第3讲 不等式与线性规划
【p5】
【p5】
2020年新高考全国卷Ⅰ考查了不等式的性质、基本不等式，2020年全国Ⅰ卷考查了利用函数单调性比较大小．
比较大小经常使用作差法、作商法、函数单调性、不等式的性质来处理．
应用基本不等式要注意“一正、二定、三取等”，注意使用“1的代换”．
【p5】
探究一 不等式性质的应用及解不等式
例1下列结论正确的是( )
A．若a>b，c>d，则a－c>b－d
B．若a>b，c>d，则a－d>b－c
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，c>d，则>
【解析】选B.
因为a>b，c>d，所以－c<－d，不能推导出a－c>b－d，A错；所以a－d>b－c，B对；因为不知道a，b，c，d的正负情况，所以C，D均是错的．
例2(多选题)对于实数a，b，m，下列说法正确的是( )
A．若am2>bm2，则a>b
B．若a>b，则a>b
C．若b>a>0，m>0，则<
D．若a>b>0且＝，则2a＋b∈
【解析】选ABD.
对实数a，b，m.∵am2>bm2，∴m2>0，∴a>b，A正确；
∵a>b，分三种情况，当a>0>b时，a>0>b；
当0>a>b时，a＝－a2>－b2＝b；
当a>b>0时，a＝a2>b2＝b，
∴a>b成立，B正确；
∵b>a>0，m>0，
∴－＝＝＝>0，C不正确；
若a>b>0，且＝，∴＝a，且a>1.
∴2a＋b＝2a＋，
设f＝2a＋，∵f′＝2－>0，
∴f在区间上单调递增，
∴f>f(1)＝3，即2a＋b∈，D正确．
故选：ABD.
【点评】本题考查根据不等式性质判断大小，利用作差法比较大小，利用单调性比较大小．
探究二 不等式有解、恒成立问题
例3若关于x的不等式3－>x2在上有解，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A
由题，可将3－>x2在上有解转化为3－x2>至少有一个负数解，构造f＝3－x2，g＝，画出图形，如图：
当a＝3时，f与g相交于点，要使f与g相交于y轴左侧，则需满足a<3，
在函数g不断左移的过程中，若与f左侧曲线相切，则有3－x2＝x－a，对应的Δ＝0，
解得a＝－，则a>－，
综上所述，a∈，故选：A.
【点评】本题考查二次不等式的等价转化，绝对值函数和二次函数的应用．
例4已知不等式xy≤ax2＋2y2，若对任意x∈及y∈，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．－1≤a≤－
B．－3≤a≤－1
C．a≥－1
D．a≥－3
【解析】选C.
由题意可知：不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
即：a≥－22，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令＝t，则1≤t≤3，
∴a≥t－2t2在[1，3]上恒成立，
∵y＝－2t2＋t＝－22＋，1≤t≤3，
∴ymax＝－1，∴a≥－1.故选C.
【点评】本题主要考查了不等式恒成立问题，涉及变量分离和变量集中的思想．
探究三 基本不等式的应用
例5(多选题)若a，b为正数，则( )
A.≥
B．当＋＝2时，a＋b≥2
C．当a＋b＝＋时，a＋b≥2
D．当a＋b＝1时，＋≥
【解析】选BCD.
对A项，因为a＋b≥2，所以≤，当a＝b时取等号，A错误；
对B项，＝≥＝2，当a＝b时取等号，B正确；
对C项，a＋b＝＋＝，则ab＝1，a＋b≥2＝2，当a＝b＝1时取等号，C正确；
对D项，＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，当a＝b＝时取等号，即＋≥，D正确．
故选：BCD.
【点评】本题考查了基本不等式的应用，化“1”求最值，考查了转化化归思想，运算求解能力．
探究四 线性目标函数的最值及取值范围
例6若x，y满足约束条件求：
(1)z＝y－3x的最大值．
(2)z＝的取值范围．
(3)z＝2＋2的最大值．
【解析】(1)不等式组表示的可行域如图所示：
B(0，－1)，C(0，1)．
?A(－4，－3)．
由z＝y－3x得到y＝3x＋z，z表示直线y＝3x＋z的y轴截距．
当直线y＝3x＋z过A(－4，－3)时，z取得最大值，zmax＝－3－3×(－4)＝9.
(2)z＝＝，
z表示可行域内的点(x，y)与点D(－5，－2)连线的斜率，由图知：
当点D(－5，－2)与点A(－4，－3)连线时，斜率最小．
故zmin＝＝－1.
当点D(－5，－2)与点C(0，1)连线时，斜率最大．
故zmax＝＝.
所以z的取值范围是.
(3)因为z＝2＋2，
z表示可行域内的点(x，y)与点E(1，1)距离的平方，由图知：
当点E(1，1)与点A(－4，－3)连线时，距离最大．
故zmax＝2＋2＝41.
【点评】本题主要考查线性规划问题，理解目标函数的几何意义为解题的关键．
【p6】
1．实数大小的比较方法：作差法、作商法、函数单调性法、不等式的性质法．
2．利用不等式求最值的解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，再利用基本不等式求最值，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值．
(4)单调性：应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解．
3．平面区域的确定方法
平面区域的确定方法是“直线定界，特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集．
4．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法：将目标函数z＝ax＋by化成直线的斜截式方程(z看成常数)，根据的几何意义，确定的最值，从而得到z的最值．
5．线性规划中参数问题及其解题思路
(1)线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．
(2)求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值或取值范围．
【p6】
考题1[2020·新高考卷Ⅰ](多选题)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥
B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2
D.＋≤
【解析】选ABD.
对于A项，a2＋b2＝a2＋2＝2a2－2a＋1＝22＋≥，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；
对于B项，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝，故B正确；
对于C项，log2a＋log2b＝log2ab≤log22＝log2＝－2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C不正确；
对于D项，因为2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，
所以＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确．
故选：ABD.
【命题立意】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式、指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养．
考题2[2019·天津卷]设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为__________．
【解析】4
＝＝＝
2＋.
因为x>0，y>0，x＋2y＝5，
所以x＋2y＝5≥2，
即≤，0
又因为2＋≥2＝4，当且仅当2＝，即xy＝3时取等号，结合xy≤可知，xy可以取到3，故的最小值为4.
【命题立意】本题考查均值不等式求最值，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算．【p85】
A组 基础演练
1．(多选题)下列命题中真命题是( )
A．已知实数a，b，c满足b＋c＝7－4a＋3a2，c－b＝5－4a＋a2，则c>b>a
B．sin2α＋的最小值为4
C．如果a＝，b＝，c＝，那么cD．若a【解析】选ACD.
A项，c－b＝5－4a＋a2＝2＋1>0，则c>b，
由b＋c＝7－4a＋3a2，c－b＝5－4a＋a2，两式相减得：b＝1＋a2，
所以b－a＝1＋a2－a＝2＋>0，则b>a，故A正确．
B项，设t＝sin2α∈，则函数y＝t＋在上单调递减，则其最小值为5，故B不正确．
C项，a－b＝－＝－＝＝>0，则bb－c＝－＝－＝＝>0，则cD项，若a故选：ACD.
2．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1
B．2，－2
C．1，－2
D．2，－1
【解析】选B.
方法一：特殊值验证：当y＝1，x＝0时，x＋2y＝2，排除A，C；当y＝－1，x＝0时，x＋2y＝－2，排除D，故选B.
方法二：直接求解：如图，先画出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域，易知当直线x＋2y＝u经过点B，D时分别对应u的最小值和最大值，所以umax＝2，umin＝－2.
3．已知关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围为______．
【解析】
设y＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．
若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为x＝3，则
解得54．已知α∈，a＝(sin
α)sin
α，b＝(cos
α)sin
α，c＝(sin
α)cos
α，则( )
A．aB．aC．bD．c【解析】选D.
由α∈，0α<，cos
α>sin
α，因为f(x)＝(sin
α)x在R上单调递减，所以sin
α>cos
α，即a>c，又因为g(x)＝xsin
α在(0，1)上单调递增，所以sin
αα，即a5．已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是( )
A.
B.
C．[－2，2]
D.
【解析】选A.
由已知可得f(x)>0.不等式f(x)≥可转化为－f(x)≤＋a≤f(x)．当x≤1时，有－x2＋x－3≤＋a≤x2－x＋3，即－x2＋－3≤a≤x2－x＋3，又∵－x2＋x－3＝－－≤－，x2－x＋3＝＋≥，∴－≤a≤.当x>1时，－x－≤＋a≤x＋，即－x－≤a≤x＋，又∵－x－≤－2，x＋≥2，∴－2≤a≤2.故－≤a≤2.
6．已知函数f(x)＝ln(x＋)，若正实数a，b满足f(2a)＋f(b－1)＝0，则＋的最小值是________________________________________________________________________．
【解析】3＋2
因为f(x)＝ln(x＋)，f(－x)＝ln(－x＋)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(x)在R上为奇函数．又因为f(x)在其定义域上是增函数，故2a＋b＝1，
所以＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当a＝，b＝－1时等号成立)．
7．已知函数f(x)＝x＋(a>0)，若对任意的m、n、p∈，长为f(m)、f(n)、f(p)的三条线段均可以构成三角形，则正实数a的取值范围是__________．
【解析】
函数f(x)＝x＋(a>0)的导数为f′(x)＝1－，
当x>时，f′(x)>0，f(x)递增；当0当≥1即a≥1时，为减区间，即有f(x)的最大值为＋3a，最小值为1＋a.
由题意可得只要满足2(1＋a)>＋3a，解得a<，所以1≤a<；
当≤<1且f≤f(1)，即≤a≤时，为减区间，(，1)为增区间，
即有f(x)的最大值为1＋a，最小值为2.
由题意可得只要满足4>1＋a，解得7－4当≤<1且f>f(1)，即即有f(x)的最大值为＋3a，最小值为2.
由题意可得只要满足4>＋3a，解得当<，即0由题意可得只要满足2>1＋a，解得a>，所以综上可得，a的取值范围是.
故答案为：.
B组 能力提升
8．(多选题)已知函数y＝f(x)是定义在[0，2]上的增函数，且图象是连续不断的曲线，若f(0)＝M，f(2)＝N(M＞0，N＞0)，那么下列四个命题中是真命题的有( )
A．必存在x∈[0，2]，使得f(x)＝
B．必存在x∈[0，2]，使得f(x)＝
C．必存在x∈[0，2]，使得f(x)＝
D．必存在x∈[0，2]，使得f(x)＝
【解析】选ABD.
因为函数y＝f(x)是定义在[0，2]上的增函数，且图象是连续不断的曲线，f＝M，f＝N，所以f∈；
对A项，若f＝成立，则M<对B项，若f＝成立，则M<对C项，若f＝成立，则M<对D项，若M<故选：ABD.
9．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0
B．1
C.
D．3
【解析】选B.
＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
10．已知不等式a＋2b＋27>对任意正数a，b都成立，则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.
不等式a＋2b＋27>对任意正数a，b都成立?m2－m<对任意正数a，b都成立，故只需求出min，又≥≥×2×＝6，
所以m2－m<6，解得－211.设e表示自然对数的底数，函数f(x)＝＋(a∈R)，若关于x的不等式f(x)≤有解，则实数a的值为________．
【解析】
设点P，Q，则f(x)＝|PQ|2，记g(x)＝x及h(x)＝，若直线y＝x＋m与函数h(x)的图象相切，则切点为M，点M到直线g(x)的距离为d＝＝，从而f(x)≥d2＝，又由于f(x)≤有解，则f(x)＝，此时点P坐标满足解之得x＝，综上可得a＝.(共51张PPT)
第3讲 不等式与线性规划
知识网络>●●。。
用二元一次不等式
组表示平面区域
简单线性规划
性质
不等式
解法
不等式的应用
fx)>0(<0
证明
备考建议>●。
典例剖析>●。·。
规律总结>●。。
高考
●●●●●
限时训练>●。。