(共19张PPT)
第九章 直线与圆
第九章测试 直线与圆
一、选择题
1.(2016郑州一模)命题p:“a=-2”是命题q:“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”成立的
( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
A
【解析】
直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直的充要条件是6a+3×4=0,即a=-2.故选A.
2.(2015北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是
( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2
D.(x-1)2+(y-1)2=2
【答案】
D
【解析】
由题意可得圆的半径为r=
,
则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选D.
3.(2014福建)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是
( )
A.x+y-2=0
B.x-y+2=0
C.x+y-3=0
D.x-y+3=0
【答案】
D
【解析】
x2+(y-3)2=4的圆心为(0,3),
设与直线x+y+1=0垂直的直线为x-y+m=0,
将点(0,3)代入得到m=3,
所以所求直线为x-y+3=0.故选D.
4.若P(2,1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为
( )
A.x-y-1=0
B.2x-y-3=0
C.x+y-3=0
D.2x+y-5=0
【答案】
C
【解析】
圆(x-1)2+y2=25的圆心为(1,0),
直线AB的斜率等于
=-1,
由点斜式得直线AB的方程为y-1=-(x-2),
即x+y-3=0.故选C.
5.(2014浙江)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值为
( )
A.-2
B.-4
C.-6
D.-8
6.直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为2
,则直线的倾斜角为
( )
7.(2014湖南)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=
( )
A.21
B.19
C.9
D.-11
8.由直线y=x+1上的动点P向圆C:(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为
( )
A.1
B.2
C.
D.3
9.已知直线3x+4y-15=0与圆O:x2+y2=25交于A,B两点,点C在圆O上,且S△ABC=8,则满足条件的点C的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
10.(多选)已知在圆x2+y2-4x+2y=0内,过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则
( )
A.AC⊥BD
B.AC过圆心
C.|BD|=2
D.四边形ABCD的面积为2
二、填空题
11.若圆C与圆x2+y2+2x=0关于直线x+y-1=0对称,则圆C的方程是
.?
12.(2015湖南)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r= .?
13.过点P(-3,1),Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切,则a的值为 .?
14.在圆C:x2+y2-2x-2y-7=0上总有四个点到直线l:3x+4y+m=0的距离是1,则实数m的取值范围是 .?
【答案】
(-17,3)
【解析】圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=9.
若圆上有四个点到直线3x+4y+m=0的距离是1,
则圆心到直线的距离小于2,即d=
<2,
解得-17三、解答题
15.(2015湖北)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(1)求圆C的标准方程;
【解析】 (1)设点C的坐标为(x0,y0),
则由圆C与x轴相切于点T(1,0)知,
点C的横坐标为1,即x0=1,半径r=y0.
又因为|AB|=2,所以12+12=,即y0=
=r,
所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-
)2=2.
(2)求圆C在点B处的切线在x轴上的截距.
16.(2015新课标Ⅰ卷)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆
C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若
=12,其中O为坐标原点,求|MN|.(共26张PPT)
第九章 直线与圆
第1节 直线的方程
知识梳理
1.倾斜角:在平面直角坐标系中,一条直线向上的方向与x轴的正半轴所成的最小正角,叫做直线的倾斜角.
范围:α∈[0°,180°),当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°.
2.斜率:倾斜角的正切值.
当倾斜角α≠90°时,k=tan
α,k∈(-∞,+∞);
当倾斜角α=90°时,斜率不存在.
3.经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率为
k=tan
α=
(x1≠x2);
当x1=x2时,直线P1P2的斜率不存在,此时直线的倾斜角为90°.
4.直线的截距:(截距可正可负可为零)
直线与x轴交点的横坐标叫做直线在x轴上的截距;
直线与y轴交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距.
5.中点坐标公式:点A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0)的坐标为
6.直线方程
名称
条件
对应直线方程
适用范围
点斜式
过点P(x0,y0),斜率为k
y-y0=k(x-x0)
斜率k存在
斜截式
斜率为k,在y轴上截距为b
y=kx+b
斜率k存在
两点式
过两点A(x1,y1),B(x2,y2)
x1≠x2,y1≠y2
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a,b
a,b不为零
一般式
Ax+By+C=0(A,B不同时为0)
7.两条不重合直线的位置关系(设l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2)
(1)若k1,k2都存在,则l1∥l2?k1=k2,b1≠b2;l1⊥l2?k1·k2=-1.
(2)若k1,k2都不存在或都为零,则l1∥l2.
(3)若k1,k2一个不存在,另一个为零,则l1⊥l2.
8.三种距离
(1)A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离公式:
|AB|=
(2)点M(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式:
d=
(3)两平行线的距离:设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,
则d=
精选例题
【例1】 已知点A(-2,m),B(m,4),且直线AB的斜率是-2.
(1)求m的值,并写出直线AB的方程;
(2)求线段AB的垂直平分线的方程.
【例2】 已知两直线l1:mx+2y+1=0,l2:(m+1)x-3y-3=0.
(1)若l1∥l2,求m的值;
(2)若l1⊥l2,求m的值.
【例3】 已知点P(2,-1).
(1)求过P点与原点距离为2的直线l的方程;
【解析】
(1)当斜率k不存在时,直线l方程为x=2,符合要求;
若直线的斜率k存在,设直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,
则有
=2,解得k=
,
所以直线l的方程为3x-4y-10=0.
所以直线l方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)是否存在过P点与原点距离为3的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
【解析】
(2)斜率k不存在时,直线l方程为x=2不符合要求;
若直线的斜率k存在,设直线方程为y+1=k(x-2),
即kx-y-2k-1=0,令
=3,
化简得5k2-4k+8=0,Δ=16-4×5×8=-144<0,方程无解,
所以不存在过P点与原点距离为3的直线.
专题训练
1.倾斜角为120°,在x轴上的截距为-1的直线方程是
( )
2.经过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值是( )
A.4
B.1
C.1或3
D.1或4
3.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-
,则直线l的方程为( )
A.3x+4y-14=0
B.3x-4y+14=0
C.4x-3y-14=0
D.4x-3y+14=0
【答案】
A
【解析】
代入点斜式得,y-5=-
(x+2),化简得3x+4y-14=0.
故选A.
4.直线l:ax+y-2-a=0在
x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( )
A.1
B.-1
C.a=-2或a=-1
D.a=-2或a=1
【答案】
D
【解析】
a=0不合题意;a≠0时,由截距相等,即
=a+2,
解得a=-2或a=1.故选D.
5.过点A(1,2)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为
( )
A.x-2y+4=0
B.2x+y-7=0
C.x-2y+3=0
D.x-2y+5=0
6.直线l1:(a-3)x+(4-a)y+1=0与l2:2(a-3)x-2y+3=0平行,则a的值是
( )
A.1或3
B.1或5
C.3或5
D.1或2
A.
B.
C.
D.
8.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于
( )
9.若直线l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点 .?
【答案】
(2,-2).
【解析】
直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,
由
解得x=2,y=-2,
所以直线l恒过定点(2,-2).
10.在平面直角坐标系中,点A(0,2)与点B(4,0)关于直线l对称,则直线l的方程为
( )
A.x+2y-4=0
B.x-2y=0
C.2x-y-3=0
D.2x-y+3=0
【答案】
C
【解析】
AB中点为(2,1),kAB=-
,则kl=2,
由点斜式得直线l方程为2x-y-3=0.故选C.
11.若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,则实数k的取值范围是
( )
A.(-6,-2)
B.(-5,-3)
C.(-∞,-6)
D.(-2,+∞)
12.已知直线l1:ax+y-1=0,直线l2:x-y-3=0,若直线l1的倾斜角为
,则a= ;若l1⊥l2,则a= .?
13.(2016上海,理)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2的距离是 .?
14.若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是
( )
A.(-2,1)
B.(-1,2)
C.(-∞,0)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
15.(多选)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l方程可能为
( )
A.x-y+1=0
B.x+y-3=0
C.2x-y=0
D.x-y-1=0
【答案】
ABC
【解析】
当直线经过原点时,斜率为k=
=2,
所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0;
当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,
把点A(1,2)代入可得1-2=k或1+2=k,
求得k=-1或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0或x+y-3=0.
综上知,所求的直线方程为2x-y=0,x-y+1=0或x+y-3=0.故选ABC.
16.(多选)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为
( )
A.x-y+1=0
B.x+y-7=0
C.2x-y-2=0
D.2x+y-10=0
【答案】
AB
【解析】由题意可知,所求直线的斜率为±1.
又过点(3,4),由点斜式得y-4=±(x-3).
所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.故选AB.(共24张PPT)
第九章 直线与圆
第2节 圆的方程
知识梳理
1.圆的定义
(1)在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.
(2)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.
2.圆的方程
方程形式
条件
圆心
半径
圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
r>0
(a,b)
r
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
D2+E2-4F>0
3.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
4.圆与圆的位置关系(两圆半径为R,r(R≥r),圆心距为d)
位置关系
点M(x0,y0)在圆外
点M(x0,y0)在圆上
点M(x0,y0)在圆内
满足条件
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(x0-a)2+(y0-b)2外离
外切
相交
内切
内含
d>R+r
d=R+r
R-rd=R-r
d精选例题
【例1】 求满足以下条件的圆的方程:
(1)圆心为(1,1)且过点(4,5);
(2)经过三点A(0,0),B(2,0),C(0,4);
(3)以圆x2+2x+y2=0的圆心为圆心,且与直线x+y=1相切.
【例2】
已知两圆C1:x2+y2-2x+2y-2=0和C2:x2+y2+4x-6y+m=0.
(1)当m=9时,判断两圆的位置关系;
(2)当m为何值时,两圆相外切.
专题训练
1.以M(1,0)为圆心,且与直线x-y+3=0相切的圆的方程是
( )
A.(x-1)2+y2=8
B.(x+1)2+y2=8
C.(x-1)2+y2=16
D.(x+1)2+y2=16
【答案】
A
【解析】
因为所求圆与直线x-y+3=0相切,
所以圆心M(1,0)到直线x-y+3=0的距离即为该圆的半径r,
即
所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=8.故选A.
2.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为
( )
A.(x+2)2+(y-2)2=1
B.(x-2)2+(y+2)2=1
C.(x+2)2+(y+2)2=1
D.(x-2)2+(y-2)2=1
3.已知点(a,b)在圆C:x2+y2=r2(r≠0)的外部,则直线ax+by=r2与圆C的位置关系是
( )
A.相切
B.相离
C.无法确定
D.相交
【答案】
D
【解析】由已知a2+b2>r2,
且圆心到直线ax+by=r2的距离为d=
,
则d故直线ax+by=r2与圆C的位置关系是相交.故选D.
4.两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y-39=0的位置关系是
( )
A.相离
B.相交
C.内切
D.外切
【答案】
C
【解析】
C1(0,0),r1=3;C2(4,-3),r2=8.
则|C1C2|=5,则r2-r1=8-3=5=|C1C2|,
则两圆相内切.故选C.
5.(2014湖南)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=
( )
A.21
B.19
C.9
D.-11
6.圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1),B(1,3),则圆C的方程是
( )
A.(x-2)2+y2=10
B.(x+2)2+y2=10
C.(x-2)2+y2=
D.(x+2)2+y2=
7.圆(x+2)2+y2=5关于原点对称的圆的方程为
( )
A.(x-2)2+y2=5
B.x2+(y-2)2=5
C.(x+2)2+(y+2)2=5
D.x2+(y+2)2=5
【答案】
A
【解析】
(x+2)2+y2=5的圆心为(-2,0),
则对称圆的圆心为(2,0),
则所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.故选A.
8.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是
( )
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
9.(多选)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C的方程为
( )
11.(2019佛山调研)已知圆O1的方程为x2+y2=1,圆O2的方程为(x+a)2+y2=4,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是
( )
A.{1,-1,3,-3}
B.{5,-5,3,-3}
C.{1,-1}
D.{3,-3}
【答案】
A
【解析】
由题意得两个圆外切或内切,
两圆的圆心距d=|a|=2+1=3或d=|a|=2-1=1,
解得a=3或a=-3或a=1或a=-1,
所以a的所有取值构成的集合是{1,-1,3,-3}.故选A.
12.(2010新课标卷)圆心在原点上与直线x+y-2=0相切的圆的方程为 .?
13.(2019浙江)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.
若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m= ,
r= .?
14.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是 .?
15.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4
.则
(1)直线CD的方程为 ;?
(2)圆P的方程为 .?
16.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标;
【解析】 (1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,
所以圆C1的圆心坐标为(3,0).
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.(共27张PPT)
第九章 直线与圆
第3节 直线与圆
知识梳理
1.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
代数法(解方程组)
几何法(圆心到直线的距离为d)
相交
两组解
d相切
一组解
d=r
相离
无解
d>r
2.直线与圆相交
半径、弦心距、半弦长构成一个直角三角形.
若弦心距为d,圆的半径为r,弦长为l,
则
3.研究直线与圆的关系一些常用结论:
(1)圆的切线方程常用结论
①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
③过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
(2)圆与圆的位置关系的常用结论
①两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤相离:4条.
②当两圆相交时,两圆方程(x2,y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.
精选例题
【例1】 已知直线l:3x+4y=b与圆C:x2+y2-2x-2y+1=0.
(1)若直线l与圆C相切,求b的值;
(2)若b=6,求圆C截直线l所得的弦长.
【例2】 (2013新课标Ⅱ卷)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2
,在y轴上截得线段长为2
.
(1)求圆心P的轨迹方程;
【解析】 (1)设P(x,y),圆P的半径为r,
由题设得y2+2=r2,x2+3=r2,
所以点P的轨迹方程为y2-x2=1.
(2)若P点到直线y=x的距离为
,求圆P的方程.
专题训练
1.直线l:x+
y-4=0与圆C:x2+y2=4的位置关系是
( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
【答案】
B
【解析】
圆心C(0,0),半径r=2,
则圆心到直线l的距离d=
=2=r,
所以直线与圆相切.故选B.
2.(2014福建)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是
( )
A.x+y-2=0
B.x-y+2=0
C.x+y-3=0
D.x-y+3=0
【答案】
D
【解析】
直线过点(0,3),斜率k=1,
由点斜式得y-3=1×(x-0),
即x-y+3=0.故选D.
3.圆(x-2)2+y2=2在点P(1,1)处的切线方程为
( )
A.x+y=0
B.x+y-2=0
C.x-y-2=0
D.x-y=0
【答案】
D
【解析】
圆心C(2,0),则kCP=
=-1,所以k切线=1,
由点斜式得切线方程为y-1=1×(x-1),
化简得x-y=0.故选D.
4.(2020新课标Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为
( )
【答案】
B
【解析】
由于圆上的点(2,1)在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆与至少与一条坐标轴相交,不合乎题意,
所以圆心必在第一象限.
设圆心的坐标为(a,a),则圆的半径为a,
圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2.
由题意可得(2-a)2+(1-a)2=a2,可得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,
所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),
5.(2018新课标Ⅲ卷)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是
( )
A.[2,6]
B.[4,8]
C.
D.
6.(2016新课标Ⅱ卷,文)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线
ax+y-1=0的距离为1,则a=
( )
7.(2014浙江)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值为
( )
A.-2
B.-4
C.-6
D.-8
8.(2014新课标Ⅱ卷)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是
( )
【答案】
A
【解析】
如图当x0=±1时,
存在点N(0,1)使得∠OMN=45°,
在[-1,1]内存在,
在[-1,1]以外不存在.
故选A.
9.(2020新课标Ⅰ卷)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点,过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为
( )
A.2x-y-1=0
B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0
D.2x+y+1=0
10.(2020天津卷)已知直线x-
y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为 .?
11.已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为 .?
12.(2018新课标Ⅰ卷)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .?
13.(2020浙江卷)设直线l:y=kx+b(k>0),圆C1:x2+y2=1,
圆C2:(x-4)2+y2=1,若直线l与C1,C2都相切,则k= ;
b= .?
14.(2016新课标Ⅰ卷,文)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2
,则圆C的面积为 .?
15.(2016新课标Ⅲ卷)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2
,则|CD|= .?
16.(2019新课标Ⅰ卷)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.若A在直线x+y=0上,求☉M的半径.
【解析】 因为☉M过点A,B,
所以圆心M在线段AB的垂直平分线上.
由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,
所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).
因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.
由已知得|AO|=2,又
,
故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.
故☉M的半径r=2或r=6.
17.(2014新课标Ⅰ卷)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
