(共17张PPT)
第二章 一元二次函数、
二次方程和不等式
第二章测试
一元二次函数、二次方程和不等式
一、选择题
1.(2016新课标Ⅰ卷)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=
(
)
【答案】
D
【解析】因为集合A={x|1
}.
所以A∩B={x|
<
x<3}=
.故选D.
2.(2015天津)设x∈R,则“1(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
A
【解析】由|x-2|<1?-13.不等式(x-2)(2x-3)<0的解集是
(
)
A.
∪(2,+∞)
B.R
C.
D.?
【答案】
C
【解析】因为不等式(x-2)(2x-3)<0,解得是
.故选C.
4.(2013新课标Ⅱ卷,文)设a=log32,b=log52,c=log23,则
(
)
A.a>c>b
B.b>c>a
C.c>b>a
D.c>a>b
【答案】
D
【解析】
1>log32=
=log52,而log23>log22=1,所以c>a>b.故选D.
5.(2015福建)若直线
=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值
等于(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
6.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润的方法.已知这种商品每件售价提高1元,销售量就会减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,则售价每件应定为
(
)
A.12元
B.16元
C.12元到16元之间
D.10元到14元之间
【答案】
C
【解析】设售价定为每件x元,利润为y,则y=(x-8)[100-10(x-10)],
依题意有(x-8)[100-10(x-10)]>320,即x2-28x+192<0,解得12所以每件售价应定为12元到16元之间.故选C.
7.(2016河北张家口)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是
(
)
A.(-∞,2)
B.(-∞,2]
C.(-2,2)
D.(-2,2]
【答案】
D
【解析】当a-2=0,即a=2时,-4<0,恒成立;
当a-2≠0时,则
解得-2∴-28.(2015江西九江质检)已知函数f(x)=ax2-x-c,且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】因为函数f(x)=ax2-x-c,且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2所以a<0,方程ax2-x-c=0的两个根为-2和1,-2+1=
,-2×1=
,
所以a=-1,c=-2,所以函数f(x)=ax2-x-c=-x2-x+2,
所以函数f(-x)=-x2+x+2,其图象开口向下,与x轴交点为(-1,0),(2,0).故选B.
9.某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s
m和汽车车速x
km/h有如下关系:
s=
.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离不小于40
m,那么这辆汽车刹车前的车速不低于
km/h.(
)
A.70
B.80
C.90
D.100
【答案】
B
【解析】根据题意,得
≥40.移项整理,得x2+10x-7200≥0.
显然Δ>0,x2+10x-7200=0有两个实数根,即x1=80,x2=-90,
然后,根据二次函数y=x2+10x-7200的图象(图略),得不等式的解集为{x|x≤-90或x≥80}.
在这个实际问题中,
x>0,所以这辆汽车刹车前的车速不低于80
km/h.故选B.
【答案】
A
【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(|x|)得f(|2x-1|),
再根据f(x)的单调性得|2x-1|<
,解得
<
x<
.故选A.
二、填空题
11.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是
.
12.(2015江苏)不等式
<4的解集为
.
【答案】
(-1,2)
【解析】由题意得
<22,所以x2-x<2?-113.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是
.
【答案】
(0,8)
【解析】
∵不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立.∴Δ=(-a)2-8a<0,解得014.若不等式x2-4x+m<0的解集为空集,则不等式x2-(m+3)x+3m≥0的解集为
.
【答案】
{x|x≥m或x≤3}
【解析】由题意知16-4m≤0,
得m≥4,则x2-(m+3)x+3m=(x-3)(x-m)≥0,得x≥m或x≤3.
15.已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为{x|x1则x1+x2+
的最小值是
.
三、解答题
16.已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0;当x∈(-3,2)时,f(x)>0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域;
(2)若ax2+bx+c
≤0的解集为R,求实数c的取值范围.
【解析】
(1)因为当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,
f(x)<0;当x∈(-3,2)时,f(x)>0.所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,
所以
解得a=-3,b=5.
所以f(x)=-3x2-3x+18=-3
.
因为函数图象关于x=
对称且抛物线开口向下,所以f(x)在[0,1]上为减函数,所以f(x)max=f(0)=18,
f(x)min=f(1)=12,故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18].
(2)由(1)知不等式ax2+bx+c≤0可化为-3x2+5x+c≤0,要
使-3x2+5x+c≤0的解集为R,只需
即25+12c
≤0,所以c
≤
,所以实数c的取值范围为
.(共21张PPT)
第二章 一元二次函数、
二次方程和不等式
第1节
基本不等式
知识梳理
1.基本不等式:a+b≥2
(其中a,b∈R+)
(1)基本不等式成立的条件:a,b∈R+
.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时等号成立.
2.常用的不等式:
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
(2)a+b≥2
(其中a,b∈R+).
(3)ab≤
.
(4)ab≤
.
(5)
≥2(其中a·b∈R+).
精选例题
【例1】
(1)已知x>0,求x+
的最小值;(2)已知x>1,求x+
的最小值.
【例2】
已知x>0,y>0,且x+y=1,求
的最小值.
1.若x>0,则x+
的最小值为
(
)
A.2
B.3
C.2
D.4
【答案】
D
【解析】因为x>0,所以x+
≥2
=4,当且仅当x=
,即x=2时等号成立.故选D.
专题训练
2.已知x>-1,则函数y=x+
的最小值为
(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
3.设a>0,b>0.若
是3a与32b的等比中项,则
的最小值为(
)
A.8
B.4
C.1
D.
5.(2015福建,文5)若直线
=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于
(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
6.已知x>0,y>0,且x+2y=2,则xy
(
)
A.有最大值为1
B.有最小值为1
C.有最大值为
D.有最小值为
7.(2012浙江)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(
)
A.
B.
C.5
D.6
9.(2013福建,文)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是
(
)
A.[0,2]
B.[-2,0]
C.[-2,+∞)
D.(-∞,-2]
10.设0,则函数y=4x(3-2x)的最大值为
.
11.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是
.
12.已知函数f(x)=4x+
(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=
.
【答案】
36
【解析】∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+
≥2
=4
,
当且仅当4x=
,即4x2=a时,f(x)取得最小值.
又∵f(x)在x=3时取得最小值,∴a=4×32=36.
13.(2017山东)若直线
=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为
.
14.(2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x的值是
.
15.已知x>0,y>0,且
=1,求x+y的最小值.
16.已知x>0,求y=
的最大值.(共20张PPT)
第二章 一元二次函数、
二次方程和不等式
第2节
二次函数的图象和性质
知识梳理
1.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0);对称轴x=-
,顶点
.
(2)顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);对称轴x=h,顶点(h,k).
(3)零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0);对称轴x=
,顶点
.
a>0
a<0
图象
定义域
R
R
值域
对称轴
x=
x=
单调区间
单调递减
单调递增
单调递增
单调递减
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
【解析】
由已知f(x-1)=f(3+x),所以该函数的对称轴为x=
=1,
因为二次函数最小值为-4,设该二次函数的解析式为f(x)=a(x-1)2-4,
将x1=-1代入得f(-1)=a(-1-1)2-4=0,解得a=1,
所以该函数的解析式为f(x)=(x-1)2-4=x2-2x-3.
精选例题
【例1】
已知二次函数满足f(x-1)=f(3+x),且该函数的一个零点为x=-1,最小值为-4,求该函数的解析式.
【例2】
已知函数f(x)=x2-mx+5在区间[-1,+∞)上是增函数,求f(1)的取值范围.
【解析】二次函数的对称轴为x=
,∵
f(x)在区间[-1,+∞)上是增函数,∴
≤-1,解得m≤-2,从而-m≥2,
∴
f(1)=6-m≥6+2=8.∴
f(1)的取值范围为[8,+∞).
1.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是
(
)
A.(-1,1)
B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
【答案】
C
【解析】∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=m2-4>0,解得m<-2或m>2.故选C.
专题训练
2.函数y=x2-2x-1在[-1,2]上的最大值为
(
)
A.3
B.-1
C.2
D.0
【答案】
C
【解析】因为y=x2-2x-1的对称轴为x=1,所以当x=-1时,函数有最大值f(-1)=2.故选C.
3.若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(-1)=f(3),则
(
)
A.f(0)>f(2)
B.f(0)C.f(0)=f(2)
D.f(0)与f(2)的大小不能确定
【答案】
C
【解析】因为f(-1)=f(3),所以函数图象的对称轴为x=
=1.所以f(0)=f(2).故选C.
【答案】
A
【解析】函数f(x)=x2+2x+m存在零点,则Δ=22-4m≥0,解得m≤1,
所以“函数f(x)=x2+2x+m存在零点”的必要不充分的条件是m≤-1.故选A.
4.下面四个条件中,
“函数f(x)=x2+2x+m存在零点”的必要不充分的条件是
(
)
A.m≤-1
B.m≤1
C.m≤2
D.m>1
5.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是(
)
A.m=-2
B.m=2
C.m=-1
D.m=1
【答案】
A
【解析】函数f(x)=x2+mx+1的对称轴为x=
,当
=1时,m=-2.故选A.
6.已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则ad等于
(
)
A.3
B.2
C.1
D.-2
【答案】
B
【解析】函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2的顶点是(1,2),所以b=1,c=2.
由已知a,b,c,d成等比数列,所以ad=bc=2.故选B.
7.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是
(
)
A.?x∈R,f(x)≤f(x0)
B.?x∈R,f(x)≥f(x0)
C.?x∈R,f(x)≤f(x0)
D.?x∈R,f(x)≥f(x0)
【答案】
C
【解析】x0满足关于x的方程2ax+b=0,所以x0=
,
即为f(x)=ax2+bx+c的对称轴.
当a>0时,f(x0)为函数的最小值,所以?x∈R,f(x)≤f(x0)是假命题.故选C.
【答案】
【解析】由题意知(x-y)
(x+y)=(x-y)·[1-(x+y)]<1对一切实数x恒成立,所以-x2+x+y2-y-1<0对于x∈R恒成立.
故Δ=12-4×(-1)·(y2-y-1)<0,所以4y2-4y-3<0,解得
.
8.在R上定义运算:x
y=x(1-y).若不等式(x-y)
(x+y)<1对一切实数x恒成立,则实数y的取值范围是
.
9.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=
.
【答案】
-2x2+4
【解析】f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+a(b+2)x+2a2,
若f(x)是偶函数,则a(b+2)=0,得到a=0或b=-2.当a=0时,
f(x)=bx2,x=0时,有最值0(不是4,舍去);
当b=-2时,f(x)=-2(x2-a2),x=0时,有最值2a2=4,解得a2=2.f(x)=-2(x2-a2)图象开口向下,所以它的值域为(-∞,4],符合题意.
所以该函数的解析式为f(x)=-2x2+4.
10.(2013浙江)已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(1),则
(
)
A.a>0,4a+b=0
B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0
D.a<0,2a+b=0
【答案】
A
【解析】∵f(0)=f(4)>f(1),∴a>0,∵f(0)=f(4),∴c=16a+4b+c,
∴4a+b=0.故选A.
11.已知函数y=x2+bx+c,且f(1+x)=f(-x),则下列命题成立的是(
)
A.f(x)在区间(-∞,1]上是减函数
B.f(x)在区间
上是减函数
C.f(x)在区间(-∞,1]上是增函数
D.f(x)在区间
上是增函数
【答案】
B
【解析】
∵f(1+x)=f(-x),∴对称轴是x=
.开口向上,∴f(x)在区间
上是减函数.故选B.
12.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根,则a的取值范围为
.
【答案】
(-1,1)
【解析】令f(x)=x2+ax+a2-1,
∵二次函数图象开口向上,若方程有一正一负根,则只需f(0)<0,
即a2-1<0,∴-1【答案】
C
【解析】对于选项A,一次函数中的a>0与二次函数中的a<0矛盾;
对于选项B,一次函数中的a>0,b>0与二次函数中的对称轴x=
>0矛盾;
对于选项D,一次函数中的a<0与二次函数中的a>0矛盾.故选C.
13.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是
(
)
A.
B.
C.
D.
14.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,求a的取值范围.
15.已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.
(1)若a=2,试求函数y=
(x>0)的最小值;
(2)对于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,试求实数a的取值范围.
【解析】
(1)依题意得y=
=x+
-4.因为x>0,所以x+
≥2,当且仅当x=
时,即x=1时,等号成立.所以y≥-2.
所以当x=1时,y=
的最小值为-2.
(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,所以要使“?x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立”,只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.
不妨设g(x)=x2-2ax-1,则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.
所以
即
解得a≥
.
则实数a的取值范围为
.(共21张PPT)
第二章 一元二次函数、
二次方程和不等式
第3节
一无二次不等式的解法
知识梳理
1.一元一次不等式ax>b(a≠0)
(1)a>0时,原不等式的解集为{x|x>
}.
(2)a<0
时,原不等式的解集为{x|x<
}.
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c
(a>0)
的图象
ax2+bx+c=0
的根
有两个不等实根x1,x2
(x1有两个相等实根
x1=x2=
没有实根
ax2+bx+c>0
的解集
(-∞,x1)∪(x2,+∞)
(-∞,x1)∪(x1,+∞)
R
ax2+bx+c<0
的解集
(x1,x2)
?
?
2.一元二次不等式y=ax2+bx+c(a>0)
【解析】
(1)因为x2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0的两个根为x1=-1,x2=3,
所以x2-2x-3>0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
(2)因为4x2-4x+1=0时,Δ=42-4×4×1=0,所以方程有两个相等的实
根x1=x2=
,所以4x2-4x+1>0
的解集为
(或写成{x|x∈R,且x≠
}也可以).
(3)-x2+3x-10<0等价于x2-3x+10>0,因为Δ=32-4×1×10=-31<0,所以x2-3x+10=0无实数解,y=x2-3x+10开口向上,所以x2-3x+10>0的解集为R.即-x2+3x-10<0的解集为R.
精选例题
【例1】
解下列不等式:
(1)x2-2x-3>0;
(2)4x2-4x+1>0;
(3)-x2+3x-10<0.
【例2】
(2010新课标Ⅱ卷)不等式
<0的解集为
(
)
A.{x|-2B.{x|x<-2}
C.{x|x<-2或x>3}
D.{x|x>3}
【答案】A
【解析】
<0等价于(x-3)(x+2)<0,而(x-3)(x+2)<0的解集为{x|-2<0的解集为{x|-21.(2015广东)不等式-x2-3x+4>0的解集为
.(用区间表示)
【答案】
（-4，1）
【解析】
-x2-3x+4>0等价于x2+3x-4<0,即(x+4)(x-1)<0,所以
-x2-3x+4>0的解集为(-4,1).
专题训练
2.不等式
≥0的解集是
(
)
A.(-4,2]
B.[-4,2]
C.(-∞,-4]∪[2,+∞)
D.(-∞,-4)∪[2,+∞)
【答案】
A
【解析】
≥0等价于(2-x)(x+4)≥0,即(x-2)(x+4)≤0,其中x≠-4,
由(x-2)(x+4)≤0解得-4≤x≤2且x≠-4.故选A.
3.(2017新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则
(
)
A.A∩B={x|x<
}
B.A∩B=?
C.A∪B={x|x<
}
D.A∪B=R
【答案】
A
【解析】由3-2x>0得x<
,所以A∩B={x|x<2}∩{x|x<
}={x|x<
}.故选A.
【答案】
C
【解析】由x2≤4,解得-2≤x≤2,所以A∪B={x|x≤2}.故选C.
4.已知集合A={x|x2≤4},B={x|x<1},则集合A∪B等于
(
)
A.{x|1≤x≤2}
B.{x|x≥1}
C.{x|x≤2}
D.{x|x>-2}
5.(2014六校联考)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x2-3x-4>0},那么A∩(?UB)=
(
)
A.{x|-2≤x<4}
B.{x|x≤3,或x≥4}
C.{x|-2≤x<-1}
D.{x|-1≤x≤3}
【答案】
D
【解析】
x2-3x-4>0可以变为(x-4)(x+1)>0,解得x<-1或x>4,所以?UB={x|-1≤x≤4},所以A∩(?UB)={x|-1≤x≤3}.故选D.
6.函数f(x)=2+2x-x2,
x∈[0,3]的值域是
(
)
A.(-∞,3]
B.[-1,3]
C.[-2,3]
D.(-3,+∞)
【答案】
B
【解析】
∵
f(x)=-(x-1)2+3,x∈[0,3],∴
f(x)min=
f(3)=-1,
f(x)max=
f(1)=3.故选B.
【答案】
A
【解析】
(x+3)(x-5)<0时-3【答案】A
【解析】
∵由x2-2ax-8a2<0(a>0),得(x-4a)(x+2a)<0,即-2a∴x1=-2a,x2=4a.
∵x2-x1=4a-(-2a)=6a=15,∴a=
.故选A.
9.已知集合U={x|x2-3x+2≥0},A={x|x>3或x<1},则?UA=
.
【答案】
{x|x=1或2≤x≤3}
【解析】因为集合U={x|x2-3x+2≥0}={x|x≤1或x≥2},所以?UA={x|x=1或2≤x≤3}.
10.若函数f(x)=ax2-ax-4<0恒成立,则实数a的取值范围是
.
【答案】
(-16,0]
【解析】
(1)当a=0时,f(x)=-4<0恒成立;
(2)当a<0时,若f(x)=ax2-ax-4<0恒成立,则要Δ=a2-4a×(-4)<0,解得
-16(3)当a>0时,图象开口向上,不满足f(x)=ax2-ax-4<0恒成立.所以满足条件的a取值范围是(-16,0].
11.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是
.
【答案】
{a|a<-4或a>4}
【解析】
x2+ax+4<0的解集不是空集,只需Δ=a2-16>0,∴a<-4或a>4.
12.(2014江苏)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是
.
【答案】
{x|x<-lg2}
【解析】由已知条件知0<10x<
,解得x=-lg2.
13.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<-1或x>
},则f(10x)>0的解集为
.
14.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表:
则不等式ax2+bx+c>0的解集为
.
【答案】
(-∞,-2)∪(3,+∞)
【解析】由图表知,∵a>0,且-2,3是方程ax2+bx+c=0的两个根,
∴不等式ax2+bx+c>0的解集为x<-2或x>3.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
15.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0台.
【答案】150
【解析】由题可知,y-25x=-0.1x2-5x+3000≤0,即x2+50x-30000≥0,
解得x≥150或x≤-200(舍去).
16.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位:天)的函数关系是y1=t+10(0-t+35
(0.
【答案】{t|10≤t≤15,t∈N}
【解析】日销售金额=(t+10)(-t+35),依题意有(t+10)(-t+35)≥500,
解得解集为{t|10≤t≤15,t∈N}.