第7讲 等差与等比数列
【p14】
【命题趋势】
从近三年的高考全国卷试题来看，数列一直是高考的热点，数列部分的题型、难度和分值都保持稳定，考查的重点主要是等差数列及其前n项和、等比数列及其前n项和、数列的通项、数列的前n项和等知识．考查内容比较全面，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用．从题目难易程度看，2018年数列考题趋于简单，三套试卷中，Ⅰ卷是以选择题和填空题的形式出现，Ⅱ卷和Ⅲ卷都是以解答题的形式考查等差、等比数列的通项与前n项和，2019年Ⅰ卷和Ⅲ卷出两小题，Ⅱ卷一大题，2020年新高考全国卷Ⅰ出一大题，Ⅱ卷两小题．
【备考建议】
复习中要做到：
(1)深刻理解等差数列和等比数列基本概念、性质，熟练掌握这两种数列常用的判定、证明方法，证明问题强调答题书写规范问题．
(2)能正确使用等差(比)数列定义、性质是学好本节考点的关键．解题时应从基础着笔，首先要熟练掌握等差数列、等比数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的灵活变形，善用技巧，减少运算量，这是迅速、准确解题的关键．运用方程的思想解答等差(比)数列计算问题是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好设取未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
【p14】
等差(比)数列的判定与证明
例1
(1)音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得( )
A．“宫、商、角”的频率成等比数列
B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列
D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
【解析】选A.
设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是a；
“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是a，
“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是a；
最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，
由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列．故选：A.
(2)在数列，中，an＝bn＋n＋1，bn＝－an＋1.证明：数列是等差数列．
【解析】证明：由题意，将bn＝－an＋1代入an＝bn＋n＋1，
可得an＝－an＋1＋n＋1，即2an＝n＋2，
∴an＝，∴bn＝－an＋1＝－＋1＝－，
∴an＋3bn＝－＝1－n.
∵an＋1＋3bn＋1－＝1－－
＝－1，
∴数列是以－1为公差的等差数列．
【点评】等差、等比数列的判定与证明方法：
(1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数)?{an}是等差数列；
＝q(q为非零常数)?{an}是等比数列；
(2)利用中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}是等差数列；
a＝an·an＋2(n∈N
)?{an}是等比数列(注意等比数列中an≠0，q≠0)；
(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)?{an}是等差数列；
an＝cqn(c，q为非零常数)?{an}是等比数列；
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)?{an}是等差数列；
Sn＝mqn－m(m为常数，q≠0且q≠1)?{an}是等比数列；
(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，一般只需用a1，a2，a3验证即可．
探究二 等差(比)数列的基本计算
例2
公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟领先他1米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为( )
A.米
B.米
C.米
D.米
【解析】选A.
由题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，
其中a1＝100，q＝，且an＝0.001＝10－3，所以乌龟爬行的总距离为Sn＝＝＝＝.故选A.
例3
已知等差数列前三项的和为－3，前三项的积为15，
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若公差d>0，求数列的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列的公差为d，
由a1＋a2＋a3＝－3，得3a2＝－3，所以a2＝－1.
又a1a2a3＝15得a1a3＝－15，即所以或
即an＝4n－9或an＝7－4n.
(2)当公差d>0时，an＝4n－9.
①当n≤2时，an＝4n－9<0，T1＝－a1＝5，T2＝－a1－a2＝6.
设数列的前n项和为Sn，则Sn＝×n＝2n2－7n；
②当n≥3时，an＝4n－9>0，
Tn＝＋＋＋…＋＝－a1－a2＋a3＋…＋an
＝－2
＝Sn－2S2＝2n2－7n＋12.
当n＝1时，T1＝5，T1≠2×12－7×1＋12＝7，不满足Tn＝2n2－7n＋12，
当n＝2时，T2＝6，T2＝2×22－7×2＋12＝6，满足Tn＝2n2－7n＋12.
所以数列的前n项和Tn＝
【点评】对于等差(比)数列有关计算问题主要围绕等差(比)数列的通项公式和前n项和公式，在两个公式中共五个量a1、d(或q)、n、an、Sn，已知其中三个量可求出剩余的量，而a1与d(或q)是最基本的，由它们可以确定等差(比)数列的通项公式和前n项和公式．
探究三 等差(比)数列的性质应用
例4
(1)在等差数列中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝90，则a10－a14的值为( )
A．12
B．14
C．16
D．18
【解析】选A.
因为a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8，所以a8＝18，
因此a10－a14＝(3a10－a14)＝(a14＋a8＋a8)－a14＝×2a8＝12，选A.
【点评】本题考查等差数列性质，考查等价转化求解能力．
(2)在各项均为正数的等比数列中，a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，则a1a13的最大值是( )
A．25
B.
C．5
D.
【解析】选B.
∵是等比数列，且a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，
∴a＋2a6a8＋a＝＝25.又∵an>0，∴a6＋a8＝5，
∴a1a13＝a6a8≤＝，当且仅当a6＝a8＝时取等号．故选B.
【点评】本题考查等比数列的性质和基本不等式．
探究四 等差(比)数列的综合应用
例5
如图，以O，A为顶点作正三角形OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点作正三角形P1BP2，再以P2和P2B的中点C为顶点作正三角形P2CP3……如此继续下去．有如下结论：
①所作的正三角形的边长构成公比为的等比数列；
②每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2上；
③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点P6的坐标是.
其中正确结论的序号是________．(把你认为正确结论的序号都填上)
【解析】①②③
由题意可得，每一个正三角形的边长都是上一个正三角形边长的，故①正确；
根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2：x＝1上，故②正确；
第六个正三角形的边长为，故顶点P6的横坐标为，P5的纵坐标为－－＝，从而顶点P6的纵坐标为＋＝，故③正确．
故答案为：①②③.
例6
已知为等差数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
第二行
4
6
9
第三行
12
8
7
请从①a1＝2，②a1＝1，③a1＝3的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列存在；并在此存在的数列中，试解答下列两个问题：
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足bn＝a，求数列的前n项和Tn.
【解析】(1)若选择条件①，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有
a1＝2，a2＝6，a3＝7不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝8不是等差数列；
当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有a1＝2，a2＝4，a3＝7不是等差数列，
a1＝2，a2＝9，a3＝12不是等差数列；
当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有
a1＝2，a2＝4，a3＝8不是等差数列，a1＝2，a2＝6，a3＝12不是等差数列，
则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列都不存在．
若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知a1＝1，a2＝4，a3＝7，
则公差d＝a2－a1＝3，所以an＝a1＋d＝3n－2，n∈N
，
若选择条件③，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有
a1＝3，a2＝6，a3＝7不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝8不是等差数列；
当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有a1＝3，a2＝4，a3＝7不是等差数列，
a1＝3，a2＝9，a3＝12不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有
a1＝3，a2＝4，a3＝8不是等差数列，a1＝3，a2＝6，a3＝12不是等差数列，
则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列都不存在，
综上可知：an＝3n－2，n∈N
.
(2)由(1)知，bn＝，所以当n为偶数时，
Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝a－a＋a－a＋…＋a－a
＝＋＋…＋
＝－3＝－3×＝－n2＋n，
当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝－＋＋＝n2－n－2，
∴Tn＝
【点评】等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项，求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
【p16】
1．等差数列通项公式和前n项和公式的灵活应用：如an＝am＋(n－m)d，S2n－1＝(2n－1)an等．
2．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等，视具体情况而定．
3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明某连续三项不是等差数列即可．
4．等比数列中的三种数学思想．
(1)分类讨论思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；
②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0，0
1或a1>0，0(2)函数的思想：等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系．
(3)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解．
【p16】
考题1[2020·新高考卷Ⅰ]将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【解析】3n2－2n
因为数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
数列是以1为首项，3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，6为公差的等差数列，
所以的前n项和为n·1＋·6＝3n2－2n，
故答案为：3n2－2n.
【命题意图】该题考查的是有关数列的问题，涉及的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目．
考题2[2019·全国卷Ⅲ]已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( )
A．16
B．8
C．4
D．2
【解析】选C.
设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则由前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，有
∴∴a3＝22＝4.
【命题意图】本题考查了等比数列的性质和前n项和公式，考查了方程思想，考查的核心素养是数学运算．
考题3[2019·全国卷Ⅲ]记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则＝________．
【解析】4
设等差数列{an}的公差为d，则由a1≠0，a2＝3a1可得d＝2a1，
∴＝＝＝＝4，故答案为4.
【命题意图】本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查了转化思想，考查的核心素养是数学运算．
考题4[2019·全国卷Ⅱ]已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
【解析】(1)证明：∵4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4，∴4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，
4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，
即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)，an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又a1＋b1＝1，a1－b1＝1，
∴{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列，
{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)可得：an＋bn＝，
an－bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，
∴an＝＋n－，bn＝－n＋.
【命题意图】本题考查了等差、等比数列的定义和通项公式，考查的核心素养是逻辑推理与数学运算．(共52张PPT)
专题三 数 列
第7讲 等差与等比数列
知识网络>●●。。
等差数列
定义、递推关系,通项公式、
前n项和公式,性质
等比数列
化归为等差、等比数列
数列
简单递推数列
综合
周期数列、归纳猜想
特殊数列求和
裂项相消、错位相减、倒序相加、
拆项重组、并项求和
专题探究>。●。。。
典例剖析>●。·。
规律总结>●。。
高考
●●●●●
限时训练>●。。【p92】
A组 基础演练
1．已知数列为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则cos的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
【解析】选A.
a1＋a5＋a9＝3a5＝π，a5＝，cos＝cos＝cos＝－.
2．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国与长安相距3000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，则良马和驽马第几日相遇( )
A．第10日
B．第11日
C．第12日
D．第60日
【解析】选A.
依题意，可知良马第n日行程为an＝155＋12＝12n＋143，同理，可得驽马第n日行程为bn＝102－2n，令＝3000，整理可得n2＋50n－600＝0，所以n＝10.
3．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁分别分得100，60，36，21.6，递减的比例为40%，那么“衰分比”就等于40%，今共有粮a石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙分得36石，乙、丁所得之和为75石，则“衰分比”与a的值分别是( )
A．75%，
B．25%，
C．75%，175
D．25%，175
【解析】选D.
设“衰分比”为x，乙分得m石，丁分得n石，则解得
∴甲分得＝64石．“衰分比”为25%，则a＝64＋36＋75＝175石，故选D.
4．设等差数列的前n项和为Sn，若a1010<0，a1010＋a1011>0，则满足Sn>0的最小正整数n的值为( )
A．1010
B．1011
C．2020
D．2021
【解析】选C.
因为a1010<0，a1010＋a1011>0，所以a1011>0，所以公差d>0，
因为a1010<0，所以2a1010＝a1＋a2019<0，所以S2019＝<0，
又a1010＋a1011＝a1＋a2020>0，
所以S2020＝>0，
所以满足Sn>0的最小正整数n的值为2020.故选：C.
5．设等比数列的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0.给出下列结论：
①0②a99·a101－1>0；
③T100的值是Tn中最大的；
④使Tn>1成立的最大自然数n等于198.
其中正确的结论是( )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【解析】选B.
①∵a99a100－1>0，∴a·q197>1，∴q(a1·q98)2>1.
∵a1>1，∴q>0.
又∵<0，∴a99>1，且a100<1.∴0②∵∴0③由于T100＝T99·a100，而0④中T198＝a1·a2…a198＝(a1·a198)(a2·a197)…(a99·a100)＝(a99·a100)99>1，
T199＝a1·a2…a199＝(a1·a199)(a2·a198)…(a99·a101)·a100<1，故④正确．
∴正确的为①④，故选：B.
6．记Sn为正项等差数列的前n项和，若a1＝1，a3·a4＝S7，则Sn＝________．
【解析】n2－n
设等差数列的公差为d，
由题得a3·a4＝S7＝×7＝7a4，
所以a3＝7，
所以1＋2d＝7，∴d＝3.
所以Sn＝n＋×3＝n2－n.
故答案为：n2－n.
7．(多选题)若数列{an}对任意n≥2(n∈N)满足(an－an－1－2)(an－2an－1)＝0，下面选项中关于数列{an}的命题正确的是( )
A．{an}可能是等差数列
B．{an}可能是等比数列
C．{an}可能既是等差又是等比数列
D．{an}可能既不是等差又不是等比数列
【解析】选ABD.
因为(an－an－1－2)(an－2an－1)＝0，
所以an－an－1－2＝0或an－2an－1＝0，
即：an－an－1＝2或an＝2an－1.
①当an≠0，an－1≠0时，{an}是等差数列或是等比数列．
②an＝0或an－1＝0时，{an}可以既不是等差又不是等比数列．
故选：ABD.
8．已知等差数列的前n项和为Sn，a2＋a4＝14，S7＝70.
(1)求数列的通项公式．
(2)设nbn＝2Sn＋48，数列的最小项是第几项？求出最小项的值．
【解析】(1)设数列的公差为d，则有
即解得
所以数列的通项公式为an＝3n－2.
(2)Sn＝＝，
所以bn＝＝3n＋－1≥2－1＝23，
当且仅当3n＝，即n＝4时上式取等号，
故数列的最小项是第4项，该项的值为23.
B组 能力提升
9．已知数列是等比数列，若a2a5a8＝－8，则＋＋( )
A．有最小值
B．有最大值
C．有最小值
D．有最大值
【解析】选C.
设等比数列的公比q，∵a2a5a8＝－8，∴a2a5a8＝a＝－8，∴a5＝－2，∴a1＝<0，a1a9＝a＝4，
∴＋＋＝＝
＝1＋≥1＋×2＝，当且仅当－9a1＝，即a1＝－<0时，取等号，故选：C.
10．已知等差数列满足：a1≠0，2020·a2019＝2019·a2020，Sn表示的前n项之和，则＝________．
【解析】
已知{an}是等差数列，设其公差为d，
因为2020·a2019＝2019·a2020，
所以2020(a1＋2018d)＝2019(a1＋2019d)，
所以a1＝d≠0，
所以{an}的前n项和Sn＝na1＋n·(n－1)d
＝n(n＋1)d≠0，
＝＝.
11．(多选题)已知等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，n1，n2，…，nr∈N
，m1，m2，…，mt∈N
，r，t∈N
且r≠t，若n1＋n2＋…＋nr＝m1＋m2＋…＋mt，则下列结论正确的是( )
A．若a1＝d，则an1＋an2＋…＋anr＝am1＋am2＋…＋amt
B．若an1＋an2＋…＋anr＝am1＋am2＋…＋amt，则a1＝d
C．若b1＝q，则bn1·bn2…bnr＝bm1·bm2…bmt
D．若bn1·bn2…bnr＝bm1·bm2…bmt，则b1＝q
【解析】选ABC.
对于A项，
an1＋an2＋…＋anr＝a1＋d＋a1＋d＋…＋a1＋d
＝ra1＋d＝d，
am1＋am2＋…＋amt＝a1＋d＋a1＋d＋…＋a1＋d
＝ta1＋d＝d，
所以an1＋an2＋…＋anr＝am1＋am2＋…＋amt，A正确；
对于B项，
因为an1＋an2＋…＋anr＝am1＋am2＋…＋amt，
a1＋d＋a1＋d＋…＋a1＋d＝a1＋d＋a1＋d＋…＋a1＋d，
ra1＋d＝ta1＋d，
＝0，由r≠t，所以a1＝d，B正确．
对于C项，
若b1＝q，bn1·bn2…bnr＝b1qn1－1·b1qn2－1…b1qnr－1＝bqn1＋n2＋…＋nr－r＝qn1＋n2＋…＋nr，
bm1·bm2…bmt＝b1qm1－1·b1qm2－1…b1qmt－1＝bqm1＋m2＋…＋mt－t＝qm1＋m2＋…＋mt，
所以bn1·bn2…bnr＝bm1·bm2…bmt，C正确．
对于D项，
bn1·bn2…bnr＝bm1·bm2…bmt，
b1qn1－1·b1qn2－1…b1qnr－1＝b1qm1－1·b1qm2－1…b1qmt－1，
bqn1＋n2＋…＋nr－r＝bqm1＋m2＋…＋mt－t，＝1.
因为r，t∈N
且r≠t，当r－t是偶数时，可有＝－1，b1＝－q，故D错误．
故选：ABC.
12．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a2＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N
)．
(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
【解析】(1)解：因为a1＋2a2＋3a2＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N
)，
所以当n＝1时，a1＝2×1＝2；
当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，
所以a2＝4；
当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，所以a3＝8.
综上，a2＝4，a3＝8.
(2)证明：因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N
)， ①
所以当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)． ②
①－②，得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.所以－Sn＋2Sn－1＋2＝0，
即Sn＝2Sn－1＋2，
所以Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．
因为S1＋2＝4≠0，所以Sn－1＋2≠0，所以＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．