第2讲 平面向量与复数
【p3】
【p3】
2020年高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷都分别考了复数和平面向量2道小题，其中，复数考查了四则运算，平面向量考查了线性运算、数量积．
对于平面向量要把握破解平面向量与“三角”交汇题的关键：一是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”．
对于复数要掌握复数的概念、纯虚数、复数相等、复数的模、共轭复数等，以及复数的几何意义及四则运算(重点考查复数的乘除)．
【p3】
探究一 复数的概念及运算
例1(1)在复平面内，复数z＝的共轭复数的虚部为( )
A.i
B．－i
C.
D．－
【解析】选C.
根据题意有z＝＝＝，所以＝＋，故选C.
【点评】复数的除法运算，共轭复数．
(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A、B、C，若＝λ＋μ(O为坐标原点，λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】选A.
因为复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们所对应的点分别为A，B，C，所以A，B，C，因为点的坐标与以原点为起点的向量的坐标相同，所以由＝λ＋μ，得＝λ＋μ＝，
∴解得∴λ＋μ＝1，故选A.
探究二 平面向量的线性运算
例2
(1)如图，已知＝a，＝b，＝3，＝2，则＝( )
A．－a＋b
B.a－b
C.a－b
D．－a＋b
【解析】选D.
因为＝3，＝2，
所以＝＋＝＋＝(－)－＝－＋，
又＝a，＝b，
所以＝－a＋b，故选：D.
(2)在△ABC中，P为BC边中点，点A、B、C的对边长分别是a、b、c.若c＋a＋b＝0，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【解析】选A.
将、都用基向量、表示出来可得
c－(＋)－(－)＝0，
－＝0，
∴
∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．
【点评】用已知向量来表示一些未知向量是用向量解题的基本要求，除利用向量的加减法、实数与向量相乘外，还应充分利用平行四边形的一些定理．因此，在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及实数与向量相乘来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用三角形的加法法则、平行四边形法则、三角形的减法法则，充分利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例的平面几何性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
探究三 平面向量的数量积
例3
(1)设向量a，b满足＝，＝，则a·b＝( )
A．1
B．2
C．3
D．5
【解析】选A.
因为|a＋2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相加得：a2＋b2＝8，所以a·b＝1，故选A.
【点评】在有关向量的模的题型中，通常采用先求平方，再开平方，计算中充分用好向量数量积的运算，要注意区别向量运算与实数运算的差别．
(2)在△ABC中，AB＝3AC＝9，·＝2，点P是△ABC所在平面内一点，则当2＋2＋2取得最小值时，·＝( )
A．24
B．6
C.
D．－24
【解析】选A.
由·＝2可得：cos
A＝2，
则cos
A＝＝3，即⊥，∠C＝，
以C点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A，B，设P，则：
2＋2＋2＝2＋y2＋x2＋2＋x2＋y2＝3x2－6x＋3y2－12y＋81＝3，
当x＝1，y＝2，即P时，2＋2＋2取得最小值，
此时·＝·＝24.
【点评】涉及数量积的计算问题，通常有三种求解思路：①直接利用数量积的定义；②建立坐标系，通过坐标运算求解；③通过基底转化再计算．
探究四 平面向量与三角函数结合问题
例4
已知向量m＝(2sin
ωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝，其中ω>0，x∈R.若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝，sin
B＝sin
A，求·的值．
【解析】(1)向量m＝(2sin
ωx，cos2ωx－sin2ωx)，
n＝，
则f(x)＝m·n＝2sin
ωx·cos
ωx＋cos2ωx－sin2ωx＝2sin，
因为T＝＝π，
所以ω＝1，f(x)＝2sin；
(2)因为f(B)＝2sin＝－2，且B∈(0，π)，
所以2B＋＝，解得B＝π，
又因为BC＝，且sin
B＝sin
A，
所以AC＝BC＝3，
因为AC2＝BC2＋AB2－2BC·AB·cos
B，
即9＝3＋AB2－2·AB·，解得AB＝，
所以·＝××＝－.
【点评】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直或数量积表述三角函数式之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．
探究五 平面向量与其他知识结合问题
例5
(1)设P是边长为2的正六边形A1A2A3A4A5A6的边上的任意一点，长度为4的线段MN是该正六边形外接圆的一条动弦，则·的取值范围为__________．
【解析】
设正六边形外接圆的圆心为O，正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2，
所以半径为2，设MN的中点为Q，
则·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－4，
因为|OQ|＝＝2，所以Q在以O为圆心，以2为半径的圆上，|PQ|max＝2＋2，|PQ|min＝－2，
·＝2－4的最大值为8＋8，最小值为6－4，
所以·的取值范围为.故答案为：.
(2)已知F1、F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，以PF1为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q(点Q不在椭圆内部)，则·＝( )
A．2
B．4
C．3
D．1
【解析】选C.
连接PF2，设椭圆的基本量为a，b，c，
·＝·
＝2－2＝2－c2，
＝2－c2＝a2－c2＝b2＝3.
【点评】本题是平面向量和解析几何的交汇，由解析几何性质处理平面向量的数量积问题，平面向量具有代数形式与几何形式的“双重型”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．
【p4】
1．复数的基本概念与运算问题的解题思路：
(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解．
(2)与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题，一般都要设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决．
2．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量＝－(其中O为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．
3．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直．
4．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．在解决有关向量夹角及共线问题时，要避免忽视向量共线时的方向性而导致错误．
5．数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等．
6．若a＝0，则a·b＝0，但由a·b＝0，不能得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，a·b＝0.
7．平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系．
【p5】
考题1[2020·新高考卷Ⅰ]＝( )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
【解析】选D.
＝＝＝－i，
故选：D.
【命题意图】本题考查了复数的四则运算，考查学生的计算能力．
考题2[2020·新高考卷Ⅱ](1＋2i)(2＋i)＝( )
A．4＋5i
B．5i
C．－5i
D．2＋3i
【解析】选B.
(1＋2i)(2＋i)＝2＋i＋4i＋2i2＝5i.故选：B.
【命题意图】本题考查了复数乘法运算，考查学生的计算能力．
考题3[2020·新高考卷Ⅰ]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是( )
A．(－2，6)
B．(－6，2)
C．(－2，4)
D．(－4，6)
【解析】选A.
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是(－1，3)，
结合向量数量积的定义式，
可知·等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以·的取值范围是(－2，6)，故选：A.
【命题意图】该题以正六边形为载体，本题主要考查平面向量数量积、投影，考查的核心素养为数学运算．
考题4[2020·新高考卷Ⅱ]在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝( )
A．2＋
B.－2
C．2－
D.＋2
【解析】选C.
＝＋＝＋2＝＋2＝2－，
故选：C.
【命题意图】本题主要考查平面向量的加减法运算，考查的核心素养为数学运算．【p84】
A组 基础演练
1．已知复数z1＝k2－4＋(k2－5k＋6)i，z2＝3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)．若z1A．2
B．3
C．2或3
D．不存在
【解析】选C.
由z1解得k＝2或k＝3.故选C.
2．已知复数z＝|(－i)i|＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为( )
A．2－i
B．2＋i
C．4－i
D．4＋i
【解析】选A.
由题意知z＝|i＋1|＋i＝＋i＝2＋i，所以＝2－i.故选A.
3．(多选题)如果a，b，c都是非零向量，下列判断正确的有( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若a·b＝b·c，则a＝c
C．若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b
D．若＝，则a∥b
【解析】ACD.
选项A，由向量平行的传递性可知，正确；
选项B，由于a，b，c都是非零向量，
a·b＝b·c，则a·b－b·c＝(a－c)·b＝0，
即(a－c)⊥b，所以a与c在b方向上的投影相等，故B错误；
选项C，因为|a＋b|＝|a－b|，则|a＋b|2＝|a－b|2?a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b?a·b＝0，所以a⊥b，正确；
选项D，因为＝，所以a，b是共线向量，则a∥b，正确．
故选：ACD.
4．(多选题)下面关于复数的四个命题中，结论正确的是( )
A．若复数z∈R，则∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z满足∈R，则z∈R
D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2
【解析】选AC.
A选项，设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，因为z∈R，所以b＝0，因此＝a∈R，即A正确；
B选项，设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝2＝a2－b2＋2abi，
因为z2∈R，所以ab＝0，若a＝0，b≠0，则z?R，故B错；
C选项，设复数－z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝＝－i，
因为∈R，所以＝0，即b＝0，所以z＝a∈R，故C正确；
D选项，设复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，
则z1z2＝＝＋i，
因为z1z2∈R，所以ad＋bc＝0，若能满足ad＋bc＝0，但z1≠2，故D错误．
故选：AC.
5．设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.若A，B，D三点共线，则k＝__________．
【解析】－8
∵＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，
又A、B、D三点共线，由共线向量定理得＝λ，
∴?k＝－8，故答案为：－8.
6．如图，向量a，b，c在正方形网格中，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( )
A．2
B．－2
C．6
D.
【解析】选A.
以a，b的公共点为原点，建立直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(5，2)，c＝(－3，－4)，因为c＝λa＋μb，所以有解得所以＝2，选A.
7．已知向量a＝，b＝，若向量b在a方向上的投影为3，则实数m＝( )
A．3
B．－3
C.
D．－3
【解析】选C.
向量b在a方向上的投影为＝＝3，解得m＝.故选：C.
8．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________．
【解析】
因为c＝2a－b，a·b＝0，
所以a·c＝2a2－a·b＝2，
|c|2＝4|a|2－4a·b＋5|b|2＝9，所以|c|＝3，
所以cos〈a，c〉＝＝＝.
9．已知A、B是单位圆O上的两点(O为圆心)，∠AOB＝120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点．MN是圆O的一条直径，则·的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.
建立如图所示的坐标系，
∵OA＝OB＝1，∠AOB＝120°，
∴O到直线AB的距离d＝，
∴≤<1，≤2<1，
则·＝·＝·－·＋2＝－1＋2，
∴－≤·<0，
∴·的取值范围是，故选A.
B组 能力提升
10．现定义eiθ＝cos
θ＋isin
θ，其中i为虚数单位，e为自然对数的底数，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用．若a＝Ccos5θ－Ccos3θsin2θ＋Ccos
θsin4θ，b＝Ccos4θsin
θ－Ccos2θsin3θ＋Csin5θ，那么复数a＋bi等于( )
A．cos
5θ＋isin
5θ
B．cos
5θ－isin
5θ
C．sin
5θ＋icos
5θ
D．sin
5θ－icos
5θ
【解析】选A.
a＋bi＝Ccos5θ－Ccos3θsin2θ＋Ccos
θsin4θ＋
iCcos4θsin
θ－iCcos2θsin3θ＋iCsin5θ
＝Ccos5θ＋i2Ccos3θsin2θ＋i4Ccos
θsin4θ
＋iCcos4θsin
θ＋i3Ccos2θsin3θ＋i5Csin5θ
＝＝(eiθ)5＝e5θi＝cos
5θ＋isin
5θ，选A.
11.已知a，b是单位向量，a，b的夹角为90°，若向量c满足|c－a－b|＝2，则|c|的最大值为( )
A．2－
B.
C．2
D．2＋
【解析】选D.
依题意，设a，b分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，
则a＝(1，0)，b＝(0，1)，a＋b＝(1，1)，设c＝(x，y)，
则c－a－b＝(x－1，y－1)，
因为|c－a－b|＝＝2，
所以(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故c＝，点C的轨迹是以(1，1)为圆心，2为半径的圆，
圆心M(1，1)到原点的距离为，
则|c|的最大值为2＋.
12．如果复数z满足＝6，那么的最小值是__________．
【解析】1
∵复数z满足|z＋3i|＋|z－3i|＝6，
∴z的几何意义是以A(0，3)，B(0，－3)为端点的线段AB，
则|z＋1＋i|＝|z－(－1－i)|的几何意义为AB上的点到C(－1，－1)的距离，
则由图象知C到线段AB的距离的最小值为1.
13.圆x2＋y2＋6x－4y＝0与曲线y＝相交于A，B，C，D四点，O为坐标原点，则＝__________．
【解析】4
由圆方程，可得圆心坐标为，
又y＝＝2－，其图象关于对称．
在同一直角坐标系中，画出圆和函数图象如下图所示：
数形结合可知，圆和函数y＝都关于点M对称，故可得其交点A和C，B和D都关于点M对称．
故＋＝0，＋＝0，
则＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＝4.
故＝4＝4.
14．如图，在△ABC中，＝，＝，CD与BE交于点P，AB＝2，AC＝4，·＝2，则·的值为__________．
【解析】2
令＝m，＝n，＝－＋，
＝－＋，
＝＋＝＋m＝
＋m＝＋，
＝＋＝＋n＝＋n＝＋，
所以解得所以＝＋，
因为·＝·＝·＝2，
即2＋·－2＝2，又因为AB＝2，AC＝4，
所以·＝2.故答案为：2.(共53张PPT)
第2讲 平面向量与复数
知识网络>●●。。
表示法(字母、几何、坐标)
向量的概念
共线向量的充要条件
平面向量的基本定理
向量的加、减法
向量的长度
平面向量一
向量的运算
实数与向量的积
两个向量平行的充要条件
向量的夹角
向量的数量积
两个向量垂直的充要条件
在物理学中的应用
向量的运用
在几何学中的应用
正弦、余弦定理的运用
实数、虚数、纯虚数
复数与复数集
复数相等的条件
复数的几何意义
复数复数的引入
复数的加、减、乘、除运算
算
复数的四则运
复数的加、减法的几何意义
简单的复数方程
备考建议>●。
典例剖析>●。·。
规律总结>●。。
高考
●●●●●
限时训练>●。。
