第5讲 三角函数图象与性质
【p9】
【p9】
2020年新高考全国Ⅰ卷多选题第10题考查三角函数的图象与性质，解决此类问题关键要充分运用数形结合的思想，把图象与性质紧密结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，其试题难度属中档题．在复习过程中既要注重三角函数知识的基础性，突出三角函数的图象、性质以及化简、求值、最值等重点内容的复习，又要注重三角函数知识的工具性，突出三角函数与代数、几何、向量的综合联系以及三角函数知识的实际应用意识．
【p9】
探究一 三角函数图象变换
例1已知曲线C1：y＝cos
x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【解析】选D.
把C2的解析式运用诱导公式转化为与C1相同的函数名，
C2：y＝sin＝cos＝
cos＝cos，
则由C1图象上各点的横坐标缩短为原来的，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2.选D.
【点评】对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx＋φ变成ω，最后确定平移的单位，并根据的符号确定平移的方向．
探究二 由三角函数图象求解析式
例2
如图，P，Q是函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的图象与x轴的两个相邻交点，M(1，2)是函数f(x)的图象的一个最高点，若△MPQ是等腰直角三角形，则函数f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝2cos
B．f(x)＝2cos
C．f(x)＝2cos
D．f(x)＝2cos
【解析】选B.
由题意可得A＝2，
因为△MPQ是等腰直角三角形，所以|PQ|＝4，所以＝4，即T＝8，
则ω＝＝，故f(x)＝2cos
，
将M(1，2)代入f(x)的解析式得2cos
＝2，
可得φ＋＝2kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
因为－π<φ<0，所以φ＝－，
则f(x)＝2cos
.
【点评】已知函数图象求y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
探究三 三角函数的性质
例3
已知函数f＝Asin
(A>0，ω>0)在x＝1处取得最大值，且最小正周期为2，则下列说法不正确的有( )
A．函数f是奇函数
B．函数f是偶函数
C．函数f在上单调递增
D．函数f是周期函数
【解析】选A.
因为f＝Asin
在x＝1处取得最大值，
所以有ω＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
又因为f＝Asin
的最小正周期为2，
所以有2＝，∵ω>0，∴ω＝π，
因此f＝Asin
＝
Asin
＝－Acos
πx.
选项A：设g(x)＝f＝－Acos
[π(x－1)]＝Acos
πx，
因为g(－x)＝Acos
[π(－x)]＝Acos
πx＝g(x)，
所以g(x)＝f(x－1)是偶函数，故本选项说法不正确；
选项B：设h(x)＝f＝－Acos
[π(x＋1)]＝Acos
πx，
因为h(－x)＝Acos
[π(－x)]＝Acos
πx＝h(x)，
所以h(x)＝f是偶函数，故本选项说法正确；
选项C：设m(x)＝f＝－Acos
[π(x＋2)]＝－Acos
πx，
因为x∈，所以πx∈，又因为A>0，所以函数m(x)＝f在上单调递增，故本选项说法正确；
选项D：设n(x)＝f＝－Acos
[π(x＋3)]＝Acos
πx，
函数n(x)最小正周期为：＝2，所以本选项说法正确．
故选：A.
【点评】研究函数y＝Asin
(ωx＋φ)的性质的“两种”意识．
(1)转化意识：利用三角恒等变换把待求函数化成y＝Asin
(ωx＋φ)＋B的形式；
(2)团体意识：类比研究y＝sin
x的性质，只需将y＝Asin
(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin
x中的“x”代入求解便可．
例4
(多选题)已知函数f(x)＝sin
(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，将y＝f(x)的图象上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数y＝g(x)的图象．若g(x)为偶函数，且最小正周期为，则( )
A．y＝f(x)图象关于点对称
B．f(x)在单调递增
C．f(x)＝g在有且仅有3个解
D．g(x)在有且仅有3个极大值点
【解析】选AC.
将y＝f(x)的图象上所有点向左平移个单位后变为：sin
，
然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的后变为：
sin
，
所以g＝sin
.
因为g(x)的最小正周期为，所以＝，解得：ω＝2.
所以g＝sin
，
又因为g(x)为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z.
因为0<φ<π，所以φ＝.
所以g＝sin＝cos
4x，
f(x)＝sin.
对于选项A，因为f＝sin
＝sin
0＝0，所以y＝f(x)图象关于点对称，故A正确．
对于选项B，因为x∈时，2x＋∈，
设t＝2x＋，则y＝sin
t在不是单调递增，所以f(x)在不是单调递增，故B错误．
对于选项C，g＝cos
2x，f(x)＝sin，画出f，g在上的图象如图所示．
从图中可以看出：f，g的图象在有三个交点，所以f(x)＝g在有且仅有3个解，故C正确．
对于选项D，当x∈时，4x∈，此时g(x)＝cos
4x有且仅有2个极大值点，故D选项错误．
故选：AC.
【点评】研究函数y＝Asin
(ωx＋φ)(ω＞0)型(或y＝Acos
(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)型)的对称轴、极值时，可以将ωx＋φ看成x再处理，f(x)＝g(x)的解的个数可以转化为y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点个数来处理．
探究四 求三角函数在闭区间上的最值
(或值域)
例5
已知函数f＝2sin2－cos
2x.
(1)求f的最小正周期和单调递增区间；
(2)若关于x的方程f－m＝2在x∈上有解，求实数m的取值范围．
【解析】(1)f＝2sin2－cos
2x
＝1－cos
－cos
2x
＝1＋sin
2x－cos
2x＝2sin
＋1，
最小正周期T＝π，
函数的单调递增区间满足：
2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
解得f的单调递增区间为.
(2)x∈，所以2x－∈，
sin
∈，
所以f的值域为.
而f＝m＋2，所以m＋2∈，即m∈.
【点评】求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．
第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围．
第三步：求出所求函数的值域(或最值)．
【p10】
1．三角函数的图象与性质的应用问题中用到数形结合思想的常见题型：
(1)确定函数的性质；确定某些三角函数的最值(值域)、周期性等性质时，常根据条件作出函数的图象数形结合求解．
(2)由图象特点求解析式；求解时根据所给图象由最值点求A，由周期求ω，由特殊点求φ，实现“以形助数”．
(3)三角函数零点(或三角方程解)的问题；求解此类问题时，常作出符合要求的图象，由数形结合法求解．
(4)变换法作图；结合函数解析式特征，通过平移变换、伸缩变换、对称变换作出图象，实现“以数辅形”．
2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间的步骤：
(1)将ω化为正．
(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．
3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的图象求解析式的步骤：
(1)A＝，B＝.
(2)由函数的周期T求ω.
(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.
4．三角函数图象与性质解题中失分误区：
(1)忽视定义域和名称；求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域和名称．
(2)忽视平移单位；要重视图象变换顺序，在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
(3)忽视A，ω的符号，忽视注明k∈Z；在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，若ω＜0，需先通过诱导公式将x的系数化为正的．
【p11】
考题1[2020·新高考卷Ⅰ](多选题)下图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝( )
A．sin
B．sin
C．cos
D．cos
【解析】选BC.
由函数图象可知：＝－＝，∴T＝π，
则|ω|＝＝＝2，所以不选A，不妨取ω＝2，
当x＝＝时，y＝－1，
∴2×＋φ＝＋2kπ，
解得：φ＝2kπ＋π，即函数的解析式为：
y＝sin＝sin＝
cos＝sin.
而cos＝－cos.故选：BC.
【命题立意】本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想和考生的运算求解能力．考查的数学核心素养是数学运算．
考题2[2020·全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数f可得：cos＝0，
又是函数f图象与x轴负半轴的第一个交点，
所以－·ω＋＝－，解得：ω＝.
所以函数f的最小正周期为T＝＝＝.故选：C.
【命题立意】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想和考生的运算求解能力．考查的数学核心素养是数学抽象、直观想象、逻辑推理．【p87】
A组 基础演练
1．函数f＝的图象可能是( )
【解析】选B.
∵f＝＝＝f，
∴f为偶函数，排除C；
f＝≈1.57>1，排除A，D.故选：B.
2．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.
由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，即2kπ＋≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，由
3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若?x∈R，f≤，则正数φ的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.
∵函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，
∴·＝，∴ω＝4，
∴f(x)＝sin(4x＋φ)．
又∵?x∈R，f≤，
∴x＝是f(x)的一条对称轴，
∴4×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z.
∵φ>0，
故令k＝1，得φ＝为最小值．
故选：B.
4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)，且此函数的图象如图所示，则点P(ω，φ)的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.
由图象可得函数的周期T＝2×＝π，∴＝π，得ω＝2，
将代入y＝sin(2x＋φ)可得sin
＝0，
∴＋φ＝π＋2kπ(注意此点位于函数减区间上)，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
由0<φ≤可得φ＝，∴点(ω，φ)的坐标是，故选：B.
5．函数f＝tan的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长为，则f的值是( )
A．0
B.
C．1
D.
【解析】选C.
由正切型函数的图象及相邻两支截直线y＝1所得的线段长为知，
T＝＝，所以ω＝3，
f＝tan＝tan＝1，故选C.
6．(多选题)已知函数f(x)＝则下列说法正确的是( )
A．f(x)是以π为最小正周期的周期函数
B．f(x)的值域是
C．f(x)在区间上单调递增
D．f(x)在上有2个零点
【解析】选BD.
根据题意，画出函数f(x)在的图象，如图所示：
根据图象可知，函数f(x)是以2π为最小正周期的周期函数，A错；
函数f(x)的值域是，B对；
f(x)在区间上单调递增，在上单调递减，C错；
函数f(x)在上有2个零点，分别是π，，D对；
故选：BD.
7．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，与x轴交于A、B两点，与y轴交于P点，其一条对称轴与x轴交于C点，且PA＝PC＝2，PB＝BC，则ω＝________．
【解析】
函数周期为，故AB＝T＝，PB＝BC＝＝，AC＝，OA＝OC＝，OB＝OC－BC＝，所以OB＝PB，所以∠OPB＝∠PCB＝∠BPC＝，所以＝OC＝PCcos＝3，故ω＝.
8．将函数f＝3cos
的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数g的图象，若gg＝16，且x1，x2∈，则2x1－x2的最大值为________．
【解析】π
根据平移变换将函数f＝3cos
的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，可得g＝3cos
－1.
由gg＝16，可知g＝g＝－4，
即cos
＝－1，cos
＝－1，
又x1，x2∈，所以2x1＋∈，2x2＋∈，
2x1＋的最大值为3π，2x2＋的最小值为－3π，
则2x1的最大值为，x2的最小值为－，
所以2x1－x2的最大值为－＝.
9．已知函数f(x)＝2sin
xcos
.
(1)求f的最小正周期和对称轴方程：
(2)若f在x∈(a>0)上是增函数，求实数a的取值范围．
【解析】f(x)＝2sin
xcos＝2sin
x
＝sin
xcos
x＋sin2x＝sin
2x－cos
2x＋＝sin＋.
(1)因为f(x)＝sin
＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π，
令2x－＝kπ＋，k∈Z，可得：x＝＋，k∈Z，
可得f(x)的对称轴为：x＝＋，k∈Z.
(2)f在是增函数，
所以－≤，即0所以0≤－a<，<＋a≤.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
f在上是增函数，
所以－a≥－，＋a≤，
所以a≤且a≤，
所以0B组 能力提升
10．已知函数f(x)＝cos
x，函数g(x)的图象可以由函数f(x)的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)倍得到，若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.
将函数f(x)＝cos
x向右平移个单位长度得y＝cos
，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)倍，得到g＝cos
，
令g＝cos
＝0，
得ωx－＝kπ＋，k∈Z，
所以x＝，k∈Z.
若函数g(x)在上没有零点，
则需>－＝π，
所以>2π，
所以0<ω<1.
若函数g(x)在上有零点，
则<<，k∈Z，
当k＝0时，得<<，解得<ω<，
当k＝1时，得<<，解得<ω<，
综上，函数g(x)在上有零点时，<ω<或<ω<，
所以函数g(x)在上没有零点时，0<ω≤.
所以ω的取值范围是.
故选：A.
11．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】选B.
由题意f(－x)＝f(x)知，函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(2－x)＝f(x－2)，所以函数f(x)为周期为2的周期函数，且f(0)＝0，f(1)＝1，
而g(x)＝|xcos(πx)|为偶函数，
且g(0)＝g＝g＝g＝0，在同一坐标系下作出两函数在上的大致图象，发现在内两图象共有6个公共点，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为6，故选B.
12．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为( )
【解析】选B.
由题意知，f(x)＝|cos
x|·sin
x，当x∈时，f(x)＝sin
xcos
x＝sin
2x；当x∈时，f(x)＝－cos
xsin
x＝－sin
2x，故选B.
13．已知函数y＝a＋cos
ωx，x∈(其中a，ω为常数，且ω>0)有且仅有3个零点，则a的值为______，ω的取值范围是______．
【解析】－1
函数y＝a＋cos
ωx在[－π，π]上为偶函数，函数有且仅有3个零点，
故必有一个零点为x＝0，∴a＋cos
0＝0，∴a＝－1；
所以函数y＝cos
ωx－1在x∈[－π，π]上的零点个数等价于函数y＝cos
ωx与直线y＝1的图象在[－π，π]上交点的个数，
而函数y＝cos
ωx相当于函数y＝cos
x纵坐标不变，横坐标扩大(或缩小)为原来的(ω>0)倍，
当ω≤1时，函数y＝cos
x与直线y＝1在[－π，π]上仅有一个交点，则ω>1；
当ω＝2时，函数y＝cos
2x与直线y＝1在[－π，π]上恰有3个交点，如下图所示，故ω≥2；
当ω＝4时，函数y＝cos
4x与直线y＝1在[－π，π]上恰有5个交点，如下图所示，故ω<4.
综上所述，ω的取值范围是[2，4)．
14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)经过点，，且在区间上为单调函数．
(1)求ω，φ的值及f(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，将f(x)的图象上每一点纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数y＝g(x)，设an＝ng，求数列的前31项和S31.
【解析】(1)由题可得＋φ＝2kπ－，＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，且f在上单调，解得ω＝2，φ＝2kπ－(k∈Z)，
∵－π<φ<0，∴φ＝－，f(x)＝sin
.
(2)由题意可知g(x)＝2sin
，
∵an＝2nsin(n∈N
)，
sin(n∈N
)的周期为3.
数列前三项依次为0，2，－3，
∴a3n－2＋a3n－1＋a3n＝(3n－2)×0＋(3n－1)×＋3n×(－)＝－，
∴S31＝(a1＋a2＋a3)＋…＋(a28＋a29＋a30)＋a31＝－10.
15．已知向量a＝，b＝，函数f(x)＝a·b－.
(1)求f的最小正周期及f图象的对称轴方程；
(2)若先将f的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到函数g的图象，求函数y＝g－在区间内的所有零点之和．
【解析】(1)由题意，向量a＝，b＝，
所以f(x)＝a·b－＝sin
x·sin
＋cos
·cos
－
＝sin
x·cos
x＋(－sin
x)·(－sin
x)－
＝sin
2x＋(1－cos
2x)－＝sin
.
可得T＝＝＝π，即函数的最小正周期为π，
令2x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，
所以函数f的最小正周期为π，对称轴方程为
x＝π＋，k∈Z.
(2)由(1)知f＝sin
，
将f的图象上每个点横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin
的图象，
然后将y＝sin
的图象向左平移个单位长度得到函数g＝sin
x的图象，
令g(x)－＝0，即sin
x＝，
由图可知，sin
x＝在[－π，3π]上有4个根：x1，x2，x3，x4，
根据对称性有＝，＝，
所以所有零点和为x1＋x2＋x3＋x4＝6π.
16．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
x
x1
x2
x3
ωx＋φ
0
π
2π
Asin(ωx＋φ)＋B
0
0
－
0
(1)请求出上表中的x1，x2，x3的值，并写出函数f(x)的解析式；
(2)将f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间[0，m](3【解析】(1)由条件知，ω＋φ＝，ω＋φ＝，
∴ω＝，φ＝，
∴x1＝－，x2＝，x3＝，f(x)＝sin.
(2)∵函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，
∴g(x)＝sin＝sin，
∵函数g(x)在区间[0，m](m∈(3，4))上的图象的最高点和最低点分别为M、N，
∴最高点为M(1，)，最低点为N(3，－)，
∴＝(3，－)，＝(－2，2)，
∴cos
θ＝＝－，
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
17．已知函数f(x)＝2sin
ωx，其中常数ω>0.
(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a【解析】(1)因为ω>0，根据题意有
?0<ω≤.
(2)f(x)＝2sin
2x，
g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1.
方法一：g(x)＝0?x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即g(x)的零点相邻间隔依次为和，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.
方法二：若b－a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π＋a]，[a，2π＋a]，…，[a，mπ＋a](m∈N
)上分别恰有3，5，…，2m＋1个零点，
所以在区间[a，14π＋a]上恰有29个零点，从而在区间(14π＋a，b]上至少有一个零点，b－a－14π≥，所以b－a≥14π＋，
因此b－a的最小值为14π＋＝.(共73张PPT)
第5讲 三角函数图象与性质
专题二 三角函数图象与性质
探究一 三角函数图象变换
知识网络>●●。。
角的概念的推广、弧度制
任意角的三角函数
任意角的三角函数
同角三角函数的基本关系
诱导公式
y=sinx,y=cosx的图象和性质
三角函数的图象和性质y=sin(xq)的图象
y=tan
a的图象和性质
已知三角函数值求角
备考建议>●。
典例剖析>●。·。
规律总结>●。。
高考
●●●●●
限时训练>●。。