．
故选D.
11．若命题“?x0∈，使得xeax0－1>1成立”为假命题，则实数a的最大值为__________．
【解析】－
由题意得知命题“?x∈，x2eax－1≤1成立”．
(1)当x＝0时，不等式x2eax－1≤1成立；
(2)当0x，
∴a≤，构造函数f＝，其中0f′＝，令f′＝0，得x＝e>e，当0所以，函数y＝f在区间上单调递减，则fmin＝f＝－，∴a≤－.
因此，实数a的最大值为－.
故答案为：－.
12.已知等差数列的前n项和为Sn，并且a2＝2，S5＝15，数列满足bn＝2－，记集合M＝，若M的子集个数为16，则实数λ的取值范围为________．
【解析】
由题设可得?所以Sn＝，又bn＝2－，故2－bn＝，则λ≤×，即λ≤.∵M的子集个数为16，结合f(n)＝(n∈N
)的图象，所以有且仅有1，2，3，4四个正整数n满足该不等式，所以λ≤1；又λ>＝，所以实数λ的取值范围为<λ≤1.(共37张PPT)
专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、不等式、计数原理
第1讲 集合与常用逻辑用语
知识网络>●●。。
元素的特征
概念
匚集合
集合的分类与表示
运算」子集、交集、并集、补集
集合与常用逻辑用语
全称量词
量词
特称量词
常用逻辑用语逻辑联结词或、且、非
充分条件
[命题
充要条件
必要条件
充要条件
备考建议>●。
典例剖析>●。·。
规律总结>●。。
高考
●●●●●
限时训练>●。。